2020年广东省佛山市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，1，2，，则A. 1，B.C.D. 2，2.复数z满足，则A. 1B.C.D. 23.下列命题中假命题的是A. ，B. ，C. ，D. ，4.等差数列中，其前n项和为，满足，，则的值为A. B. 21 C. D. 285.已知非零向量，，满足，且，则与的夹角是A. B. C. D.6.函数的部分图象如图所示，则A. B. C. D.7.变量x，y满足约束条件，若的最大值为2，则实数m等于A. B. C. 1 D. 28.已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则A. 4B. 6C. 8D. 109.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为如图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：同比，环比下列结论中不正确的是A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低10.已知，，则A. B. 或1 C. D. 或111.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C、已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的有双纽线经过原点O；双纽线C关于原点O中心对称；；双纽线C上满足的点P有两个．A. B. C. D.12.已知正四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥的高为2，则球O的表面积为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三班，则高三班包揽冠亚军的概率为______．14.数列满足，若，则______．15.已知P为双曲线C：上一点，O为坐标原点，，为曲线C左右焦点．若，且满足，则双曲线的离心率为______．16.已知函数的图象关于原点对称，则______；若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数b的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．求角B的大小；若角B的平分线交AC于点D，求的面积．18.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技佛山智造全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．如表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量件与相应的生产总成本万元的四组对照数据．x57911y200298431609工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型：；模型：其中模型的残差实际值预报值图如图所示：根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；市场前景风云变幻，研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下：销售单价分组万元频数1064若以这个月销售单价的平均值定为今后的销售单价同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结合你对的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润．19.已知椭圆C：的离心率为，且过点．求椭圆C的方程；过坐标原点O的直线与椭圆交于M，N两点，若椭圆上点P，满足，试证明：原点O到直线PM的距离为定值．20.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，设平面平面．证明：；若平面平面PCD，求四棱锥的体积．21.已知函数，其中．当时，求证：过原点O且与曲线相切的直线有且只有一条；当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；设点M的极坐标为，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，若，求的值．23.已知函数，．若，求实数a的取值范围；证明：对，恒成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，1，2，，．故选：B．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：解：因为复数z满足，；则；故选：A．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：根据对数函数的值域可知，当时，，所以A正确；根据指数函数的值域可知，对一切实数，，所以B正确；由正弦函数的图象可知，存在，，取，不等式即可成立，所以C正确；由二次函数，指数函数的图象可知，存在，不成立，如取，，所以D不正确．故选：D．根据指数函数，对数函数的性质，容易判断AB的真假，通过正弦函数，以及二次函数，指数函数的图象可以判断CD的真假．本题主要考查指数函数，对数函数的性质应用，正弦函数，二次函数，指数函数的图象应用，以及特称命题，全称命题的真假判断，属于基础题．4.答案：C解析：解：，，，，解得，，，故选：C．利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5.答案：A解析：解：设非零向量，的夹角为，，且，，即，解得；又，，即与的夹角是．故选：A．根据两向量垂直时数量积为0，列出方程求出向量、夹角的余弦值，即可求出夹角的大小．本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题目．6.答案：B解析：解：根据函数的部分图象，结合五点法作图，可得，，求得，，故选：B．由题意根据正弦函数的图象特征，结合五点法作图，求出的值．本题主要考查正弦函数的图象特征，五点法作图，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：．故选C．8.答案：D解析：解：抛物线C：的准线方程为，点在准线上，即，抛物线的方程为即．设点B的坐标为，，对求导可得，，直线AB的斜率为，由、可知，，解之得，或舍负，点，由抛物线的定义可知，．故选：D．由点在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为，，通过对抛物线方程求导，可得点B处切线的斜率，也就是直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解．本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：解：由折线图知：从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；在B中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；在C中，从2019年每月的同比增长率看，2019年全年居民消费价格比2018年涨了，故C正确；在D中，从2019年每月的同比增长率看，2019年2月份的居民消费价格全年最低，故D错误．故选：D．根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：C解析：解：，，可得：，，，，可得．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式化简已知等式可得，结合范围，可求，可得的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．11.答案：B解析：解；根据双纽线C的定义可得，，将，代入，符合方程，所以正确；用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，正确；根据三角形的等面积法可知，，即，亦即，正确；若双纽线C上点P满足，则点P在y轴上，即，代入方程，解得，所以这样的点P只有一个，错误．故选：B．先根据双纽线定义求出其方程，再根据各命题的信息逐个判断即可得出其真假．本题主要考查新定义的应用，以及通过方程研究曲线的简单几何性质，属于中档题．12.答案：A解析：解：如图，设正四棱锥的底面边长为2a，则底面ABCD所在圆的直径为，又正四棱锥的高为2，侧棱长为，斜高为，则，由正弦定理可得：侧面所在圆的直径为．该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，，解得．设正四棱锥的外接球的半径为R，则，解得．球O的表面积为．故选：A．由题意画出图形，设正四棱锥的底面边长为a，由四棱锥的高及五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同求解a，再由勾股定理求解球的外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．13.答案：解析：解：六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三班，获得冠亚军的两名学生的基本事件总数，高三班包揽冠亚军包含的基本事件个数，则高三班包揽冠亚军的概率为．故答案为：．获得冠亚军的两名学生的基本事件总数，高三班包揽冠亚军包含的基本事件个数，由此能求出高三班包揽冠亚军的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：2解析：解：数列满足，可得，，所以，所以数列的奇数项相等，若，则．故答案为：2．利用数列的递推关系式，推出数列的奇数项之间的关系式，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基本知识的考查．15.答案：解析：解：点P在双曲线C的右支上，且满足，即有O为外接圆的圆心，即有，由双曲线的定义可得，，所以，则，，由，即，即有，，故答案为：．点P在双曲线C的右支上，且满足，即有O为外接圆的圆心，即有，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键．16.答案：解析：解：函数的图象关于原点对称，即为奇函数，由，即，可得，则，作出的图象，如右图．由，时，，解得；时，，解得或，则关于x的不等式在区间上恒成立，可得，，，由可得恒成立，由在递减，可得y的最大值为，即有；由可得恒成立，由在递增，可得y的最大值为，即有，再由在递减，可得y的最小值为，即有，可得，综上可得b的范围是．故答案为：，．由题意可得为奇函数，可得，解方程可得a的值；画出函数的图象，由，解方程，可得或，，结合图象和题意，以及不等式恒成立问题解法，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性的应用，考查函数恒成立问题解法，注意数形结合思想和转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.答案：解：由已知：，在中，由余弦定理得，解得，．由余弦定理得．又因为，．由知，，．在中，．由正弦定理得，，得．所以的面积．解析：先利用余弦定理求出b，c的值，然后再用余弦定理求出B；先在三角形ABD中，利用余弦定理求出A，然后结合两角和与差的三角公式求出，再利用正弦定理求出AD，最后利用面积公式求出面积．本题考查正余弦定理的应用及面积公式，同时考查学生利用转化思想解决问题的意识以及学生的运算能力，属于中档题．18.x 5 7 9 11y 200 298 431 60920 21模型的残差图如图所示．模型更适合作为y关于x的回归方程，因为：理由1：模型这4个样本点的残差的绝对值都比模型的小；理由2：模型这4个样本的残差点落在的带状区域比模型的带状区域更窄；理由3：模型这4个样本的残差点比模型的残差点更贴近x轴．这20个月销售单价的平均值为，设月利润为Z万元，由题可知，，当时，万元，当月产量为12件时，预测当月的利润为295万元．解析：模型更适合作为y关于x的回归方程．先根据模型：逐一算出四组数据的残差，并整理成表，再作出残差图，然后对比模型与，从残差的绝对值大小、残差点分布的带状区域的宽窄或残差点离x轴的远近进行理由阐述即可；先根据频数分布表算出这20个月销售单价的平均值，设月利润为Z万元，则，再把代入，求出Z的值即可得解．本题主要考查残差的概念与性质、频数分布表中平均值的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：解：解：设椭圆的半焦距为c，由题设可得，结合，解得，，所以椭圆出的方程为：；证明：当直线PM的斜率不存在时，依题意可得：直线MN的方程为或，从而可得直线PM的方程为或，此时原点到直线PM的距离为；当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为：，设，，由题设知，联立，可得：，则，，．，整理得又原点O到直线PM的距离．故原点O到直线PM的距离为定值．解析：由题设列出含a与b的方程组，解出即可得椭圆C的方程；根据直线PM的斜率是否存在进行讨论，联立直线PM与椭圆的方程，得到坐标之间的关系式，求出原点O到直线PM的距离，即可证明结论．本题主要考查椭圆标准方程的求法及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．20.答案：证明：底面ABCD是平行四边形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB，平面平面，而平面PCD，，则；解：连接AC，BD交于点O，则O是AC，BD的中点，连接PO，，，，．又，平面ABCD．过点P作，作，连接EF．，，．，．，则EF过点O．平面平面PCD，，则，．四棱锥的体积．解析：由底面ABCD是平行四边形，得，可得平面PAB，结合平面平面，得到，由平行公理可得；连接AC，BD交于点O，则O是AC，BD的中点，证明平面再求解三角形求得PO 与底面积，则四棱锥的体积可求．本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的应用，训练了多面体体积的求法，是中档题．21.答案：证明：函数，其中．，曲线上任意一点处的切线方程为，此切线过原点O当且仅当，即，，当时，则方程有且只有一个解，曲线在原点处的切线过原点O，综上所述，当时，过原点O且与曲线相切的直线有且只有一条，即直线．解：令，则，若，则，故F在上单调递增，因此，当时，，若，则，当时，，，令，则，从而当时，，，于是：若，则，故在上单调递增，因此当时，，进而，故F在上单调递增，因此当，，若，则存在，使得，当时，，，故在上单调递减，因此当时，，进而，故F在上单调递减，因此，当时，，综上所述实数a的取值范围为解析：根据导数的几何意义即可证明，构造函数，求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出a的范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：曲线的参数方程为为参数，所以该曲线为以为圆心，2为半径的圆．转换为直角坐标法方程为转换为极坐标方程为．设，，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，所以，，由于，所以，则，整理得．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由，得．当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，此不等式无解；当时，不等式化为，解得．综上，原不等式的解集为或；证明：要证明对，恒成立，需证明对，恒成立，即．，证，即．，原命题成立．解析：由，得然后分，，三类转化为关于a的不等式组求解；要证明对，恒成立，即，也就是，利用绝对值的不等式变形后再由基本不等式证明．本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用放缩法证明不等式，是中档题．。
2020年5月广东省佛山市普通高中2020届高三下学期质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省佛山市普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)2020年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A B =（ ） A. {}|01x x ≤< B. {0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {1x x ≤或}3x >【答案】B【解析】【分析】 解一元二次不等式得到集合A ,根据并集的概念即可得出结果.【详解】∵{}{222A x x x x x ==>或}0x <,{}|13B x x =≤≤, ∴A B ={0x x <或}1x ≥,故选：B .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合间并集的运算,属于基础题.2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+,则z =（ ）A. 1 D. 2 【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+, ∴()()()()313422221112i i i i z i i i i +-+-=-=-=-=-++-, 则1z =,故选：A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题.3.(101-的二项展开式中,x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A. 220-B. 90-C. 90D. 0 【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求出x 的系数与4x 的系数,再求其差即可.【详解】∵(101-的二项展开式中,通项公式为()21101r r rr T C x +=⋅-,。
2020年广东省佛山市实验中学高二数学文模拟试卷含解析
