基于因子图求解(3,4=)-CNF公式类下可满足问题

总第２８３期　２０１３年第５期　计算机与数字工程　

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｄｉｇｉｔａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ＶｏＬ　４１　ＮＯ．５　

６８６　

基于因子图求解（３，４：）一ＣＮＦ公式类下可满足问题　聂国霞　秦永彬　许道云。　（１．贵州大学理学院贵阳　５５００２５）（２．贵州大学计算机科学与信息学院贵阳　５５００２５）　

摘要合取范式（ＣＮＦ）公式Ｆ是（３，４一）一ＣＮＦ公式，如果Ｆ中每个子句的长度是３，每个变元出现的次数恰好为４次。与（３，４　）ＣＮＦ　公式所关联的因子图是一类规则的二部图，即每个子句结点的度为３，每个变元结点的度为４，此类规则图被称为（３，４）一双向正则二部图。对于　一个（３，４一）－ＣＮＦ公式Ｆ，如果它关联的因子图ＧＦ有Ｐ７一路径因子，则Ｆ可满足。　关键词（３，４一）一ＣＮＦ公式；因子图；（３，４）双向正则二部图；可满足问题　中图分类号ＴＰ３０１　

Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｆａｃｔｏｒ　Ｇｒａｐｈ　ｆｏｒ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　（３，４：）．ＣＮＦ　Ｆｏｒｍｕｌａ　Ｃｌａｓｓ　

ＮＩＥ　Ｇｕｏｘｉａ　ＱＩＮ　Ｙｏｎｇｂｉｎ　ＸＵ　Ｄａｏｙｕｎ　（１．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ　５５００２５）　（２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｇｕｉｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｙａｎｇ　５５００２５）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ａ　ＣＮＦ　ｆｏｒｍｕｌａ　Ｆ　ｉＳ　ａ（３，４一）一ＣＮＦ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｉｆ　ｅａｃｈ　ｃｌａｕｓｅ　ｃｏｎｔａｉｎｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｔｈｒｅｅ　１ｉｔｅｒａｌｓ　ａｎｄ　ｅａｃｈ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ａｐｐｅａｒｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｆｏｕｒ　ｔｉｍｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍｕｌａ．Ｔｈｅ　ｆａｃｔｏｒ　ｇｒａｐｈ　ｏｆ　ａ（３，４一）ＣＮＦ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｈａｓ　ａ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ，ｉｎ　ｗｈｉｃｈ　ｔｈｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｃｌａｕｓｅ　ｎｏｄｅ　ｉｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｔｈｒｅｅ，ｔｈｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｎｏｄｅ　ｉｓ　ｅｘａｃｔｌｙ　ｆｏｕｒ．Ｓｕｃｈ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｇｒａｐｈ　ｉｓ　ｃａｌｌｅｄ（３，４）ｂｉｒｅｇｕｌａｒ　ｂｉｇｒａｐｈ．Ｆｏｒ　ａ（３，４一）一ＣＮＦｆｏｒｍｕｌａ　Ｆ，ｉｆ　ｔｈｅ　ａｓｓｏｃｉａｔｅｄ　ｆａｃｔｏｒ　ｇｒａｐｈ　ＧＦ　ｈａｓ　ａ　Ｐｒ—ｆａｃｔｏｒ，ｔｈｅｎ　Ｆ　ｉｓ　ｓａｔｉｓｆｉａｂｌｅ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ（３，４一）一ＣＮＦ　ｆｏｒｍｕｌａ，ｆａｃｔｏｒ　ｇｒａｐｈ，（３，４）ｂｉｒｅｇｕｌａｒ　ｂｉｇｒａｐｈ，ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｃｌａｓｓ　Ｎｕｍｂｅｒ　ＴＰ３０】　

