(浙大第四版)概率论与数理统计知识点归纳
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用
大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件
对于离散型随机变量， F(x) pk ； xk x x
对于连续型随机变量， F(x) f (x)dx 。
（ 5 ） 八 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
大分布
_
二项分布 在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A
发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
（15）全 概公式
设事件 B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
B 发生）： A B
如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A
等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事件 的关系与 运算
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事 件。 A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可
（5）基本 事件、样 本空间和 事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
_
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
_
（1）排列
第 1 章 随机事件及其概率
Pmn
m! (m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数
组合公式
Cmn
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加法 和乘法原 理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个
我们作了 n 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；
n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A
（17）伯
发生与否是互不影响的。
努利概型
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。 用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都
相互独立。
（14）独 立性
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
法公式 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减 P(A-B)=P(A)-P(AB)
法公式 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
_
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条 件概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生 P( A)
条件下，事件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
（13）乘 法公式
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A) 更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
_
n
A Bi 2° i1 ， （分类讨论的
则有 P(A) P(B1)P(A | B1) P(B2)P(A | B2) P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
1° B1，B2 ，…，Bn 两两互不相容，P(Bi) >0，i 1，2，…，n ，
n
A Bi
P( X
k)
Pn(k )
C
k n
p k q nk
，
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
其中
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P( X k) p k q1k ， k 0.1，这就是（0-1）
分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
e ， 2 2 x ，
2
其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为
、 的 正 态 分 布 或 高 斯 （ Gauss ） 分 布 ， 记 为
X ~ N(, 2) 。
f (x) 具有如下性质：
机变量
的关系
_
（4）分
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
布函数
F(x) P(X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b] 的概率。
分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是
互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示
A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
_
分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3）一些 常见排列
重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题
（4）随机 试验和随 机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。
A所包含的基本事件数 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，
（9）几何 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，
概型
则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，
P( A) L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。 L()
（10）加 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
x
x
4° F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X x) F(x) F(x 0) 。
2°
i1 ， P( A) 0 ，（已经知道结果 求原因
（16）贝 叶斯公式
则
P(Bi / A)
P(Bi )P( A / Bi )
n
，i=1，2，…n。
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1， 2 ，…， n ），通常叫先验概率。 P(Bi / A) ，（ i 1， 2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概 率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独
立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P(A) 0 ，则有
机变量 的分布 律
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分
布列的形式给出：
X P(X
xk )
|
x1, x2,, xk, p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ， k 1,2,，
pk 1
（2） k 1
。
（2）连 续型随 机变量
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实 数 x ，有
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为
H(n,N,M)。
几何分布 P( X k) qk1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章1讲
二、概率论的发展（四个阶段）
第一阶段：古典概率 这个定义是法国数学家拉普拉斯1812年给出的。 它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能结果为 有限多且等可能的情形（如掷硬币、抽签、摸球 等）。随着概率论中各个领域获得大量成果，以 及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用， 由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露 了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此 可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念， 诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个 数学分支，缺乏严格的理论基础。
• 第二阶段：几何概率.它是利用几何图形的点的个 数，长度、面积、体积等的比来刻画。它包含古 典概率，有更大的适用范围。（转盘问题、投点 问题、等候问题） • 第三阶段：概率的频率定义.在大量重复进行同一 试验时， 事件 A 发生的频率m/n 总是接近于某 个常数C，在它附近摆动,这时就把这个C常数叫做 事件 A 的概率记作P(A)= C。 • 第四阶段：概率的公理化定义。为概率论确定严 密的理论基础的是前苏联数学家柯尔莫哥洛夫。 1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》， 用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展 史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展 奠定了基础。
• 19世纪末，俄国数学家P.L.切比雪夫、 A.A.马尔可夫、A.M.李亚普诺夫等人用分 析方法建立了大数定律及中心极限定理的 一般形式，科学地解释了为什么实际中遇 到的许多随机变量近似服从正态分布。20 世纪初受物理学的刺激，人们开始研究随 机过程。这方面A.N.柯尔莫哥洛夫、N.维 纳、A.A.马尔可夫、A.R辛钦、P.莱维及W. 费勒等人作了杰出的贡献。
•
帕斯卡和费马以“赌金分配问题”开始 的通信形式讨论，开创了概率论研究的先河. 后来荷兰数学家惠更斯（1629－1695）也参 加了这场讨论,并写出了关于概率论的第一 篇正式论文《赌博中的推理》.帕斯卡、费 马、惠更斯一起被誉为概率论的创始人. • 随着18、19世纪科学的发展，人们注意 到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏 之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的 概率论被应用到这些领域中；同时这也大大 推动了概率论本身的发展。
概率论与数理统计第四版 (4)
(四) 不相关与相互独立的关系:
a. 若X, Y相互独立, 则X, Y不相关; b. 上面的逆命题一般不真;
反例, 二维r.v.( X , Y )的密度函数是
f
(
x,
y)
1
,
x2 y2 1,
0, 其它,
其Cov(
X
,Y
)
0,
但f ( x, y)
f
X
(
x)
fY
(
y).