2020年广东省佛山市实验中学高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件参考答案：B略2. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C3. 设函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）k，k∈N*，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则k的最小值为（）A、1B、2C、3D、4参考答案：B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：f′（x）=e x（x﹣1）k+k（e x﹣1）（x﹣1）k﹣1=（x﹣1）k﹣1[e x（x﹣1）+k（e x﹣1）]，若函数y=f（x）在x=1处取到极小值，则x＞1时，f′（x）＞0，x＜1时，f′（x）＜0，故k﹣1＞0，k＞1，而k∈N*，故k的最小值是2，故选：B．【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点，得到k﹣1＞0，结合k∈N*，求出k的最小值即可．4. 若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( )A. B. C. D.参考答案：D5. 若，则（）A. 5B. 6C. 5或2D. 5或6参考答案：D6. 下列命题是真命题的为 ( )A．若,则 B．若,则C．若,则 D．若,则参考答案：A7. 在等差数列{a n}中，，且，，成等比数列，则（）A. 7B. 8C. 9D. 10参考答案：C【分析】由成等比数列，求得，再由等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，则，即，解得或（舍去），所以，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项的应用，以及等差数列通项公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8. 设是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则参考答案：C试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.9. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．参考答案：C略10. 已知（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2++a9x9+a10x10，求a2+a3+…+a9+a10的值为（）A．﹣20 B．0 C．1 D．20参考答案：D【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，再求出a1=﹣20，代入即求答案．【解答】解：令x=1得，a0+a1+a2+…+a9+a10=1，再令x=0得，a0=1，所以a1+a2+…+a9+a10=0，又因为a1==﹣20，代入得a2+a3+…+a9+a10=20．故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 对一块边长为1的正方形进行如下操作:第一步,将它分割成3x3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S1=；第二步,将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作,得到图②;依此类推，到第?步,所得图形的面积S n=()n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则(I)当n = 1时,所得几何体的体积V1 =______.(II)到第n步时，所得几何体的体积V n =______.参考答案：，（1）（2）12. 若“”是“”的必要不充分条件，则m的取值范围是__________参考答案：(－∞,－2]【分析】解出的等价条件，根据必要不充分的定义得到关于的不等式，求解即可。
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z =−1i −1，则它的共轭复数z −在复平面内对应的点的坐标为( )A. (−1,−1)B. (−1,1)C. (1,2)D. (1,−2)2. 已知集合A ={x|x −1⩾0}，B ={x|x 2⩽1}，则A ∪B =( )A. {x|x ⩾1}B. {x|x ≥−1}C. {x|x <1}D. {x|x ⩽−1}3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6 B. −6 C. −1 D. 14. 如图所示的程序框图，若输入m =221，n =91，则输出的结果是( )A. 3B. 7C. 13D. 265. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 3B. 2C. 83 D. 436. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −67.将一个质地均匀的正四面体玩具(四个面上依次标有1，2，3，4)先后抛掷两次，得到的点数依次记为a，b，则事件“2a−b=0”发生的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 128.若x∈[−π6,π3]时，函数y=sin(x+π3)的值域是()A. [−1,√3]B. [1,√3]C. [√3,2]D. [1,2]9.已知点M是双曲线x23−y22=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|MF1|=2|MF2|，则△MF1F2的面积是()A. 4√3B. 2√11C. 3√6D. 6√5510.已知函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，那么函数F(x)=xf(x)(x∈R)()A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数11.如图所示，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为()A. 16B. 14C. 13D. 1212.如图，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，则椭圆的离心率为()A. √33B. √63C. √306D. √426二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={|log4x|,0<x≤4−12x+3,x>4，若a<b<c且f(a)=f(b)=f(c)，则(ab+1)c的取值范围是________．14.若直线l与圆(x+1)2+(y−2)2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为(−2,3)，则直线l的方程为______ ．15.已知△ABC满足(c−b)(sinC+sinB)=(c−a)sinA，则角B=______ ．16.三棱锥P−ABC中，PA=AB=BC=2，PB=AC=2√2，PC=2√3，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在公差不为0的等差数列{a n}中，a22=a3+a6，且a3为a1与a11的等比中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=(−1)nn(a n−12)(a n+1−12)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四棱锥P−ABCD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°．(1)证明：PB⊥BC；(2)若平面PAD⊥底面ABCD，E为线段PD上的点，且PE=2ED，求三棱锥P−ABE的体积．19.为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治．某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取100件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分m都在区间[70,95].已知评估综合得分与产品等级如下表：综合得分m等级m≥85一级品75≤m<85二级品70≤m<75三级品根据评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样本频数分布表如下和乙型号的样本频率分布直方图(如图)．综合得分频数[70,75)2[75,80)8[80,85)30[85,90)35[90,95)25合计100(Ⅰ)从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)在某次促销活动中，厂家从2件甲型一级品和3件乙型一级品中随机抽取2件送给两名幸运客户，求这两名客户得到同一型号产品的概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较．20.已知动圆过定点P(2,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为4．(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)过点M(1,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)，求x0的取值范围．21.已知函数f(x)=(e x−1)(x−a)+ax．(1)当a=1时，求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若当x>0时，f(x)>0，求a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|x−1|−|x+2|．(1)若不等式f(x)≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式|f(x)−|x+2||>3的解集．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的运算，化简得z =−1+i ，根据共轭复数的概念，即可求解．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 解：z =−1i −1=−1+i ，z −=−1−i ，对应点的坐标为(−1,−1)， 故选：A ．2.答案：B解析：本题主要考查集合的基本运算，求出集合A ，B 的元素是解决本题的关键，求出集合A ，B ，利用集合的并集运算即可得到结论，比较基础． 解：由题意得集合A ={x|x ≥1}， B ={x|x 2≤1}={x |−1≤x ≤1}， 所以A ∪B ={x|x ≥−1}， 故选B ．3.答案：B解析：解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1,2)⋅(−4,−1)=−4−2=−6， 故选：B ．BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 代入AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 计算可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．4.答案：C解析：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：若输入m=221，n=91，第一次执行循环体后，满足m≠n，k=130，不满足n>k，故m=130第二次执行循环体后，满足m≠n，k=39，满足n>k，故m=91，n=39；第三次执行循环体后，满足m≠n，k=52，不满足n>k，故m=52第四次执行循环体后，满足m≠n，k=13，满足n>k，故m=39，n=13第五次执行循环体后，满足m≠n，k=26，不满足n>k，故m=26第六次执行循环体后，满足m≠n，k=13，不满足n>k，故m=13第七次执行循环体后，不满足m≠n，故输出的m值为13，故选：C．5.答案：C解析：本题考查简单几何体的三视图以及棱锥的体积公式．解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为边长是2的正方形，髙为2，所以体积为V=13×2×22=83．故选C．6.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．7.答案：B解析：本题考查古典概型，解决问题的关键是由题列举所有的情况，结合满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个，进而求解比值即可． 解析：解：将一个质地均匀的正四面体玩具连续抛掷两次，得到的点数(a,b)分别是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．其中满足2a −b =0即b =2a 的有(1,2)，(2,4)，共2个， 则事件“2a −b =0”发生的概率P =216=18， 故选B ．8.答案：D解析：本题主要考查正弦型函数在给定区间上值域问题，属基础题．解：∵x∈[−π6,π3 ]，∴x+π3∈[π6,2π3]，∴sin(x+π3)∈[12,1]∴y∈[1,2]，故选D．9.答案：B解析：本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，属于中档题．解：由双曲线x23−y22=1知a=√3，因为|MF1|=2|MF2|，且|MF1|−|MF2|=2a=2√3，所以|MF1|=4√3，|MF2|=2√3，又|F1F2|=2√5，所以在△MF1F2中，cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|M F1||MF2|=56，故sin∠F1MF2=√116，所以S△MF1F2=12|MF1||MF2|sin∠F2MF2=2√11，故选B．10.答案：B解析：本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题．解：由y=f(x)为奇函数可得f(−x)=−f(x).∵F(x)=xf(x).∴F(−x)=−xf(−x)=xf(x)=F(x)．∴函数y=F(x)为偶函数．故选B．11.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．利用异面直线所成角的定义：取BC的中点M，连接ME，得∠AEM的余弦值即为所求，利用余弦定理解决．解：取BC的中点M，连接ME，由题意得∠AEM的余弦值即为所求，设PA=AB=2a，在ΔAME中EM=√2a，EM=√2a，AM=√3a，由余弦定理得．故答案为14．12.答案：C解析：可以已知条件求出M的坐标，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，可得tan∠MBA=−tan∠AMB+tan∠MAB1−tan∠AMBtan∠MAB=12，AB是椭圆C长轴长的两个顶点，M是C上一点，tan∠AMB=−1，tan∠MAB=13，A(−a,0)，B(a,0)，M(acosθ,bsinθ)，所以bsinθacosθ+a =13，bsinθacosθ−a=−12，可得cosθ=15，所以2√65b15a+a=13，可得a2−c2a2=16，解得e=ca =√306．故选：C．13.答案：(16,64)解析：本题考查了函数的性质，运用图象得出a，b，c的范围，关键是得出ab=1，代数式的化简，指数函数的单调性的运用，属于中档题．画出图象得出，当f(a)=f(b)=f(c)，a<b<c时，0<a<1<b<4<<c<6，ab=1，化简(ab +1)c =2c ，由指数函数的单调性即可求得范围．解：函数f(x)={|log 4x|,0<x ≤4−12x +3,x >4， f(a)=f(b)=f(c)，a <b <c ，∴0<a <1<b <4<c <6，ab =1，∴(ab +1)c =2c ，即有16<2c <64，故答案为：(16,64)．14.答案：x −y +5=0解析：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中由垂径定理的逆定理得到圆心与弦AB 中点的连线与直线l 垂直是解本题的关键．由圆的方程找出圆心C 的坐标，连接圆心与弦AB 的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l 垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，由圆心与弦AB 中点的连线的斜率，求出直线l 的斜率，再由直线l 过AB 的中点，即可得到直线l 的方程．解：由圆(x +1)2+(y −2)2=100，得到圆心C 的坐标为(−1,2)，由题意得：圆心C 与弦AB 中点的连线与直线l 垂直，∵弦AB 的中点为(−2,3)，圆心C 的坐标为(−1,2)，∴圆心与弦AB 中点的连线的斜率为3−2−2+1=−1，∴直线l 的斜率为1，又直线l 过(−2,3)，则直线l 的方程为y −3=x +2，即x −y +5=0．故答案为x −y +5=0． 15.答案：π3解析：解：由正弦定理得(c−b)(c+b)=(c−a)a，即c2−b2=ac−a2，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则在△ABC中，B=π3，故答案为：π3根据正弦定理和余弦定理进行化简即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键．16.答案：12π解析：可得△PAC是直角三角形．△PBC是直角三角形．可得三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径，即可求出三棱锥P−ABC的外接球的表面积．本题考查了三棱锥P−ABC的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P−ABC的外接球的球心、半径是关键．属于中档题．解：∵AP=2，AC=2√2，PC=2√3，∴AP2+AC2=PC2．∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．∵PB=2√2，BC=2，PC=2√3，∴PB2+BC2=PC2，∴△PBC是以∠PBC为直角的直角三角形．∴取PC中点O，则有OP=OC=OA=OB=√3，∴O为三棱锥P−ABC的外接球的球心，半径为√3．∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=12π．故答案为：12π．17.答案：解：(Ⅰ)在公差d 不为0的等差数列{a n }中，a 22=a 3+a 6，且a 3为a 1与a 11的等比中项，可得(a 1+d)2=2a 1+7d ，且a 32=a 1a 11，即(a 1+2d)2=a 1(a 1+10d)，解得a 1=2，d =3，则a n =2+3(n −1)=3n −1，n ∈N ∗；(Ⅱ)b n =(−1)n n (a n −12)(a n+1−12)=(−1)n n (3n−32)(3n+32) =19⋅(−1)n ⋅4n (2n−1)(2n+1)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，∴T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =19[−(11+13)+(13+15)−(15+17)+⋯+(−1)n ⋅(12n −1+12n +1)] =19[−1+(−1)n ⋅12n+1)]．解析：本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用方程思想，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)化简b n =(−1)n n (3n−32)(3n+32)=19⋅(−1)n ⋅(12n−1+12n+1)，再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．18.答案：解：(1)取AD 中点O ，连接OP ，OB ， ∵PA =PD ，∴OP ⊥AD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∴OB ⊥AD ，∴AD ⊥平面POB ，又AD//BC ，∴BC⊥平面POB，∴PB⊥BC；(2)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊥AD，∴OB⊥平面PAD．∵PE=2ED，∴S△PAE=23S△PAD=23⋅√34⋅22=2√33，又OB=√3OA=√3，∴V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB=13×2√33×√3=23．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．(1)取AD中点O，连接OP，OB，证明AD⊥PO，AD⊥OB得出AD⊥平面POB，再结合AD//BC得出结论；(2)根据V P−ABE=V B−APE=13S△APE⋅OB求出棱锥的体积．19.