九年级上册数学《图形的旋转》---知识点整理
1、旋转：将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O叫做旋转中心，转动的角度叫做
旋转角。
2、旋转性质:
① 旋转后的图形与原图形全等
② 对应线段与O形成的角叫做旋转角
③ 各旋转角都相等
3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。
其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。
4、平移性质
① 平移后的图形与原图形全等
② 两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）
③ 各组对应线段平行且相等
5、中心对称与中心对称图形
① 中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个
点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
② 中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中
心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。
6、轴对称与轴对称图形
(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。
其中，这条轴叫做对称轴。
注：轴对称的性质：① 两个图形全等；② 对应点连线被对称轴垂直平分
（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
7、点的对称变换
（1）关于原点对称的点的特征:坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）
（2）关于x轴对称的点的特征:x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）
（3）关于y轴对称的点的特征:y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）
（4）关于直线y＝x对称:横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x对称点为P＇（y，x）
（5）两个点关于直线y＝-x对称时:横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对
称点为P＇（-y，-x）
注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。
第二十三章 旋转(章末小结)(课件)-2022-2023学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)
下列结论一定正确的是( D )
A．AC＝DE
B．BC＝EF
C．∠AEF＝∠D
D．AB⊥DF
1 旋转的性质及应用
例3. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针
旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度
A．(−1,0)
B． −
C．(1,0)
D．
2 2
,
2 2
2
2
,−
2
2
【1-1】如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠B = 40°，将三角形ABC绕点A按顺时
针方向旋转到三角形AB1 C1 的位置，使得点C，A，B1 在一条直线上，那么旋
转角等于（ D ）
A．50°
B．80°
C．100°
D．130°
(3)参照原图形顺次连接各点，即为所求作的对称图形.
1 旋转的性质及应用
例1.以原点为中心,将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的
象限为( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
1 旋转的性质及应用
例2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
例13.如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延
长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
数是( D )
A．50°
B．70°
C．110°
D．120°
1 旋转的性质及应用
例4.如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋
考点01 图形的旋转-2021届九年级《新题速递·数学》(人教版)(解析版)
考点01 图形的旋转1．（江苏省无锡市丁蜀中学2020-2021学年第一次阶段性测验数学试题）经过以下变化后所得到的三角形不能和ABC 全等的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵平移、旋转，翻折前后的三角形全等， ∵选项A 、B 、C 不符合题意，【点睛】本题主要考查全等三角形、平移、旋转、翻折的知识，熟练掌握相关定义是关键．2．（2020年江西省初中名校联盟九年级质量监测（一）数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，将ABC 绕点C 逆时针旋转θ角到DEC 的位置，这时点B 恰好落在边DE 的中点，则旋转角θ的度数为（ ）．A ．60︒B ．45︒C ．30D ．55︒A 【答案】A【解析】∵点B 恰好落在边DE 中点上，90ECD ACB ︒∠=∠=， ∵EB=CB ，由旋转的性质可得EC CB =，ECB θ∠= ∵EB CB EC == ∵EBC 是等边三角形， ∵60ECB θ︒∠==．故选A ．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、旋转的性质和等边三角形的判定及性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质和等边三角形的判定及性质是解决此题的关键．3．