二维离散型随机变量独立性判别定理及应用
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性
随机变量独立性判断随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性是概率论和数理统计中的重要概念。
在实际问题中，我们经常需要判断随机变量之间是否相互独立或者相关。
本文将介绍如何判断随机变量的独立性和相关性。
一、什么是随机变量的独立性和相关性随机变量的独立性和相关性描述了随机变量之间的关系。
独立性：若两个随机变量X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y独立。
相关性：若两个随机变量X和Y之间存在某种依赖关系，即它们的联合分布和边缘分布不相等，称X和Y相关。
二、判断随机变量的独立性和相关性的方法1. 统计方法利用样本数据进行统计分析，可以判断随机变量的独立性和相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的样本相关系数接近于0，可以认为X和Y近似独立；如果样本相关系数接近于1或-1，可以认为X和Y相关。
2. 图形方法通过绘制散点图可以直观地观察随机变量的相关性。
对于两个随机变量X和Y，如果它们的散点图呈现出线性关系，则可以认为X和Y相关；如果散点图呈现出无规律的分布，则可以认为X和Y近似独立。
3. 利用协方差和相关系数判断协方差和相关系数是判断随机变量相关性的重要指标。
协方差衡量了两个随机变量之间的线性相关性，若协方差为0，则可以认为两个随机变量不相关。
相关系数除了衡量两个随机变量的线性相关性，还可以衡量非线性相关性，相关系数的范围在-1至1之间，绝对值越接近1表示相关性越强，绝对值越接近0表示独立性越强。
三、应用举例1. 抛硬币问题假设一次抛硬币，X表示正面次数，Y表示反面次数。
在这个例子中，X和Y的取值只能是0或1，它们的联合分布如下：P(X=0, Y=0) = 1/2P(X=1, Y=0) = 1/2P(X=0, Y=1) = 1/2P(X=1, Y=1) = 1/2可以看出，X和Y的联合分布等于各自的边缘分布之积，即P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)，因此X和Y是独立的。
高等教育自学考试 概率论与数理统计期末自学 复习重要知识点
概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x p p ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)).两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k k n kn P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X的概率密度为22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()x t xx x e dtϕφ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
概率论 第三章c
P{X xi , Y y j } P{Y y j }
pij p. j
(i 1, 2)
在Y=yj条件下随机变 量X的条件分布律
离散型随机变量的条件分布
在X 取得可能值xi 的条件下, Y取得它的任一可能 取值yj的概率？ P{Y=yj | X=xi}=? (j=1,2,…)
上服从均匀分布,问X与Y是否相互独立?
随机变量的相互独立性
如果随机变量x与y是相互独立的，则任 一变量的条件概率分布与其边缘概率分 布是相同的
相互独立的推广
了解 P84
相互独立的推广
定理3 P84
注意,两事件如果相互独立的话,则关于他们的函 数的随机变量也相互独立
若(X,Y)的联合分布如下,试问X与Y是否相互独立 X 0.5 1 2 Y -1 2/20 2/20 4/20 0 1/20 1/20 2/20 2 2/20 2/20 4/40
例题
设二维随机变量(X,Y)在三角形区域
G {( x, y) x y / 2 1, x 0, y 0}
随机变量的相互独立性
定理1 设(X,Y)是二维离散型随机变量,则X与Y相 互独立的充分必要条件是:
对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)(i,j=1,2,…)都有 P{X= xi，Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}(i,j=1,2, …) 即 Pij= Pi . P.j (i,j=1,2, …)
0.06
0.09
0.08
2
3
0.01
0.01
0.03
0.02
0.05
0.04
0.05
0.06
0.05
方法技巧5离散型随机变量的应用
04
离散型随机变量的应用 场景
概率论与数理统计
概率计算
离散型随机变量在概率
分布函数
离散型随机变量可以用来描述随 机变量的分布情况，例如二项分 布、泊松分布等。
统计推断
离散型随机变量在数理统计中用 于进行参数估计、假设检验等统 计推断，例如使用二项分布进行 置信区间的计算。
2
离散型随机变量通常用大写字母X表示，其取值 范围称为样本空间，记作Ω。
3
离散型随机变量的取值可以是整数、自然数、实 数等。
性质
01
02
03
离散型随机变量具有可 加性，即如果X和Y是两 个独立的离散型随机变 量，则X+Y也是离散型
随机变量。
离散型随机变量具有独 立性，即如果X和Y是两 个独立的离散型随机变 量，则X和Y之间相互独
描述
方差表示随机变量取值与期望值的偏离程度，通常用 Var(X) 表 示。
计算
方差可以通过各个可能取值与期望值的差的平方的概率质量函数 加权和得出。
03
常见的离散型随机变量
二项分布
总结词
二项分布适用于独立重复试验中成功的次数。
详细描述
二项分布适用于在n次独立重复试验中成功的次数，其中每次试验成功的概率为p， 不成功的概率为q=1-p。二项分布的概率函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)， 其中C(n, k)表示组合数，即从n个不同项中选取k个的组合方式数目。
在单位时间内（或单位面积内）随机事件的 次数是一个离散型随机变量，记作X~P(λ)。
从有限总体中不放回地抽取n个样本，其中某 一特定类别的样本数为k，则k是一个离散型 随机变量，记作X~H(N,n,K)。
3.4 随机变量的独立性
第2页
3.4 随机变量独立性
可以证明如下结论： （1）若 (X,Y)是连续型r.v ，则上述独立性的定义等价于：
对任意的 x, y, 有
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
第6页
3.4 随机变量独立性
例3.4.1
1.
