2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足(3−4i )z =25，则z =( )A. −3+4iB. −3−4iC. 3+4iD. 3−4i3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。

甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )A. 360种B. 288种C. 240种D. 192种5. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 106. 双曲线x 216−y 29=1的离心率为______A. 54B. 53C. 45D. 357.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是()0347438636164780456911141695366146986371623326367797742467624281145720425332373227073607522452798973A. 14B. 16C. 20D. 268.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√29.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 4510.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，AB=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. 12B. √1010C. √105D. 1511.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx12.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a+bb+c=_____ ．14.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2√3，球O的体积为______.15.函数y=√4−2−x的值域是________________．16.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右焦点，P是直线l：y=x+m(m∈R)上一点，若|PF1|+|PF2|的最小值是4，则实数m=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD于点M．(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．18.某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为p(0<p<1)，且各件是否合格相互独立．(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)以(1)中确定的p0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．(i)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；(ii)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)19.数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，S n为其前n项和，a1,a2,a5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；(Ⅱ)设a1=1,b n=a2n,求数列{b n}的前n项和T n．(x−1)2−x+lnx(a>0)20.设函数f(x)=a2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B ={x|x >2}； ∴A ∩B ={3,4}．故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题．由复数的运算法则求解即可．解：因为(3−4i )z =25，所以z =253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i ．故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入．解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元，则2018年就医花费8000+4750=12750元，根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元．故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果．解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况；再排甲，也有4种情况；剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有A 44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，所以“丙得分比丁高”的情况有12A 44种，所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12A 44=192种，故选D ．5.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9．故选：A ．6.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：ca=54．故选A．利用双曲线方程求出离心率，渐近线方程，然后求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于或等于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20．故选C．8.答案：D解析：本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．9.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，连接AD 1，B 1D 1，则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成角，由已知可得：AB 1=AD 1=√5，B 1D 1=2√2． ∴cos∠B 1AD 1=2×5×5=15． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为15．故选：D ．由已知画出图形，找出异面直线AB 1与BC 1所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．11.答案：D解析：本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论．解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后，得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象，故选：D ．12.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e 12x ，则g′(x)=f′(x)e 12x −12f(x)e 12x(e 12x )2=2f′(x)−f(x)2e 12x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：36π解析：本题考查三棱锥外接球问题，及球的体积，属于基础题．其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，∴(2R)2=PA2+PB2+PC2=36，∴R= 3，所以V=43πR3=43π×33=36π．故答案为36π．15.答案：[0,2)解析：本题考查函数值域，属于基础题．解：根据指数函数性质可知2−x∈(0,+∞)，所以−2−x∈(−∞,0)所以4−2−x∈(−∞,4)因为y=√4−2−x≥0，所以值域为[0,2)．故答案为[0,2)．16.答案：±√7 解析：本题考查椭圆的概念与性质及直线与椭圆位置关系，属于中档题．设P 点坐标，由椭圆方程得出F 1、F 2的坐标，由椭圆的性质可知当直线l 与椭圆C 相切时符合题意，联立方程组求出m 的值即可..解：∵|PF 1|+|PF 2|=√(x 0+1)2+y 02+√(x 0−1)2+y 02≥4，∴当P 点为直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1的切点时|PF 1|+|PF 2|最小，将y =x +m 代入x 24+y 23=1得7x 2+8mx +4m 2−12=0，∴△=64m 2−28(4m 2−12)=0，解得m =±√7．故答案为±√7．17.答案：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．∵AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM =B ，∴PD ⊥平面ABM ．∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD ．(2)解：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0，0)，P(0,0，4)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)．∵AM ⊥PD ，PA =AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2，2)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y +z =0，且x +2y =0，令z =1，得x =2，y =−1.∴n⃗ =(2,−1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√63． ∴cos α=√33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，由此能证明AM ⊥PD ．(2)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，由此能求出直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．18.答案：解：(1)由题意得，f(p)=C 501p(1−p)49，所以. 因为0<p <1，所以令f ＇(p)=0，得p =150=0.02因为当0<p <0.02时，f ＇(p)>0，当0.02<p <1时，f ＇(p)<0，所以f(p)的最大值点p 0=0.02.(2)(i)由(1)可知产品合格的概率为1−0.02=0.98，所以该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C 31×0.982×0.02×0.98≈0.998 ，(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3 000，4 000，则P(ξ=3000)=0.983+C 31×0.98×0.022+0.023≈0.942，P(ξ=4000)=C 32×0.982×0.02≈0.058所以ξ的分布列为ξ 3000 4000P 0.942 0.058所以E(ξ)=3 000×0.942+4 000×0.058=3 058(元).解析：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C501p(1−p)49，所以，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0．(2)(i)由p=0.02，由题意，该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C31×0.982×0.02×0.98计算可得．(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3000，4000，分别计算概率，列出分布列，得到期望．19.答案：(Ⅰ)证明：因为数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即为(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简可得d=2a1，所以S1S9=a1(9a1+36d)=81a12，S3=3a1+3d=9a1，所以S1S9=S32，所以S1，S3，S9成等比数列；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，(Ⅱ)解：a1=1，则b n=a 2n所以数列{b n}的前n项和T n=(4+8+⋯+2n+1)−n−n=2n+2−4−n．=4(1−2n)1−2解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，再由分组求和，结合等比数列的(Ⅱ)求出b n=a 2n求和公式，计算即可得到所求和．(x−1)2−x+lnx(a>0)，定义域(0,+∞)，20.答案：解：(1)∵f(x)=a2∴f′(x)=a(x−1)−1+1x =a(x−1a)(x−1)x，①当0<a<1时，令f′(x)>0可得，x>1a或x<1，令f′(x)<0可得，1<x<1a，∴函数f(x)单调递增区间(1a ,+∞)，(0,1)，单调递减区间(1,1a)；②a=1时，f°(x)>0恒成立，故函数在(0,+∞)上单调递增；③当a>1时，令f′(x)>0可得，x<1a或x>1，令f′(x)<0可得，1a<x<1，∴函数f(x)单调递增区间(1,+∞)，(−∞,1a )，单调递减区间(1a,1)；(2)若1<a<e，由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，∵f(1)=−1<0，f(1a )=a2−12a−lna−1，令g(a)=a2−12a−lna−1，1<a<e，则g′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0恒成立，∴g(a)在(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(a)<g(e)<0，即f(1a )=a2−12a−lna−1<0，∵x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f(x)的零点个数为1．解析：(1)先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；(2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，然后判断出f(1)=−1<0，f(1a)=a 2−12a−lna−1<0及x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，所以p=4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0，所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0，根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]，所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1， ∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

【附20套高考模拟试题】2020届辽宁大连市普兰店区高考数学模拟试卷含答案

6．在正项等比数列
an
中，若
3a1,
1 2
a3, 2a2 成等差数列，则
a2016 a2015
a2018 a2017
的值为（
）
A． 3或1 B． 9或1 C． 3 D． 9
7．设双曲线 C ： x2 y2 1(m 0) 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 的直线与双曲线 C 交于 M ， N 8m
条数，再把网友人数按留言条数分成 6 组：0,10 ，10, 20 ，20,30 ，30, 40 ，40,50 ，50,60，
9．已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的所有棱长相等，ABC＝60 ，则直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角
的余弦值等于（）
6
10
A． 4 B． 4
2
3
C． 2 D． 2
10．在三棱锥 S ABC 中，底面△ABC 是直角三角形，其斜边 AB 4 ， SC 平面 ABC ，且 SC 3，
5．若由函数
y
sin
2x
2
的图像变换得到
y
sin
x 2
3
的图像，则可以通过以下两个步骤完成:
第一步，把
y
sin
2x
2
图像上所有点的横坐标变为原来的
4
倍，纵坐标不变:第二步，可以把所得
图像沿 x 轴（）
A．向右移个单位 3
B．向右平移 5 个单位 12
5
C．向左平移 3 个单位D．同左平移 12 个单位
两点，其中 M 在左支上， N 在右支上.若 F2MN F2NM ，则 MN （）
A． 8 2 B．8 C． 4 2 D．4
8．若 ABC 的三个内角满足 sin A: sin B : sin C 5:11:13 ，则 ABC （）

2020学年辽宁省大连市瓦房店市高考一模试卷数学文及答案解析

2020年辽宁省大连市瓦房店市高考一模试题数学文一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={x∈N|x2＜4}，B={x∈Z|1＜x＜4}，则C U(A∪B)=( )A.{0，1，2，3}B.{5}C.{1，2，4}D.{4，5}解析：集合U={0，1，2，3，4，5}，A={x∈N|x2＜4}={x∈N|-2＜x＜2}={0，1}，B={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，∴C U(A∪B)={4，5}.答案：D2.已知向量))2(2(a mb m==，，，，若a∥b，则实数m等于( )A.-2B.2C.-2或2D.0解析：向量a=(2，m)，b=(m，2)，若a∥b，可得m2=4，解得m=±2. 答案：C3.已知i是虚数单位，若复数(1-i)z=1+3i，则复数z的模为( )C.解析：由(1-i)z=1+3i，得131313111ii iz zi i i+++=∴==== ---，答案：B4.a≤0是方程ax2+1=0有一个负数根的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析：若a=0时，满足a≤0时，方程ax2+1=0无解，充分性不成立，由ax2+1=0得ax2=-1，则a≥0时，方程无解，当a＜0时，21xa=-，则x=，此时方程为一个正根一个负根，即必要性成立，即a≤0是方程ax2+1=0有一个负数根的必要不充分条件.答案：A5.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为( )A.13 28，B.11 28，C.11 35，D.12 39，解析：投一次骰子，出现点数共有6种情况，∴每天下雨的概率为21 63 =.在产生的10组随机数中，含有1或2的个数恰有2个的随机数共有2个，即114，251，∴三天中有两天下雨的概率为21 105=．答案：C6.已知双曲线C：22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=x解析：根据题意，双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则有22222222514c a b b e a a a +===+=，即2214b a=，即有12b a =12，又由双曲线的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为：y=±12x. 答案：C7.已知等比数列{a n }满足a 1=14，a 3a 5=4(a 4-1)，则a 2=( )A.2B.1C.12D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=14，a 3a 5=4(a 4-1)，∴263114144q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭⨯，化为q 3=8，解得q=2，则211242a =⨯=．答案：C8.