答案：解：(Ⅰ)设事件A为“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为一级品”，由图可得，估计这件产品为一级品的概率P(A)=1−(0.01+0.02+0.03)×5=0.7；(Ⅱ)设甲型净化器记为a1，a2，乙型净化器记为b1，b2，b3，从5件中任取2件共有10种情况：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3),(a2,b1)，(a2,b2),(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况：(a1,a2)，(b1,b2),(b1,b3)，(b2,b3)，设事件B为“两名顾客得到同一型号产品”，则P(B)=410=25；(Ⅲ)①可根据三级品率进行比较，由图表可知，甲型产品三级品的概率为0.02，乙型产品三级品的概率0.05，所以可以认为甲型产品的质量更好；②可根据一级品率进行比较，由图表可知，甲型产品一级品的概率为0.6，乙型产品一级品的概率为0.7，所以可以认为乙型产品的质量更好．解析：本题考查频率分布直方图及随机变量的概率求法．(Ⅰ)由频率f分布直方图中各小矩形面积之和为1估计这件产品为一级品的概率；(Ⅱ)考查求这两名客户得到同一型号产品的概率，应用古典概型求概率的方法：从5件中任取2件共有10种情况，这两名顾客得到同一型号产品共有4种情况，从而求概率；(Ⅲ)根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较，可从三级品概率角度也可从一级品概率角度．20.答案：解：(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，则|MD|=2，∴|CP|2=|CM|2=|MD|2+|DC|2，∴即(x −2)2+y 2=22+x 2，化简得y 2=4x ．(2)由题意，设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，则由{x =my +1y 2=4x，得y 2−4my −4=0， 所以y 3=y 1+y 22=2m,x 3=my 3+1=2m 2+1，则线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，则x 0=2m 2+3，所以x 0的取值范围是(3,+∞)．解析：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．(1)设圆心C(x,y)，过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，转化求解即可．(2)设直线l 的方程为x =my +1(m ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 中点S(x 3,y 3)，由{x =my +1y 2=4x，求出线段AB 的中垂线的方程为y −2m =−m(x −(2m 2+1))，然后求解x 0的取值范围． 21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=(e x −1)(x −1)+x =xe x −e x +1，∴f′(x)=xe x ，∴k =f′(1)=e ，∵f(1)=1，∴f(x)在x =1处的切线方程为y −1=e(x −1)，即ex −y −e +1=0；(2)∵f′(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，令g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，∴g′(x)=(2+x −a)e x ，①当a ≤2时，g′(x)>0，在(0,+∞)上恒成立，∴g(x)在(0,+∞)上为增函数，∴g(x)>g(0)=1−a +a −1=0∴f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上为增函数，∴f(x)>f(0)=0，②当a >2时，当x ∈(0,a −2)时，g′(x)<0，函数g(x)为减函数，∵g(0)=(1−a)+(a −1)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，g(x)<0，即f′(x)<0，函数f(x)在(0,a −2)为减函数，∵f(0)=0，∴当x ∈(0,a −2)时，f(x)<0，即f(x)>0不是对一切x >0都成立，综上所述，a ≤2，即a 的取值范围为是(−∞,2]．解析：(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程，(2)先求导，再构造函数g(x)=(1+x −a)e x +(a −1)，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出．本题考查了导数以及应用，不等式等基础知识，考查了推理论证能力，运算求解能力，抽象概括能力等，考查了函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想，数形结合思想等，属于难题． 22.答案：解：(1)曲线C 1：ρ=2sinθ，所以：曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2−2y =0；曲线C 2：ρcosθ=3，所以：曲线C 2的直角坐标方程为：x =3．(2)P 的直角坐标为(−1,0)，设直线l 的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα， 整理得， 4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换．23.答案：解：(1)因为f(x)=|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3，所以由f(x)≤|a +1|恒成立得|a +1|≥3，即a +1≥3或a +1≤−3，解得a ≥2或a ≤−4；(2)不等式||x −1|−2|x +2||>3，等价于|x −1|−2|x +2|>3或|x −1|−2|x +2|<−3，设g(x)=|x −1|−2|x +2|={−x −5,x ≥1−3x −3,−2≤x <1x +5,x <−2，画出g(x)的图象如图所示：由图可知，不等式的解集为{x|x<−8或x>0}．解析：(1)利用绝对值三角不等式求出f(x)的最大值，再求关于a的绝对值不等式即可；(2)由题意画出函数g(x)=|x−1|−2|x+2|的图象，结合图象求出对应不等式的解集．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|0≤x ≤2}，B ={x|x 2>1}，则A ∪B =( )A. {x|0≤x ≤1}B. {x|x >0或x <−1}C. {x|1<x ≤2}D. {x|x ≥0或x <−1}2. 若复数z 满足z ⋅(1+i)=−2i ，则|z|=( )A. √2B. √3C. 2D. √5 3. (√x 3−2x )8二项展开式中的常数项为( ) A. 56 B. −56 C. 112 D. −1124. 若实数x,y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z =3x +2y 的最大值是 ( )A. −1B. 1C. 10D. 125. 已知函数f(x)=2sinx(sinx +cosx)，下列说法中错误的是( )A. f(x)是周期函数B. f(x)有最大值和最小值C. f(x)在(π8,π4)上是增函数D. f(x)的图象关于直线x =π8对称 6. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. c >b >aB. b >c >aC. a >c >bD. a >b >c7. 抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 与双曲线2y 2−2x 2=1的一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于点M 、N ，若△OMN 的面积为12，则|AF|的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 58. 盒中装有形状，大小完全相同的5个小球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于A. 310B. 25C. 12D. 35 9. 如图1为某省2018年1∼4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1∼4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A. 2018年1∼4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B. 2018年1∼4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C. 从两图来看，2018年1∼4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D. 从1∼4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长10.已知O为坐标原点，F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线C上一点P满足PF1⊥PF2，且|PF1||PF2|=2a2，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π12.平面内到两个定点的距离之比为常数k(k≠1)的点的轨迹是阿波罗尼斯圆．已知曲线C是平面内到两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离之比等于常数a(a>1)的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是()A. 曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称C. 曲线C关于坐标原点对称D. 曲线C经过坐标原点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出命题“∃x>0，x2−1≤0”的否定：________14.已知函数f(x)=lg(√x2+1+x)+a，且f(ln3)+f(ln13)=1，则a=_________．15.在面积为2的平行四边形ABCD中，点P在直线DA上，则PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2的最小值为________．16.沿着山边一条平直的公路测量山顶一建筑物的高度，如图所示，已知A处测量建筑物顶部的仰角为60°，B处测量建筑物顶部的仰角为30°，已知图中PA⊥AB，AB=440√63米，山的高度是190米，则建筑物的高度为______ 米．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项等比数列{a n}满足a1=1，且3，a3，5a2成等差数列，数列{b n}满足a1b1+a2b2+⋯+a nb n=(n+1)3n−1．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=1，求数列{c n}的前n项和T n．b n b n+118.在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；NS，求证：SC//平面BMN．(2)若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN=1219.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为√32．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线y=kx+√3与椭圆C交于M，N两点，若直线x=3上存在点P，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k的值．20.某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图(如图1)，产品的质量指数在[50,70)的为三等品，在[70,90)的为二等品，在[90,110]的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5,3.5,5.5(单位：元).以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．(1)求每件产品的平均销售利润；(2)该公司为了解年营销费用x(单位：万元)对年销售量y(单位：万件)的影响，对近5年的年营销费用x i 和年销售量y i (i =1,2,3,4,5)数据做了初步处理，得到的散点图(如图2)及一些统计量的值． ∑5i=1 u i ∑5i=1 v i ∑5i=1 (u i −u )(v i −v ) ∑5i=1 (u i −u )2 16.30 24.87 0.411.64 表中u i =lnx i ，v i =lny i ，u =15∑5i=1 u i ，v =15∑5i=1 v i ． 根据散点图判断，可以作为年销售量y(万件)关于年营销费用x(万元)的回归方程． (i)建立y 关于x 的回归方程；(ii)用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？(收益=销售利润−营销费用，取e 4.159=64).参考公式：对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n )，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为β̂=i −u )(i −v )n i=1∑(u −u )2n α̂=v −β̂u ．21.已知函数f(x)=e x−1x+a．(1)判断f(x)极值点的个数；(2)若x>0时，e x>f(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2cosα,y=2+2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为ρ2sin2θ=32(0<θ<π2).(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知β为锐角，直线l：θ=β(ρ∈R)与曲线C的交点为A(异于极点)，l与曲线M的交点为B，若|OA|⋅|OB|=16√2，求l的直角坐标方程．23.已知函数f(x)=2|x−2|+3|x+3|．(1)解不等式：f(x)>15；(2)若函数f(x)的最小值为m，正实数a,b满足4a+25b=m，证明：1a +1b≥4910．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．先分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ．解：∵集合A ={x|0≤x ≤2}，B ={x|x 2>1}={x|x >1或x <−1}，∴A ∪B ={x|x ≥0或x <−1}．故选：D ．2.答案：A解析：解：由z(1+i)=−2i ，得z =−2i 1+i =−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ，∴|z|=√2．故选A ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项． 解：(√x 3−2x )8二项展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅x 8−r 3⋅(−2)r ⋅x −r =(−2)r ⋅C 8r ⋅x 8−4r 3，令8−4r 3=0，求得r =2，。
广东省佛山市2020年中考数学二模试卷(II)卷
广东省佛山市2020年中考数学二模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2019·信阳模拟) 比较﹣1 ，，﹣1 ，的大小，结果正确的是（）A . ﹣1 ＜﹣1 ＜＜B . ﹣1 ＜﹣1 ＜＜C . ﹣1 ＜﹣1 ＜＜D . ﹣1 ＜﹣1 ＜＜2. （2分） (2019七下·虹口开学考) 下列等式正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）如图竖直放置的圆柱体的俯视图是（）A . 长方体B . 正方体C . 圆D . 等腰梯形4. （2分）已知甲、乙、丙三个旅行团的游客人数都相等，且毎一个旅行团游客的平均年龄都是35岁，这三个旅行团游客年龄的方差分别是S甲2=17，S乙2=14.6，S丙3=19，如果你最喜欢带游客年龄相近的旅行团，若在三个旅行团中选一个，则你应选择（）A . 甲团B . 乙团C . 丙团D . 采取抽签方式，随便选一个5. （2分）如图，已知点A为⊙O内一点，点B、C均在圆上，∠C=30°，∠A=∠B=45°，线段OA=﹣1，则阴影部分的周长为（）A .B .C .D .6. （2分）若一个多边形每一个内角都是120º，则这个多边形的边数是（）A . 6B . 8C . 10D . 127. （2分）(2018·路北模拟) 如图，A，B分别为反比例函数y=﹣（x＜0），y= （x＞0）图象上的点，且OA⊥OB，则sin∠ABO的值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2018·道外模拟) Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，BC=4，则tan∠A= （）A .B .C .D .9. （2分）一个不透明的布袋装有4个只有颜色不同的球，其中2个红色，1个白色，1个黑色，搅匀后从布袋里摸出1个球，摸到红球的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·昌平期末) 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A . 50B . 64C . 68D . 72二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）对于任意不相等的两个实数a、b，定义一种运算如下：a⊗b= ，如3⊗2= = ，那么8⊗5=________．12. （1分）(2011·南通) 如图，为了测量河宽AB（假设河的两岸平行），测得∠ACB=30°，∠ADB=60°，CD=60m，则河宽AB为________ m（结果保留根号）．13. （1分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E．若BC=5cm，DC=4cm，则△DEB的周长为________ cm．14. （1分）二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________．15. （1分） (2016八上·灌阳期中) 如图所示，在△ABC中，AB=5，BC=7，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为________．三、解答题 (共8题；共100分)16. （5分）先化简，再求值：（1﹣）÷ ，其中a=3．17. （20分）(2018·河北模拟) 某校要求200名学生进行社会调查，每人必须完成3~6份报告，调查结束后随机抽查了20名学生每人完成报告的份数，并分为四类，A：3份；B：4份；C：5份；D：6份各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题：（1）请将条形统计图2补充完整；（2）写出这20名学生每天完成报告份数的众数和中位数；（3）在求出20名学生每人完成报告份数的平均数时，小明是这样分析的第一步：求平均数的公式是 = + + +…+ ）第二步：在该问题中，n=4 =3， =4， =5 =6第三步 = （3+4+5+6）=4.5（份）小明的分析对不对？如果对，请说明理由，如果不对，请求出正确结果；（4）现从“D类”的学生中随机选出2人进行采访，若“D类”的学生中只有1名男生，则所选两位同学中有男同学的概率是多少？请用列表法或树状图的方法求解．18. （15分） (2019九上·慈溪期中) 已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.19. （5分）如图1是“东方之星”救援打捞现场图，小红据此构造出一个如图2所示的数学模型，已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=60m．（1）求点B到AC的距离；（2）求线段CD的长度．20. （10分） (2017八上·西安期末) “国美”、“苏宁”两家电器商场出售同样的空气净化器和过滤网，空气净化器和过滤网在两家商场的售价一样．已知买一个空气净化器和个过滤网要花费元，买个空气净化器和个过滤网要花费元．（1）请用方程组求出一个空气净化器与一个过滤网的销售价格分别是多少元？（2）为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，“国美”规定：这两种商品都打九五折；“苏宁”规定：买一个空气净化器赠送两个过滤网．若某单位想要买个空气净化器和个过滤网，如果只能在一家商场购买，请问选择哪家商场购买更合算？请说明理由．21. （15分）(2019·玉州模拟) 已知：如图，直线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，线段的长是方程的一个根，请解答下列问题：（1）求点的坐标；（2）双曲线与直线交于点，且，求的值；（3）在（2）的条件下，点在线段上，，直线轴，垂足为，点在直线上，在直线上的坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
