生活中的优化问题举例(含过程)
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求 最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片， 切去阴影部分所示的四个全等的等腰 直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒 的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问 每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收 入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本 ＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同 的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截 下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长， 根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．
[解析] 设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则做成的长方体形无 盖容器底面边长为 a－2x，高为 x，
▪ 数据来源于网络： ▪ 330ml易拉罐的各种尺寸如下： ▪ 1、圆柱的半径 3.305cm, ▪ 2、罐的总高度 12.310cm, ▪ 3、顶盖的厚度 0.028cm,侧壁的厚度 0.011cm,下底的厚度 0.021cm
导数方法解决生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题，实质是求函数最值。 (2)利用函数和不等式性质，特别是二次函数结论和基本不等式都是求函 数最值的重要手段。导数则是解决更为复杂函数最值的重要工具。 (3)解决优化问题的基本思路：
[解析] 每月生产 x 吨时的利润为 f(x)＝(24200－15x2)x－(50000＋200x) ＝－15x3＋24000x－50000 (x≥0)． 由 f′(x)＝－35x2＋24000＝0， 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f′(x)＝0，故它就是最大值点，且 最大值为：f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元) 答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元．
解
∵V(x)＝(
2x)2×(60－2x)×
2 2
＝ 2x2×(60－2x)＝－2 2x3＋60 2x2(0<x<30).
∴V′(x)＝－6 2x2＋120 2x＝－6 2x(x－20).
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. ∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0. ∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值. ∴底面边长为 2x＝20 2(cm)，高为 2(30－x)＝10 2(cm)， 即高与底面边长的比值为12.
人教版选修2-2第一章
§1.4 生活中的优化问题举例
主讲教师：杨 光
量一量
大自然的选择
现代工业之巧
▪ 生活到数学的转化：
▪ 我们将生活中的饮料罐抽象成数学中的圆柱体。如果要求圆柱体体积为定值V， 柱体高h与底面半径r怎样的比例关系时，表面积S最小？
算出的结论为什么和我们平时看到的易拉罐形状 不太一样？你认为是什么因素影响了我们的计算 结果不太符合实际呢？
故 C(x)＝3x4＋0 5(0≤x≤10)；又 x 厘米厚的隔热层建造费用为 6x， 所以由题意 f(x)＝3x4＋0 5×20＋6x＝38x＋005＋6x(0≤x≤10)．
(2)f ′(x)＝6－32x4＋0052＝54x＋3x2＋355x2－5. 令 f ′(x)＝0，得 x＝5 或 x＝－235(舍去)， 当 x∈(0,5)时，f ′(x)<0，当 x∈(5,10)时，f ′(x)>0，故 x＝5 时，f(x)取得最小 值，且最小值 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70. 因此当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小，且最小值为 70 万元．
▪ 『规律总结』 解决优化问题时应注意的问题
▪ (1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定 义域．
▪ (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区 间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小 值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
V(x)＝(a－2x)2x,0<x<a2. 即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<a2.
实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值点．为此，先求 V(x)的极值点．在 开区间0，a2内，
V′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝12a(舍去)． 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0.
因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值点，所以 x＝16a 是 V(x) 的最大值点．
即当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大．
▪ 『规律总结』 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实 际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示 为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.费用最省、利润最大问题
例 2:为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热 层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关 系：C(x)＝3x＋k 5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗耗费用为 8 万元．设 f(x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
引申探究 本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ 解 ∵AE＝x，∴HE＝ 2x. ∵EF＝60－2x， ∴EG＝ 22EF＝ 22(60－2x)＝ 2(30－x). ∴S 侧＝4×HE×EG＝4× 2x× 2(30－x) ＝8x(30－x)＝－8x2＋240x ＝－8(x－15)2＋8×152. ∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.