(2019年山东省潍坊诸城市九年级中考三模数学试题)如图，ABC ∆中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ADE ∆，连接BE ，则线段BE 的长等于（ ）A．8-BC ．1D【答案】B【解析】如图所示，连接BD ，延长BE 交AD 于点F ， 由旋转可知：AB=AD ，∵BAD=60°， ∵∵ABD 是等边三角形， ∵∵BDA=60°，AB=BD ， 又∵∵BAC=∵ADE=45°， ∵∵BDE=∵BAE=60°-45°=15°， ∵在∵ABE 与∵DBE 中，AB BD BAE BDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∵∵ABE∵∵DBE （SAS ） ∵∵ABE=∵DBE∵BF∵AD ，点F 为AD 中点， 又∵AC=BC=2，∵EF=12AD =∵BE=BF -故答案为：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形、等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用旋转的性质构造等边三角形进行解答．4．（2020年山东省枣庄市九年级中考三模数学试题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(1,2-+B ．()C ．(2D ．(-【答案】B【解析】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒，∴30A B H ''∠=︒， ∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '，故选B ．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5．（浙江省绍兴市三校联考2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在ABC ∆中，108BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针方向旋转得到AB C ''∆．若点B '恰好落在BC 边上，且AB CB ''=，则C '∠的度数为（ ）A ．18︒B ．20︒C ．24︒D ．28︒【答案】C【解析】解：设C '∠=x°.根据旋转的性质，得∵C=∵'C = x°，'AC =AC, 'AB =AB. ∵∵'AB B =∵B.∵AB CB ''=，∵∵C=∵CA 'B =x°. ∵∵'AB B =∵C+∵CA 'B =2x°. ∵∵B=2x°.∵∵C+∵B+∵CAB=180°，108BAC ∠=︒， ∵x+2x+108=180. 解得x=24.∵C '∠的度数为24°. 故选：C.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.6．（江苏省江阴市长寿中学2020-2021学年八年级10月阶段性检测数学试题）如图，∵AOB 中，∵B=30°，将∵AOB 绕点O 顺时针旋转得到∵A′OB′，若∵A′=40°，则∵B′= °，∵AOB= ．【答案】30°，110°【解析】∵∵AOB中，∵B=30°，将∵AOB绕点O顺时针旋转得到∵A′OB′，∵A′=40°，∵∵B=∵B′=30°，∵A′=∵A=40°，则∵B′=30°，∵AOB=180°-∵A-∵B=110°．故答案为30，110．【点睛】：旋转的变换7．（2020年甘肃省天水市麦积区九年级中考模拟数学试题）如图所示，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是_____．【答案】35°【解析】解：∵∵COD是∵AOB绕点O顺时针方向旋转35°后所得的图形，∵∵AOC＝∵BOD＝35°，∵∵AOD＝90°，∵∵BOC＝20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了旋转变换的性质，属于基础题型，熟练掌握旋转的性质是解题关键．8．（江苏省无锡市敔山湾中学2020-2021学年八年级上学期第一次阶段性测验数学试题）如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=2，AB=6，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△△AB′C′，且C′落在CO的延长线上，连接B B′交CO的延长线于点F，则BF=__________．【答案】143．【解析】解：过C作CD∵AB于点D，∵CA=CO，∵AD=DO，∵在Rt∵ACB中，AB=6，AC=2，∵BC= =，∵1122ABCS AB CD AC BC =⋅=⋅∵116222CD⨯⋅=⨯⨯，=23，∵OA=2AD=43，∵OB=AB-OA=6-43=143，∵∵AC′B′是由∵ACB旋转得到，∵AC=AC′，AB=AB′，∵CAC′=∵BAB′，∵∵ACC′=12（180°-∵CAC′），∵ABB′=12（180°-∵BAB′），∵∵ABB′=∵ACC′，∵在∵CAO和∵BFO中，∵BFO=∵CAO，∵CA=CO，∵∵COA=∵CAO，又∵∵COA=∵BOF（对顶角相等），∵∵BOF=∵BFO ，∵BF=BO=143． 故答案为：143．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据三角形面积公式求出CD 的值是突破口．9．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，将ABO ∆绕点A 顺时针旋转到11AB C ∆的位置，点B 、O 分别落在点1B 、1C 处，点1B 在X 轴上，再将11AB C ∆绕点1B 顺时针旋转到112A B C ∆的位置，点2C 在x 轴上，将112A B C ∆绕点2C 顺时针旋转到222A B C ∆的位置，点2A 在x 轴上，依次进行下去，…若点()3,02A ，()0,2B ，则点2019B 的坐标为_____________．【答案】（6058，0） 【解析】由题意可得：∵AO=32，BO=2，52=， ∵OA+AB1+B1C2=32+52+2=6，∵B2的横坐标为：6，B4的横坐标为：2×6=12， ∵点B2018的横坐标为：20182×6=6054． ∵点2019B 的横坐标为：356054605822++=； ∵点2019B 的坐标为（6058，0）． 故答案为：（6058，0）．