广东省佛山市2020届高三二模(数学理)(WORD版)
2020届广东省佛山市高三教学质量检测（二模)数学（理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．{}|01x x ≤<B ．{0x x <或}1x ≥ C ．{}|23x x <≤D ．{1x x ≤或}3x >2．复数z 满足()()21i 3i z ++=+，则z =（ ） A ．1 BCD ．23．(101的二项展开式中，x 的系数与4x 的系数之差为（ ）A ．220-B ．90-C ．90D ．04．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．405．设函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =的图像关于直线8x π=对称C ．()f x1D ．()f x 的一个零点为78x π=6．已知()33log log 2a =，()23log 2b =，32log 2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．已知点()3,2A -在抛物线C ：22x py =（0p >）的准线上，过点A 的直线与抛物线在第一象限相切于点B ，记抛物线的焦点为F ，则BF =（ ） A ．6B ．8C ．10D ．128．盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为（ ） 377319．2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=(本期数-去年同期数)/去年同期数100%⨯，环比=(本期数-上期数)/上期数100%⨯下列结论中不正确的是（ ）A ．2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B ．2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C ．2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D ．2019年3月份的居民消费价格全年最低10．已知P 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点，O 为坐标原点，1F ，2F 为曲线C 左右焦点.若2OP OF =，且满足21tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ）AB C D 11．已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，60AOB AOC ∠=∠=︒，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ） A ．4πB ．9πC ．16πD ．20π12．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a （0a >）的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点,下列说法中正确的有（ ） ①双纽线C 关于原点O 中心对称； ②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个； ④PO .13．设命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，则p ⌝为___________. 14．已知函数()()21sin 12x x x f x x+++=，若()3f a =-，则()f a -=___________.15．在面积为1的平行四边形ABCD 中，6DAB π∠=，则AB BC ⋅=___________；点P 是直线AD 上的动点，则22PB PC PB PC +-⋅的最小值为___________.16．数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角（如图）；推动自行车来测距（轮子滚动一周为1.753米）.该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10卷达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为___________米.（精确到0.1） 参考数据：3sin 375︒≈，sin 5345︒≈17．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （0n S ≠），满足1S ，2S ，3S -成等差数列，且123a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()1311nn n n a b a a +-=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，PA PD ==，PB PC =90APB CPD ∠=∠=︒，点M ，N 分别是棱BC ，PD 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面PCD ，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，且过点()2,1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点的直线与椭圆交于M ，N 两点，过点M 作圆222x y +=的一条切线，交椭圆于另一点P ，连接PN ，证明：|PM PN =.20．2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x （520x ≤≤）（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据.工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：模型①：31733x y =+模型②：68160y x =-.其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由； （2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q （万元）是一个与产量x 相关的随机变量,分布列为：结合你对（1）的判断,当产量x 为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？ 21．已知函数()sin f x x =（x a ≥）.（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）若14a <-，证明：()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一的极值点x ，且()00012f x x x π>--. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （2）设点M 的极坐标为()4,0，射线θα=（02πα<<）与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，若4AMB π∠=，求tan α的值.23．已知函数()2cos 15f x x a a =+-+-，a ∈R .（1）若()08f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立.参考答案1．B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合A ，根据并集的概念即可得出结果. 【详解】 ∵{}{222A x x x x x ==>或}0x <，{}|13B x x =≤≤，∴AB ={0x x <或}1x ≥，故选：B . 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间并集的运算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案. 【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+， ∴()()()()313422221112i i ii z i i i i +-+-=-=-=-=-++-， 则1z =， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x 的系数与4x 的系数，再求其差即可. 【详解】∵(101的二项展开式中，通项公式为()21101r rr r TC x +=⋅-，故x 的系数与4x 的系数之差为2810100C C -=， 故选：D . 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 4．C 【解析】不等式20{30230x x y x y +≥-+≥+-≤所表示的平面区域如下图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18.考点：线性规划. 5．D 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据()sin y A ωx φ=+的图象与性质判断出各选项的真假. 【详解】因为()()2sin cos cos 21sin 2cos 2124f x x x x x x x π⎛⎫=++=++=++⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π，()f x 1，A 、C 正确； 当8x π=时，sin 2184ππ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线8x π=对称，B 正确； 因为718f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以78x π=不是函数()f x 的零点，D 错误． 故选：D . 【点睛】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的应用，属于中档题. 6．A 【解析】 【分析】首先得出30log 21<<，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】∵30log 21<<，∴()33log log 20<，即0a <， ∴()230log 21<<，即01b <<， ∵332log 2log 41c ==>，∴a b c <<， 故选：A . 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用. 7．C 【解析】 【分析】由点()3,2A -在准线上可知p 的值，从而确定抛物线的方程，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，通过对抛物线方程求导，可得点直线AB 的斜率，再通过A 、B 两点的坐标也可求得AB k ，于是建立关于m 的方程，解之可得m 的值，最后利用抛物线的定义即可得解. 【详解】抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为2py =-， ∵点()3,2A -在准线上，∴22p-=-即4p =， 抛物线的方程为28x y =，即218y x =，设点B 的坐标为2,8m m ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，对218y x =求导可得，14y x '=，∴直线AB 的斜率为14m ，由()3,2A -、2,8m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知221843AB m k m m =+-=，解之得，8m =或2-（舍负）， ∴点()88B ，，由抛物线的定义可知，48102BF =+=， 故选：C . 【点睛】本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题. 8．A 【解析】 【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：13925P =⨯，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：23759P =⨯，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率. 【详解】盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球， 从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：13295152P =⨯=， 若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球， 则此时取出黄色球的概率为：23775915P =⨯=， ∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：1221573155P P P =+=+=， 故选：A . 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 9．D 【解析】 【分析】根据已知中的图表，结合同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案. 【详解】由折线图知：从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A 正确；在B 中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B 正确；在C 中，从2019年每月的同比增长率看，从4月份以后每月同比增长率都在2.5%以上，进而估计出2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上，故C 正确； 在D 中，不妨设1月份消费价格为a ，故可得2月份价格为()11% 1.01a a +=； 同理可得3月份价格为()1.0110.4% 1.00596a a -=； 4月份价格为()1.0059610.1% 1.00696596a a +=；5月份价格和4月份价格相同；6月份价格为()1.0069659610.1% 1.00595899404a a -=，而后面每个月都是增长的.故1月份的价格是最低的，故D 错误.故选：D . 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心，即有1290F PF ∠=︒，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到.【详解】点P 在双曲线C 的右支上，且满足2OP OF =，即有O 为12PF F △外接圆的圆心， 即有1290F PF ∠=︒，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， ∵21tan 3PF F ∠=，所以213PF PF =， 则13PF a =，2PF a =，由2221212PF PF F F +=，即()22234a a c +=，即有2252c a =，e =，故选：C . 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】作出草图，易得AOB 和AOC △均为等边三角形，当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大可求出球的半径R ，进而可得球的表面积.【详解】设球的半径为R ，如图所示，∵60AOB AOC ∠=∠=︒，∴AOB 和AOC △均为等边三角形，边长为R ， 由图可得当面AOC ⊥面AOB 时，三棱锥O ABC -的体积最大，此时3111132228V R R R R =⨯⨯⨯⨯==，解得2R =， 则球O 的表面积为24216S ππ=⨯=， 故选：C . 【点睛】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】对①,设动点(,)C x y ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程,显然成立； 对②,根据12PF F △的面积范围证明即可.对③,易得若12PF PF =则P 在y 轴上,再根据()00,P x y 的轨迹方程求解即可.对④,根据题中所给的定点()1,0F a -,()2,0F a 距离之积等于2a ,再画图利用余弦定理分析12PF F △中的边长关系,进而利用三角形三边的关系证明即可.【详解】对①,设动点(,)C x y ,由题可得C 22222)][()]x a y x a y a ,把(,)x y 关于原点对称的点(,)x y --代入轨迹方程显然成立.故①正确；对②,因为()00,P x y ,故12121212011||||sin ||22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅. 又212||||PF PF a ⋅=,所以2120sin 2a FPFa y ∠=⋅, 即012sin 22a ay F PF =∠≤,故022a a y -≤≤.故②正确； 对③, 若12PF PF =则()00,P x y 在12FF 的中垂线即y 轴上. 故此时00x =,22222)][()]x a y x a y a ，可得00y =,即()0,0P ,仅有一个.