P( X P( X P( X P( X
X ,Y 具有分布律右图，则：
1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
p ij p i p j
离散型随机变量的联合分布列等于其边缘分布列的乘积
P { X x i | Y y j } p i , , P { Y y j | X x i } p j
任一变量的条件分布列等于其边缘分布列
要判断 X 和 Y 不独立,只需找到 X, Y 的一对取值(xi,yj),使得 P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }.
P( X1 x1i1 )
i2 ,i3 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 )
f X1 ( x1 )
i3 ,i4 ,in
P( X1 x1i1 , X 2 x2i2 ,, X n xnin )
概率论与数理统计：随机变量的独立性
随机变量的独立性事件A 与B 独立的定义是：若)()()PAB P A P B =则称事件A 与B 相互独立 。
借助于两个随机事件的相互独立的概念，引入随机变量的相互独立一、随机变量相互独立的概念1、定义{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤⋅≤,则称随机变量,X Y 相互独立. 说明（1）X Y 如果随机变量与相互独立，则由 ()()(),X Y F x y F x F y =可知二维随机变量(),X Y 的联合分布函数(),F x y 可由其边缘分布函数()X F x ，()Y F y 唯一确定（2）X Y 随机变量与相互独立，实际上是指：对任意的x y ，,随机事件{}X x ≤与{}Y y ≤相互独立.二、离散型随机变量的相互独立的充要条件 如果(,)X Y 是二维离散型随机变量，其概率分布及边缘概率分布分别为{}ij i j p P X x Y y ===，,{}i i p P X x ⋅==()12i =，，{}j j p P Y y ⋅==()12j =，，,则随机变量X 和Y 相互独立的充分必要条件是：对(,)X Y 的所有可能取值(,)i j x y 均有{}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅=，,,1,2,i j =即.ij i j p p p =,,1,2,i j =例1：设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为解：X Y 由表，可得随机变量与的边缘分布律为 由{}1129P X Y ===，{}{}12P X P Y ===1139α⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭29α=得 又由{}11318P X Y ===，{}{}13P X P Y ===11318β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2199αβ==而当，时，联合概率分布,边缘概率分布为 三、连续型随机变量相互独立的充要条件 如果()X Y ，是二维连续型随机变量，其概率密度函数(,)f x y 及边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y 在xoy 面上除个别点及个别曲线外均连续时，随机变量X 和Y 相互独立的充分必要条件是：在(,)f x y ,()X f x ,()Y f y 的连续点处都有例2:设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.,0;0,),(其它y x e y x f y 求(1)X 与Y 的边缘概率密度, (2)判断X 与Y 是否相互独立; 解 (1) ,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X ,+∞<<-∞x 当0≤x 时，,0)(=x f X当0>x 时，,)(x x y X e dy e x f -+∞-==⎰ 所以,0,00,)(⎩⎨⎧≤>=-x x e x f x X 类似可得.0,00,)(⎩⎨⎧≤>=-y y ye y f y Y 由于当y x <<0时, ),()()(y x f y f x f Y X ≠⋅, 故X 与Y 不相互独立.。