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，勾股定理，点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B 点横坐标变化规律是解题关键．10．（2019年山东省泰安市岱岳区中考第三次模拟数学试题）如图，点1A 的坐标为()1,0， 2A 在y 轴的正半轴上，且1230A A O ∠=︒，过点2A 作2312A A A A ⊥，垂足为2A ，交x 轴于点3A ；过点3A 作3423A A A A ⊥，垂足为3A ，交y 轴于点4A ；过点4A 作4534A A A A ⊥，垂足为4A ，交x 轴于点5A ；过点5A 作5654A A A A ⊥．垂足为5A ，交x 轴于点6A ，按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为____________【答案】A2019[-2018，0] 【解析】∵∵A1A2O=30°，OA1=1，∵点A2的坐标为(0，同理，A3(-3，0)，A4(0，-，A5(9，0)，A6(0，，A7(-27，0)，…，即A1(1，0)，A2[0，，A3[-，0]，A4[0，-(，，0]…，∵序号除以4整除的话在y 轴的负半轴上，余数是1在x 轴的正半轴上，余数是2在y 轴的正半轴上，余数是3在x 轴的负半轴上， ∵2019÷4=504…3，∵A2019在x 轴的负半轴上，A2019[-，0]． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质、规律型题目，以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．11.（四川省眉山市2020年中考数学试题）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB =．将ABC 绕点A 按顺时针方向旋转至11AB C △的位置，点1B 恰好落在边BC 的中点处，则1CC 的长为________．【答案】【解析】解：在Rt △ABC 中，∵BAC=90°，AB=2，将其进行顺时针旋转，1B 落在BC 的中点处， ∵111Rt A B C △是由Rt △ABC 旋转得到，∵1AB =AB=2，而1BC=2AB =4，根据勾股定理：， 又∵1AB =AB=2，且11BB =BC=22，∵1ABB △为等边三角形， ∵旋转角1BAB =60∠︒，∵1CAC =60∠︒，且1AC 1ACC △也是等边三角形，∵1CC故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．12．（湖南省邵阳市邵东市2019-2020学年七年级下学期期末数学试题）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△OAB 的顶点都在格点上．（1）请作出△OAB关于直线CD对称的△O1A1B1；（2）请将△OAB绕点B顺时针旋转90°，画出旋转后的△BO2A2．【答案】(1)见解析；（2）见解析．【解析】解：（1）如图所示，∵O1A1B1即为所求；（2）如图所示，∵BO2A2即为所求．【点睛】本题主要考查了利用旋转变换和轴对称变换进行作图，旋转作图时，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心．画一个图形的轴对称图形时，先从一些特殊的对称点开始．13．（江苏省扬州市江都区邵樊片2020-2021学年九年级上学期第一次质量检测数学试题）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N 分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM∵PN ；（2）∵PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S∵PMN 最大＝492【解析】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，AN =MN ∴==最大，22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．14．（黑龙江省齐齐哈尔市第五十三中学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题）综合与实践 实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD，CF，AC之间的数量关系为：（2）猜想图2中四边形ADGF的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB的长为．【答案】（1）CD+CF=AC；（2）四边形ADGF为正方形；理由见解析；（3）【解析】解：（1）如图：由旋转得：∵DAF=60°=∵BAC，AD=AF，∵∵BAD=∵CAF，∵∵ABC是等边三角形，∵AB=AC，∵∵BAD∵∵CAF（SAS），∵∵ADB=∵AFC，BD=CF，∵∵ADC+∵ADB=∵AFC+∵AFE=180°，∵C、F、E在同一直线上，∵AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt∵ABD绕点A逆时针旋转90°得到∵AEF，∵AF=AD，∵DAF=90°，∵AD∵BC，∵∵ADC=∵DAF=∵F=90°，∵四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∵四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，∵DG=FG=AD=AF=6，∵∵ABD绕点A逆时针旋转90°，得到∵AEF，∵∵BAD=∵EAF，BD=EF=2，∵EG=FG-EF=6-2=4，∵将∵AFE沿AE折叠得到∵AME，∵∵MAE=∵FAE，AF=AM，∵∵BAD=∵EAM，∵∵BAD+∵DAM=∵EAM+∵DAM，即∵BAM=∵DAE，∵AF=AD，∵AM=AD，在∵BAM和∵EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵BAM∵∵EAD（SAS），=故答案为：【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．。
九年级数学上册知识点整理