在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos(2x+6π)，④y=tan(2x-4π)中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③解析：∵函数①y=cos|2x|=cos2x ，它的最小正周期为22π=π，②y=|cosx|的最小正周期为12 21π⋅=π，③y=cos(2x+6π)的最小正周期为22π=π，④y=tan(2x-4π)的最小正周期为2π.答案：A9.如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为( )A.0，3B.0，4C.2，3D.2，4解析：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足a＞b，不满足a=b，b=8-6=2，i=2满足a＞b，a=6-2=4，i=3满足a＞b，a=4-2=2，i=4不满足a＞b，满足a=b，输出a的值为2，i的值为4. 答案：D10.如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.24 3π+B.24 3π+C.4 3π+D.43π+解析：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体(可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体).该几何体的体积=211114 1221221222323ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎛⎫⎪⎭+⎝．答案：D11.若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且圆x 2+y 2=1与直线ax+by+c=0没有公共点，则△ABC 一定是( ) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定解析：∵△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且圆x 2+y 2=1与直线ax+by+c=0没有公共点， ∴圆心(0，0)到直线ax+by+c=0的距离d 大于半径r=1，即d =r=1，∴a 2+b 2＜c 2，cosC=2222a b c ab +-＜0，∴C 是钝角，∴△ABC 一定是钝角三角形.答案：A12.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x ∈(-∞，0)时，f(x)+xf ′(x)＜0成立，若a=(20.1)·f(20.1)，b=(ln2)·f(ln2)，c=(log 218)·f(log 218)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.c ＞b ＞a C.c ＜a ＜b D.a ＞c ＞b解析：∵设g(x)=xf(x)，∴g ′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf ′(x)，∴当x ∈(-∞，0)时，g ′(x)=f(x)+xf ′(x)＜0，函数y=g(x)单调递减， ∵f(x)满足f(x)=f(-x)， ∴函数y=f(x)为偶函数， ∴函数y=g(x)为奇函数，∴当x ∈(0，+∞)时，函数y=g(x)单调递减.∴20.1＞1，0＜ln2＜1，log 218=-3，∴g(-3)=-g(3)，∴g(-3)＜g(20.1)＜g(ln2)，∴c ＜a ＜b. 答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.化简sin 20cos 20cos50︒︒︒= .解析：原式()111sin 40sin 9050cos501222cos50cos50cos502︒︒-︒︒====︒︒︒.答案：1214.若实数x ，y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，，则y x 的取值范围是 . 解析：画出不等式组2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，，，表示的平面区域，如图所示；联立220240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，，解得A(32，1)，联立224y x y =⎧⎨+-⎩，，解得B(1，2)，由k OA =23，k OB =2得y x 的取值范围是[23，2].答案：[23，2].15.设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有S n =a n 2+2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式为a n = .解析：当n=1时，由4S 1=a 12+2a 1，a 1＞0，得a 1=2，当n ≥2时，由4a n =4S n -4S n-1=(a n 2+2a n )-(a n-12+2a n-1)，得(a n +a n-1)(a n -a n-1-2)=0，因为a n +a n-1＞0，所以a n -a n-1=2，故a n =2+(n-1)×2=2n. 答案：2n.16.已知以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上的两点A ，B 满足2AF FB =，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为 .解析：设BF=m ，由抛物线的定义知AA 1=2m ，BB 1=m ，∴△ABC 中，AC=m ，AB=3m ，∴k AB =22，直线AB 方程为y=22(x-1)，与抛物线方程联立消y 得2x 2-5x+2=0，所以AB 中点到准线距离为129124x x ++=.答案：94三、解答题：(共70分)17.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin 8cos 2A CB +=．(1)求tanB ；(2)若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b.解析：解析：(1)利用三角形的内角和定理与同角的三角函数关系求得tan 2B的值，再利用二倍角公式求出tanB 的值；(2)由二倍角公式求出sinB 、cosB 的值，再根据三角形面积公式和余弦定理求出b 的值.答案：△ABC 中，A+C=π-B ，cos cos sin 2222222A C B A C B B ππ⎛⎫⎪⎝⎭++∴=-∴=-=，；又221sin 8cos 2sin cos 8sin tan 222224A C B B B B B +=∴=∴=，，，∴2212tan2824tan.1511tan124BBB⎛⎫⨯===⎪⎝--⎭(2)2212tan21824tan sin2sin cos2422171tan1124BB B BBB⎛⎫⨯=∴====++⎪⎝⎭，；∴2151sin17B-=，又△ABC的面积为118sin22217ac B ac=⨯=，解得172ac=；又a+c=6，∴a2+c2=(a+c)2-2ac=62-17=19；∴b2=a2+c2-2accosB=19-17×1517=4，∴b=2.18.某校高二奥赛班N名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如图，已知分数在100-110的学生有21人.(1)求总人数N和分数在110-115分的人数n；(2)现准备从分数在110-115的n名学生(女生占13)中任选2人，求其中恰好含有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x(满分150分)，物理成绩y进行分析，如表是该生7次考试的成绩.已知该学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()121niniixi x yi yb a y bxx x==--==--∑∑，．其中12×6+17×9+17×8+8×4+8×4+12×6=497，122+172+172+82+122=994.解析：(1)根据频率分布直方图的意义，分数在100-110的学生有21人.110-115的频率为0.35，可得总人数210.35=60.直方图面积之和=1，可得110-115的频率为0.1，即人数为0.1×60=6人.(2)根据(1)可得110-115的人数为0.1×60=6人.(女生占13)，可得女生为2，男生4人.任选2人，采用组合基本事件，即可求解概率.(3)根据表中数据求出x y，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；代入x=130即可估计他的物理成绩.答案：(1)根据频率分布直方图的意义，分数在100-110的学生有21人，110-115的频率为：(0.04+0.03)×5=0.35，可得总人数210.35=60.直方图面积之和=1，可得110-115的频率为0.1，即人数为0.1×60=6人.(2)根据(1)可得110-115的人数为0.1×60=6人.(女生占13)，可得女生为2：用A1，A2表示，男生4人用：B1，B2，B3，B4任选2人的基本事件：(A1，A2)(A1，B1)：(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)：(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)(B2，B4)，(B3，B4)共15种，其中恰好含有一名女生的有8种，其概率为8 15；(3)由表中数据：1217178812698441610010077x y--+-++--+-+++=+=+，，∵()()1214970.51000.510050.994niniixi x yi yb a y bxx x==--====-=-⨯=-∑∑，∴物理成绩y 与数学成绩x 是线性其回归方程为：y=0.5x+50. 当x=130时，可得y=115，即可估计他的物理成绩为115分.19.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程.为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计数据表明，样本中所有人每天用于阅读的时间(简称阅读用时)都不超过3小时，其频数分布表如下：(用时单位：小时)(1)用样本估计总体，求该市市民每天阅读用时的平均值；(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书经验交流会，从这200人中筛选出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜欢古典文学.现从这6名代表中任选2名男代表和2名女代表参加交流会，求参加交流会的4名代表中，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率.解析：(1)根据阅读用时频数分布列表能求出该市市民每天阅读用时的平均值.(2)设参加交流会的男代表为A 1，A 2，a ，其中A 1，A 2喜欢古典文学，则男代表参加交流会的方式有：A 1A 2，A 1a ，A 2a ，共3种，设选出的女代表为：B ，b 1，b 2，其中B 喜欢古典文学，利用列举法能求出喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率. 答案：(1)根据阅读用时频数分布列表知：该市市民每天阅读用时的平均值为：00.510201 1.550 1.52602 2.540 2.53200.512 1.6522002002200220022002200+++++⨯++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故该市市民每天阅读用时的平均值为1.65小时.(2)设参加交流会的男代表为A 1，A 2，a ，其中A 1，A 2喜欢古典文学，则男代表参加交流会的方式有：A 1A 2，A 1a ，A 2a ，共3种，设选出的女代表为：B ，b 1，b 2，其中B 喜欢古典文学，则女代表参加市交流会的方式有：Bb 1，Bb 2，b 1b 2，共3种，所以参加市交流会代表的组成方式有：{Bb 1，A 1A 2}，{Bb 1，A 1a}，{Bb 1，A 2a}，{Bb 2，A 1A 2}，{Bb 2，A 1a}，{Bb 2，A 2a}，{b 1b 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1a}，{b 1b 2，A 2a}共9种，其中喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的是：{Bb 1，A 1A 2}，{Bb 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1A 2}，{b 1b 2，A 1a}，{b 1b 2，A 2a}共5种，所以，喜欢古典文学的男代表多于喜欢古典文学的女代表的概率是P=59.20.已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞c)的左右顶点分别为A ，B ，a=2b ，点E 在C 上，E 在x 轴上的射影为C 的右焦点F ，且|EF|=12.(1)求C的方程；(2)若M，N是C上异于A，B的不同两点，满足BM⊥BN，直线AM，BN交于点P，求证：P在定直线上.解析：(1)根据题意求出a、b的值，写出椭圆C的方程；(2)设直线BM的方程为y=k(x-2)，代入椭圆C的方程，求出点M、N的坐标，求出直线AM、BN的斜率，写出AM、BN的方程，求出两直线的交点P的横坐标即可.答案：(1)因为|EF|=12，所以212ba=；.又因为a=2b，所以a=2，b=1；故椭圆C的方程：221 4xy+=；(2)设直线BM的方程为y=k(x-2)，代入椭圆C的方程，得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0，设M(x1，y1)(x12≠4)，则2x1=22 164 14kk-+，解得x1=8k2-21+4k2，y1=-4k1+4k2，所以M(222 824 1414k kk k--++，)；用1k-替换k，可得N(22282444k kk k-++，)；解得直线AM的斜率为2224114824214kkk kk-+=--++，直线BN的斜率1k-，所以直线AM的方程为：y=14k-(x+2)①，直线BN的方程为：y=1k-(x-2)②，由①②两直线的交点P的横坐标x=10 3，所以点P在定直线x=103上.21.已知f(x)=x2-alnx，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a ＞0时，若f(x)的最小值为1，求a 的值；(3)设g(x)=f(x)-2x ，若g(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，证明：g(x 1)+g(x 2)＞52-.解析：(1)求出f(x)的导数，对a 讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；(2)由(1)可得f(x)的最小值为ln 1222a a a -=，令h(x)=x-xlnx ，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2；(3)求出g(x)=f(x)-2x=x 2-2x-alnx ，x ＞0.求得导数g ′(x)=2x-2-222a x x ax x --=，由题意可得x 1，x 2(x 1＜x 2)为2x 2-2x-a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g(x 1)+g(x 2)=x 12-2x 1-alnx 1+x 22-2x 2-alnx 2，化简整理可得m(a)=a-aln(2a -)-1，12-＜a ＜0，求得导数和单调性，即可得证.答案：(1)f(x)=x 2-alnx 的导数为f ′(x)=222a x a x x x --=，x ＞0，当a ≤0时，f ′(x)＞0，f(x)在(0，+∞)递增；当a ＞0时，当xf ′(x)＞0，f(x)递增；当0＜xf ′(x)＜0，f(x)递减；(2)当a ＞0时，由(1)可得f(x)取得极小值，也为最小值，且为ln 222a a a -，由题意可得ln 1222a a a -=，令h(x)=x-xlnx ，h ′(x)=1-(1+lnx)=-lnx ，当x ＞1时，h ′(x)＜0，g(x)递减；当0＜x ＜1时，h ′(x)＞0，g(x)递增.即有x=1处h(x)取得极大值，且为最大值1，则ln 1222a a a -=的解为a=2；(3)证明：g(x)=f(x)-2x=x2-2x-alnx ，x ＞0.g ′(x)=2x-2-222a x x ax x --=，由题意可得x 1，x 2(x 1＜x 2)为2x 2-2x-a=0的两根，即有△=4+8a ＞0，解得12-＜a ＜0，x 1+x 2=1，x 1x 2=2a-，g(x 1)+g(x 2)=x 12-2x 1-alnx 1+x 22-2x 2-alnx 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2-2(x 1+x 2)-aln(x 1x 2)=1+a-2-aln(2a -)=a-aln(2a-)-1，令m(a)=a-aln(2a -)-1，12-＜a ＜0，可得m ′(a)=1-(ln(2a -)+1)=-ln(2a-)＞0，即有m(a)在(12-，0)递增，可得m(a)＞m(12-)，由1112221335ln 1ln 214222m ⎛⎫=-+-=----=⎭-- ⎪⎝＞．则有g(x 1)+g(x 2)＞52-.22.已知直线l 的极坐标方程是ρsin(θ-3π)=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩，(α为参数).(Ⅰ)求直线l 被曲线C 截得的弦长；(Ⅱ)从极点作曲线C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程.解析：(I)直线l 的极坐标方程是ρsin(θ-3π)=0，展开可得：ρ(123sin cos 2θθ-)=0，化为直角坐标方程.曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，利用平方关系消去参数α可得普通方程，求出圆心C 到直线l 的距离d ，可得直线l 被曲线C 截得的弦长=(II)设Q 圆C 上的任意一点，P(x ，y)为线段OQ 的中点，则Q(2x ，2y)，代入圆C 的方程可得各弦中点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.答案：(I)直线l 的极坐标方程是ρsin(θ-3π)=0，展开可得：ρ(123sin cos 2θθ-)=0，化为：y-3x=0.曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，消去参数α可得：x 2+(y-2)2=4，圆心C(0，2)，半径r=2.∴圆心C 到直线l 的距离1d ==，∴直线l 被曲线C 截得的弦长=== (II)设Q 圆C 上的任意一点，P(x ，y)为线段OQ 的中点，则Q(2x ，2y)，代入圆C 的方程可得：(2x)2+(2y-2)2=4，化为：x 2+y 2-2y=0，可得ρ2-2ρsin θ=0，即ρ=2sin θ，即为各弦中点轨迹的极坐标方程.23.已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|(Ⅰ)当a=3时，解关于x 的不等式|x-1|+|x+a|＞6(Ⅱ)若函数g(x)=f(x)-|3+a|存在零点，求实数a 的取值范围.解析：(Ⅰ)当a=-1时，不等式|x-1|+|x+3|＞6等价变形，可得结论； (Ⅱ)利用|x-1|+|x+a|≥|a+1|，即可求实数a 的取值范围.答案：(Ⅰ)当a=3时，不等式|x-1|+|x+3|＞6可化为3136x x x ≤-⎧⎨---⎩，＞或31136x x x -⎧⎨-++⎩＜＜，＞或1136x x x ⎧⎨-++⎩＞，＞，解得x ＜-4或x ＞2，∴不等式f(x)＞5的解集为{x|x ＜-4或x ＞2}. (Ⅱ)若函数g(x)=f(x)-|3+a|存在零点，则|x-1|+|x+a|≥|a+1|，∴|3+a|≥|a+1|，解得a ≥-2.。

2020年东北三省四市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)