故③错误；对④,因为12POF POF π∠+∠=,故12cos cos 0POFPOF ∠+∠=, 即222222112212||||||||||||02||||2||||OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +-+-+=⋅⋅, 因为12||||OF OF a ==,212||||PF PF a ⋅= 故2222122||2||||OP a PF PF +=+.即()22212122||2||||2||||OP a PF PF PF PF +=-+⋅, 所以()22122||||||OP PF PF =-.又1212||||||2PF PF F F a -≤=,当且仅当12,,P F F 共线时取等号.故()()222122||||||2OP PF PF a =-≤,即22||2OP a ≤,解得||OP ≤.故④正确.故①②④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的性质判定,因为该方程较复杂,故在作不出图像时,需要根据题意求出动点的方程进行对称性的分析,同时需要结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.属于难题.13．()00,x ∃∈+∞，0201e 12x x ≤+【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】因为命题p ：()0,x ∀∈+∞，21e 12xx >+，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即：()00,x ∃∈+∞，0201e12x x ≤+. 故答案为：()00,x ∃∈+∞，0201e 12x x ≤+. 【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，所以基础题. 14．4 【解析】 【分析】化简()f x 成奇函数加一个常数的结构,再求解()()f x f x +-的值即可. 【详解】由题, ()()221sin 1sin 11222x x x x x x f x x x +++++==+,设()2sin 12x x x g x x ++=,则()()()()()()22sin 1sin 122x x x x x x g x g x x x-+--+++-===---为奇函数.故()()()()11122f x f xg x g x +-=++-+=.故()()14f a f a -=-=. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质运用,需要将所给的函数分离出奇函数加常数的结构,再利用奇函数的性质求解.属于中档题.15【解析】 【分析】由平行四边形的面积为1可得2AB AD ⋅=，根据向量数量积的定义即可得出AB BC ⋅的值；由于222PB PC PB PC BC PB PC +-⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦，再利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵平行四边形ABCD 的面积为1，即sin 1AB AD DAB ⋅∠=， ∴2AB AD ⋅=，故cos 2AB BC AB BC DAB ⋅=⋅∠==()2222PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC +-⋅=-+⋅=+⋅，取BC 的中点Q ，连接PQ ，则2PB PC PQ +=，()()2214PB PC PB PC PB PC ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦， ∴()()2222221344PB PC P BC PB PC BC BC P P Q B C ⎡⎤+--=⎢⎥⎣+⋅++⎦= 223334ABCD S BC PQ BC PQ ≥=⋅≥=⋅四边形，此时PQ BC ⊥，32PQ BC =，【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题. 16．31.6 【解析】 【分析】由题意画出简图，设CD h =，即可得43h BC ≈、34h AC ≈，利用17.53AB BC AC ==-即可得解. 【详解】由题意画出简图，如图：由题意可得53CAD ∠=，37CBD ∠=，10 1.75317.53AB =⨯=，所以sin 37tan tan 37cos3734CBD ∠≈==，sin 53cos37tan tan 53cos5433sin 37CAD ∠===≈，设CD h =，则在Rt BCD 中，4tan 3CD hBC CBD =∠≈，在Rt ACD 中，3tan 4CD hAC CAD =∠≈， 所以717.5312AB BC AC h -≈==，解得30.05h ≈， 所以该建筑的高度约为30.05 1.5531.6+=米. 故答案为：31.6. 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，关键是把实际问题转化为数学模型，属于基础题.17．（1）()2nn a =-.（2）()()112221n n n T ++-+=--+ 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，由题意结合等差数列、等比数列的性质转化条件可得()()21121a q q a q -+=+、2211a q a q =，即可得解；（2）由题意()()1112121n nn b +=--+-+，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，依题意得()1322S S S +-=， 所以()()23122a a a a -+=+即()()21121a q qa q -+=+，因为10a ≠，所以2320q q ++=，解得1q =-或2q =-， 因为0n S ≠，所以2q =-，又因为123a a a =，所以2211a q a q =即12a q ==-，所以()2nn a =-；（2）题意可得()()()()()()()111322*********n n nn n n n n b +++-----==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1112121nn +=--+-+，则()()()()()()12231111111212121212121n n n T +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()11122112121n n n +++-+=--=--+-+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了利用裂项相消法求数列前n 项和的应用，属于中档题. 18．（1）见解析（2）9【解析】 【分析】（1）取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，由平面几何知识可得//NQ BM 且NQ BM =，进而可得//MN BQ ，由线面平行的判定即可得证；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ，取EF 的中点为O ，连接OP ，建立空间直角坐标系后，求出平面PCD 的一个法向量为n 、直线MN 的方向向量MN ，利用sin cos n MN n MN n MNθ⋅=⋅=⋅即可得解.【详解】（1）证明：取PA 的中点为Q ，连接NQ ，BQ ，如图：又点N 是PD 的中点，则//NQ AD 且12NQ AD =， 又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形， 则12BM AD =且//BM AD ， ∴//NQ BM 且NQ BM =，∴四边形MNQB 是平行四边形，∴//MN BQ ， 又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ，∴//MN 平面PAB ；（2）过点P 作PE AB ⊥交AB 于点E ，作PF CD ⊥交CD 于点F ，连接EF ， 则PF AB ⊥，PE PF P =，∴AB ⊥平面 PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面 PEF ⊥平面ABCD ，∵PA PD ==，PB PC =90APB CPD ∠=∠=︒，∴3AB CD ==，PE PF ==2BE CF ==，1AE DF ==. 设平面PAB ⋂平面PCD l =，可知////l CD AB ， ∵平面PAB ⊥平面PCD ，∴90EPF ∠=︒，∴2EF =，取EF 的中点为O ，连接OP 、OM ，则OP ⊥平面ABCD ，1OP =， ∴OM 、OF 、OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OM ，OF ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,O xyz -，如图所示，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()1,1,0D -，()2,0,0M ，111,,222N ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴()2,1,1PC =-，()1,1,1PD =--，511,,222MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由020n PD x y z n PC x y z ⎧⋅=-+-=⎨⋅=+-=⎩，令1y =可得()0,1,1n =.设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos 2n MN n MN n MNθ⋅=⋅===⋅ ∴直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为9【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.19．（1）22163x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率为2，且过点()2,1，由2c a =，22411a b +=，结合222a b c =+求解.（2）当直线PM 的斜率不存在时，可得直线PM的方程为x =x =验证即可. 当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+，根据直线PM 与圆相切，得到||m =，设()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，由弦长公式求得 PM ，然后由两点间的距离公式，将韦达定理代入求得PN 即可. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，且过点()2,1. 所以2c a =，22411a b +=，又222a b c =+， 解得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=.（2）①当直线PM 的斜率不存在时，依题意，可得直线PM 的方程为x =或x =若直线PM ：x =直线MN ：y x =，可得M，(N，P，则PM =，PN =PM PN =； 其他情况，由对称性，同理可得PM PN =.②当直线PM 斜率存在时，设直线PM 的方程为y kx m =+， ∵直线PM 与圆222x y +=相切， ∴圆心O 到直线PM=||m =，设()11,M x y ，()22,P x y ，则()11 ,N x y --，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元y ，整理得()222124260k x kmx m +++-=，则122412km x x k +=-+，21222612m x x k-=+.∴12PM x =-==，∵PN =()12122242221212km m y y k x x m k m k k -⎛⎫+=++=+= ⎪++⎝⎭，∴PN ==.∵m =∴212PN PM k==+. 综上可知PM PN =成立. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆，直线与圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的能力，属于难题.20．（1）模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,见解析（2）产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【解析】 【分析】(1)作出模型②的残点图,再对比①的残点图分析即可.(2)根据题意作出Y 的分布列,进而得出其数学期望()3213217332x x E Y x =--+-,再求导分析其单调性求出最大值即可. 【详解】（1）模型②的残差数据如下表：模型②的残点图如图所示.模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程,因为：理由1：模型①这个4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小.理由2：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄. 理由3：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x 轴. （2）设月利润为Y ,由题意知Y qx y =-,则Y 的分布列为：()2323231211401731301731001732322352310x x x x x x E Y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⋅+---⋅+---⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3213217332x x x =--+-.设函数()3213217332x x f x x =--+-,()0,x ∈+∞,()2132f x x x '=--+,令()0f x '=,解得11x =或12x =-（舍）,当()0,11x ∈时,()0f x >′,则()f x 单调递增；当()11,x ∈+∞时,()0f x <′,则()f x 单调递减.则函数()f x 的最大值()4649116f =,即产量为11件时,月利润的预报期望值最大,最大值是774.8万元. 【点睛】本题主要考查了根据题意作出分布列求解数学期望最值的问题.同时也考查了求导分析函数单调性与最值的问题,属于中档题.21．（1）{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算()0f a ≥得到22k a k πππ-≤≤，再证明当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥sin x ≥（0x ≥），讨论22k a k πππ-≤≤和2x k π≥两种情况，计算得到证明.（2）求导得到()cos f x x '=-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，得到存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，得到()()00000011sin 2cos 2cos f x x x x x x +=+->，得到证明.【详解】（1）由()0f a ≥，得sin 0a -≥，即sin 0a ≤，解得22k a k πππ-≤≤，k Z ∈， 以下证明，当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.sin x （0x ≥）. 若1x >1sin x >≥； 若01x ≤<x ≥.令()sin g x x x =-（0x ≥），可知()1cos 0g x x '=-≥，函数单调递增， 故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥（0x ≥），sin x （0x ≥）.若22k a k πππ-≤≤（k Z ∈），则当2a x k π≤≤时，sin 0x ≤，0sin x ≥≥，即()0f x ≥；当2x k π≥sin x ≥（0x ≥），()sin 2sin x k x π-=.故当22k a k πππ-≤≤（k Z ∈）时，()0f x ≥.综上，所求a 的取值范围是{}|22,a k a k k Z πππ-≤≤∈. （2）()cos f x x '=-，令()cos g x x =-，()()321sin 4g x x x a '=-+-，∵14a <-，∴()g x '是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，又()00g '<，32110242g a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g t '=，当()0 0,x t ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 递增.又14a <-，则14a ->12>，1>， ∴()010g =-<，1110322g π⎛⎫⎪⎛⎫⎪=-=< ⎪⎪⎝⎭⎪⎭，2gπ⎛⎫=>⎪⎝⎭.故存在唯一实数,32xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00cos0g x x=-=.当()00,x x∈时，()()0f xg x'=<，()f x递减；当,2x tπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f xg x'=>，()f x递增.所以()f x在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭有唯一极小值点x，且极小值为()00sinf x x=.又由()00cos0g x x=-=12cos x=，∴()001sin2cosf x xx=-.又()()00000011sin2cos2cosf x x x xx x+=+->.以下只需证明，即证00112cos2x xπ>-，0002cos2x xπ<<-.∵0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴00002cos2sin2222x x x xπππ⎛⎫⎛⎫=-<-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()()0000000111sin2cos2cos2f x x x xx x xπ+=+->>-，所以()0012f x xxπ>--. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，极值点问题，证明不等式，先算后证是解题的关键.22．（1）1C是圆心为()0,2，半径为2的圆.4sinρθ=；（2）1tan2α=.【解析】【分析】（1）由曲线1C的参数方程消去参数t，得到曲线1C的直角坐标方程，再由222,sinx y yρρθ=+=，得到曲线1C的极坐标方程；（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，θα=.可得4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4sin BM α=.由4AMB π∠=，得AB BM =，即求tan α的值.【详解】（1）1C 是圆心为()0,2，半径为2的圆.1C ∴的直角坐标方程为()2224x y +-=，即2240x y y +-=.222x y ρ=+，sin y ρθ=，得24sin 0,4sin ρρθρθ-=∴=.1C ∴的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）设()1,A ρθ，()2,B ρθ，∵θα=，∴4sin OA α=，4cos OB α=，4cos 4sin AB OB OA αα=-=-，4OM =，∴4sin BM α=，∵4AMB π∠=，∴AB BM =，则4cos 4sin 4sin ααα-=，即cos 2sin αα=，所以1tan 2α=. 【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查极坐标系下求极角，属于中档题.23．（1）{}|06x a x <>或.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）将0x =代入函数，列出不等式，再根据零点分段法即可求出实数a 的取值范围； （2）根据不等式恒成立问题的解法可知，只要()min 1112cos a x a---+≤即可， 亦即1112a a-++≥，再根据绝对值三角不等式以及基本不等式即可证出． 【详解】（1）∵()02158f a a =+-+->，即156a a -+->.当5a ≥时，不等式化为1565a a a -+->⎧⎨≥⎩，解得6a >；当15a <<时，不等式化为15615a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解；当1a ≤时，不等式化为1561a a a -+->⎧⎨≤⎩，解得0a <.综上，原不等式的解集为{}|06x a x <>或. （2）要证明对x ∀∈R ，()151f x a a≥--+恒成立.只需证明 对x ∀∈R ，12cos 11x a a ≥---+恒成立.即证明()min 1112cos a x a ---+≤， ∵()min 2cos 2x =-，1112a a---+≤-，即1112a a -++≥.∵111111112a a a a a a aa -++≥-++=+=+≥，所以原命题得证． 【点睛】本题主要考查利用零点分段法求解含有两个绝对值的不等式，基本不等式，绝对值三角不等式的应用，以及不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的转化能力，分类讨论意思的应用能力，属于中档题．。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷(理科)