c. 当(X, Y)服从二维正态分布时, 逆命题亦成立
(4.1)
又若( X ,Y )为离散型r.v.
其分布律为P X xi ,Y yj pij , i, j 1, 2,3,
则有E(Z ) E g( X ,Y ) g( xi , yj ) pij , (4.2) j1 i1
(假设上述积分、级数分别绝对收敛)
例4. 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
则其密度函数为
f
(
x)
e1
x
,
x 0,
0 , x 0.
E(X)
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2
30 正态分布: 设X~N(, 2 ) E(X) ，D(X) 2
§3. 协方差和相关系数
(一) 定义:
二维r.v.( X , Y ) ,若E{[X E( X )][Y E(Y )]}存在,
四. n维正态随机变量:
1. 定义 : 设有n维r.v.( X1, X 2 , , X n ), 记
x1
1
11 12
X
x2
,
2
,
C
21
22
1n
2n
浙江大学概率论与数理统计盛骤-第四版
检 验 统 计 量 为 X , 检 验 拒 绝 域 的 形 式 为 X 0 k .
在 H 0为 真 时 ， X n~N0,1,0 思考题 : 左边检验
P 当 H 0 为 真 拒 绝 H 0 P 0X 0 k
H0 : 0, H1 : 0
请给出检验的拒绝域.
P0
Xnk0
1(k
P0
X0
S n
k S
n
拒绝域为:
X S
0
n
t (n1)
因 此 ， 即拒 S绝 k域 n为 ： t(tn 1X S ) n0t(n1).
15
例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布N (, 2 ),
, 2 均未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264
对 于 假 设 检 验 问 题 H 0 : 0 6 . 0 , H 1 : 6 . 0 ,
P 0 X 0 .2 0 z 2 1 , P 0 X 0 .2 0 z 2 ,
X 6 .0
显 著 性 水 平 X为 6.0 的 检 验 拒 绝 域 为 ： 0 .2 z 2 ,
n
(0k), n
0
0 ) n
解答:
拒绝域形式为:
X
0
k,
(k
0)
由 于 (0k)是 的 增 函 数 ， n
拒绝域为:
X
0
n
z
故 只 要 ( kn ) , 即 kn z便 可 ，
因 此 ， 拒 绝 域 为 ：ZX n0z.
13
H 0:0,H 1:0 2 2未知时
检 由 于 验 统 2 未 计 知 量 ， 为 故 X 不 ,能 检 用 验 X 拒 绝 n 域 0来 的 确 形 定 式 拒 为 绝 域 X 了 。 0 k .
概率论与数理统计浙大四版 第七章 第七章3讲2
相互独立,
根据F分布的定义, 知
S12 S22
2 1
2 2
~ F (n1 1, n2 1),
(n1 1)S12
即 S12 S22
2 1
2 2
2 1
(n2 1)S22
2 2
(n1 1)
~ F (n1 1,, n2
1)
S12 S22
且标准差为 10, 试求糖包的平均质量 的1 置信区间 (分别取 0.10 和 0.05).
解 10, n 12,
计算得 x 502.92,
(1) 当 0.10 时, 1 0.95,
2 查表得 z / 2 z0.05 1.645,
..\新建文件夹4\2-1.ppt2-1
,
Sw
Sw2 .