2020年东北三省四市高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|（x+1）（x-2）＜0}，则A∩B=（）A. {0，1}B. {-1，0}C. {-1，0，1}D. {0，1，2}2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列各点中,可以作为函数图象对称中心的是( )A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S5=（）A. 0B. 10C. 15D. 306.已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α∥β的是（）A. m∥n，m⊂α，n⊂βB. m∥n，m⊥α，n⊥βC. m⊥n，m∥α，n∥βD. m⊥n，m⊥α，n⊥β7.科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）A. 2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大B. 2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小C. 该企业连续12年来研发投入逐年增加D. 该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加8.若a=log2，b=0.48，c=ln2，则a，b，c的大小关系是（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. c＜b＜aD. b＜c＜a9.我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，则对该几何体描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为2；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24π．其中正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 010.函数f（x）=的部分图象大致是（）A. B.C. D.11.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则p的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 612.已如函数f（x）=，若x1≠x2，且f（x1）+f（x2）=2，则x1+x2的取值范围是（）A. [2，+∞）B. [e-1，+∞）C. [3-2ln2，+∞）D. [3-2ln3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，则a+4b的最小值为______14.已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为______．15.已知，的是两个单位向量，且夹角为，t∈R，则+t与t+数量积的最小值为______．16.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N*），则=______三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在△ABC中，AB=6，AC=4．（Ⅰ）若sin B=，求△ABC的面积；（Ⅱ）若=2，AD=3，求BC的长．18.某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成的一件产品的事件（单位：min）进行统计，按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95）进行分组，得到下列统计图．（Ⅰ）分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？（Ⅲ）从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取2人中，至少1人生产时间少于65min的概率．19.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）当四棱锥P-ABCE体积最大时，求点C到平面PAB的距离．20.椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|=6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MB2NB1面积的最大值．21.已知函数f（x）=+a ln x（a＞0）．（Ⅰ）若函数y=f（x）图象上各点切线斜率的最大值为2，求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2有解，求a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A（2，1）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ=3，从原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|•|ON|=12，记点N的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．23.已知函数f（x）=|2x-1|+|x-1|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为m，当a，b，c∈R+，且a+b+c=m时，求++的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选：A．求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，对函数的解析式进行化简是解题的关键，属于基础题．根据题意化函数为一个正弦型函数，根据正弦函数的对称性，即可求出图象的对称中心．【解答】解：y=sin x-cos x=2sin（x-），令x-=kπ，k∈Z，求得x=kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数y=sin x-cos x图象对称中心的是：（，0）．故选A．4.答案：B解析：解：由已知中N=4，第一次进入循环时，p=1，此时k=1不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时，p=2，此时k=2不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时，p=6，此时k=3不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时，p=24，此时k=4满足退出循环的条件，故输出的p值是24故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算p值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．5.答案：C解析：解：数列{a n}为等差数列，且a2=4，a4=2，所以由a2+a4=2a3，得a3=3，∴S5==5a3=5×3=15，故选：C．由a2+a4=2a3，再根据S5于a3的关系，可得．本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，为基础题．6.答案：B解析：解：对于A，若α∩β=l，m∥l，n∥l，显然条件成立，但α，β不平行，故A错误；对于B，由m∥n，m⊥α可得n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故B正确；对于C，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α，β可能平行，可能相交，故C错误；对于D，m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，故D错误．故选：B．根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明．本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题．7.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由折线图和条形图可得答案【解答】解：由折线图和条形图可得2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年增量大，2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年增量小，该企业连续12年来研发投入逐年增加，该企业连续12年来研发投入占营收比，有增有减故选：D．8.答案：B解析：【解答】解：∵，0＜0.48＜0.58＜0.5，；∴a＜b＜c．故选：B．【分析】可以得出：，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、指数函数和幂函数的单调性，增函数和减函数的定义．9.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，则四个侧面是直角三角形，故①正确；最长棱为PC，长度为，故②正确；由已知可得，PB=，，PD=，则四个侧面均不全等，故③错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为，其表面积为，故④正确．∴其中正确的个数为3．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面ABCD 为矩形，AB=2，BC=4，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．10.答案：B解析：【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题.先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（-∞，-）∪（-，）∪（，+∞），f（-x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A；分别取x=1，x=2，得f（2）＜f(1)，故排除D；当x=1时，f（1）=＜0，故排除C；综上所述，只有B符合.故选B．11.答案：D解析：解：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），过F且倾斜角为120°的直线方程设为y=-（x-），联立抛物线的方程可得y2+2py-p2=0，设A的纵坐标为y1，B的纵坐标为y2，M，N的纵坐标为y1，y2，可得y1+y2=-，y1y2=-p2，则|y1-y2|=4，可得（y1+y2）2-4y1y2=192，即为+4p2=192，解得p=6，故选：D．求得抛物线的焦点坐标，以及直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得p．本题考查直线和抛物线的位置关系，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数与导数的相关知识,属中档题．可根据题意及画出的分段函数的图象确定出x1＜1＜x2，然后可将f（x1）和f（x2）代入到确定的表达式，得到x1和x2的关系式，再用x2表示x1，则可只用x2表达x1+x2，再构造函数g（x）与x1+x2的表达式一致，通过求导方法判断出g（x）的值域即可得到x1+x2的取值范围．【解答】解：根据题意，画出分段函数f（x）图象如下：由两个函数图象及题意，可知：x1，x2不可能同时＞1．因为当x1和x2都大于1时，f（x1）+f（x2）＞2，不满足题意，∴x1，x2不可能同时＞1．而x1≠x2，∴x1＜1＜x2，∴f（x1）+f（x2）=，∵f（x1）+f（x2）=2，∴，∴x1=1-2ln x2，∴x1+x2=1+x2-2ln x2，（x2＞1）．构造函数g（x）=1+x-2ln x，（x＞1）则．①令g′（x）=0，即，解得x=2；②令g′（x）＜0，即，解得1<x＜2；③令g′（x）＞0，即，解得x＞2．∴g（x）在（1，2）上单调递减，在x=2处取得极小值，在（2，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（2）=3-2ln2．∴g（x）≥3-2ln2．∴x1+x2≥3-2ln2．故选：C．13.答案：8解析：解：a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，所以a+4b≥2=8，当且仅当a=4b时取得等号，即a=4，b=1时取得最小值8．故填：8．a＞0，b＞0，且2是a，b的等比中项，故ab=4，再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题．14.答案：2解析：解：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是．则2c=4，c=2则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．由题意可得点A，B，C的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=AC-BC，求得a，进而求得c，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．15.答案：解析：解：由题意知，（+t）•（t+）=t+t+（t2+1）•=t+t+（t2+1）=t2+2t+=（t+2）2-，当t=-2时数量积取得最小值为-．故答案为：-．由题意计算（+t）•（t+），利用二次函数的性质求出最小值．本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了利用二次函数求最值的应用问题，是基础题．16.答案：n2解析：解：由a n+1=，得，即，∴数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，则=．故答案为：．把已知数列递推式变形，可得，则数列{}是以为首项，以2为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，是中档题．17.答案：解：（Ⅰ）∵b=4＜6=c，∴B为锐角．∵sin B=，∴cos B==．∴=62+a2-12a×，化为：a2-4a+4=0，解得a=2．∴△ABC的面积S==4．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，则BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理可得：cos B==，解得x=．∴BC=．解析：（Ⅰ）由b=4＜6=c，可得B为锐角．可得cos B=．利用余弦定理可得a．利用面积计算公式即可得出．（Ⅱ）=2，AD=3，设CD=x，可得BD=2x．在△ABD与△ABC中，分别利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、平方关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）第一组工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人）第二组工人40人．其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有40×（0.025+0.05）×10=30人，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数为（人）．（Ⅱ）第一组平均时间为：=（60×2+70×4+80×10+90×4）=78（min），第二组平均时间为：=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5（min），∵x1＞x2，∴乙车间工人生产效率更高．（Ⅲ）由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的工人用B1，B2，B3，B4代表，抽取2人基本事件空间为：Ω={（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}，共15个基本事件．设事件A=“2人中至少1人生产时间少于65min”则事件={（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}，共6个基本事件抽取2人中，至少1人生产时间少于65min的概率P（A）=1-P（）=1-=．解析：（Ⅰ）分别计算出在75min生产完成一件产品的频率，然后估算总体的频数．（Ⅱ）利用频数分布图和频率分布直方图分别估计平均值，由于乙车间平均值较小，可得乙车间生产效率高．（Ⅲ）可确定工人共有6人，其中少于65min的共有2人，列举出所有基本事件，根据古典概型求得结果．本题考查统计中的频数分布图和频率分布直方图、分层抽样、古典概型的问题；对于文科考题中的古典概型问题，主要考查的求解方法为：列举法．19.答案：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADE=，∠DAB=∠ABC=，∴在等腰ADB中，∠ADB=∠ABD=，∴∠DBC=-=，即BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB=O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（Ⅱ）设点C到平面PAB的距离为d，由题意得，OP⊥平面ABCE时，四棱锥P-ABCE体积最大，∵OP=OB=，∴PB=，∵AP=AB=1，∴S△PAB==，S△ABC==，∴V P-ABC==，又V P-ABC=V C-PAB==，∴d=．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中连接BD，交AE于点O，证明BD⊥AE即可得出翻折后AE⊥平面POB，从而AE⊥PB；（Ⅱ）根据V P-ABC=V C-PAB列方程求出点C到平面PAB的距离．20.答案：解：（I）∵e=，∴a=c，又2b=6，且a2=b2+c2，∴a2=18，b2=9，因此椭圆C的方程为+=1．（II）：设M（x0，y0），N（x1，y1），∵NB1⊥MB1，NB2⊥MB2．∴直线NB1：y+3=-x……①直线NB2：y-3=-x……②由①，②解得：x1=，又∵+=1，∴x1=-，四边形MB2NB1的面积S=|B2B1|（|x1|+|x0|）=|x0|，∵0＜x02≤18，∴当x02=18时，S的最大值为．解析：（Ⅰ）利用离心率为，2b=6且a2=b2+c2，求出a，b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设M（x0，y0），N（x1，y1），分别求出直线NB1和直线NB2的方程，即可求出x1和x0的关系，表示四边形ABF2F1面积，即可求出面积的最大值本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查面积的计算，属于中档题．21.答案：解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（0，+），f′（x）==，∵a＞0,∴当时，f′（x）取最大值，∴，∵a＞0，∴a=4，∴f′（x）=，当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的极小值点为x=，无极大值点．（Ⅱ）∵f′（x）=，其中x＞0且a＞0，∴当（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）≥f（）=a+a ln．∵关于x的不等式f（x）＜2有解，∴a+a ln＜2，∵a＞0，∴＜0，令g（x）=ln x+1-x，∴g′（x）=，当（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0，∴＜0等价于＞0且．∴a的取值范围是a＞0且a≠2．解析：本题考查利用导数求函数的单调性与极值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是较难题．（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到当时，f′（x）取最大值，由求得a值，代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点．（Ⅱ）求出原函数的导函数，分析单调性，得到f（x）≥f（）=a+a ln，把关于x的不等式f（x）＜2有解转化为a+a ln＜2，即＜0，再由g（x）=ln x+1-x的单调性得到g（x）≤g（1）=0，则＜0等价于＞0且，由此求得a的取值范围．22.答案：解：（Ⅰ）直线l1的参数方程为，即（t为参数）．………………………………………（2分）设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），则，即，即ρ=4cosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）．……………………………………………（5分）（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得，……………………………（7分）即，t1，t2为方程的两个根，∴t1t2=-3，………………（9分）∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．………………………………………（10分）解析：（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ=4cosθ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.答案：解：（Ⅰ）f（x）≤4⇔或或，解得-≤x≤2，故不等式f（x）≤4的解集为{x|-≤x≤2}（Ⅱ）∵f（x）=，∴f（x）min=，即m=，又a，b，c∈R+且a+b+c=，z则2a+2b+2c=1，设x=，y=，z=，∵x2+y2≥2xy，2xy≤x2+y2=2a+1+2b+1=2a+2b+2，同理：2yz≤2a+2c+2，2xz≤2c+2a+2，∴2xy+2yz+2xz≤2a+2b+2+2b+2c+2+2c+2a+2=8，∴（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz≤2a+1+2b+1+2c+1+8=12，∴x+y+z≤2，即++≤2，当且仅当a=b=c=时，取得最大值2．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等式，在相并；（Ⅱ）先求得m=，再设x=，y=，z=，然后利用重要不等式以及不要等式的性质可得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)

辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习辽宁省大连市2020届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题（含答案解析）1 已知集合，，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】计算，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,，，则，，AB错误；，C错误；，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2 设，，，则a、b、c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】由指数函数的性质和对数函数的性质，分别求得的取值范围，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得，，由对数函数的性质，可得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3 已知平面，，直线，直线，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】 C【分析】根据空间线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断得出答案.【详解】选项A. 由直线，直线，，则与可能异面，可能平行.则选项A错误.选项B. 由直线，直线,,则与可能平行，可能相交，可能异面，则选项B错误.选项C. 由直线,，则选项C正确.选项D. 由直线，直线,则与可能平行，可能相交,则选项D错误. 故选：C【点睛】本题考查空间线面、面面的位置关系的综合应用，属于基础题.4 已知随机变量X服从正态分布，且，则（）A. 0.6B. 0.2C. 0.4D. 0.35【答案解析】 B【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∵，∴.故选：B．【点睛】本题考查的知识点是正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5 为了普及垃圾分类的知识，某宣传小组到小区内进行宣传.该小组准备了100张垃圾的图片，其中可回收垃圾40张.为了检验宣传成果，该小组从这100张图片中选取20张做调查问卷，则这20张中恰有10张可回收垃圾的概率是（）A. B.C. D.【答案解析】 B【分析】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有个结果，由古典概率公式计算即可得结果.【详解】由题知，该小组从这100张图片中选取20张共有个结果，而这20张中恰有10张可回收垃圾的共有个结果，由古典概率公式得这20张中恰有10张可回收垃圾的概率为.故选：B【点睛】本题主要考查古典概率，属于基础题.6 与双曲线有共同的渐近线，且焦点在y轴上的双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.【答案解析】 A【分析】设双曲线的方程，根据题意，求得，再结合离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得其渐近线方程为，又由与双曲线有共同的渐近线，且焦点在轴上，设双曲线的方程，则，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7 在展开式中，含的项的系数是（）A. －39B. －9C. 15D. 51【答案解析】 A【分析】首先将利用二项式定理展开，再求含的项的系数即可.【详解】因为所以含的项的系数为.故选：A【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，属于简单题.8 已知数阵中，每行的三个数依次成等比数列，每列的三个数也依次成等比数列，若，则该数阵中九个数的积为（）A. 36B. 256C. 512D. 1024【答案解析】 C【分析】根据等比中项的性质计算可得；【详解】解：依题意可得，，，，因为所以故选：C【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题；9 已知一个正四面体和一个正四棱锥，它们的各条棱长均相等，则下列说法：①它们的高相等；②它们的内切球半径相等；③它们的侧棱与底面所成的线面角的大小相等；④若正四面体的体积为，正四棱锥的体积为，则；⑤它们能拼成一个斜三棱柱.其中正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案解析】 B【分析】①正四面体的高，正四棱锥的高，所以该命题错误；②设正四面体的内切球半径为.设正四棱锥的内切球半径为则.所以该命题不正确；③在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，所以该命题不正确；④计算得.所以该命题正确；⑤把一个斜三棱柱分解成一个正四面体和正四棱锥，所以该命题正确.【详解】设正四面体和正四棱锥的棱长都为2，①，如图1，,所以正四面体的高.如图2，正四棱锥的棱长都为2，它的高,所以该命题不正确；②设正四面体的内切球半径为则，所以.设正四棱锥的内切球半径为则,所以.所以该命题不正确；③如图1，在正四面体中，就是侧棱和底面所成的角，.如图2，在正四棱锥中，就是侧棱和底面所成的角，，所以该命题不正确；④若正四面体的体积为，，正四棱锥的体积为，，则.所以该命题正确；⑤如图3，是一个斜三棱柱，其中四棱锥是一个棱长都为2的正四棱锥，四面体是棱长都为2的正四面体，所以它们能拼成一个斜三棱柱.所以该命题正确.故选：B.【点睛】本题主要考查几何体的体积的计算，考查几何体的内切球问题，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象计算能力.10 设，则是的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 A分析：根据条件分别做出和，以及的图象，利用数形结合进行判断，即可得到结论.详解：由得或，作出函数和，以及的图象，如图所示，则由图象可知当时，，当时，，因为，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查了充分条件和必要条件的判定问题，其中正确作出相应函数的图象，利用数形结合法求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想方法的应用，以及推理与论证能力.11 在直线：上有两个点A、B，且A、B的中点坐标为(4,3)，线段AB的长度，则过A、B两点且与y轴相切的圆的方程为（）A. 或B. 或C或D. 或【答案解析】 C【分析】首先求出线段的垂直平分线方程，设出圆心坐标和半径，再利用圆的弦长性质得到圆心坐标和半径，即可得到圆的标准方程.【详解】由题知：线段的垂直平分线方程为：，即.设圆心，因为圆与轴相切，所以，如图所示：因为，所以，整理得：，解得或.当时，圆心，，圆.当时，圆心为，，圆.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.12 函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数b的取值集合是（）A. ， B. ，C. ，D. ，【答案解析】 C【分析】由条件可推得函数是以4为周期的周期函数，且图象关于直线对称，关于原点对称，作出函数与函数的图象，结合图象即可得实数的范围.【详解】由已知得，，则，所以函数的图象关于直线对称，关于原点对称，又，进而有，所以得函数是以4为周期的周期函数，由有三个零点可知函数与函数的图象有三个交点，当直线与函数图象在上相切时，即有两个相等的实数根，即，由得，，当时，，作出函数与函数的图象如图：由图知当直线与函数图象在上相切时，，数形结合可得在有三个零点时，实数满足，再根据函数的周期为4，可得所求的实数的范围.故选：C【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化与化归的思想和数形结合的思想.13 设x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案解析】 2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合平面区域确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点时，此时在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.故答案为：2.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．14 已知i是虚数单位，则______．【答案解析】【分析】根据虚数的计算规律，合理利用数列的求和，即可求解.【详解】由题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算性质的应用，其中解答中合理利用复数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15 对数是简化繁杂运算的产物.16世纪时，为了简化数值计算，数学家希望将乘除法归结为简单的加减法.当时已经有数学家发现这在某些情况下是可以实现的.比如，利用以下2的次幂的对应表可以方便地算出16×256的值.456789101112163264128256512102420484096首先，在第二行找到16与256；然后找出它们在第一行对应的数，即4与8，并求它们的和，即12；最后在第一行中找到12，读出其对应的第二行中的数4096，这就是16×256的值.用类似的方法可以算出的值，首先，在第二行找到4096与128；然后找出它们在第一行对应的数，即12与7，并求它们的______；最后在第一行中找到______，读出其对应的第二行中的数______，这就是值.【答案解析】差 ; 5 ; 32【分析】题设中给出的是第一行数的加法与第二行数的乘法的对应关系，类比到所求的问题中就是第一行数的减法与第二行数的除法之间的对应关系，从而可求规定的值.【详解】题设中给出的计算方法是：第一行数中两数的和与与第二行数的对应的两数的乘积是匹配的，因此，若在在第二行找到4096与128，要求它们的商，可以找出它们在第一行对应的数，即12与7，它们的差（5）在第二行中对应的数（32）即为.故答案为：差，5，32.【点睛】本题考查类比推理，一般地，类比推理有结论的类比、公式定理的类比，也有解题方法的类比，解题中注意寻找两类问题的相似之处.16 在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于E，F.若，，，则的最小值为______.【答案解析】 4【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，再利用基本不等式，即可求解.【详解】如图所示，在中，，点满足，所以，即，可得，因为，，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与向量的共线定理，以及基本不等式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算和共线定理，得到的关系式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.17 已知函数且当时，最小值为.（1）求函数f(x)的单调减区间；（2）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.且满足，，，求△ABC的面积.【答案解析】（1），；（2）.【分析】（1）先将函数化简得，由时，的最小值为，得函数的周期，从而求出，再求函数的单调减区间.（2）由可得，又，所以，根据正弦定理可得边长，再由面积公式求三角形面积.【详解】解：（1），∵时，的最小值为，∴周期，∴，∴，∴.令，，得，，单调递减区间为，.（2），得，∵，∴，∴，∴，∴，由得，，.【点睛】本题考查三角函数的恒等变形和三角函数的图像性质，考查正弦定理和三角形的面积，属于中档题.18 多面体ABC﹣DEF中，△DEF为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，平面，平面.（1）求证：；（2）若，，求平面ABC与平面DEF所成的较小的二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）利用线面平行的性质定理，分别证得和，即可证；（2）分别证得两两垂直，建立空间直角坐标系即可求解.【详解】解：（1）证明：因为平面，平面，平面平面，所以，同理可证，，所以.（2）因为△为等腰直角三角形，，所以，，又，，所以四边形为平行四边形，所以，因为△为等边三角形，所以，取的中点，连结、，因为，则，又，且，所以四边形为平行四边形，所以，在中，，所以，即，进而，同理可证，进而，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以，易知平面的一个法向量为，，所以平面与平面所成的较小的二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线线、线面平行的判定与证明，以及计算二面角大小.计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.19 已知圆锥曲线过点，且过抛物线的焦点B．（1）求该圆锥曲线的标准方程；（2）设点P在该圆锥曲线上，点D的坐标为，点E的坐标为，直线PD 与y轴交于点M，直线PE与x轴交于点N，求证：为定值．【答案解析】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，再代入解析式中求出方程即可得解；（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且，，设椭圆上一点，表示出直线，直线，得到，；所以计算可得；【详解】解：（1）抛物线的焦点，将点，代入方程得，解得，所以圆锥曲线的标准方程为．（2）由（1）问可知该圆锥曲线为椭圆，且，，设椭圆上一点，则直线：，令，得．∴，直线：，令，得．∴．所以因为点在椭圆上，所以，即，代入上式得．故为定值．【点睛】本题考查待定系数法求曲线方程，直线与圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.20 盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同.某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是多少？（2）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并分析是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关？女生男生总计购买未购买总计参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（3）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：周数123456盒数16______23252630由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1、3周数据进行检验.①请用4、5、6周的数据求出关于的线性回归方程；（注：，）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？【答案解析】（1）；（2）填表见解析，有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”；（3）①；②可靠.【分析】（1）列举出基本事件的总数和事件“他恰好能收集齐这三种样式”所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.（2）根据题意，得出的列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可得到结论；（3）①求得的值，根据公式求得的值，求得回归直线方程；②当和时，比较即可得到结论.【详解】（1）由题意，基本事件空间为，其中基本事件的个数为9个，设事件为：“他恰好能收集齐这三种样式”，则，其中基本事件的个数为2，所以他恰好能收集齐这三种样式的概率.（2）女生男生总计购买402060未购买7070140总计11090200则.又因为，故有把握认为“购买该款盲盒与性别有关”.（3）①由数据，求得，.由公式求得，.所以关于的线性回归方程为.②当时，，；同样，当时，，.所以，所得到的线性回归方程是可靠的.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，独立性检验的应用，以及回归直线方程的求解及应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21 已知函数.（1）若使成立，求a的取值范围；（2）若，证明不等式.【答案解析】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，可由知命题成立，当时，利用导数可求，由可得，故可求实数的取值范围.（2）成立等价于成立，令，，利用导数可证，，从而可知原不等式成立.【详解】解：定义域，（1）①时，，∴使成立.②时，，由得，由得，∴函数在区间单调递增，函数在区间单调递减，故，得，∴，∴由①②得.（2）时，由得需证，令，，,令得，令得∴函数在区间单调递增，在区间单调递减，，，，令得，令得.函数在区间单调递减，在区间单调递增，，∴时，成立，∴成立.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及函数不等式的恒成立，前者依据导数的符号，注意合理的分类讨论，后者需变形后构建新函数，通过导数求出新函数的最值，通过最值的关系来证明不等式.22 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴建极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）直线，的极坐标方程分别为，，直线与曲线C的交点为O、M，直线与曲线C的交点为O、N，求线段MN的长度．【答案解析】（1）；（2）1．【分析】（1）先根据三角函数平方关系消元得普通方程，再根据化为极坐标方程；（2）根据直线与曲线极坐标方程可得极坐标，再根据余弦定理求的长度．【详解】解：（1）由曲线的参数方程为得曲线的直角坐标方程为：，所以极坐标方程为即．（2）将代入中有，即，将代入中有，即，，余弦定理得，．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程、余弦定理，考查综合分析求解能力，属基础题.23 设函数．（1）解不等式；（2）若f(x)最小值为m，实数a、b满足，求的最小值．【答案解析】（1）或；（2）．【分析】（1）分类讨论，，三种情况，解不等式得到答案.（2）计算，所求可看作点到直线的距离的平方，计算得到答案.【详解】（1），由得或或，得或或，∴不等式解集或．（2）根据图象知：，∴，所求可看做点到直线的距离的平方，．∴的最小值为．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.。

2020届辽宁省大连一中高三3月模拟测试数学(理)试题(解析版)

【答案】
【解析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线的方程，再根据点差法求出的中点坐标，从而得出的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．
【详解】
拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为：．
设点，的中点为，则
两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，
可得 .