2020年广东省佛山市高考数学二模试卷（理科）1.已知集合A={x|x2>2x}，B={x|1≤x≤3}，则A∪B=()A. {x|0≤x<1}B. {x|x<0或x≥1}C. {x|2<x≤3}D. {x|x≤1或x>3}2.复数z满足(z+2)(1+i)=3+i，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.(1−√x)10的二项展开式中，x的系数与x4的系数之差为()A. −220B. −90C. 90D. 04.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为()A. 3B. 4C. 18D. 405.设函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x，则下列结论错误的是()A. f(x)的最小正周期为πB. y=f(x)的图象关于直线x=π8对称C. f(x)的最大值为√2+1D. f(x)的一个零点为x=7π86.已知a=log3(log32)，b=(log32)2，c=2log32，则()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. b<a<c7.已知点A(3,−2)在抛物线C：x2=2py(p>0)的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|=()A. 6B. 8C. 10D. 128.盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为()A. 35B. 79C. 715D. 31459.2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%.如图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：(同比=本期数−去年同期数去年同期数×100%，环比=本期数−上期数上期数×100%)下列结论中不正确的是( )A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低 10. 已知P 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，O 为坐标原点，F 1，F 2为曲线C 左、右焦点．若|OP|=|OF 2|，且满足tan∠PF 2F 1=3，则双曲线的离心率为( )A. √52B. √2C. √102D. √311. 已知A ，B ，C 是球O 的球面上的三点，∠AOB =∠AOC =60°，若三棱锥O −ABC 体积的最大值为1，则球O 的表面积为( )A. 4πB. 9πC. 16πD. 20π12. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布⋅伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F 1(−a,0)，F 2(a,0)距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线C.已知点P(x 0,y 0)是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有( )①双纽线C 关于原点O 中心对称；②−a2≤y 0≤a2；③双纽线C 上满足|PF 1|=|PF 2|的点P 有两个；④|PO|的最大值为√2a. A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①③ 13. 设命题p ：∀x ∈(0,+∞)，e x >1+12x 2，则￢p 为______． 14. 已知函数f(x)=x 2+x(1+sinx)+12x，若f(a)=−3，则f(−a)=______．15. 在面积为1的平行四边形ABCD 中，∠DAB =π6，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (1) ；点P 是直线AD 上的动点，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 (2) ． 16. 数学兴趣小组为了测量校园外一座“不可到达”建筑物的高度，采用“两次测角法”，并自制了测量工具：将一个量角器放在复印机上放大4倍复印，在中心处绑上一个铅锤，用于测量楼顶仰角(如图)；推动自行车来测距(轮子滚动一周为1.753米).该小组在操场上选定A 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为37°；推动自行车直线后退，轮子滚动了10圈达到B 点，此时测量视线和铅锤线之间的夹角在量角器上度数为53°.测量者站立时的“眼高”为1.55m ，根据以上数据可计算得该建筑物的高度约为______米．(精确到0.1)17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0)，满足S1，S2，−S3成等差数列，且a1a2=a3．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=−3a n(a n+1)(a n+1+1)，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD=√3，PB=PC=√6，∠APB=∠CPD=90°，点M，N分别是棱BC，PD的中点．(1)求证：MN//平面PAB；(2)若平面PAB⊥平面PCD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点(2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)过坐标原点的直线与椭圆交于M，N两点，过点M作圆x2+y2=2的一条切线，交椭圆于另一点P，连接PN，证明：|PM|=|PN|．20.2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点．作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．如表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x(5≤x ≤20)(件)与相应的生产总成本x 5 7 9 11 y200298431609工厂研究人员建立了与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 模型①：y ̂=x 33+173；模型②：ŷ=68x −160． 其中模型①的残差(实际值−预报值)图如图所示：(1)根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由；(2)市场前景风云变幻，研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q(万元)是一个与产量q 140−x 2130−x 2100−x 2p0.50.40.1(精确到0.1)？21. 已知函数f(x)=√x −a −sin x(x ≥a)．(1)若f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)若a <−14，证明：f(x)在(0,π2)有唯一的极值点x 0，且f(x 0)>1π−2x 0−x 0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2costy =2+2sint(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ． (1)说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)设点M 的极坐标为(4,0)，射线θ=α(0<α<π2)与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，若∠AMB =π4，求tanα的值．23. 已知函数f(x)=2cosx +|a −1|+|a −5|，a ∈R ．(1)若f(0)>8，求实数a 的取值范围；(2)证明：对∀x ∈R ，f(x)≥|a −5|−|1a +1|恒成立．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2>2x}={x|x<0或x>2}，B={x|1≤x≤3}，∴A∪B={x|x<0或x≥1}．故选：B．求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：因为复数z满足(z+2)(1+i)=3+i，所以z=3+i1+i −2=(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)−2=4−2i2−2=−i，则|z|=1，故选：A．3.【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出x的系数与x4的系数之差的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．【解答】解：∵(1−√x)10的二项展开式中，通项公式为T r+1=C10r⋅(−1)r⋅x r2．故x的系数与x4的系数之差为C102−C108=0，故选：D．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，A(0,3)，化目标函数z=x+6y为y=−x6+z6，由图可知，当直线y=−x6+z6过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为18．故选：C．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用二倍角公式，辅助角公式进行三角变换，以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用，属于中档题．先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，即可根据y=Asin(ωx+φ)的图象与性质判断出各选项的真假．【解答】解：因为f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+√2sin(2x+π4)，所以f(x)的最小正周期为π，f(x)的最大值为√2+1，A、C正确；当x=π8时，sin(2×π8+π4)=1，所以y=f(x)的图象关于直线x=π8对称，B正确；因为f(7π8)=1，所以x=7π8不是函数f(x)的零点，错误．故选：D．6.【答案】A【解析】解：∵0<log32<1，∴log3(log32)<0，即a<0，∴0<(log32)2<1，即0<b<1，∵c=2log32=log34>1，∴a<b<c，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运【解析】解：抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=−p2，∵点A(3,−2)在准线上，∴−p2=−2即p=4，抛物线的方程为x2=8y即y=18x2．设点B的坐标为(m,m28)，m>0，对y=18x2求导可得，y′=14x，∴直线AB的斜率为14m，由A(3,−2)、B(m,m28)可知，kAB=m28+2m−3=14m，解之得，m=8或−2(舍负)，∴点B(8,8)，由抛物线的定义可知，|BF|=8+42=10．故选：C．由点A(3,−2)在准线上可知p的值，从而确定抛物线的方程，设点B的坐标为(m,m28)，m>0，通过对抛物线方程求导，可得点B处切线的斜率，也就是直线AB的斜率，再通过A、B两点的坐标也可求得k AB，于是建立关于m的方程，解之可得m的值，最后利用抛物线的定义即可得解．本题考查抛物线的定义、准线方程等，还涉及利用导数求抛物线上某点处切线的斜率，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P1=25×39=215，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P1=35×79=715，由此能求出再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：盒中有形状、大小都相同的2个红色球和3个黄色球，从中取出一个球，观察颜色后放回并往盒中加入同色球4个，若取出的是红色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P1=25×39=215，若取出的是黄色球，再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P1=35×79=715，∴再从盒中取出一个球，则此时取出黄色球的概率为：P=P1+P2=215+715=35．【解析】解：由折线图知：从2019年每月的环比增长率看，2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长，故A正确；在B中，从2019年每月的同比增长率看，2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些，故B正确；在C中，从2019年每月的同比增长率看，2019年全年居民消费价格比2018年涨了4.5%−1.7%=2.8%，故C正确；在D中，从2019年每月的同比增长率看，2019年2月份的居民消费价格全年最低，故D错误．故选：D．根据已知中的图表，结合；同比增长率和环比增长率的定义，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的定义和性质，考查勾股定理的运用，运用平面几何中直径所对的圆周角为直角是解题的关键，属于中档题．点P在双曲线C的右支上，且满足|OP|=|OF2|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2=90°，运用勾股定理和双曲线的定义，化简整理，结合离心率公式计算即可得到．【解答】解：点P在双曲线C的右支上，且满足|OP|=|OF2|，即有O为△PF1F2外接圆的圆心，即有∠F1PF2=90°，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，∵tan∠PF2F1=3，∴|PF1|=3|PF2|，则|PF1|=3a，|PF2|=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即(3a)2+a2=4c2，a2，即有c2=52，则=√102故选：C．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，把△AOB的面积用求的半径表示，再写出C到平面AOB的距离，代入三棱锥体积公式，求得体积取得最大值时的外接球的半径，则球的表面积可求．【解答】设求O 的半径为r ，点B ，C 在圆M 上，由∠AOB =∠AOC =60°，可得圆M 的半径为√32r ，OA ⊥平面MBC ，V O−ABC =V C−AOB =13×(12r 2×√32)×√32r ×sin∠BMC =18r 3×sin∠BMC ．则当且仅当∠BMC =π2时，V O−ABC 取得最大值18r 3=1．∴r =2．则球O 的表面积为4πr 2=4π×4=16π． 故选：C ． 12.【答案】B【解析】解：根据双纽线C 的定义可得，√(x 2+y 2√(x −a)2+y 2=a 2，用(−x,−y)替换方程中的(x,y)，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，①正确； 根据三角形的等面积法可知，12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=12×2a ×|y 0|，即|y 0|=a2sin∠F 1PF 2≤a2， 亦即−a2≤y 0≤a2，②正确；若双纽线C 上点P 满足|PF 1|=|PF 2|，则点P 在y 轴上，即x =0，代入方程， 解得y =0，所以这样的点P 只有一个，③错误；因为PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=14[|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1PF 2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2]由余弦定理可得，4a 2=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1PF 2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=a 2+|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1PF 2=a 2+a 2cos∠F 1PF 2≤2a 2，所以PO|的最大值为√2a ，④正确．故选：B ．根据双纽线C 的定义求出其曲线方程，即可判断各命题的真假．本题主要考查新定义的应用，以及利用曲线方程研究其简单几何性质，属于中档题．13.【答案】∃x 0∈(0,+∞)，e x 0≤1+12x 02【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题p ：∀x ∈(0,+∞)，e x >1+1x 2，则￢p 为：：∃x 0∈(0,+∞)，e x 0≤1+12x 02； 故答案为：∃x 0∈(0,+∞)，e x 0≤1+12x 02．