生活中的优化问题举例(27)
整理课件
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
整理课件
2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
整理课件
2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
整理课件
【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
整理课件
【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
生活中的优化问题举例一
方法一：基本均值不等式法：“一正二定三相等”
S( x) 2x 512 8 2 2x 512 8 72
x
x
当且仅当2x 512即x 16时，S( x)取得最小值为72
方法二：（导数x法求最值）
S( x)
2
512 x2
2( x
16)(x x2
16)
当0 x 16时，S（x） 0 当x 16时，S（x） 0
可 口 可 乐 公 司 制 造 并 出售 圆 柱 形 瓶 装 饮 料 。 瓶子 的 底 面 半 径 为 rcm ， 瓶 高 为5rcm , 瓶 子 的 制 造 成 本 包 括 瓶身 和 瓶 底 （ 将 瓶 盖 部 分近 似看成上底）。其中瓶身为0.1分 / cm 2，瓶底为0.25分 / cm 2。已知每 出 售1ml的 饮 料 ， 公 司 将 获 利0.1分(此 处 利 润 指 除 出 饮 料 生产 成 本 后 的 利 润, 不 含 瓶 子 成 本 ） ， 且 公司 能 制 造 的 瓶 子 的 最 大半 径 为6cm 。
生活中的优化问题举例(一）
生活中经常遇到求利润最大、用料
最省、效率最高等问题， 这些问题 通常称为优化问题.通 过 前面的学
习, 我 们 知 道, 导 数 是 求 函 数 最 大小
值的有力工具.本节我们运用导数, 解决一些生活中的优化问题.
一、基础知识链接
1、函数y 2x3 3x2 12x 5在0,3上的最小值
(3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息？
例3：现有一张半径为R的磁盘， 它的存储区是半径介于r与R的
R
环行区域。
r
(1)是不是r越小，磁盘的存
储量越大？ (2) r为多少时，磁盘具有最大存储量
生活中系统优化原理的例子
生活中系统优化原理的例子系统优化原理是指通过对系统内部各个组成部分和运行流程进行分析和改进，以提高系统整体性能和效率的一种方法。
生活中有很多例子可以体现系统优化原理的应用，包括：1. 交通流优化：城市交通堵塞是一个普遍存在的问题，通过优化交通流可以提高交通效率。
例如，道路规划不当可能导致交叉口拥堵，可以通过减少交叉口数量、设置红绿灯优化信号灯配时，以及利用流量监测和智能交通系统来改进交通流。
2. 餐厅排队优化：在繁忙的餐厅等候排队是一种常见的情况，通过系统优化原理可以减少顾客等待时间。
例如，通过设置有效的预订和排号系统、提高厨房效率、设置快速结账通道，以及利用智能点餐系统等手段来优化餐厅排队过程。
3. 供应链管理：供应链是一个涉及多个环节和参与方的系统，通过优化供应链能够提高整体效率和降低成本。
例如，通过优化物流和库存管理，减少节点之间的运输和储存时间，以及建立供需预测机制等手段来改进供应链运作。
4. 生产流程优化：在制造业中，通过对生产流程进行优化可以提高生产效率和产品质量。
例如，通过改进工艺和设备、合理安排生产计划和员工工作，以及优化物料供应和排程等手段来提高整个生产流程的效率。
5. 能源消耗优化：为了减少能源消耗和环境负荷，需要对能源消耗进行优化。
例如，通过改进建筑结构和隔热材料、使用高效能源设备和照明系统、引入清洁能源，以及建立能源管理体系等手段来降低能源消耗。
6. 电子设备的运行优化：对于电子设备，通过对软硬件的优化可以提高系统性能和用户体验。
例如，通过优化操作系统和应用程序的代码，减少资源占用和提高响应速度，以及优化电池管理和内存管理等手段来提高电子设备的运行效率。
7. 信息检索和推荐系统优化：在互联网时代，信息的获取和推荐成为了一个重要的问题，通过优化搜索引擎和推荐算法可以提高用户的信息获取和推荐准确度。
例如，通过优化搜索算法和索引结构、个性化推荐算法，以及利用用户反馈和数据分析来优化信息检索和推荐系统。
2-11.4生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例【学习目标】：1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.【学习过程】：一、课前准备复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2π上的最大值为_____；最小值为_______. 二、新课导学学习探究：优化问题问题：用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．新知：生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题.试试：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？反思：利用导数解决优化问题的实质是.典型例题例1班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm ，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a 2m ，为使所用材料最省，底宽应为多少？例2 某工厂生产某种产品，已知该产品月产量x （吨）与每吨产品的价格P （元/吨）之间的关系为：25124200x P -=，且生产x 吨的成本为x R 20050000+=元，问该产品每月生产多少吨才能使利润最大，最大利润是多少？（利润=收入-成本）小结：⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单当堂检测1. 一条长为100cm的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？2. 周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.3．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．学习小结1. 求实际问题中的最大(小)值，步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式)(xfy=；(2)求函数的导数)('xf，解方程0)('=xf；(3)比较函数在区间端点值和极值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．2．解决最优化的问题关键是建立函数模型，因此首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.3．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.b课后练习与提高1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（ ）A ．100B ．150C ．200D ．300 2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）ABC3. 若一球的半径为r ，则内接球的圆柱的侧面积最大为（ ）A ．22r πB ．2r πC ．24r πD ．212r π 4. 球的直径为d ，当其内接正四棱柱体积最大时的高为 .5. 面积为S 的矩形中，其周长最小的是 .6．以长为10的线段AB 为直径作半圆，求它的内接矩形面积的最大值。
