D12.6 可降阶高阶微分方程
常微分方程ppt (3)
( x ≠ 0) 后，方程化为：
1 dx d 2 2 1 d x 1 dx x dt − 2 = = 0. 2 x dt x dt dt
1 dx 故有 = c1 x dt
即可解得
。
x = c2e , (c 2 ≠ 0)，
c1t
x ≠ 0,而 x = 0 显然也是方程的解，故可去掉 c2 ≠ 0 的限制 而得到原方程的全部解为 x = c ec1t . 2
即
（3.1.15）
为了使点M有可能追上点P,我们假设 此时,由(3.1.15)得到追线方程为:
由于初始点 时, ,因此得:
在追线上, 即当
从而得追线方程:
当
时,就得到相遇点的坐标是
追上所需的时间是
例 ２. 悬链线问题 有一绳索悬挂在A和B两点(不一定是在同一 水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔 软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的 形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状. 解: 设C是其最低点,选取坐标系 且 轴通过C点. 如图中所示,
B A C O
图3.2
考虑绳索在最低点C与点
之间的一段,
这一段在下面三个力的作用下平衡: (1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向; (2)在点C的水平张力H; (3)CP段的垂直的重量,记为 ,设它作用
在某一点Q处,不一定是CP的中心,见图3.3由于 平衡关系,这些力在 为0,在 轴(水平)方向的代数和
阅读材料: 阅读材料: 最速降线问题
确定一个连 接二定点A,B的曲 线,使质点在这曲 线上用最短的时 间由A滑至B点(忽 略摩擦力和阻 力)。
背景
restart: printlevel:=0: with(plots): animate({[n*2*Pi+0.2*sin(t),-n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], [s,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[ (n*2*Pi)^2/2/Pi+0.2*sin(t), # -n*2*Pi+0.2*cos(t),t=0..2*Pi],[s^2/2/Pi,-s,s=0..2*Pi]}, # animate({[2*Pi+2*Pi*cos((1+n/2)*Pi)+0.2*sin(t), # 2*Pi*sin((1+n/2)*Pi)+0.2*cos(t),t=0..2*Pi], # [2*Pi+2*Pi*cos(s),2*Pi*sin(s),s=Pi..3*Pi/2]}, n=0..1, frames=200, scaling=constrained);
微分方程降阶法
微分方程降阶法微分方程降阶法是一种重要的数学工具，用于简化高阶微分方程，将其转化为低阶微分方程，从而更容易求解。
这种方法在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，如物理、化学、生物、经济等。
一、微分方程降阶法的理论微分方程降阶法的核心思想是通过引入新的变量或函数，将高阶微分方程转化为低阶微分方程。
这个过程通常涉及到对原方程进行变形、整合或积分，以消除一些不必要的复杂性。
具体来说，对于一个n阶微分方程，我们可以引入n-1个新的函数或变量，使其降阶为n-1阶微分方程。
这个过程可以通过一系列的代数和微分运算来实现，使得原方程的求解变得相对简单。
二、微分方程降阶法的应用微分方程降阶法在许多实际问题中都有应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述多体系统的运动规律；在化学中，它可以用于模拟化学反应的动力学过程；在经济学中，它可以用于分析经济系统的动态行为。
以物理学为例，当研究一个由多个自由度组成的系统时，通常需要求解高阶微分方程。
通过引入新的变量或函数，我们可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而更容易求解。
这不仅可以简化计算过程，还可以提高数值模拟的精度和稳定性。
三、微分方程降阶法的局限性和未来发展方向虽然微分方程降阶法在许多情况下都非常有效，但它也有一些局限性。
例如，对于一些非线性程度较高或具有特殊结构的微分方程，降阶法可能无法得到正确的结果。
此外，降阶法通常需要手动操作，对于大规模的微分方程组，这可能会变得非常复杂和耗时。
为了克服这些局限性，未来的研究可以尝试开发自动化的降阶算法，以处理更广泛类型的微分方程。
此外，结合数值计算和符号计算的方法，可以进一步提高降阶法的精度和稳定性。
总之，微分方程降阶法是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域的实际问题。
通过深入研究和改进算法，我们有望更好地利用这一工具来解决更多复杂的微分方程问题。
微积分微分方程总结及练习题
1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
由
1 4a ， 2
3
2
例5
解
1 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 r 2 4 0, 特征方程
特征根
r1, 2 2i ,
对应的齐方的通解为 Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
* * 设原方程的特解为 y* y1 y2 . * * (1) 设 y ax b, 则 ( y1 ) a , ( y1 ) 0,
r1 x r2 x
2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
y(1) 1,
由
5 (C1 2C 2 )e 1, 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C 1 e 6 , e 3 解得 1 5 C 1 1 , 2 C1 2C 2 , 2 e e 6
所以原方程满足初始条件的特解为
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
* 2 x
[ax3 ( 3a b) x 2 2bx]e x , 则(y )
*
[ax3 (6a b) x 2 (6a 4b) x 2b]e x , (y )
*
, ( y* ) 代入原方程比较系数得 将 y ,(y )
高数-全微分方程
)
ydx − xdy x = d arc tan 又 2 2 y x + y 1 , 取积分因子 µ ( x , y ) = 2 2 x + y
ydx − xdy dx + =0 2 2 x + y
则方程化为: 则方程化为
两边积分的方程的通解为: 两边积分的方程的通解为
H
y M A
O
• • •
T
θ
ρg s x
设A 到M 弧段长为 ， 弧段长为s， 绳索的线密度为ρ， 则该段绳索的重量为ρgs 绳索的线密度为 ， 则该段绳索的重量为 。 绳索在点A 处的张力沿水平方向向左，其大小设为H； 绳索在点 处的张力沿水平方向向左，其大小设为 ； 在点M 处的张力沿绳索斜向上, 并在M 点与绳索相切, 在点 处的张力沿绳索斜向上 并在 点与绳索相切 设其倾角为θ、大小为 设其倾角为 、大小为T 。
6
熟记一些简单常用的二元函数的全微分， 熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如
dx ± dy = d ( x ± y ) ydx &# y y − ydx + xdy y = d x2 x ydx − xdy x = d ln xy y ydx − xdy x = d arc tan 2 2 y x + y ydx − xdy 1 x − y = d ln 2 2 2 x + y x − y
x5 + 3 2 2 1 x y − xy 3 + y 3 = C . 2 3
2
注: 当条件
∂P ∂Q ≠ 不能满足时， 可引入积分因子 ∂y ∂x 不能满足时， 可引入积分因子
高数微分方程总结