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查全称命题与特称命题的否定关系，考查推理能力，属于基础题． 14.【答案】4【解析】 【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．根据题意，对函数的解析式变形可得f(x)=x2+12x +sinx 2+12，据此可得f(−x)=−(x 2+12x +sinx 2)+12，分析可得f(x)+f(−x)=1，即可求解． 【解答】解：根据题意，f(x)=x 2+x(1+sinx)+12x=x 2+12x +sinx 2+12，则f(−x)=−(x2+12x +sinx 2)+12，则有f(x)+f(−x)=1， 则有f(a)+f(−a)=1，又由f(a)=−3，则f(−a)=4； 故答案为：4． 15.【答案】√3√3【解析】解：∵S ABCD =2S △ABC =2×12|AB||AD|sin∠DAB =|AB|⋅|BC|⋅sin π6=1， ∴|AB|⋅|AD|=2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB||AD|cos∠DAB =2×√32=√3， 取BC 的中点Q ，连接PQ ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14[(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2]=14(4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−34(4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2≥2|PQ|⋅√32|BC|=√3|PQ|⋅|BC|≥√3S 四边形ABCD =√3，当且仅当|PQ|=√32|BC|且PQ ⊥BC 时取等号，故答案为：√3，√3．根据四边形的面积计算|AB||AD|的值，再计算AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ；取BC 的中点Q ，连接PQ ，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，再利用基本不等式和四边形的面积求出最小值．本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 16.【答案】31.6【解析】 【分析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．根据题意画出图形，结合图形利用三角形的边角关系列方程求出建筑物的高度． 【解答】解：如图所示，设C′D =x ，A′C′=y ；在Rt △A′C′D 中，∠DA′C′=90°−37°=53°， 所以tan53°=xy ，即xy =sin53°cos53∘=4535=43； 所以y =3x 4；在Rt △B′C′D 中，∠DB′C′=90°−53°=37°， 所以tan37°=xy+17.53，x y+17.53=sin37°cos37∘=3545=34，所以x 34x+17.53=34，x ≈30.05，CD =CC′+C′D =1.55+30.05=31.60≈31.6(米)； 根据以上数据可计算该建筑物的高度约为31.6米． 故答案为：31.6．17.【答案】解：(1)等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，满足S 1，S 2，−S 3成等差数列，且a 1a 2=a 3，设公比为q ，则{2S 2=S 1−S 3a 1a 2=a 3，整理得q 2+3q +2=0， 解得q =−1或−2，当q =−1时，a 1=−1，所以a 2=1，故S 2=0，与S n ≠0相矛盾， 当q =−2时，a 1=−2， 所以a n =(−2)n ．(2)由于a n =(−2)n ，所以b n =−3a n(an +1)(a n+1+1)=−3(−2)n[(−2)n +1][(−2)n+1+1]=1(−2)n +1−1(−2)n+1+1，所以T n =1(−2)+1−1(−2)2+1+1(−2)2+1−1(−2)3+1+⋯+1(−2)n +1−1(−2)n+1+1=−1−1(−2)n+1+1．【解析】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．(1)直接利用题意，建立方程组求出首项和公比，进一步求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和． 18.【答案】(1)证明：取PA 的中点为Q ，连结NQ ，BQ ， 又点N 是PD 的中点，则NQ//AD ，且NQ =12AD ， 又点M 是BC 的中点，底面ABCD 是矩形， 则BM =12AD ，且BM//AD ，∴NQ//BM ，且NQ =BM ， ∴四边形MNQB 是平行四边形， ∴MN//BQ ，又MN ⊄平面PAB ，BQ ⊂平面PAB ， ∴MN//平面PAB ．(2)解：过点P 作PE ⊥AB ，交AB 于点E ，作PF ⊥CD ，交CD 于点F ，连结EF ，因为AB//CD ，则PF ⊥AB ， 又PE ∩PF =P ，， ∴AB ⊥平面PEF ，又AB ⊂平面ABCD ，∴平面PEF ⊥平面ABCD ，∴AB =CD =3，PE =PF =√2，BE =CF =2，AE =DF =1， ∵平面PAB ⊥平面PCD ， ∴∠EPF =90°，∴EF =2，取EF 的中点为O ，连结OP ，则OP ⊥EF ，OP =1，以O 为原点，OM ，OF ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0,0，1)，C(2,1，0)，D(−1,1，0)，M(2,0，0)，N(−12,12,12)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−52,12,12)， 设平面PCD 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −z =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0, 取z =1，得n⃗ =(0,1，1)， 设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，则sinθ=|n⃗⃗ ⋅MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√2⋅3√32=√69，∴直线MN与平面PCD所成角的正弦值为√69．【解析】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)取PA的中点为Q，连结NQ，BQ，推导出四边形MNQB是平行四边形，MN//BQ，由此能证明MN//平面PAB．(2)过点P作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥CD，交CD于点F，连结EF，推导出AB⊥平面PEF，平面PEF⊥平面ABCD，取EF的中点为O，连结OP，则OP⊥EF，OP=1，以O为原点，OM，OF，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线MN与平面PCD所成角的正弦值．19.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c，由题设可得{ca =√224 a2+1b2=1,结合a2=b2+c2，解得a2=6，b2=3，所以椭圆出的方程为：x26+y23=1；(2)证明：①当直线PM的斜率不存在时，可得直线PM的方程为x=√2或x=−√2，若直线PM：x=√2，直线MN：y=x，可得M(√2,√2)，N(−√2,−√2)，P(√2,−√2)，则|PM|=2√2，|PN|=2√2，所以|PM|=|PN|；②当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为：y=kx+m，设M(x1,y1)，P(x2,y2)，由题设知N(−x1,−y1)，联立{y=kx+m x26+y23=1,可得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，则x1+x2=−4km1+2k2，x1⋅x2=2m2−61+2k2，∵直线PM与x2+y2=2相切，∴原点O到直线PM的距离d=√1+k2=√2，即|m|=√2⋅2．∴|PM|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=2√2√1+k2⋅√1+4k21+2k2，又∵|PN|=√(x1+x2)2+(y1+y2)2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，∴|PN|=√(−4km1+2k2)2+(2m1+2k2)2=2|m|√1+4k21+2k2=2√2√1+k2⋅√1+4k21+2k2，∴|PM|=|PN|．综合①②知：|PM|=|PN|．【解析】本题主要考查椭圆标准方程的求法及圆锥曲线中的综合问题，属于中档题．(1)由题设列出含a与b的方程组，解出即可得椭圆C的方程；(2)根据直线PM的斜率是否存在进行讨论，联立直线PM与椭圆的方程，得到坐标之间的关系式，求出|PM|与|PN|，即可证明结论．x 5 7 9 11y 200 298 431 609ê 20−18−21 21模型②的残差图如图所示，模型①更适宜作为y关于x的回归方程．理由如下：理由①：模型①这4个样本点的残差的绝对值都比模型②的小．理由②：模型①这4个样本的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄．理由③：模型①这4个样本的残差点比模型②的残差点更贴近x轴．(2)设月利润为Y，由题意得Y=qx−y，YY140x−x22−(x33+173)130x−x22−(x33+170)100x−x22−(x33+173)P0.50.40.1E(Y)=(140x −x 2−x 3−173)×1+(130x −x 2−x 3−173)×2+(100x −x 2−x 3−173)×1=−x 33−x 22+132x −173，设函数f(x)=−x 33−x 22+132x −173，x ∈(0,+∞)，f′(x)=−x 2−x +132，令f′(x)=0，解得x =11或x =−12(舍)， 当x ∈(0,11)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增， 当x ∈(11,+∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减， ∴f(x)的最大值为f(11)=46496≈774.8，即产量为11件时，月利润的预报期望值最大，最大值是774.8万元．【解析】本题考查回归直线方程的判断与应用，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查导数性质等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．(1)求出模型②的残差数据，作出模型②的残差图，得到模型①更适宜作为y 关于x 的回归方程． (2)设月利润为Y ，由题意得Y =qx −y ，求出Y 的分布列，从而E(Y)=(140x −x 22−x 33−173)×12+(130x −x 22−x 33−173)×25+(100x −x 22−x 33−173)×110=−x 33−x 22+132x −173，设函数f(x)=−x 33−x 22+132x −173，x ∈(0,+∞)，利用导数研究函数的单调性即可得到答案．21.【答案】解：(1)由f(a)≥0，得−sina ≥0，即sina ≤0，解得2kπ−π≤a ≤2kπ，k ∈Z ， 以下证明，当2kπ−π≤a ≤2kπ(k ∈Z)时，f(x)≥0． 为此先证：√x ≥sinx(x ≥0)．若x >1，则√x >1≥sinx ；若0≤x <1，则√x ≥x ．令g(x)=x −sinx(x ≥0)，可知g′(x)=1−cosx ≥0，故g(x)≥g(0)=0， 即x ≥sinx(x ≥0)，故√x ≥sinx(x ≥0)．若2kπ−π≤a ≤2kπ(k ∈Z)，则当a ≤x ≤2kπ时，sinx ≤0， 故√x −a ≥0≥sinx ，即f(x)≥0； 当x ≥2kπ时，√x −a ≥√x −2kπ，由√x ≥sinx(x ≥0)，得√x −2kπ≥sin(x −2kπ)=sinx ． 故当2kπ−π≤a ≤2kπ(k ∈Z)时，f(x)≥0．综上，a 的取值范围是{a|2kπ−π≤a ≤2kπ,k ∈Z}． (2)f′(x)=2√x−a cosx ，令g(x)=2√x−a cosx ，g′(x)=−14(x−a)32+sinx ，∵a <−14，∴g′(x)是(0,π2)上的增函数， 又g′(0)<0，g′(π2)=1−14(π2−a)32>0， 故存在唯一实数t 0∈(0,π2)，使g′(t 0)=0， 当x ∈(0,t 0)时，g′(x)<0，g(x)递减； 当x ∈(t 0,π2)时，g′(x)>0，g(x)递增， 又a <−14，则−a >14，√−a >12，2√−a >1，∴g(0)=2−a1<0，g(π3)=2√π3−a −12=12(√π3−a 1)<0，g(π2)=2√π2−a >0． 故存在唯一实数x 0∈(π3,π2)，使g(x 0)=2x −a −cosx 0=0． 当x ∈(0,x 0)时，f′(x)=g(x)<0，f(x)递减； 当x ∈(t 0,π2)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在区间有唯一极小值点x 0，且极小值为f(x 0)=√x 0−a −sinx 0． 又由g(x 0)=2√x −a cosx 0=0，得√x 0−a =12cosx 0，∴f(x 0)=12cosx 0−sinx 0，又f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0．以下只需证明12cosx 0>1π−2x 0，0<2cosx 0<π−2x 0．∵x 0∈(0,π2)，∴2cosx 0=2sin(π2−x 0)<2(π2−x 0)=π−2x 0．则f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0>1π−2x 0，∴f(x 0)>1π−2x 0−x 0．【解析】(1)先根据f(a)≥0，求出a 的一个范围，然后证明√x ≥sinx(x ≥0)，再进一步证明当2kπ−π≤a ≤2kπ时，f(x)≥0恒成立，即可确定a 的范围；(2)对f(x)求导，然后构造函数g(x)=2√x−a cosx ，求出g(x)零点，再判断f(x)的单调情况，进一步证明f(x)在(0,π2)有唯一的极值点x 0，且f(x 0)>1π−2x 0−x 0．本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，不等式恒成立问题和利用综合法证明不等式，考查了函数思想和分类讨论思想，属难题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2costy =2+2sint (t 为参数)，所以该曲线为以(0,2)为圆心，2为半径的圆． 转换为直角坐标法方程为x 2+y 2−4y =0． 转换为极坐标方程为ρ=4sinθ． (2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，射线θ=α(0<α<π2)与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ， 所以|OA|=4sinα，|OB|=4cosα， 由于∠AMB =π4， 所以|AB|=|BM|，则4cosα−4sinα=4sinα，整理得tanα=12．【解析】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，同角三角函数基本关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，可得|OA|=4sinα，|OB|=4cosα，因为∠AMB =π4，所以|AB|=|BM|，4cosα−4sinα=4sinα，即可得到答案．23.【答案】(1)解：由f(0)=2+|a −1|+|a −5|>8，得|a −1|+|a −5|>6． 当a ≥5时，不等式化为{a −1+a −5>6a ≥5，解得a >6；当1<a <5时，不等式化为{a −1+5−a >61<a <5，此不等式无解；当a ≤1时，不等式化为{1−a +5−a >6a ≤1，解得a <0．综上，原不等式的解集为{a|a <0或a >6}；(2)证明：要证明对∀x ∈R ，f(x)≥|a −5|−|1a +1|恒成立，需证明对∀x ∈R ，2cosx ≥−|a −1|−|1a +1|恒成立，即−|a −1|−|1a +1|≤(2cosx)min ． ∵(2cosx)min =−2，∴证−|a −1|−|1a +1|≤−2，即|a −1|+|1a +1|≥2． ∵|a −1|+|1a+1|≥|a −1+1a+1|=|a +1a|=|a|+|1a|≥2，当且仅当a =±1时，等号成立． ∴原命题成立．【解析】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)由f(0)=2+|a −1|+|a −5|>8，得|a −1|+|a −5|>6，然后分a ≥5，1<a <5，a ≤1三类转化为关于a 的不等式组求解；(2)要证明对∀x ∈R ，f(x)≥|a −5|−|1a +1|恒成立，即−|a −1|−|1a +1|≤(2cosx)min ，也就是|a −1|+|1a +1|≥2，利用绝对值的不等式变形后再由基本不等式证明．。