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
生活中的最优化问题
生活中的最优化问题举例例：学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。
现在让你设计一张海报，要求版心面积为128分米，上、下两边各空2分米，左、右两边各空1分米，海报版心的高和宽各多少分米时，才能使四周空白的面积最小?练习：1.一条长度为L的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？2.无盖方盒的最大容积问题：一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（1）使把方盒的容积V 表示为x 的函数。
（2）x 多大时，方盒的容积V 最大？3.圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使所用材料最省？4.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得的n 个数据123,,,na a a a 求证：用n 个数据的平均值 11ni i x a n ==∑表示这个物体的长度，能使这n 个数据的方差211f ()()n i i x x a n ==-∑最小。
5.如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a 平方米。
为使所用材料最省，底宽应为多少？6.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系为C=100+4q,单价p与产量q的函数关系式为125.8p q q L=-求产量为何值时，利润最大？B组1.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部注满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用。
房间定价多少时，宾馆利润最大？训练与测评：1.用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（）A.6B.8C.10D.122.某工厂需要建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为（ ）A,16, 16 B.32 ，16 C.32，8 D.16，83.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知年总收益R 与年产量x 的关系是()()21400x ,0400280000,400()x x x R x -≤≤>⎧=⎨⎩则总利润最大时，每年生产产品的产量是（ ）A.100B.150C.200D.3004.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使体积最大，则其高应为（ ）A ,.,.333BC D。
高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2
5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
生活中的优化问题举例
＝v3 －5v2＋6 000(0＜v≤100)．
48 2
(2)Q′＝ v2 － 16
5v，
令 Q′＝0，则 v＝0(舍去)或 v＝80，
当 0＜v＜80 时，Q′＜0；
当 80＜v≤100 时，Q′＞0，
∴v＝80 千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，
且
Qmin＝ Q(80)＝2
000(元)． 3
栏目 导引
第一章 导数及其应用
由V′＝12x2－552x＋4 320＝0，得x1＝10，x2＝36. ∵0＜x＜10时，V′＞0,10＜x＜36时，V′＜0，x＞36时， V′＞0， ∴当x＝10时，V有极大值V(10)＝19 600. 又∵0＜x＜24， ∴V(10)又是最大值． ∴当x＝10时，V有最大值V(10)＝19 600. 故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
方法归纳 注意利用导数的方法解决实际问题时，如果在定义区间内只 有一个点使f′(x)＝0，且函数在这点有极大(小)值，那么不 与端点值比较，也可以知道该点的函数值就是最大(小)值．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2．甲、乙两地相距 400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙 地，速度不得超过 100 千米/时，已知该汽车每小时的运 输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关系是 P＝ 1 v4－ 1 v3＋15v.
栏目 导引
用料(费用)最省问题
第一章 导数及其应用
一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方 成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元， 而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多 少时，航行1海里所需的费用总和最小？ [解] 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元，那 么由题设的比例关系得 p＝k·v3，其中 k 为比例系数，它
高一数学生活中的优化问题举例试题
高一数学生活中的优化问题举例试题1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件，当每件商品的定价为元时，利润最大．【答案】115【解析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：利润为S（x）=（x﹣30）（200﹣x）=﹣x2+230x﹣6000，S′（x）=﹣2x+230，由S′（x）=0得x=115，这时利润达到最大．故答案为：115．点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．2.已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）函数关系式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为．【答案】9万件．【解析】求出函数的导函数，由导函数等于0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量．解：由，得：y′=﹣x2+81，由﹣x2+81=0，得：x1=﹣9（舍），x2=9．当x∈（0，9）时，y′＞0，函数为增函数，当x∈（9，+∞）时，y′＜0，函数为减函数，所以当x=9时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元）．所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．故答案为9万件．点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，考查了运用导函数判断原函数的单调性，此题是基础题．3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站千米处．