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查点差法的应用，以及中点公式，向量的模的坐标计算公式，抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知数列满足，数列的前项的和为 .
（1）求出数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项的和 .
【答案】（1） . ， .（2）
【解析】（1）根据构造法即可求出数列的通项公式，根据与的关系即可求出的通项公式；
4．2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各大医院抽调精兵强将参加武汉疫情狙击战，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机，编号分为1，2，3，4，5，6号，同时到达武汉天河飞机场，每五分钟降落一架，其中1号与6号相邻降落的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】假设，可将变形为，即可知函数在上单调递减，然后利用导数和单调性的关系，可得在上恒成立，分参得，，求出函数在上的最大值，即可求解出的取值范围．
【详解】
不妨设，由可得，
即．设函数，则函数在上单调递减，可知，即有，而函数在单调递增，，可知实数 .
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，即可将化为，再根据不等式恒成立问题的解法，分参，求出的最小值，即可求解．

2020-2021学年高考数学理科一模测试题及答案解析

最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1285．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．811．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为．14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nCn﹣12•22+…+nCn﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n ×（）n+1= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200] （201，400] （401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3（1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH 分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：D．2．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2，K2越小，我们认为“X与Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选：D．3．在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞）C．（2，4] D．（4，+∞）【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．128【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，O1A1=6，O1C1=2，∴它的俯视图的直观图面积为12，∴它的俯视图的面积为：24，∴它的俯视图的俯视图是边长为：6的菱形，棱柱的高为4故该几何体的侧面积为：4×6×4=96，故选：C．5．将函数f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=sin2x的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1，x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数g（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数f（x）=sin（2x﹣2φ）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨设：x2=，x1=，即f（x）在x1=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=+kπ，k∈Z，由于0＜φ＜，不合题意，不妨设：x2=，x1=﹣，即f（x）在x1=﹣，取得最小值，sin[2×（﹣）﹣2φ]=﹣1，此时φ=﹣kπ，k∈Z，当k=0时，φ=满足题意．故选：D．6．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（55，60），由得B（40，45），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故选：A．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k使得关于x的方程g（x）+sin x=0有且只有6个实数根，则这6个根的和为（）A．3πB．6 C．12 D．12π【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（x）关于x=2对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣4x+5的对称轴为x=2，∴由g（x）=f（x2﹣4x+5），得g（x）关于x=2对称，由g（x）+sin x=0得g（x）=﹣sin x，作出函数y=﹣sin x的图象，若程g（x）+sin x=0只有6个根，则六个根两两关于x=2对称，则关于对称的根分别为x1和x2，x3和x4，x5和x6，则=2，=2，=2则x1+x2=4，x3+x4=4，x5+x6=4则这6个根之和为4+4+4=12，故选：C．8．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角P﹣BD﹣C的正弦值．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．9．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．10．已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．8【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．11．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣1），S n是其前n项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b＞0，则+的最小值为（）A．3﹣2B．3 C．2D．3【考点】基本不等式．【分析】由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣a1，结合S2017=﹣1007﹣b，求得a1+b=1，代入+，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3，a5+a4=﹣5，…a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣a1=﹣1008，即：a1﹣1008=﹣1007﹣b，∴a1+b=1，∴+=+=3++2≥3+2，故选：D．12．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，当0＜ξ﹣η＜1时，关于函数g（x）=x3﹣x2+（b+2）x+（c﹣b+η）lnx+d在区间（η+1，ξ+1）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在2个零点D．可能存在3个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，进一步得到η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），把函数g（x）求导，用η，ξ表示b，c，二次求导可得在区间（η+1，ξ+1）内h′（x）＜0，则答案可求．【解答】解：∵η，ξ是方程f（x）=0的根，且f′（ξ）=0，∴f（x）=x3+bx+c=（x﹣η）（x﹣ξ）2，即得η+2ξ=0，2ηξ+ξ2=b，﹣ηξ2=c，且x∈（﹣2ξ，ξ），由0＜ξ﹣η＜1，得0＜ξ，η＜0，则g′（x）=x2﹣3x+（b+2）+=，令h（x）=x3﹣3x2+（b+2）x+c﹣b+η=x3﹣3x2+（2﹣3ξ2）x+2ξ3+3ξ2﹣2ξ=（x﹣1）3﹣（1+3ξ2）（x﹣1）+2ξ2﹣2ξ，则h′（x）=3（x﹣1）2﹣（3ξ2+1），当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=（3ξ+1）（3ξ﹣1）＜0．∴h（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1）+（2ξ3﹣2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜h′（﹣2ξ+1）=0，即当x∈（﹣2ξ+1，ξ+1）时，h′（x）＜0，∴g（x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x∈R|﹣1＜x＜m}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（3，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m的取值范围．【解答】解：A={x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，则m＞3，故答案为：（3，+∞）14．在等差数列{a n}中，S n为数列{a n}的前n项和，d为数列{a n}的公差，若对任意n∈N*，都有S n ＞0，且a2a4=9，则d的取值范围为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈N*，都有S n＞0，可得：a1＞0，d≥0．由于a2a4=9，化为3d2+4a1d+﹣9=0，△＞0，而且两根之和=﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈N*，都有S n＞0，∴a1＞0，d≥0．∵a2a4=9，∴（a1+d）（a1+3d）=9，化为+4a1d+3d2﹣9=0，△=16d2﹣4（3d2﹣9）=4d2+36＞0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d＜0，而必须至少有一个正实数根．d=时，a1=0，舍去．则d的取值范围为．故答案为：．15．设椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，若点P在椭圆C上，且直线PA2的斜率的取值范围[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，可知：A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0），分别代入椭圆方程可得：=．由于直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，可得﹣2≤≤﹣1，==k2，可得k1k2=．即可得出．【解答】解：∵椭圆C：+=1与函数y=tan的图象相交于A1，A2两点，∴A1，A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），=1，=．设P（x0，y0），则=1，可得：=．∴=．∵直线PA2的斜率k1的取值范围[﹣2，﹣1]，∴﹣2≤≤﹣1，==k2，∴k1k2===．∴，∴﹣1，解得．那么直线PA1斜率的取值范围是．故答案为：．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将n+1赋给n，就得到kC n+1k=（n+1）C n k﹣1，…，进一步能得到：1C n1+2C n2•21+…+nC n n•2n﹣1=nC n﹣10+nC n﹣11•21+nCn﹣12•22+…+nCn﹣1n﹣1•2n﹣1=n（1+2）n﹣1=n•3n﹣1．请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+C n1×（）2+C n2×（）3+…+C n n ×（）n+1= ．【考点】组合及组合数公式；类比推理．【分析】由，可得，即，再利用二项式定理即可得出．【解答】解：由，得，，∴==．故案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，求得A=，再利用正弦定理求得b的值，由三角形内角和公式求得C的值，再由S=ab•sinC，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）=sin2xcos+cos2xsin+cos2x=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）由已知，可得sin（2A+）=，因为A为△ABC内角，由题意知0＜A＜π，所以＜2A+＜，因此，2A+=，解得A=．由正弦定理，得b=，…由A=，由B=，可得sinC=，…∴S=ab•sinC==．18．《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1：表1：空气质量指标AQI分组表AQI 0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300级别Ⅰ级Ⅱ级Ⅲ级Ⅳ级Ⅴ级Ⅵ级类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．表2：AQI指数900 700 300 100空气可见度（千米）0.5 3.5 6.5 9.5表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日AQI指数频数统计表．表3：AQI指数[0，200] （201，400] （401，600]（601，800]（801，1000]频数 3 6 12 6 3 （1）设x=，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：AQI指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；AQI指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式=，=﹣x）【考点】线性回归方程；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到y关于x的线性回归方程；（2）（ⅰ）由表2知AQI指数不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI 指数大于400的频率为0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．【解答】解：（1），，，，所以，，所以y关于x的回归方程是．（2）由表3知AQI不高于200的频率为0.1，AQI指数在200至400的频率为0.2，AQI指数大于400的频率为0.7．设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，则P（A）=0.1，P（B）=0.2，P（C）=0.7，（ⅰ）设洗车店每天收入为X元，则X的分布列为X ﹣200 400 700P 0.1 0.2 0.7则X的数学期望为EX=﹣200×0.1+400×0.2+700×0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C，3B，2B1C，1B2C，3C五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：．19．如图所示，异面直线AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH 分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求证：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH内的两相交直线，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及异面直线AB，CD互相垂直知，直线AB，BC，CD两两垂直，作，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，则，∵x轴⊂平面ACD，∴平面ACD的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值为．20．如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．（1）求抛物线C和圆Q的方程；（2）过点F作倾斜角为θ（≤θ≤）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出r，b，可得圆Q的方程；（2）设出直线方程y=kx+1且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|•|AB|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以，解得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q：x2+（y﹣b）2=r2，∵P1Q⊥P2Q，∴△P1QP2是等腰直角三角形，则，∴，代入抛物线方程有．由题可知在P1，P2处圆和抛物线相切，对抛物线x2=4y求导得，所以抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，所以，代入，解得b=3．所以圆Q的方程为x2+（y﹣3）2=8．（2）设直线l的方程为y=kx+1，且，圆心Q（0，3）到直线l的距离为，∴，由，得y2﹣（2+4k2）y+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由抛物线定义知，，所以，设t=1+k2，因为，所以，所以，所以当时，即时，|MN||AB|有最小值．21．已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．【解答】（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，弦CE交AB于D，CD=4，DE=2，BD=2．（I）求圆O的半径R；（Ⅱ）求线段BE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，求出AD，即可求圆O的半径R；（Ⅱ）求出cos∠DOE，即可求线段BE的长．【解答】解：（I）由相交弦定理可得CD•DE=AD•DB，∵CD=4，DE=2，BD=2，∴4×2=2AD，∴AD=8∴AB=10，∴圆O的半径R=5；（Ⅱ）△ODE中，DE=2，OD=3，OE=5，∴cos∠DOE==，∴BE==．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．选修4-5：不等式选讲24．关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．则有2＜x＜7．故可得其解集为{x|2＜x＜7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，故只需m＞1即可，即m＞1时，f（x）＜m恒成立．2016年9月3日。

辽宁省2020年高三数学一模试卷(II)卷