１　引言　可满足性（Ｓａｔｉｓｆｉａｂｉｌｉｔｙ，ＳＡＴ）问题是指：给定一个合取　范式（Ｃｏｎｊｕｎｃｔｉｖｅ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｆｏｒｍ，ＣＮＦ）公式Ｆ，是否存在一组　指派使得Ｆ为真。ＳＡＴ问题是计算机科学中的核心问题，　在工程技术、军事、人工智能、交通运输等领域都具有非常重　要的理论价值和应用价值。作为第一个被证明的ＮＰ完全　问题，长时间以来ＳＡｌｒ问题受到人们的广泛关注。自求解　ＳＡＴ问题的ＤＰＬＬ算法诞生以来，人们设计了许多优秀的　ＳＡＴ问题判定算法¨１　］。如目前比较高效的Ｚｃｈａｆｆ算法Ⅲ、　信息传播算法ｌ２　］、信念传播Ｅ４￣５］等等。随着ＳＡＴ问题的深　入研究，各类具有特殊结构（如限制子句长度、变元出现次数　等）的ＳＡＴ问题受到越来越多的学者重视＿６　］。但是对于　规则结构下研究ＳＡＴ问题ｌ９］的工作并不多见。一个规则的　（志，Ｓ一）－ＣＮＦ公式是指：每个子句的长度恰好为ｋ，每个变元　出现的次数恰好为Ｓ。如在（３，４一）－ＣＮＦ公式中，每个子句的　长度为３，每个变元恰好出现４次。一个合取范式（ＣＮＦ）公　式Ｆ是极小不可满足（ＭＵ）公式，如果Ｆ不可满足，并且从　中删去任意一个子句Ｇ后得到的公式可满足。利用极小不　可满足公式应用于归约转换的基本原理，构造恰当的多项式　归约，可转换ＣＮＦ公式类或３－ＣＮＦ到所要求的规则类，而不　改变公式的可满足性［８　］。如文献Ｅ８］中，通过引入新变元　构造恰当的极小不可满足公式，可将任意一个ＣＮＦ公式在　多项式时间内转换到３－ＣＮＦ公式，并保持具有相同的可满足　性；文献Ｉ－９］中，构造恰当的极小不可满足公式，降低公式中　变元出现的次数、扩充子句的长度，实现了３－ＣＮＥ公式到（３，　４一）－ＣＮＥ公式之间的转换，本文就是在这个背景下进行研究　的，主要是在（３，４一）－ＣＮＦ公式类中求解一些可满足公式。　

一个ＣＮＦ公式可以用一个二部图表示（称为因子图），　变元集和子句集分别对应因子图中的两个顶点集。一个变　元结点与一个子句结点之间有一条边，当且仅当该变元出　现在该子句中。用实边和虚边分别表示文字的正负符号。　对于具有规则结构的ＣＮＦ公式，对应的因子图是一个规则　的二部图¨１　。在每个子句长度为３，每个变元恰好出现４　次的（３，４一）－ＣＮＦ公式关联的因子图中，每个变元结点的　度恰好为４，每个子句结点的度恰好为３，此类规则二部图　被称为（３，４）一双向正则二部图［“　。目前，有关（３，４）一双　向正则二部图的研究已取得了一定的结果ｌｌ　”］。文献　