【答案】5【解析】由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数，将费用之和关于车站距离的函数关系式建立起来，再用基本不等式求解．解：设仓库建在离车站d千米处，由已知y1=2=，得k1=20，∴y1=，y 2=8=k2•10，得k2=，∴y2=d，∴y1+y2=+≥2=8．当且仅当=，即d=5时，费用之和最小．故应填5．点评：本题考查选定系数法求解析式，此法的特点是相关函数的解析式的形式已知．求最值时用到了基本不等式求最值．4.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【答案】当高为10，最大容积为19600．【解析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．点评：此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆．5.设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为．【答案】【解析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=，最后利用导函数即得底面边长．解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh=a2×h，∴h==，则表面积为=，则，令可得，即a=．故答案为．点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．6.如图，在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是．【答案】16000cm3【解析】设箱底边长为xcm，结合题意可得容积V（x）=（60x2﹣x3）（0＜x＜60）．再用导数工具研究V（x）在区间（0，60）上的单调性，可知当x=40时V（x）达到最大值．由此得到本题答案．解：设箱底边长为xcm，则箱高h=，∴箱子容积V（x）=x2h=（60x2﹣x3）（0＜x＜60）．求导数，得V′（x）=60x﹣x2，令V′（x）=60x﹣x2=0，解得x=0（不合题意，舍去），x=40，∵x∈（0，40）时，V′（x）＞0；x∈（40，60）时，V′（x）＜0∴V（x）在区间（0，40）上为增函数，区间（40，60）上为减函数由此可得V（x）的最大值是V（40）=16000．故答案为：16000cm3．点评：本题以一个实际问题为例，求铁箱的容积最大值．着重考查了函数模型及其应用和利用导数研究函数的单调性、求最值等知识，属于中档题．7.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为．【答案】3【解析】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而S=πr2+2πrh==全面积（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径=πr2+2πrh==，利用基本不等式可求用料最小时的r（法二）：S全面积解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π=πr2+2πrh==S全面积（法一）令S=f（r），（r＞0）=令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值=πr2+2πrh==（法二）：S全面积==27π当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，S最小即用料最省故答案为：3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决．8.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是．【答案】d．【解析】据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值．解：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y．由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2=d2﹣x2，∴xy2=x（d2﹣x2）（0＜x＜d）．令f（x）=x（d2﹣x2）（0＜x＜d），得f′（x）=d2﹣3x2，令f′（x）=0，解得x=或x=﹣（舍去）．当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜d时，f′（x）＜0，因此，当x=时，f（x）取得极大值，也是最大值．故答案为：d．点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值．9.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【答案】当高为10，最大容积为19600．【解析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．点评：此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆．10.如图所示，设铁路AB=50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A到C最省？【答案】即在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．【解析】由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到C的总运费，利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案．解：设M为AB上的一点，且MB=x，于是AM上的运费为2（50﹣x），MC上的运费为4，则由A到C的总运费为p（x）=2（50﹣x）+4（0≤x≤50）．p′（x）=﹣2+，令p′（x）=0，解得x1=，x2=﹣（舍去）．当x＜时，p′（x）＜0；当x＞时，p′（x）＞0，故当x=时，p（x）取得最小值．即在离点B距离为的点M处修筑公路至C时，货物运费最省．点评：本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的解析式，并确定函数的单调性是解答本题的关键．。
探讨数学最优化问题在现实生活中的应用
探讨数学最优化问题在现实生活中的应用
数学最优化问题是指在已知一定条件下，寻找最优解的数学模型。
这种问题经常在各
个领域中出现，如经济、工程、物理学、生物学、管理学和计算机科学等。
在现实生活中，数学最优化问题的应用非常广泛，下面将介绍其中的一些实例。
1. 经济学中的应用
经济学中最常见的最优化问题是生产优化问题。
在生产过程中，企业需要寻找如何最
大化利润的生产方案。
生产方案的最大利润依赖于多个决策变量，如生产的数量、售价、
成本等。
最优化问题可以有两种形式：线性规划和非线性规划。
线性规划适用于少量变量，而非线性规划则适用于较多变量的情况。
在工程学中，最优化问题可以应用于设计优化和控制问题。
比如，机械工程师可以利
用最优化算法来设计优化物理结构，减少构件的重量和成本；电气工程师可以使用最优化
算法来进行控制系统的设计和最优化。
在生物学中，最优化问题可以应用于蛋白质序列预测、DNA拼接和结构预测中。
最优
化算法可以大大减少实验研究的时间和成本，同时可以帮助研究人员更好地了解生命现象
的本质。
在计算机科学中，最优化问题经常被用来设计算法和程序。
数据挖掘、图像处理和网
络优化都是最优化问题在计算机科学领域中的应用。
综上所述，数学最优化问题在现实生活中无处不在。
在各种领域中，最优化问题都能
够帮助人们更好地理解和解决问题，最终带来更好的结果。