九年级数学上册知识点整理一.知识框架二.知识概念一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.一般地，任何一个关于某的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式a某2+b某+c=0(a0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.一个一元二次方程经过整理化成a某2+b某+c=0(a0)后，其中a某2是二次项，a是二次项系数;b某是一次项，b是一次项系数;c是常数项.本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下，通过解方程来解决一些实际问题。
(1)运用开平方法解形如(某+m)2=n(n0)的方程;领会降次──转化的数学思想.(2)配方法解一元二次方程的一般步骤：现将方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式;变形为(某+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是某=-pq;如果q0,方程无实根.介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。
这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。
进而举例说明如何解形如的方程。
然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。
最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。
在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。
对于没有实数根的一元二次方程，学了公式法以后，学生对这个内容会有进一步的理解。
(3)一元二次方程a某2+b某+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式a某2+b某+c=0，当b2-4ac0时，•将a、b、c代入式子某=就得到方程的根.(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性与和谐性。
)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.九年级数学上册知识点：第二十三章旋转一.知识框架二.知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
专题09 图形的旋转(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题09图形的旋转【典型例题】1．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC 绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；①当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．①如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC12=•CD•BN，S△ACE12=•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【专题训练】一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点P①m①m①n）与点Q①①2①3）关于原点对称，则点M①m①n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A2．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A3．如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】C4．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把①ADE绕点A顺时针旋转90°到①ABF的位置，若四边形AECF的面积为25①DE=3，则AE的长为()A B．5C．8D．4【答案】A5．（2020·河南初三三模）如图，将△ABC绕点C①0①-1①旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a①b），则点A′的坐标为① ①A ．①-a ①-b ①B ．①-a ①-b -1①C ．①-a ①-b +1①D ．①-a ①-b -2①【答案】D6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD ，过点A 作AE ⊥射线CD 于点E ，则∠CAE 的度数是（ ）A ．90﹣αB ．αC ．902α-D ．2α 【答案】C7．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠︒＝，一个三角尺的直角顶点与BC 边的中点O 重合，且两条直角边分别经过点A 和点B ，将三角尺绕点O 按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB ，AC 分别交于点E ，F 时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE AF AC =＋B ．180BEO OFC ∠∠=︒＋C ．2OE OF BC +=D ．12ABC AEOF S S ∆=四边形【答案】C二、填空题8．点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n＝_____．【答案】19．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为_____①【答案】10．如图，在△ABC中，∠CAB①65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′①AB，则∠B′AB等于_____①【答案】50°11．如图，已知△ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合．若∠A＝33°，则旋转角为_____°．【答案】82°12．