辽宁省2020年高三数学一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020高二下·北京期中) 若复数z满足，其中为虚数单位，则（）A .B .C .D .2. （2分）集合M={x|（）x≥1}，N={x|y=lg（x+2）}，则M∩N等于（）A . [0，+∞）B . （﹣2，0]C . （﹣2，+∞）D . （﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）3. （2分）(2018·禅城模拟) 已知命题p：命题“ ”的否定是“ ”；命题q：在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ ”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .4. （2分）已知实数满足，则的最小值是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·海南期中) 已知a=log0.70.6，b=ln0.6，c=0.70.6 ，则（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·海珠期末) 把函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，且g（﹣x）=g（x），则（）A . y=g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x= 对称B . y=g（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x= 对称C . y=g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x= 对称D . y=g（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x= 对称8. （2分） (2015高三上·上海期中) 数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A .B .C .D .二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一下·苏州期末) 党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施乡村振兴战略”．某地区农村经过三年的乡村振兴建设，农村的经济收入增加了一倍.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中正确的有（）A . 乡村振兴建设后，种植收入减少B . 乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上C . 乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍D . 乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半10. （3分） (2020高三上·清新月考) 已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是（）A .B .C .D .11. （3分）(2020·日照模拟) 为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览，高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，若只游览甲、乙两个景点，有18人会选择甲，若只游览乙、丙两个景点，有19人会选择乙，那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）A . 该班选择去甲景点游览B . 乙景点的得票数可能会超过9C . 丙景点的得票数不会比甲景点高D . 三个景点的得票数可能会相等12. （3分）(2020·日照模拟) 已知双曲线，不与x轴垂直的直线l与双曲线右支交于点B，C，（B在x轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点A，D（A在x轴上方），O为坐标原点，下列选项中正确的为（）A . 恒成立B . 若，则C . 面积的最小值为1D . 对每一个确定的，若，则的面积为定值三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2018高三上·昭通期末) ，若，则x=________．14. （1分） (2017高二下·汪清期末) 的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）15. （1分）已知向量=（1，2，3），=（﹣1，， m），且⊥，则m=________ ．四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2018高二上·江苏月考) 焦点为(0,-3)的抛物线的标准方程为________．五、解答题 (共6题；共62分)17. （10分） (2017高二上·张掖期末) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，B=C．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sin（2x+B），求的值．18. （10分）(2020·平邑模拟) 在① ，，成等差数列.② ，，成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答.在公比为2的等比数列中，______（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和 .19. （2分）(2020·池州模拟) 如图，在斜三棱柱中，侧面，，，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求二面角的正切值．20. （10分） (2019高二上·大庆月考) 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）设、是直线：上的不同两点，若，求的最小值．21. （15分） (2018高二下·定远期末) 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，这是2017年我国重要的主场外交活动，对推动国际和地区合作具有重要意义．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制），如茎叶图所示．（1）写出该样本的众数、中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人．①记表示选取4人的成绩的平均数，求；②记表示测试成绩在80分以上的人数，求的分布和数学期望．22. （15分） (2019高三上·安徽月考) 已知函数， .（1）当时，证明恒成立；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、多选题 (共4题；共12分)9-1、10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、四、双空题 (共1题；共1分) 16-1、五、解答题 (共6题；共62分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（理科）1.已知集合A={−3,−2,2,4,6}，B={x|x2−3x−10<0}，则A∩B=()A. {2,4}B. {−2,2,4}C. {−2,2}D. {−3,−2,2}2.已知复数z满足(2−3i)z=13i3，则z的虚部是()A. 3B. −2iC. 2D. −23.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院(含A医院)，每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A医院的总派法数为()A. 48B. 60C. 72D. 965.设非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=16，则|b⃗ |=()A. √2B. √3C. 2D. √56.设双曲线x2−y23=1,x22−y25=1,y22−x27=1的离心率分别为e1，e2，e3，则()A. e3<e2<e1B. e3<e1<e2C. e1<e2<e3D. e2<e1<e37.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数(下表为随机数表的第8行和第9行)，33211234297864560782524207443815510013429966027954则抽取的第11个个体是()A. 38B. 13C. 42D. 028.若log2x+log4y=1，则x2+y的最小值为()A. 2B. 2√3C. 4D. 2√29.若tanα+1tanα=3，则cos4α=()A. −79B. −19C. 79D. 1910.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.已知函数f(x)=sin2x+acos2x，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到g(x)的图象．若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则f(π)=()A. −√33B. √33C. −√3D. √312.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对x∈R都有f(1+x)=−f(1−x)，当x>1且x≠2时，f′(x)x−2>0，则()A. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)<0B. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)<0C. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)>0D. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)>013.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a=5bsinA，则sinB=______．14.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为．2x16.设A(−2,0)，B(2,0)，若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6，且△PAB的内心到x轴的距离为3√30，则a=______．2017.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE，AE=1，PD=3，PC=√13．(1)证明：AD⊥平面PCD．(2)求DA与平面PCE所成角的正弦值．18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．(1)设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．19.设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，且S n+1=2S n+n−1．(1)证明：数列{S n+n}为等比数列，并求a n．}的前n项和T n．(2)求数列{a n2n20.已知函数f(x)=x3+ax．(1)讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)若a≥−3，求不等式f(2x2−4x+3)<x4+6x4+12x2+8+a(x2+2)的解集．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．(1)若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明：点G在定直线上．(2)若p=2，点M在曲线y=√1−x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2=M ，证明：a +2b ≥4ab ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为B={x|x2−3x−10<0}={x|−2<x<5}，所以A∩B={2,4}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(2−3i)z=13i3=−13i，得z=−13i2−3i =−13i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=3−2i，∴z的虚部是−2．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】C【解析】解：先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院有C31种选法，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，有A44种选法，所以总派法数为C31A44=72，故选：C．先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，最后利用乘法原理求出结果．本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =9|b⃗ |2−3|b⃗ |2×13=8|b⃗ |2=16，∴|b⃗ |=√2．故选：A．由于a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可．本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√1+b2a2，e1=21=√8√2e2=√7√2，e3=√2=√9√2，所以e2<e1<e3．故选：D．利用双曲线的离心率公式，求出3个双曲线的离心率，然后判断大小即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解析】【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题．【解答】解：随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02．故选：D．8.【答案】C【解析】解：因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log(x2y)=1，∴x2y=4(x>0,y>0)，则x2+y≥2√x2y=4，当且仅当x2=y=2时等号成立，则x2+y的最小值为4．故选：C．由对数的运算法则可求x2y=4(x>0,y>0)，再用均值不等式可求x2+y的最小值．本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3，∴sin2α=23，∴cos4α=1−2sin22α=19．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=3+6−52×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：g(x)=f(x−π6)=sin(2x−π3)+acos(2x−π3)，因为g(x)的图象关于直线x=π4对称，所以g(π4)=sinπ6+acosπ6=±√1+a2，即12+√32a=±√1+a2，解得a=√3，故f(π)=a=√3．故选：D．先求出平移后的函数式g(x)，然后根据g(x)关于x=π4对称，则x=π4函数取得最大值，构造方程即可．本题考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称中心与函数的零点关联列方程求解．属于较简单的中档题．12.【答案】A【解析】解：当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，则x ∈(1,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．∵log 1.53.5>log 1.51.53=3>log 25，∴f(log 25)<f(log 1.53.5)． ∵f(1+x)=−f(1−x)，∴f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).∴f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)<0．故选：A ．当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，对x 分类讨论：x ∈(1,2)时，f′(x)<0；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0.可得其单调性．比较log 25与log 1.53.5的大小关系．即可得出f(log 25)与f(log 1.53.5)大小关系．根据f(1+x)=−f(1−x)，转化f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).利用单调性可得f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)与0的关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】15【解析】解：∵a =5bsinA ， ∴由正弦定理可得sinA =5sinBsinA ，又∵sinA >0， ∴sinB =15．故答案为：15．由正弦定理化简已知可得sinA =5sinBsinA ，结合sinA >0，即可解得sinB 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.【答案】114π【解析】【分析】本题考查了四面体与球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球的直径即为长方体的对角线即可得出．【解答】解：∵AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，∴四面体ABCD的体积=13×12×1×2×3=1，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．设球O的半径为r，则(2r)2=12+22+32=14．其表面积S=4πr2=14π．故答案为：1；14π．15.【答案】(13,1 2 )【解析】解：f(x)=12+2−x，∵x>0，∴−x<0，0<2−x<1，∴2<2+2−x<3，∴13<f(x)<12，即函数的值域为(13,12)．故答案为：(13,12 )．f(x)=12+2−x ，由x>0可得0<2−x<1，进而得到2<2+2−x<3，则13<f(x)<12，由此得出答案．本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属于基础题．16.【答案】√3【解析】解：∵A(−2,0)，B(2,0)，P 满足|PA|+|PB|=6>|AB|， ∴P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为x 29+y 25=1，若直线直线y =ax(a >0)与椭圆方程为x 29+y 25=1联立，可得，x 2=459a 2+5，y 2=45a 29a 2+5△PAB 的内心到x 轴的距离为3√3020，所以三角形的内切圆的半径为：r =3√3020，三角形的面积为：12⋅|AB|⋅|y|=12×r ×(|AB|+|PA|+|PB|)，可得|y|=52r ，y 2=45a 29a 2+5 =54r 2=254×2740，解得a =3，因为a >0，所以a =√3．故答案为：√3．根据条件得到P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可．