例5 为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x1 500(m / s),标准差 s1 1.10(m / s), 随机地取ІІ 型子弹20发, 得枪口速度平均值为 x2 496(m / s), 标准差 s2 1.20(m / s), 假设两总体都可认为近似 地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例3 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重 量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值
的置信度为0.95的置信区间.
习惯上仍取对称的分位点来
确定置信区间(如图).
例4 (续例2) 求例2中总体标准差 的置信度为
概率论与数理统计浙大版
四种理想受控电源的模型
电 I1=0
I2
压
控+
制 电 压
U1 -
+
+
_ U1
U2 -
源
(a)VCVS
电 压
I1=0
控+
制 电
U1
流-
源
I2
+ gU1 U2
-
(c) VCCS
电 I1
流
控+
制 电
U1=0 -
压
源
I2
+
+
_
U2
I1 -
(b)CCVS
电 I1
流
控+
制 电 流
U1=0
-
源
I2
+
I1 U2
1. 2 基尔霍夫定律
I1
a
I2
US1
R1 1 I3
R2 3 R3 2
US2
b 支路：电路中的每一个分支。
一条支路流过一个电流，称为支路电流。 节点：三条或三条以上支路的联接点。
回路：由支路组成的闭合路径。 网孔：内部不含支路的回路。
例1： d
a
I1
I2
IG
G
c
R4 I3 b I4 I
+ US–
R1
R2
对节点 a：I1+I2 = I3
US1
I3 R3
US2
或 I1+I2–I3= 0
b
实质: 电流连续性的体现。
基尔霍夫电流定律（KCL）反映了电路中任一
节点处各支路电流间相互制约的关系。
2．推广
电流定律可以推广应用于包围部分电路的任一 假设的闭合面。
概率论与数理统计第四版
概率论与数理统计第四版1. 简介概率论与数理统计是现代科学中的两个重要领域，它们在各个学科中都有广泛的应用。
本文档将介绍概率论与数理统计第四版的主要内容和特点。
2. 内容概述概率论与数理统计第四版主要分为两大部分：概率论和数理统计。
下面将对每个部分进行详细的介绍。
2.1 概率论概率论是研究随机现象规律的数学理论。
本书在概率论部分包括了以下几个主要内容：•随机事件与概率•随机变量及其分布•数学期望与方差•多维随机变量的分布•大数定律与中心极限定理•随机过程通过学习概率论的基本理论和方法，读者能够更好地理解和应用随机现象的规律。
2.2 数理统计数理统计是研究如何利用数据来推断总体特征的统计学分支。
本书的数理统计部分包括了以下几个主要内容：•统计数据的描述与分析•参数估计•假设检验•方差分析•相关与回归分析•非参数统计方法数理统计是概率论的应用，它使我们能够利用样本数据对总体进行推断与决策。
3. 特点概率论与数理统计第四版具有以下几个特点：3.1 理论与实践结合本书在介绍概率论和数理统计的基本理论的同时，也强调实际应用。
每个章节都配有大量的实例和案例分析，帮助读者将所学的理论知识应用到实际问题中。
3.2 全面而深入本书的内容全面而深入，涉及了概率论和数理统计的基本概念、原理和方法。
它不仅适合作为大学本科生的教材，也适合作为研究生和科研人员的参考书。
3.3 清晰的表达和结构概率论与数理统计第四版的作者通过清晰的表达和结构化的组织，使得书籍容易理解和阅读。
每个概念和方法都有详细的解释和定义，使读者能够更好地掌握和运用。
3.4 丰富的习题和答案为了帮助读者巩固所学的知识，本书的每个章节都附有大量的习题和答案，读者可以通过做习题来检验自己的理解和掌握程度。
4. 结论概率论与数理统计第四版是一本全面而深入的概率论与数理统计教材，它以理论与实践结合的方式，清晰地介绍了概率论和数理统计的基本概念、原理和方法。
通过学习本书，读者可以获得概率论和数理统计的基本知识，提高数据分析和决策能力。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。
在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。
•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
•事件：样本空间的子集。
•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。
1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。
离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。
•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。
•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。
概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。
•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。
1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。
统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。
•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。
二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。
•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。
概率论与数理统计(浙大第四版简明本盛骤)第二章
A, A,
P A 1 2
如果是不放回抽样呢？ 各次取牌不独立! 不是贝努利试验!