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD 上，且DE =EF ，则AB 的长为_____．【答案】13．（2020·河北其他）如图，将Rt ABC ∆的斜边AB 绕点A 顺时针旋转()090αα︒︒<<得到AE ，直角边AC绕点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AF ，连结EF ．若=3AB ，=2AC ，且B αβ+=∠，则=EF _____．【答案】14．四边形ABCD 、四边形AEFG 都是正方形，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45°（45BAE ∠=︒）时，如图，连接DG ，BE ，并延长BE 交DG 于点H ，且BH DG ⊥．若4AB =，AE =则线段BH的长是________．三、解答题15．如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．(1)指出它的旋转中心；(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；(3)分别写出点A，B，C的对应点．【答案】解：（1）它的旋转中心为点A①①2）它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度；①3）点A①B①C的对应点分别为点A①E①F.16．（2020·浙江台州·初三月考）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B1A1C＝30°）按图①的方式放置，固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A1C交于点E，AC与A1B1交于点F，AB与A1B1交于点O．（1）求证：∠BCE∠∠B1CF.（2）当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直吗？请说明理由． 【答案】解：（1）证明：两块大小相同的含30°角的直角三角板，所以①BCA =①B ′CA ′ ①①BCA -①A ′CA =①B ′CA ′-①A ′CA 即①BCE =①B ′CF①{B B BC B CBCE B CF∠=∠'='∠=∠'，①①BCE ①①B ′CF （ASA ）；（2）解：AB 与A ′B ′垂直，理由如下： 旋转角等于30°，即①ECF =30°， 所以①FCB ′=60°， 又①B =①B ′=60°，根据四边形的内角和可知①BOB ′的度数为360°-60°-60°-150°=90°， 所以AB 与A ′B ′垂直．17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A ①1①1①①B ①4①1①①C ①3①3①① ①1）将△ABC 向下平移5个单位后得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1① ①2）将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2① ①3）判断以O ①A 1①B 为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；①2）如图所示，△A2B2C2即为所求；①3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA11B即OB2+OA12=A1B2①所以三角形的形状为等腰直角三角形．18．如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．（1）试猜想AE与GC的数量关系与位置关系；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）答：AE=GC，AE⊥GC；证明：如图1中，延长GC交AE于点H．在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2，AE=GC，∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=90°，∴AE⊥GC．故答案为：AE=GC，AE⊥GC；（2）答：成立；证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，∴∠1=∠2=90°-∠3；∴△ADE≌△CDG，∴∠5=∠4，AE=CG，又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∴∠6=∠7，又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊥GC．19．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A＝45°，∠D＝30°，设旋转角为α，（0°＜a＜80°）（1）当DE∥AC时（如图2），求α的值；（2）当DE∥AB时（如图3）．AB与CE相交于点F，求α的值；（3）当0°＜α＜90°时，连结AE（如图4），直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．【答案】①1①∵DE∥AC①∴∠D①∠ACD①30°①①∵∠BCA①90°①∴∠BCD①∠BCA①∠ACD①60°①①α①60°①①2①∵DE∥AB①∴∠E①∠CF A①60°①①∵∠CF A①∠B+∠BCE①∴∠BCE①15°①∴∠BCD①∠ECD+∠BCE①105°①①α①105°①①3①①①①①①①①①105°①∵∠ACD+∠CAB①∠D+∠AFD①∠CAB①45°①∠D①30°①∴∠AFD①∠ACD①15°①①∵∠1+∠2①∠AFD①∠3①90°①∠ACD①∴∠1+∠2+∠3①∠AFD+90°①∠ACD①90°+15°①105°.。
23-1第2课时旋转作图22-23学年人教版九年级数学上册
O1
α
α O2
两个旋转中,旋转角不变，_旋__转__中___心__改变了，产生了_不___同___的旋 转效果.
新知讲解
我们可以利用旋转中心不变，改变旋转角； 旋转角不变，改变旋转中心设计许多美丽的图案.
课堂练习
1.下列运动属于旋转的是（ C ） A.传送带运送医疗器械 B.电梯升降 C.荡秋千 D.雪地滑雪
4.把Rt△AOB绕点逆时针旋转得到Rt△A'OB'，则旋转角是 90° .