本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：(1)证明：∵四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，AE =1，PD =3，PC =√13．∴AD ⊥CD ，AB =2AE =2，∴PD 2+CD 2=PC 2，∴PD ⊥CD ， ∵PD ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵CD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PCD ． (2)解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,3)，C(0,2,0)，E(2,1,0)， DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，设平面PCE 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −3z =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −3z =0，取z =2，得n⃗ =(32,3,2)，设DA 与平面PCE 所成角为θ，则DA 与平面PCE 所成角的正弦值为： sinθ=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2×√614=3√6161．【解析】(1)推导出AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，PD ⊥CE ，从而PD ⊥平面ABCD ，进而AD ⊥PD ，由此能证明AD ⊥平面PCD ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DA 与平面PCE 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)X 的可能取值为8，20，P(X =8)=0.84+0.24=0.4112，P(X =20)=1−0.4112=0.5888，则X 的分布列为(2)由(1)知，EX =8×0.4112+20×0.5888=15.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元．因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元，且16000>15065.6，所以应该选择人工检验．【解析】(1)X 的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． (2)求出EX =15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元．再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元，得到应该选择人工检验．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：依题意，由S n+1=2S n +n −1两边同时加上n +1，可得S n+1+n +1=2S n +n −1+n +1=2(S n +n)，又∵S 1+1=a 1+1=2，∴数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列，则S n +n =2n ，即S n =2n −n ，n ∈N ∗，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −n −[2n−1−(n −1)]=2n−1−1， ∵当n =1时，a 1=1不满足上式， ∴a n ={1,n =12n−1−1,n ≥2．(2)解：由(1)知，当n ≥2时，a n 2n=2n−1−12n=12−12n，则T n =a 121+a 222+a 323+⋯+an2n=12+(12−122)+(12−123)+⋯+(12−12n ) =n 2−(122+123+⋯+12n ) =n 2−14−12n+11−12=12n +n−12，∵当n =1时，T 1=a121=12也满足上式， ∴T n =12n+n−12．【解析】第(1)题先将S n+1=2S n +n −1转化变形并加以计算可证得数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列，再计算出数列{S n +n}的通项公式，以及S n 的表达式，然后运用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{an2n }的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n 项和T n ．本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2+a ，当a ≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(a,+∞)上单调递增，当a <0时，f′(x)=0，得x =±√−a3．①当a =−13时，−√−a3=a ，令f′(x)<0，得a <x <−a ，令f′(x)>0，得x >−a ，所以f(x)的单调递减区间为(a,−a)，单调递增区间为(−a,+∞)． ②当a <−13时，−√−a3>a ，令f′(x)<0，得−√−a3<x <√−a3，令f′(x)>0，得a <x <−√−a3或x >√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(−√−a3,√−a3)，单调递增区间为(a,−√−a3)，(√−a3,+∞) ③当−13<a <0时，−√−a3<a ，令f′(x)<0，得a <x <−√−a3或x >√−a3 令f′(x)>0，得，x <√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(a,√−a3)，单调递增区间为(√−a3,+∞)．(2)因为a ≥−3，所以f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3，当x ≥1时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递增．因为x 6+6x 4+12x 2+8+a(x 2+2)=(x 2+2)3+a(x 2+2)=f(x 2+2)，所以原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)，因为2x 2−4x +3=2(x −1)2+1≥1，x 2+2>1，所以2x 2−4x +3<x 2+2，解得2−√3<x <2+√3，故所求不等式的解集为(2−√3,2+√3).【解析】(1)先求导f′(x)=3x 2+a ，分当a ≥0时，a <0时，两种情况讨论，而当a <0内再分类讨论，得到单调递性，(2)当a ≥−3，f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3，可得f(x)在[1,+∞)上单调递增．原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)，因为2x 2−4x +3≥1，x 2+2>1，所以2x 2−4x +3<x 2+2，可解不等式，进而得出答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题．21.【答案】(1)证明：易知F(0,p 2)，设P(x 1,x 122p)，Q(x 2,x 222p)．由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为y =kx +p2．由{y =kx +p2x 2=2py ，得x 2−2pkx −p 2=0，所以x 1x 2=−p 2．由x 2=2py ，得y =x 22p ，y′=xp ，则k PG =x 1p ，直线PG 的方程为y −x 122p=x 1p (x −x 1)，即x1p x −y −x 122p=0，①同理可得直线QG 的方程为x2p x −y −x 222p=0，② 联立①②，可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p ．因为x 1≠x 2，所以y =x 1x 22p=−p2，故点G 在定直线y =−p2上．(2)解：设M(x 0,y 0)，MP ，MQ 的中点分别为(x 1+x 02,x 124+y02)，(x 2+x 02,x 224+y02)．因为MP ，MQ 得中点均在抛物线C 上，所以x 1，x 2为方程(x+x 02)2=4×x 24+y 02的解，即方程x 2−2x 0x +8y 0−x 02=0的两个不同的实根，则x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=8y 0−x 02，△=(2x 0)2−4(8y 0−x 02)>0，即x 02>4y 0，所以PQ 的中点N 的横坐标为x 0，则|MN|=18(x 12+x 22)−y 0=18[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−y 0=34x 02−3y 0，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2(x 02−4y 0)，所以△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32．由y 0=−√1−x 02，得x 02=1−y 02(−1≤y 0≤0)，所以x 02−4y 0=−y 02−4y 0+1=−(y 0+2)2+5，因为−1≤y 0≤0，所以1≤−(y 0+2)2+5≤4，所以△MPQ 面积的取值范围为[3√24,6√2]．【解析】(1)设P(x 1,x 122p )，Q(x 2,x 222p ).根据条件分别求出直线PG 的方程，QG 的方程，联立可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p.故点G 在定直线y =−p2上．(2)设M(x 0,y 0)，表示出△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32.结合M 在曲线y =√1−x 2上，即可求出面积的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．22.【答案】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t (t 为参数)，代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【解析】(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6，即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3， ∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2， ∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷（理科）1.已知集合A={−3,−2,2,4,6}，B={x|x2−3x−10<0}，则A∩B=()A. {2,4}B. {−2,2,4}C. {−2,2}D. {−3,−2,2}2.已知复数z满足(2−3i)z=13i3，则z的虚部是()A. 3B. −2iC. 2D. −23.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支(单位：万元)如图2所示，则去年的水费开支占总开支的百分比为()A. 6.25%B. 7.5%C. 10.25%D. 31.25%4.将甲、乙、丙、丁、戊5名护士派往5所医院(含A医院)，每所医院派1名护士，则甲和乙都不派往A医院的总派法数为()A. 48B. 60C. 72D. 965.设非零向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=16，则|b⃗ |=()A. √2B. √3C. 2D. √56.设双曲线x2−y23=1,x22−y25=1,y22−x27=1的离心率分别为e1，e2，e3，则()A. e3<e2<e1B. e3<e1<e2C. e1<e2<e3D. e2<e1<e37.将60个个体按照01，02，03，…，60进行编号，然后从随机数表的第9行第9列开始向右读数(下表为随机数表的第8行和第9行)，33211234297864560782524207443815510013429966027954则抽取的第11个个体是()A. 38B. 13C. 42D. 028.若log2x+log4y=1，则x2+y的最小值为()A. 2B. 2√3C. 4D. 2√29.若tanα+1tanα=3，则cos4α=()A. −79B. −19C. 79D. 1910.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1,AB=√2AA1，E，F分别为AB，BC的中点，异面直线AB1与C1F所成角的余弦值为m，则()A. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√23B. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√23C. 直线A1E与直线C1F异面，且m=√33D. 直线A1E与直线C1F共面，且m=√3311.已知函数f(x)=sin2x+acos2x，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后，得到g(x)的图象．若g(x)的图象关于直线x=π4对称，则f(π)=()A. −√33B. √33C. −√3D. √312.设定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对x∈R都有f(1+x)=−f(1−x)，当x>1且x≠2时，f′(x)x−2>0，则()A. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)<0B. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)<0C. f(log25)<f(log1,53.5)，且f(log32)+f(log23)>0D. f(log1,53.5)<f(log25)，且f(log32)+f(log23)>013.a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a=5bsinA，则sinB=______．14.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则四面体ABCD的体积为，球O的表面积为．2x16.设A(−2,0)，B(2,0)，若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6，且△PAB的内心到x轴的距离为3√30，则a=______．2017.如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，E为AB的中点，PD⊥CE，AE=1，PD=3，PC=√13．(1)证明：AD⊥平面PCD．(2)求DA与平面PCE所成角的正弦值．18.某厂加工的零件按箱出厂，每箱有10个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有3个次品，则对剩下的6个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.8，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为2元．(1)设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；(2)除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为1.6元现有1000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．19.设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，且S n+1=2S n+n−1．(1)证明：数列{S n+n}为等比数列，并求a n．}的前n项和T n．(2)求数列{a n2n20.已知函数f(x)=x3+ax．(1)讨论f(x)在(a,+∞)上的单调性；(2)若a≥−3，求不等式f(2x2−4x+3)<x4+6x4+12x2+8+a(x2+2)的解集．21.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．(1)若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G.证明：点G在定直线上．(2)若p=2，点M在曲线y=√1−x2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．22.在直角坐标系xOy 中，已知点M(1,√32)，C 1的参数方程为{x =12+ty =√3t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为3ρ2=2+cos 2θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|x −1|．(1)求不等式f(x)≤6的解集；(2)设f(x)的最小值为M ，正数a ，b 满足a 2+4b 2=M ，证明：a +2b ≥4ab ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为B={x|x2−3x−10<0}={x|−2<x<5}，所以A∩B={2,4}．故选：A．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由(2−3i)z=13i3=−13i，得z=−13i2−3i =−13i(2+3i)(2−3i)(2+3i)=3−2i，∴z的虚部是−2．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查折线图、条形图等基础知识，是基础题．由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，由此能求出去年的水费开支占总开支的百分比．【解答】解：由折线图知去年水、电、交通支出占总支出的百分比为20%，由条形图得去年水、电、交通支出合计为：250+450+100=800(万元)，共中水费支出250(万元)，∴去年的水费开支占总开支的百分比为：250800×20%=6.25%．故选：A．4.【答案】C【解析】解：先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院有C31种选法，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，有A44种选法，所以总派法数为C31A44=72，故选：C．先从丙、丁、戊中任选1人派往A医院，再把剩余的4人派往另外的4所医院，每所医院派1名护士，最后利用乘法原理求出结果．本题主要考查排列组合中的乘法原理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵|a⃗|=3|b⃗ |，cos<a⃗，b⃗ >=13，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−a⃗⋅b⃗ =9|b⃗ |2−3|b⃗ |2×13=8|b⃗ |2=16，∴|b⃗ |=√2．故选：A．由于a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=|a⃗|2−a⃗⋅b⃗ ，再利用平面向量数量积进行运算求解即可．