9
设A在n重贝努利试验中发生X次，则 k k P( X k ) Cn p (1 p)nk ， k 01 ， ， ，n 并称X服从参数为p的二项分布，记 X b(n，p)
k k nk 注： 1 ( p q) Cn pq 其中q 1 p n k 0 n
x1 p1 x2 p2
… …
xi pi
… …
pi 0, pi 1
i 1
样本空间S＝{ X=x1，X=x2，…，X=xn，… } 由于样本点两两不相容
1 P( S ) P( X xi ) pi
i可能取值－－即写出了样本点 2、写出相应的概率－－即写出了每一个样本点出现的概率
P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p3
k k 一般 P( X k ) Cn p (1 p)nk , k 0,1, 2,, n
10
例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到红灯的次数。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次红灯的概率。
解：这是三重贝努利试验
Y b(3, p)
3k
1
P(Y k ) C p (1 p)
k 3 k
, k 0,1,2,3
2 2 2 P ( Y 2) C 3 p (1 p)
11
例：某人独立射击n次，设每次命中率为p， 0<p<1，设命中X次，(1) 求X的概率分布 律；(2) 求至少有一次命中的概率。 解：这是n重贝努利试验 X b(n, p)
浙江大学概率论与数理统计盛骤-第四版
拒绝域为:
X S
0
n
t (n 1)
即 S k n t (n 1)
因此，拒绝域为：
t
X 0
Sn
t (n 1).
14
例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布N (, 2 ),
, 2均未知。现测得16只元件的寿命如下：
159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？（取
原假设 H0 : 6.0，备择假设 H1 : 6.0
检验统计量为 X , 检验拒绝域的形式为 X 6.0 c.
由于作出决策的依据是一个样本，因此，可能出现“实 际上原假设成立，但根据样本作出拒绝原假设”的决策。 这种错误称为“第一类错误”，实际中常常将犯第一类错 误的概率控制在一定限度内，即事先给定较小的数α (0<α<1)（称为显著性水平）,使得
X1, X2, , Xn来自N , 2 , X 和S 2分别为样本均值和方差,显著性水平为
H0 : 0 , H1 : 0
1 2已知时
检验拒绝域形式为：X 0 c n
在H0为真时，
X 0 n
~ N 0,1
根据犯第一类错误概率不大于 ,
正确决策
第二类错误
第一类错误
正确决策
第一类错误：原假设H0成立时，作出拒绝原假设的决策； 第二类错误：备择假设H1成立时，作出接受原假设的决策。
通常，犯第一类错误的概率、犯第二类错误的概率、样本容量可 以看作为“三方拔河”。
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例如，设显著性水平为，计算上例中犯第一类错误的概率 和 5.4时犯第二类错误的概率：
概率论和数理统计答案解析第四版第2章[浙大]
1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。
若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。
解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988P（X=5）=0.00102.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有 =10种取法，数量不多可以枚举来解此题。
设样本空间为SS=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=；方法二：X的取值为3,4,5当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =;当X=4时，1,2,3中必然存在2个， P｛X=4｝==；当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个， P｛X=5｝= =；(2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律.解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点）= =；P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点）= =；P｛X=3｝= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点）= =；P ｛X=4｝= P (第一次为4点，第二次大于3点)+P （第二次为4点，第一次大于3点）- P （两次都为4点） ==；P ｛X=5｝= P (第一次为5点，第二次大于4点)+P （第二次为5点，第一次大于4点）- P （两次都为5点） ==；P ｛X=6｝= P (第一次为6点，第二次大于5点)+P （第二次为6点，第一次大于5点）- P （两次都为6点） ==；3.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样.以X 表示取出的次品的只数. (1)求X 的分布律. 解：P ｛X=0｝==;P ｛X=1｝==;P ｛X=2｝==;(2)画出分布律的图形.4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p ，失败概率为q=1-p （0<p<1）（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。