B'
O
A' B
A
课堂练习
5.如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对 应的点的位置，以及旋转后的四边形．
解：（1）连结OA、OB、OC、OD、OE； （2）分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使 ∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE； （3）分别在射线OF、OG、OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD； （4）连结EF、FG、GH、HE，四边形EFGH就是四边形ABCD绕点O旋转后的图形．
A' D'
D B'
A
C异同
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同：
图形变换 平移 旋转
运动方向 直线
顺时针或逆时针
运动量的衡量 移动一定距离 转动一定的角度
方法归纳
旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素： 旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）找出关键点; （3）作出关键点的对应点; （4）作出新图形; （5）写出结论.
课堂练习
2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是（ C ）
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点复习(含答案解析)
一、选择题1．下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）A ．正六边形B ．线段()213y x x =-+≤≤C ．圆D ．抛物线2y x x =+ 2．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 3．如图，在等边△ABC 中，AC=8，点O 在AC 上，且AO=3，点P 是边AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．8 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 5．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，将OA 绕原点O 按顺时针方向旋转90︒得到OA '，则点A '的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(3,1)-C ．(1,3)--D ．(1,3)7．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，1BC =，A B C ''由ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A '与点A 、点B '与点B 是对应点，连接AB '，且点A 、B '、A '在同一条直线上，则AA '的长为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．458．下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60︒得到线段BO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60︒得到；②点O 与O '的距离为4；③150AOB ︒∠=；④633AOBO S '=+四边形．其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，等边△OAB 的边OB 在x 轴上，点B 坐标为（2，0），以点O 为旋转中心，把△OAB 逆时针转90︒，则旋转后点A 的对应点A '的坐标是（ ）A ．（-13）B 3-1）C ．（31-，）D ．（-2，1） 11．已知等边△ABC 的边长为8，点P 是边BC 上的动点，将△ABP 绕A 逆时针转60°得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是 ( )A ．2B ．23C ．4D ．不能确定 12．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 13．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 14．如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，点B 坐标为（1，0），AC=2，∠ABC=30°，把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A 点的对应点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣2﹣3）B ．（﹣4，﹣2+3）C ．（﹣2，﹣2+3）D ．（﹣2，﹣2﹣3）15．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE ，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD ⊥BC ，∠BAC 的度数为（ ）．A ．60 °B ．75°C ．85°D ．90°二、填空题16．有两个直角三角板，其中45E ∠=︒，30C ∠=︒，按图①的方式叠放，先将ABC固定，再将AED 绕顶点A 顺时针旋转，使//BC DE （如图②所示），则旋转角BAD ∠的度数为______．17．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．18．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．19．在ABC 中，2AB =，3AC =，以CB 为边作一个形状等边三角形BCD △，则DA 的最大值是________．20．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．21．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，60B ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．22．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC≌△DEF关于点H成中心对称，则对称中心H 点的坐标是_________．23．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝80°，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到△DBE，若DE∥BC，则旋转的最小度数为_____．24．如图，△ABC中，∠BAC＝20°，△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，连接对应点C、D，AE垂直平分CD于点F，则旋转角度是_____°．25．如图，在Rt ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．将Rt ABC绕点A逆时针旋转△，使点C '落在AB边上，连结BB'，则BB'的长度为_________．得到Rt AB C''26．一副直角三角尺叠放，如图①所示，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两个三角尺有一组边互相平行．例如图②，当∠BAD=15°时，BC∥DE，当90°<∠BAD<180°时，∠BAD的度数为___．三、解答题27．如图，在一个1010⨯的正方形网格中有一个,ABC ABC ∆∆的顶点都在格点上．（1）在网格中画出ABC ∆向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的111A B C ∆． （2）在网格中画出ABC ∆关于点P 成中心对称得到的222A B C ∆．（3）若可将111A B C ∆绕点О旋转得到222A B C ∆，请在正方形网格中标出点O ，连接12A A 和12B B ，请直接写出四边形2211A B A B 的面积．28．已知30AOB ∠=，P 为射线OB 上一点，M 为射线OA 上一动点，连接PM ， 满足OMP ∠为钝角，将线段PM 绕点 P 顺时针旋转150，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）在射线 MA 上取点D ，点M 关于点D 的对称点为E ，连接EP ，当PDO ∠= 时，使得对于任意的点M ，总有ON EP =，并证明29．如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=︒，将BCD △绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE △．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．30．江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：（1）填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？。
人教版初中九年级上册数学《旋转作图》精品课件
教学研讨
感谢你的参与 期待下次再见
甲
还可以用 什么方法把甲 图案变成乙图 案？
可以先将甲图案绕图上的
A点旋转，使得图案被
B 乙
A
“扶直”，然后，再沿AB
方向将所得图案平移到B
甲 点位置，即可得到乙图案
B
A
二、旋转设计作图
合作探究
1.选择不同的___旋__转__中__心_、不同的_旋__转__角_旋转同一个图案,会出 现不同的效果. (1)两个旋转中，旋转中心不变, 旋__转__角__ 改变了，产生了 __不__同___的旋转效果.