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1≤x ≤1}，B ={x|x 2−2x ≤0}，则A ∩B =( )A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2. 已知i 为虚数单位，若z ·(1+i)=2i ，则|z|=( )A. 2B. √2C. 1D. √223. 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sinα,3)，则cosα=( )A. 12B. −12C. √32 D. −√324. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −5D. −65. 已知函数f(x)=x 3+x +1(x ∈R)，若f(a)=2，则f(−a)的值为( )A. 3B. 0C. −1D. −26. 设函数f(x)=sin(2x −π4)，则下列结论正确的是( )A. 函数y =f(x)的递减区间为[−π8,3π8]B. 函数y =f(x)的图象可由y =sin2x 的图象向左平移π8得到 C. 函数y =f(x)的图象的一条对称轴方程为x =π8D. 若x ∈[7π24,π2]，则y =f(x)的取值范围是[√22,1]． 7. 《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a(0<a <r)，若在圆内随机取点，得到点自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为( )A. a 2(1−p)r 2B. a 2(1+p)r 2C. a(1−p)rD. a(1+p)r8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E 是棱AB 的中点，动点F 是侧面ACC 1A 1(包括边界)上一点，若EF//平面BCC 1B 1，则动点F 的轨迹是( )A. 线段B. 圆弧C. 椭圆的一部分D. 抛物线的一部分9. 不等式log 2(x −1)<−1的解集是( )A. {x|x >1}B. {x|x <32}C. {x|1<x <32}D. {x|0<x <32}10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c =√3+1,b =2,A =π3，则B =( )A. 3π4B. π6C. π4D. π4或3π411. 函数f(x)=x 2−7x −4lnx 的最小值为( )A. 3ln3−12B. −4ln2−10C. −8ln2−12D. −8ln2−1612. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作双曲线C 渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若BA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. √63B. √32C. 2√33D. √62二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,1)，b ⃗ =(−1,0)，若向量k a ⃗ +b 与向量c ⃗ =(2,1)共线，则实数k 等于________． 14. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S 3=3，则S n =______；15. 斜率为√33的直线l 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，若直线l 与圆(x −2)2+y 2=4相切，则p =________．16. 正四棱锥P −ABCD 的底面边长为2，侧棱长为2√2，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为________，平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，a n+1=2+S n (n ∈N ∗).(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AC=AB1，B1C∩BC1=O．(1)求证：B1C⊥AB；(2)若∠CBB1=60°，AC=BC，三棱锥A−BB1C的体积为1，且点A在侧面BB1C1C上的投影为点O，求三棱锥A−BB1C的表面积．19.全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，倡导全民做到每天参加一次以上的健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．为响应全民健身号召，某单位在职工体测后就某项健康指数(百分制)随机抽取了30名职工的体测数据作为样本进行调查，具体数据如茎叶图所示，其中有1名女职工的健康指数的数据模糊不清(用x表示)，已知这30名职工的健康指数的平均数为76.2．(1)根据茎叶图，求样本中男职工健康指数的众数和中位数；(2)根据茎叶图，按男女用分层抽样从这30名职工中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求抽取的2人都是男职工的概率；(3)经计算，样本中男职工健康指数的平均数为81，女职工现有数据(即剔除x)健康指数的平均数为69，方差为190，求样本中所有女职工的健康指数的平均数和方差(结果精确到0.1)．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点(18,0)，求k的取值范围．21.已知函数f(x)=lnx−sinx，记f(x)的导函数为fˈ(x)．−f′(x)是(0,+∞)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；(1)若ℎ(x)=ax+1x(2)若x∈(0,2π)，试判断函数f(x)的极值点个数，并说明理由．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=cosα,(α为参数).以坐标原点O为极点，y=2+sinαx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4．1+3sin2θ(1)写出曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．23.已知函数f(x)=x2−x+1，且a，b，c∈R．(Ⅰ)若a+b+c=1，求f(a)+f(b)+f(c)的最小值；(Ⅱ)若|x−a|<1，求证：|f(x)−f(a)|<2(|a|+1)．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：B={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，则A∩B={x|0≤x≤1}=[0,1]，故选：A求出集合B，根据交集定义进行求解．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，考查计算能力，是基础题．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．解：i为虚数单位，复数z满足z·(1+i)=2i，∴|z|=|2i||i+1|=√2=√2，故选B．3.答案：A解析：本题考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的定义是解题的关键，属于基础题．根据题意任意角三角函数的定义即可求出．解：由三角函数定义得tanα=32sinα，即sinαcosα=32sinα，得3cosα=2sin2α=2(1−cos2α)，解得cosα=12或cosα=−2(舍去)．4.答案：C解析：【试题解析】解：作出x ，y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1−9≤3x +y ≤3，表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，由题意可得，{1=x −y−9=3x +y ，解得A(−2,−3)，当y =−x +z 经过点A 时，z 最小， 由A(−2,−3)，此时z =x +y =−5． 故选：C ．作出不等式组表示的平面区域，由z =x +y 可得y =−x +z ，则z 表示直线y =−x +z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z 的几何意义．5.答案：B解析：解：∵f(a)=2∴f(a)=a 3+a +1=2，a 3+a =1，则f(−a)=(−a)3+(−a)+1=−(a 3+a)+1=−1+1=0． 故选：B ．把α和−α分别代入函数式，可得出答案． 本题主要考查函数奇偶性的运用．属基础题．6.答案：D解析：解：对于函数f(x)=sin(2x −π4)， 令2kπ+π2≤2x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得kπ+3π8≤x ≤kπ+7π8(k ∈Z)，所以函数y =f(x)的递减区间为[kπ+3π8,kπ+7π8](k ∈Z)，故选项A 错误；由于sin(2x −π4)=sin[2(x −π8)]，所以函数y =f(x)的图象是由y =sin2x 的图象向右平移π8得到的，故选项B 错误；。
2019年4月18日广东省佛山市2019佛山二模高2020届高2017级高三文科数学试题参考答案
EDBCAO2018~2019年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数 学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBCDDACBBBA二、填空题：本大共4 小题，每小题 5分，满分20分．13．114．311615．216．①②③三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】(Ⅰ)在△ ABC 中,由余弦定理得 222 2 cos 22 a b c c bC ab a +-+ == ……………………………2分化简得 222a b c bc =++ ,所以 222 1cos 22b c a A bc +- ==- ……………………………………………4分又 ( ) 0, A p Î ,所以 2 3A p= .………………………………………………………………………………5 分(Ⅱ)依题意 3 = + = DC BD BC ,在 ABC D 中,由正弦定理， B ACA BC sin sin = ,即 Bsin 3 23 3 = ,……7 分 解得 2 1 sin = B ,又 ( ) 0, B p Î ,故 6 p = B 或 6 5p ,又因为 3 2p = A ,故 6 p = B ,从而 6p= C .…………9 分所以 3 = = AC AB .………………………………………………………………………………10分在 ABD D 中,由余弦定理, BD BA AD BD BA B × - + = 2 cos 2 2 2，即 13 2 1 3 2 3 2´ - + = AD ,解得 1 2= AD ,又因为 0 > AD ,故 1 = AD .……………………………………………………………12分 18.【解析】(Ⅰ)过点D 作DO AE ^ ,垂足为O ,连结 , OB BD ．……2 分 在Rt AOD D 中,由 45 DAE Ð= o, 2 AD = 得, 2 OA OD == ．……3分 在 AOB D 中,由余弦定理得 222 2cos 452 OB AO AB AO AB =+-×°= ,即 2 OB = ,又 2 BD = ,所以 222OD OB AD += ,即DO OB ^ ． …………………………………………………………4 分又OB AE O = I ,所以DO ^平面 ABE , ………………………………………………………………5分 又DO Ì平面 ADE ,所以平面 ADE ^平面 ABE ．……………………………………………………6分 (Ⅱ)由 10 DE = 得, 22 22 OE DE OD =-= ,则 32 AE = .所以 113223 22 ABE S AE OB D =×=´´= ．…………………………………………………………8 分 所以 11322 33D ABEABE V S OD - D =×=´´= ,...............................................................10 分 故四棱锥E ABCD - 的体积 222 E ABCD D ABE V V -- == ． (12)分19.【解析】(Ⅰ)样本总数为13524075037501500 ++++= , ………………………………………1 分 设事件A 、B 、C 、D 分别为推广移动支付后用现金支付、扫码支付、ETC 支付、车牌识别支付, 用样本频率估计概率,则有( ) 135 0.09 1500 P A == , ( ) 180 0.16 1500 P B == , ( ) 750 0.5 1500 P C == , ( ) 3750.25 1500P D == ,………3分 事件“推广移动支付后需取卡”即为A B + ,又事件A 、B 互斥,所以 ( ) 0.090.160.25 P A B +=+= ,……………………………………………………………………5 分 而推广移动支付前需取卡的车辆比例为0.6,推广移动支付后少发卡 ( ) 90800.60.2590800.353178 ´-=´= (张).……………………………6 分(Ⅱ)推广移动支付前：随机一辆车进收费站平均耗时为0.6100.447.6 ´+´= 秒, 出收费站平均耗时为0.6300.4419.6 ´+´= 秒,合计进出平均共耗时27.2秒. ……………………………………………………………………………8 分 推广移动支付前：设随机一辆车进收费站平均耗时为X ,出收费站平均耗时为Y ,则 ( ) ( ) () ( ) 101044=100.2540.75 5.5 X P A P B P C P D =´+´+´+´´+´= 秒 ...............9分 ( ) ( ) ( ) ( ) 50254 Y P A P B P C P D =´+´+´+ éù ëû 300.09150.1640.758.1 =´+´+´= (10)分 总耗时为 5.511.513.6 X Y +=+= 秒 ………………………………………………………………11分 因为27.213.62¸= 所以推广移动支付后进出高速收费站总耗时比推广移动支付前大约减少一半.……………………12 分 20.【解析】(Ⅰ)A 的坐标为 25 1,5 æö ç÷ ç÷ èø 时,由对称性知 25 1, 5 B æö-- ç÷ ç÷ èø , 又 OB BF = ,所以F 的坐标为( ) 2,0 - ,故 2 c = . ……………………………………………………2 分将 25 1, 5 æö ç÷ ç÷ èø代入椭圆方程得 22 141 5 a b += …①. ………………………………………………………3 分 又 224 a b =+ …②, 联立①②解得 25 a = , 21 b = ,即椭圆C 的标准方程为 221 5x y += .…………5 分(Ⅱ)显然直线BF 的斜率不为0,设直线BF : 2 x my =- , ( ) 11 , B x y , ( ) 22 , Q x y ,…………………6 分 联立 22255x my x y =- ì í+= î ,消去x 整理得()225410 m y my +--= ,显然 ()22010 m D =+> ,故 12 2 4 5 m y y m += + , 122 15y y m - = + . ……………………………………8 分 所以 QAB D 的面积 ( )2121212 12224 2QABOQB S S OF y y y y y y D D ==´-=+-= 224515m m + + …10 分 令 2 1 m t += ,则 1 t ³ , 2 4545455 4 4 42 QAB t S t t t t tD ==£= + + ´ ,当且仅当 4t t= ( 1 t ³ )即 2 t = , 1 m =± 时,等号成立,故 QAB D 的面积的最大值为 5. …………12 分 21.【解析】(Ⅰ) ( ) 2cos sin x x a xf x x--+ ¢ =, ……………………………………………………………1 分 令 ( ) cos sin g x x x a x =--+ ,则 ( ) cos sin cos sin 0g x x x x x x x ¢ =-++=> 所以 ( ) g x 是区间( ) 0,p 上的增函数,由 ( ) ( ) 00 g g p ×< 得 ( ) 0 a a p --< ,解得0 a p << , 此时存在唯一实数 ( ) 0 0, x p Î ,使 ( ) 0 0 g x = ,且x Î( ) 0 0,x 时, ( ) 0 g x < , ( ) 0 f x ¢ < , ( ) f x 递减, ( ) 0 , x x p Î 时, ( ) 0 g x > , ( ) 0 f x ¢ > , ( ) f x 递增； 所以 0 x x = 时, ( ) f x 取极小值 ( ) 0 f x ,实数a 的取值范围是( ) 0,p . 由 ( ) 0 0 g x = 得： 000 cos sin 0 x x a x --+= ,即 000 cos sin a x x x =-+ , 故 ( ) 0000000 00 sin cos sin sin cos a x x x x x f x x x x--+- ===- , 因为 ( ) 0 0, x p Î ,所以 ( ) ( ) 00 cos 1,1 f x x =-Î- ,即 ( ) 0 f x 的取值范围() 1,1 - .……………………6 分 (Ⅱ)当a p = 时, ( ) sin sin ln ln ln xxf x m x m x m x x x x p p- +=+=+- , …………………………7 分在( ) 0,p 上,以下证明：① sin 01 x x << ； ② 当0 m p << 时, ln 1 m x xp+> .事实上,令 ( ) sin h x x x =- ,则 ( ) 1cos 0 h x x ¢ =-> ,所以 ( ) sin h x x x =- 是( ) 0,p 的增函数,故 ( ) ( ) 00 h x h >= ,即 sin 0 x x -> ,又 0,sin 0 x x >> ,所以 sin 01 xx<< .………………………9分 令 ( ) ln s x m x x p =+ ,则 ( ) 22 m mx s x x x xp p - ¢ =-= , 由 ( ) 0 s x ¢ = ,求得 ( ) ln s x m x x p =+ 的极小值点 0 x m p = ,若 ( ) 00, x mpp =Î ,即1 m p << , 则 ( ) 00 0 ln ln 1 s x m x m m m x m p p =+=+>> ,故 ( ) ln 1 s x m x x p=+> ；若 0 x m p p =³ ,即01 m <£ ,则 ( ) ln s x m x x p=+ 是( ) 0,p 上的减函数, 故 ( ) ( ) 1ln 1 s x s m p p >=+> .综上,当0 m p << 时,ln 1 m x xp+> . ………………………………………………………………11分 因此,当a p = ,0 m p << 时, ( ) ln 0 f x m x +> . …………………………………………………12 分22.【解析】(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为( ) ( ) 22131 x y -+-= ,即 22 22330 xy x y +--+= …2 分又 222 x y r += , cos x r q = , sin y r q = ,所以曲线C 的极坐标方程为 () 2 2cos 3sin 30 r q q r -++= ………………………………………4 分(Ⅱ)联立射线q a = 与曲线C ,得 () 2 2cos 3sin 30 r a a r -++= ,设 ( ) 1, M r a , ( ) 2, N r a ,则 ( )12 2cos 3sin 4sin 6 OM ON p r r a a a æö +=+=+=+ ç÷ èø,……………………………………6分又圆心 ( )1,3 C 的极坐标为 2, 3 p æö ç÷ èø,所以a 的取值范围是62ppa <<,……………………………8 分 所以2 363 ppp a <+<, 3 sin 1 26 p a æö <+£ ç÷ èø ,234sin 4 6 p a æö <+£ ç÷ èø , 所以 OM ON + 的取值范围为 (23,4ù û.……………………………………………………………10 分23.【解析】(Ⅰ)当 3 a = 时, ( ) 231 f x x x =++- ,当 1 x ³ 时, ( ) 326 f x x =+< ,解得 43 x < ,即4 1 3x £< ………………………………………………1 分 当 3 1 2 x -£< 时, ( ) 46 f x x =+< ,解得 2 x < ,即 3 1 2x -£< ………………………………………2分 当 32x <- 时, ( ) 326 f x x =--< ,解得 8 3x >- ,即 8332x -<<- …………………………………3分 综上所述,不等式 ( ) 6 f x < 的解集为 84, 33 æö- ç÷ èø.…………………………………………………………4分 (Ⅱ) ( ) ( ) 2121f x f x x a x x a x +-=++-+-++-- ( ) ( ) 2211 x a x a x x =++-+-++ ………………………6 分22a ³+ 所以 225 a +³ ……………………………………………………………………………………………8 分 解得 3 2 a £- 或 32 a ³ ,即a 的取值范围为 33 ,, 22æùéö -¥-+¥ ç÷ úê èûëøU . …………………………………10 分。