收稿日期：２０１２年１１月７日，修回日期：２０１２年１２月２０日　基金项目：国家自然科学基金项目（编号：６１２６２００６）；贵州省科学技术基金项目（编号：黔科合Ｊ字［２０１２１２１２５号）；贵州大学引进人　才科研项目（编号：贵大人基合字（２０１１）１４号）资助。　作者简介：聂国霞，女，硕士研究生，研究方向：计算复杂性。秦永彬，男，博士，副教授，研究方向：计算复杂性、智能计算。许道云，男，　博士，教授，博士生导师，研究方向：ＳＡＴ问题、非单调推理及其计算复杂性、可计算分析及其计算复杂性。　２０１３年第５期　计算机与数字工程　６８７　［１１］中Ａｒｍｅｎ　Ｓ．Ａｓｒａｔｉａｎ从路径因子角度研究（３，４）一双　向正则二部图Ｇ的区间着色，（３，４）双向正则二部图Ｇ如　果存在支撑子图Ｈ，其各个连通分支是长为｛２，４，６，８｝的路　径，且起点和终点均为３度点，则图Ｇ可以６区间着色。同　时，Ａｒｍｅｎ　Ｓ．Ａｓｒａｔｉａｎ猜想每一个简单的（３，４）一双向正则　二部图Ｇ都有ｐｒｏｐｅｒ　ｐａｔｈ－ｆａｃｔｏｒ，但他只给出了（３，４）双　向正则二部图Ｇ有ｐｒｏｐｅｒ　ｐａｔｈ－ｆａｃｔｏｒ的充要条件ｌ１　。本　文从因子图角度，利用因子图的特殊性求解（３，４一）ＣＮＦ　公式的可满足性。设Ｇ一（Ａ，Ｂ，Ｅ）是一个（３，４）一双向正则　二部图，Ｐ为图Ｇ的路径因子。如果Ｐ中各连通分支的长　度均为６，称Ｐ是图Ｇ的Ｐ　一路径因子。我们发现对于一个　（３，４一）－ＣＮＦ公式Ｆ，若ＧＦ有Ｐ　一路径因子，公式Ｆ可满　足。　在（３，４．．）一ＣＮＦ公式的因子图表示中，每个子句结点　的度为３，每个变元结点的度为４，此类规则图为（３，４）一双　向正则二部图。利用（３，４）双向正则二部图的性质，本文　证明了：如果（３，４一）ＣＮＦ公式Ｆ的因子图Ｇ，有Ｐ　一路径　因子，则Ｆ可满足。　２基本知识　一个文字是命题变元３２或命题变元的否定　ｚ。一个　子句Ｃ是若干个文字的析取（Ｃ一（Ｌ　Ｖ…ＶＬ　）），子句Ｃ　可以视为文字的集合（Ｃ一｛Ｌ　一，Ｌｎ｝）。一个合取范式　（ＣＮＦ）公式Ｆ是若干子句的合取（Ｆ一（Ｃ　八…＾　）），合　取范式公式Ｆ可以视为一个子句的集合Ｆ一｛Ｃ　一，Ｃｍ），　或一个子句表Ｆ　Ｅｃ　一，　］。一个公式Ｆ的子公式是　指由Ｆ的部分子句所构成的公式。如果一个子句含有一对　互补文字，称该子句为重言子句。在一个公式中删去重言　子句后，不影响公式的可满足性。只有一个文字的子句称　为单位子句。ｖａｒ（Ｆ）和ｃｌ（Ｆ）表示出现在公式Ｆ中的变元　集合以及Ｆ所包含的子句的集合，＃ｖａｒ（Ｆ）和＃ｃｚ（Ｆ）分别　表示出现在公式Ｆ中变元个数以及Ｆ所包含的子句个数。　＃ｃｌ（Ｆ）一＃ｖａｒ（Ｆ）称为公式Ｆ的子句＿变元差（简称公式　差），记为　（Ｆ）。对于ＣＮＦ公式Ｆ　和　，记Ｆ　＋Ｆｚ表示　Ｆ　八　。一个变元ｚ在Ｆ中的正（或负）出现，是指文字ｚ　（或文字　－ｚ）在Ｆ中出现。我们分别用ｐｏｓ（ｚ，Ｆ）和ｎｅｇ　（ｚ，Ｆ）表示变元３７．在Ｆ中的正、负出现次数，并记ＯＣＣＳ（ｚ，　Ｆ）一ｐｏｓ（ｘ，Ｆ）＋ｎｅｇ（ｘ，Ｆ）。　定义１设Ｆ—Ｅｃ　一，　］是一个公式。称Ｆ是极小　不可满足公式（ｍｉｎｉｍａｌ　ｕｎｓａｔｉｓｆｉａｂｌｅ　ｆｏｒｍｕｌａ，简记为ＭＵ　公式），如果Ｆ不可满足，并且从中删去任意一个子句Ｃｉ（１　，ｚ）后得到的公式可满足。　已经证明：极小不可满足公式的子句数与变元数之差　（公式差）是一个正整数Ｅ　。通常，我们是按公式的公式差　对ＭＵ公式进行分类，对于正整数　１，记ＭＵ（ｋ）一｛Ｆ∈　、ＭＵｌ　（Ｆ）一忌｝。ＭＵ（ｋ）中的公式称为ＭＵ（ｋ）公式。　一般，通过构造恰当的极小不可满足公式，能够实现　ＣＮＦ公式类之间的转换［８　］，得到我们所需要的转换结果。　文献［９］给出了将３－ＣＮＦ公式化归（３，４一）一ＣＮＦ公式的方　法。　定义２设Ｆ一［ｃ　一，　］是一个公式。称Ｆ是（３，　４一）一ＣＮＦ公式，如果任意子句Ｃ∈Ｆ的长度１　Ｃ｝一３，且任　意变元ｘＥｖａｒ（Ｆ）出现的次数ＯＣＣＳ（３７，Ｆ）一４。　注意，通过文献［９］中的方法转换得到的（３，４一）ＣＮＦ　公式Ｆ有如下特征：　１）每个子句带有３个不同的变元；　２）每个子句的长度恰好为３，每个变元恰好出现４次；　３）子句个数＃ｃｌ（Ｆ）一４ｋ、变元个数＃ｖａｒ（Ｆ）一３ｋ。　设Ｆ—Ｅｃ　一，　］是带有　个变元　”，ｚ　的ＣＮＦ　公式，公式Ｆ可以用一个二部图Ｇ　一（　，　Ｅ，　）表示，　称为Ｆ的因子图。其中，变元结点集　一｛ｚ　一，ｚ　），子　句结点集　一｛Ｃ　一，　），边Ｅ一｛ｅ　，ｚ　∈ｃＪ），标识函数　Ａ：Ｅ一｛＋１，一１｝。　ｆ＋１　．ｚ　∈Ｃ，　。　Ｉ一１　∈ｃ，　

由（３，４）一ＣＮＦ的特征，可以断言其因子图ＧＦ具有以下　特征：　１）ＧＦ是一种简单图；　２）Ｇｒ中每个子句结点的度为３，每个变元结点的度为　４；　３）ＧＦ中子句结点的个数ｆ　ｊ一４ｋ、变元结点的个数　『Ｖｖ　ｆ一３ｋ。　侈４　１　Ｆ一｛（ｚｌ　Ｖ　３２２　Ｖ　ｚ３），（　ｌ　Ｖ　３２２　Ｖ－ｚ３），　（　３２　Ｖ　－ｚ２　Ｖ　３），（－ｚｌ　Ｖ　３２２　Ｖｌｚ３）｝是一个（３，４）一ＣＮＦ　公式，根据定义　一｛ｚ　，ｚｚ，ｚｓ｝，　一｛Ｃｔ，　，Ｃ３，Ｃ４｝，因　子图ＧＦ一（　，　，Ｅ，　）如图１所示。