方法归纳 旋转作图的基本步骤：
（1）明确旋转三要素： 旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）找出关键点; （3）作出关键点的对应点; （4）作出新图形; （5）写出结论.
A E
F
B
D
考考你：
C
借助上图，如何确定它们的旋转中心位置？
答：找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点.
例2. 怎样将甲图案变成乙图案？ 乙
∴∠ABE′＝∠ADE＝ 90 ° ，
BE′＝ DE ，
E′
B
C
因此在CB的延长线上截取点E′,使BE. ′=DE
则△ABE′为旋转后的图形.
想一想：
A
D
还有其他方法确定点E的
对应点E′吗？
E
答：延长CB,以点A为圆心，AE 的
长为半径画弧,交CB的延长线于E'， B
C
连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
旋转角都为 60°的旋转图形．
A' D'
D B'
A
C
C'
新人教版初中数学九年级上册第23章《图形的旋转》教案
探究
二、自主
探究
1．旋转中心不变，改变旋转角
画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
2．旋转角不变，改变旋转中心
画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30 °的旋转图形．
3、图案设计：（1）、如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O 为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°的菊花图案．
（2）、 如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心， 请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？
选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
学生独立作图，两名同学上台展示。
画完之后相互批改、评价。
从画图中，师生共同归纳出:旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．
（3）旋转前、后的图形全等．
根据图形思考老师所给的问题，然后分组讨论，教师参与讨论交流，最后一组推荐一人上台回答结论
1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′
2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′
3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．
综合以上的实验操作，师生共同归纳出旋转的性质。
(5)由平面图形转动而产生的奇妙图案。
2、提出问题:
这些情境中的转动现象,有什么共同特征?
用课件展示图片并显示现实生活中部分物体的旋转现象
学生观察图片
学生思考，归纳它们的共同特征。
让学生再举一些类似的例子
通过这些画面的展示让学生切身感受到我们身边除了平移、轴对称变换等图形变换之外,生产、生活中广泛存在着转动现象，从而产生对这种变换进一步探究的强烈欲望,为本节课探究问题作好铺垫。
人教版初中九年级数学上册第二十三章《旋转》知识点(含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点D 在AC 边上．将△ABD 绕点A 逆时针旋转45°得到△ACD ′，且D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的大小为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．25°D ．30°2．下面四个图案是常用的交通标志，其中为中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）A ．45°B ．35°C ．25°D ．15° 4．如图，将△ABC 绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C′，设点A 的坐标为(,)a b ，则点A′的坐标为( )A ．(,)a b --B ．2(),a b --+C ．(),1a b --+D ．(,1)a b --- 5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）A ．35︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒6．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）A ．32-B ．2-1C ．0．5D ．512- 7．如图，将一个含30角的直角三角尺AOB 放在平面直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重叠．已知30OAB ∠=︒，12AB =，点D 为斜边AB 的中点，现将三角尺AOB 绕点O 顺时针旋转90︒，则点D 的对应点D 的坐标为（ ）A ．(33,3)B ．(63,6)-C ．(3,33)-D ．(33,3)- 8．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）A ．78B ．1C ．45D ．239．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）A．内部B．外部C．边上D．以上都有可能12．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是( )A．22B．4 C．23D．不能确定13．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转90 得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A．（2，2）B．（2，4）C．（4，2）D．（1，2）14．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．15．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题16．若点M （3，a ﹣2），N （b ，a ）关于原点对称，则ab ＝_____．17．如图，O 是正方形ABCD 的中心，M 是ABCD 内一点，90DMC ∠=︒，将DMC 绕O 点旋转180°后得到BNA ．若3MD =，4CM =，则MN 的长为______．18．