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２） 原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方 程 的两个线性无关的特解 ，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 人必须有自信，这是成功的秘密。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。 不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。
高等数学第十二章微分方程
dy 1 dy y 2 y 2 。这是贝努利方程， 解出 ? ，得 dx x dx
对于这些类型的方程，它们各自都有固定的解法。如
果所给的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这 时常用的方法和技巧如下： A.熟悉常用的微分公式； B.选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程； C．变换自变量和因变量（即有时把 y看成自变量，而 考虑
dx 的方程类型）。 dy
一阶微分方程的解题方法流程图如下。
解题方法流程图
求Pdx Qdy 通解 0 Yes 可分离变量 No Yes
P Q y x
dy 解出 dx = f ( x, y )
No
可分离变 量方程
全微分 方程
齐次方程
dy y ( ) dx x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
一阶线性方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n dx
dy y （2）齐次方程： dx x
dy P ( x ) y Q( x ) （3）一阶线性微分方程： dx
dy n （4）伯努利方程： P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
（5）全微分方程：P ( x , y )dx Q( x , y )dy 满足 ,0
y dy du u x 解：令 u ,于是 y ux , ,上式可化为 x dx dx
du 1 u cos u u x sec u u dx cos u
du sec u , 为可分离变量的方程 即x dx
分离变量 积分得 所以 故原方程的通解为
dx cos udu x sin u ln x ln C
微分方程课后习题答案
微分方程课后习题答案微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然现象中变化规律的方程。
在学习微分方程的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要途径。
本文将为大家提供一些微分方程课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握微分方程的知识。
1. 一阶线性微分方程题目：求解微分方程 dy/dx + y = 2x解答：这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
首先，将方程改写为 dy/dx = 2x - y设 y = u(x) * v(x)，其中 u(x) 是未知函数，v(x) 是待定函数。
将 y = u(x) * v(x) 带入方程，得到 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) = 2x - u(x) * v(x)整理得 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x根据乘积法则，有 (u(x) * v(x))' = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * v(x) = x^2 + C，其中 C 是常数。
然后，我们需要求解 u(x) 和 v(x)。
由于 v(x) 是待定函数，我们可以选择 v(x) = e^(-x)，这样 v'(x) = -e^(-x)。
将 v(x) = e^(-x) 带入 u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x) - u(x) * v(x) = 2x，得到 u'(x) * e^(-x) = 2x对上式两边同时积分，得到 u(x) * e^(-x) = x^2 + C将 u(x) * e^(-x) = x^2 + C 代入 y = u(x) * v(x)，得到 y = (x^2 + C) * e^x所以，原微分方程的通解为 y = (x^2 + C) * e^x，其中 C 是常数。
2. 二阶线性常系数齐次微分方程题目：求解微分方程 d^2y/dx^2 + 2dy/dx + 2y = 0解答：这是一个二阶线性常系数齐次微分方程，我们可以使用特征方程法来求解。
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
高等数学 常微分方程
【分类2】 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y, , y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y, , y(n1) ).
【分类3】线性与非线性微分方程. y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0;
dx yy 2xy 3,
dx x sint t 2 , dt y cos y 1,
线性的; 非线性的.
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11
一阶线性微分方程的解法
1）. 解齐次方 程
dy P(x)y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P( x)dx ln C
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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5
主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
y C e P( x)dx
2）. 解非齐次方程
dy P(x) y Q(x) dx
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12
用常数变易法: 作变换 y( x) u( x) e P( x)d x , 则 u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y( x0 )
一阶微分方程(二) 可降阶的二阶微分方程
e 设 y u( x)e P( x令)d x 是v( xd) y uP((xx)y Q( x)的解. dx 5
设 y u( x)e P( x)d x 是 d y P( x) y Q( x) 的解.
dx
y u( x)e P(x)d x u( x)[P( x)]e P(x)d x ,
将 y, y代入原方程得
P y f (x)
解此微分方程
y ed x C
2
xe
d
x
d
x
o
xx
Ce x 2 x 2, 由 y |x0 0, 得 C 2,
所求曲线为 y 2(e x x 1).
13
例4 求方程 y2 d x (x 2xy y2)d y 0 的通解.
分析：可变形为：d
d
y x
则原方程的通解为 y ( x2 C)esin x .
8
例2求解微分方程
dy dx
3y
e2x满足条件
y x0
0的特解.
解 这是一个一阶非齐次线性方程.
它对应的齐次方程为
d d
y x
3y
0，分离变量得：dyy
3d
x,
积分得：ln y 3x lnC, 即 y Ce3x .
再用常数变易法，把 C 换成新函数 u u(x)
x
x
解 (用常数变易法)
先求
y
1 x
y
0 的解，分离变量：d y y
dx x
,
两边积分ln y ln x lnC，得通解：y C
再用常数变易法求
y
1
y
sin
x
x
的解，
x
x
设 y u( x) 是原方程的解，则 y