本题考查平面向量的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√1+b2a2，e1=21=√8√2e2=√7√2，e3=√2=√9√2，所以e2<e1<e3．故选：D．利用双曲线的离心率公式，求出3个双曲线的离心率，然后判断大小即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．【解析】【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于基础题．【解答】解：随机数表第9行第9列为2，抽取的个体分别为29，56，07，52，42，44，38，15，51，13，02，第11个个体为02．故选：D．8.【答案】C【解析】解：因为log2x+log4y=log4x2+log4y=log(x2y)=1，∴x2y=4(x>0,y>0)，则x2+y≥2√x2y=4，当且仅当x2=y=2时等号成立，则x2+y的最小值为4．故选：C．由对数的运算法则可求x2y=4(x>0,y>0)，再用均值不等式可求x2+y的最小值．本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：∵tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=2sin2α=3，∴sin2α=23，∴cos4α=1−2sin22α=19．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．【解析】解：连结EF，A1C1，C1D，DF，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴EF//A1C1，∴直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，设AA1=√2，则AB=√2AA1=2，则DF=√5，C1F=√3，C1D=√6，由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：m=cos∠DC1F=3+6−52×√3×√6=√23．综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．故选：B．连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=√23．本题考查两直线的位置关系的判断，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】D【解析】解：g(x)=f(x−π6)=sin(2x−π3)+acos(2x−π3)，因为g(x)的图象关于直线x=π4对称，所以g(π4)=sinπ6+acosπ6=±√1+a2，即12+√32a=±√1+a2，解得a=√3，故f(π)=a=√3．故选：D．先求出平移后的函数式g(x)，然后根据g(x)关于x=π4对称，则x=π4函数取得最大值，构造方程即可．本题考查三角函数图象的变换和性质，注意将对称轴与函数的最值关联，对称中心与函数的零点关联列方程求解．属于较简单的中档题．12.【答案】A【解析】解：当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，则x ∈(1,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．∵log 1.53.5>log 1.51.53=3>log 25，∴f(log 25)<f(log 1.53.5)． ∵f(1+x)=−f(1−x)，∴f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).∴f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)<0．故选：A ．当x >1且x ≠2时，f′(x)x−2>0，对x 分类讨论：x ∈(1,2)时，f′(x)<0；x ∈(2,+∞)时，f′(x)>0.可得其单调性．比较log 25与log 1.53.5的大小关系．即可得出f(log 25)与f(log 1.53.5)大小关系．根据f(1+x)=−f(1−x)，转化f(log 23)=f(1+log 232)=−f(1−log 232)=−f(log 243).利用单调性可得f(log 32)+f(log 23)=f(log 32)−f(log 243)与0的关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】15【解析】解：∵a =5bsinA ， ∴由正弦定理可得sinA =5sinBsinA ，又∵sinA >0， ∴sinB =15．故答案为：15．由正弦定理化简已知可得sinA =5sinBsinA ，结合sinA >0，即可解得sinB 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．14.【答案】114π【解析】【分析】本题考查了四面体与球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用三棱锥的体积计算公式即可得出体积，把此三棱锥补形为长方体，利用球的直径即为长方体的对角线即可得出．【解答】解：∵AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，∴四面体ABCD的体积=13×12×1×2×3=1，把此三棱锥补形为长方体，球的直径即为长方体的对角线．设球O的半径为r，则(2r)2=12+22+32=14．其表面积S=4πr2=14π．故答案为：1；14π．15.【答案】(13,1 2 )【解析】解：f(x)=12+2−x，∵x>0，∴−x<0，0<2−x<1，∴2<2+2−x<3，∴13<f(x)<12，即函数的值域为(13,12)．故答案为：(13,12 )．f(x)=12+2−x ，由x>0可得0<2−x<1，进而得到2<2+2−x<3，则13<f(x)<12，由此得出答案．本题考查函数值域的求法，涉及了指数函数的性质及不等式的性质的运用，属于基础题．16.【答案】√3【解析】解：∵A(−2,0)，B(2,0)，P 满足|PA|+|PB|=6>|AB|， ∴P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，椭圆方程为x 29+y 25=1，若直线直线y =ax(a >0)与椭圆方程为x 29+y 25=1联立，可得，x 2=459a 2+5，y 2=45a 29a 2+5△PAB 的内心到x 轴的距离为3√3020，所以三角形的内切圆的半径为：r =3√3020，三角形的面积为：12⋅|AB|⋅|y|=12×r ×(|AB|+|PA|+|PB|)，可得|y|=52r ，y 2=45a 29a 2+5 =54r 2=254×2740，解得a =3，因为a >0，所以a =√3．故答案为：√3．根据条件得到P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，联立方程组求出P 的坐标，结合三角形的内切圆以及三角形的面积，转化求解即可．本题主要考查椭圆方程和性质，根据条件确定椭圆的方程，联立方程组求出交点坐标是解决本题的关键．17.【答案】解：(1)证明：∵四棱锥P −ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，AE =1，PD =3，PC =√13．∴AD ⊥CD ，AB =2AE =2，∴PD 2+CD 2=PC 2，∴PD ⊥CD ， ∵PD ⊥CE ，CD ∩CE =C ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PD ， ∵CD ∩PD =D ，∴AD ⊥平面PCD ． (2)解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,3)，C(0,2,0)，E(2,1,0)， DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−3)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−3)，设平面PCE 的法向量n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −3z =0n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −3z =0，取z =2，得n⃗ =(32,3,2)，设DA 与平面PCE 所成角为θ，则DA 与平面PCE 所成角的正弦值为： sinθ=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2×√614=3√6161．【解析】(1)推导出AD ⊥CD ，PD ⊥CD ，PD ⊥CE ，从而PD ⊥平面ABCD ，进而AD ⊥PD ，由此能证明AD ⊥平面PCD ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DA 与平面PCE 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)X 的可能取值为8，20，P(X =8)=0.84+0.24=0.4112，P(X =20)=1−0.4112=0.5888，则X 的分布列为(2)由(1)知，EX =8×0.4112+20×0.5888=15.0656，所以1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元．因为1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元，且16000>15065.6，所以应该选择人工检验．【解析】(1)X 的可能取值为8，20，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列． (2)求出EX =15.0656，从而1000箱零件的人工检验总费用的数学期望为1000EX =15065.6元．再由1000箱零件的机器检验总费用的数学期望为1.6×10×1000=16000元，得到应该选择人工检验．本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：依题意，由S n+1=2S n +n −1两边同时加上n +1，可得S n+1+n +1=2S n +n −1+n +1=2(S n +n)，又∵S 1+1=a 1+1=2，∴数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列，则S n +n =2n ，即S n =2n −n ，n ∈N ∗，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −n −[2n−1−(n −1)]=2n−1−1， ∵当n =1时，a 1=1不满足上式， ∴a n ={1,n =12n−1−1,n ≥2．(2)解：由(1)知，当n ≥2时，a n 2n=2n−1−12n=12−12n，则T n =a 121+a 222+a 323+⋯+an2n=12+(12−122)+(12−123)+⋯+(12−12n ) =n 2−(122+123+⋯+12n ) =n 2−14−12n+11−12=12n +n−12，∵当n =1时，T 1=a121=12也满足上式， ∴T n =12n+n−12．【解析】第(1)题先将S n+1=2S n +n −1转化变形并加以计算可证得数列{S n +n}是首项为2，公比为2的等比数列，再计算出数列{S n +n}的通项公式，以及S n 的表达式，然后运用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2即可计算出数列{a n }的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{an2n }的通项公式，然后运用分组求和法计算出前n 项和T n ．本题主要考查等比数列的判别，数列求通项公式，以及求和问题，考查了转化与化归思想，分类讨论，分组求和法，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．20.【答案】解：(1)f′(x)=3x 2+a ，当a ≥0时，f′(x)≥0，则f(x)在(a,+∞)上单调递增，当a <0时，f′(x)=0，得x =±√−a3．①当a =−13时，−√−a3=a ，令f′(x)<0，得a <x <−a ，令f′(x)>0，得x >−a ，所以f(x)的单调递减区间为(a,−a)，单调递增区间为(−a,+∞)． ②当a <−13时，−√−a3>a ，令f′(x)<0，得−√−a3<x <√−a3，令f′(x)>0，得a <x <−√−a3或x >√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(−√−a3,√−a3)，单调递增区间为(a,−√−a3)，(√−a3,+∞) ③当−13<a <0时，−√−a3<a ，令f′(x)<0，得a <x <−√−a3或x >√−a3 令f′(x)>0，得，x <√−a3，所以f(x)的单调递减区间为(a,√−a3)，单调递增区间为(√−a3,+∞)．(2)因为a ≥−3，所以f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3，当x ≥1时，f′(x)≥0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递增．因为x 6+6x 4+12x 2+8+a(x 2+2)=(x 2+2)3+a(x 2+2)=f(x 2+2)，所以原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)，因为2x 2−4x +3=2(x −1)2+1≥1，x 2+2>1，所以2x 2−4x +3<x 2+2，解得2−√3<x <2+√3，故所求不等式的解集为(2−√3,2+√3).【解析】(1)先求导f′(x)=3x 2+a ，分当a ≥0时，a <0时，两种情况讨论，而当a <0内再分类讨论，得到单调递性，(2)当a ≥−3，f′(x)=3x 2+a ≥3x 2−3，可得f(x)在[1,+∞)上单调递增．原不等式等价为f(2x 2−4x +3)<f(x 2+2)，因为2x 2−4x +3≥1，x 2+2>1，所以2x 2−4x +3<x 2+2，可解不等式，进而得出答案．本题考查利用导数分析函数的单调性，及不等式的解，属于中档题．21.【答案】(1)证明：易知F(0,p 2)，设P(x 1,x 122p)，Q(x 2,x 222p)．由题意可知直线l 的斜率存在，故设其方程为y =kx +p2．由{y =kx +p2x 2=2py ，得x 2−2pkx −p 2=0，所以x 1x 2=−p 2．由x 2=2py ，得y =x 22p ，y′=xp ，则k PG =x 1p ，直线PG 的方程为y −x 122p=x 1p (x −x 1)，即x1p x −y −x 122p=0，①同理可得直线QG 的方程为x2p x −y −x 222p=0，② 联立①②，可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p ．因为x 1≠x 2，所以y =x 1x 22p=−p2，故点G 在定直线y =−p2上．(2)解：设M(x 0,y 0)，MP ，MQ 的中点分别为(x 1+x 02,x 124+y02)，(x 2+x 02,x 224+y02)．因为MP ，MQ 得中点均在抛物线C 上，所以x 1，x 2为方程(x+x 02)2=4×x 24+y 02的解，即方程x 2−2x 0x +8y 0−x 02=0的两个不同的实根，则x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=8y 0−x 02，△=(2x 0)2−4(8y 0−x 02)>0，即x 02>4y 0，所以PQ 的中点N 的横坐标为x 0，则|MN|=18(x 12+x 22)−y 0=18[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−y 0=34x 02−3y 0，|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2(x 02−4y 0)，所以△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32．由y 0=−√1−x 02，得x 02=1−y 02(−1≤y 0≤0)，所以x 02−4y 0=−y 02−4y 0+1=−(y 0+2)2+5，因为−1≤y 0≤0，所以1≤−(y 0+2)2+5≤4，所以△MPQ 面积的取值范围为[3√24,6√2]．【解析】(1)设P(x 1,x 122p )，Q(x 2,x 222p ).根据条件分别求出直线PG 的方程，QG 的方程，联立可得(x 1−x 2)y =x 1x 2(x 1−x 2)2p.故点G 在定直线y =−p2上．(2)设M(x 0,y 0)，表示出△MPQ 的面积S =12|MN|⋅|x 1−x 2|=3√24(x 02−4y 0)32.结合M 在曲线y =√1−x 2上，即可求出面积的取值范围．本题考查直线与抛物线的综合，点过定直线的证明，三角形面积取值范围，合理利用根与系数关系是关键，属于难题．22.【答案】解：(1)由C 1的参数方程{x =12+t y =√3t(t 为参数)，消去参数t ，可得y =√3x −√32，由曲线C 2的极坐标方程3ρ2=2+cos 2θ，得2ρ2+ρ2cos 2θ=3，由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，所以C 2的直角坐方程为3x 2+2y 2=3，即x 2+2y 23=1．(2)因为M(1,√32)在曲线C 1上，故可设曲线C 1的参数方程为{x =1+12ty =√32+√32t (t 为参数)，代入3x 2+2y 2=3，化简可得3t 2+8t +2=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则△=64−4×3×2>0，且t 1+t 2=−83，t 1t 2=23，所以1|MA|+1|MB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t 2||t 1||t 2|=4．【解析】(1)由代入消元法，消去t 可得C 1的普通方程；由x =ρcosθ，x 2+y 2=ρ2，代入计算可得C 2的直角坐标方程；(2)判断M 在C 2上，设出曲线C 1的参数的标准方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，再由韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求值．本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −3|+|x −1|={4−2x,x ≤12,1<x <32x −4,x ≥3．∵f(x)≤6，∴{x ≤14−2x ≤6或{x ≥32x −4≤6或{1<x <32≤6，即以−1≤x ≤1或3≤x ≤5或1<x <3， ∴不等式的解集为[−1,5]．(2)∵(x)=|x +3|+|x −1|≥|x −3−x +1|=2，∴M =2， ∵a >0，b >0，∴要证a +2b ≥4ab ，只需证(a +2b)2≥16a 2b 2，即证a 2+4b 2+4ab ≥16a 2b 2，∵a2+4b2=2，∴只要证2+4ab≥16a2b2，即证8(ab)2−2ab−1≤0，即证(4ab+1)(2ab−1)≤0，∵4ab+1>0，∴只需证ab≤1，2∵2=a2+4b2≥4ab，∴ab≤1成立，2∴a+2b≥4ab．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤6利用零点分段法解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出f(x)的最小值M，然后利用分析法证明不等式即可．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。