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，将ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转一周，当BC 边的对应边与AC 平行时，旋转角为______度．19．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．20．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．21．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A 'B 'C '，此时A ′B ′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B ′CB 的度数是_____°．22．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．23．一副三角板如图放置，将三角板ADE 绕点A 逆时针旋转(090)αα<<，使得三角板ADE 的一边所在的直线与BC 垂直，则α的度数为______.24．如图，小正方形方格的边长都是1，点A 、B 、C 、D 、O 都是小正方形的顶点．若COD 是由AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转______°．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，BE 平分∠DBC 交CD 于点E ，将△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCF ，延长BE 交DF 于G ，则BF 的长为_____．26．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形④9634AOC AOB S S +=+△△．三、解答题27．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-1，1）、B （-3，1）、C （-1，4）．（1）画出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C ；（2）画出△ABC 关于点P （1，0）对称的△A 2B 2C 2．28．在ABC ∆中，AB AC =，BAC α∠=．（1）直接写出ABC ∠的大小为______．（用含α的式子表示）（2）当060α︒<<︒时，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ，连接AD 、CD ．①求证：ABD ACD ∆≅∆；②当40α=︒，求ACD ∠的度数．29．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0 0)O ，，点(10 0)A ，，点(0 6)B ，．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ， F ．（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证ADB △≌BCA ；②求出ABH 面积．30．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下列两种基本图形，请给予证明．（1）如图1，AC 与BD 交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，求证：OA=OC ．（2）如图2，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．求证：BD ＝AE ．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们用图1或图2的基本图形来解决问题：如图3，把一块含45°的直角三角板ABC （即ABC ∆是等腰直角三角形，90C =∠，AC BC =）绕点A 逆时针旋转后成为ADE ∆，已知点B 、C 的对应点分别是点D 、E ．连结BD ，并作射线CE 交BD 于点F ，试探究在旋转过程中，DF 与BF 的大小关系如何，并证明．。
第二十三章++旋转-图形变换的四种作图素养训练+课件+2023—2024学年人教版数学九年级上册
(2)在图②中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三 边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的 图形． 解：如图②所示．(答题，要充分利用网格的特殊性找对应
点，再通过数网格作图．
5 请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形. 解：如图，△A′B′C′即为所求作的图形．
6 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格 点上. (1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三 角形； 解：如图①所示． (答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有 公共边的格点三角形；
解：如图②所示． (答案不唯一)
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90° 后的三角形. 解：如图③所示．
人教版 九年级上 第二十三章 旋转
图形变换的四种作图 素养训练
1 如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向 平移1 cm，作出平移后的图形 (不写作法，保留作图 痕迹) ． 解：如图，△A1B1C1即为所求．
2 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长 度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点 均在格点上. (1)将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画 出平移后的线段并连接AB′和A′B， 两线段相交于点O；
解：如图所示．
(2)求证：△AOB≌△B′OA′. 证明：由题意，可知 AB∥A′B′， ∴∠BAO＝∠A′B′O，∠ABO＝∠B′A′O. ∠BAO＝∠A′B′O， 在△ AOB 和△ B′OA′中，AB＝B′A′， ∠ABO＝∠B′A′O， ∴△AOB≌△B′OA′(ASA)．
3 如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点 D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后 的三角形.