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
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收 稿 日期： ０ ０ ０ ．６ ２ １ —２ １
作 者简 介：彭
刚（９５ ，男，湖南 常德人 ，广东岭 南 职业技 术学 院讲 师 ． 要研究 方 向：不确 定性 理论 １６ 一） 主
２ ４
湖南理 Ｔ学 院学报（ 自然科学 版）
第２ ３卷
＝（ ｉｌ ，２…， ｐ ， ＝ （ １ ２…， ｊ…） ＰＰ ， ｐ ， …） ， ， Ｐ ， ， Ｐ ｐ
Ｖ０ ．３ ＮＯ ２ １ ． ２
Ｊ ｎ２ １ ｕ ．０ ０
二 维 离 散 型 随机 变 量 独 立性 判别 定 理及 应 用
彭 刚 ，禹辉 煌 ２
（．广东岭南 职业 技术学院，广州 ５ ０ ６ ； ．湖南理工学院 数学学 院，湖南 岳阳 ４ ４ ０ ） １ １６ ３ ２ １０ ６ 摘 要：给 出了二维 离散型随机 变量相互独立与否的判定定理及几个推论，并对推论进 行 了简单应用
文 献标 识码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ２５ ９ （０ ００ ．０ ３０ １７ ．２ ８２ １）２０ ２ ．３
关 键 词 ：向 量 组 ；线 性 相 关 ；线 性 无 关 ；联 合 分 布 ；随机 变量 独 立性 中图分类号： １ Ｏ２ ｌ
Ｉ ｎｄｅ ｎｄｅ ｅｏ ｖ ｒ ａ ｅＤｉｃ ｅ ｅＲ ａ ｐｅ ｎｃ ｆＢｉ ａ ｉ ｔ ｓ ｒ ｔ ｎｄｏ Ｖａ ｉ ｂｌ ｓａ ｍ ｒ ａ ｅ ｎｄ Ｉ ｓＡｐｐｌｃ ｔｏ ｔ ｉａｉｎ
设 （ ｙ 是二维 离 散随机 变 量，其联 合概 率分 布 Ｐ｛ ｉ ，） ｘ＝Ｘ， Ｙ＝Ｙ ） （ ＝ｌ ， 可 以用 下表 所示 ： ，＝ ｆ ， ， …） ２
ｌ … …
ＸＩ
ｌ ＿
ｐｌ ２
…
ｐｌ ，
…
Ｘ ２
● ● ●
ｐ ｎ
ｐ ｎ
…
ｐ２
…
＝ｐ （ １ ２…， ， （≠ ． ｐ ， ， …） ｆ ） ｐ
显然 与 线性相关．
若 Ａ中任意 的两个行 向量线 性相关 ，由联合 概率 分布性 质，Ａ中至少 有一 个元素 不为零 ，即至 少有一
个 非 零 行 向 量 ，不 妨 设 是 非 零 向 量 ，由 引 理 知 ， ， ， 都 可 以 由 …， … 线性表 出．
ＰＥＮＧ ｎ ＹＵ ｉｈ ａ ２ Ｇａ ｇ ， Ｈｕ ． ｕ ｎｇ
（ ． ａ ｇ ｏ ｇＬ ｎ ｎ ｎＶ ｃ ｔ ｎ ｌ ｅｈｎ ； １Ｇｕ ｎ ｄ ｎ ｉｇ ａ ｏ ａｉ ａ ｃ ｎｃ ｌ ｌ ｅ Ｇｕ ｎ ｚ ｏ ６ ， ｉａ ｏ Ｔ ｅ ０ ２ Ｃｏｌｇ ｆ ｔｅ ｔ ｓ Ｈｕ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ ｃｅ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ Ｙ ｅ ａ ｇ４１ ０ ６ Ｃｈｎ ） ． ｌ ｅｏ ｈ ｍａｉ ， ｎ ｎＩ ｓｉ ｔ ｆＳ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ， ｕ ｙ ｎ ０ ， ｉａ ｅ Ｍａ ｃ ｔ ４
第２ ３卷 第 ２期
２１ ０ ０年 ６月
湖南 理 １ 院学报 （ ’ 学 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｕ ａ ｓ ｔｔ ｏ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒａ ｎ ｎＩ ｔｕｅ ｆ ｉ ｃ ｄ ｃ ｎ ｌｇ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｅ） ｏＨ ｎｉ Ｓ ｅ ａ Ｔ ｎ
ｆ
● ● ●
ｐｔ ｜
ｐ２ ｜
…
ｐＨ
…
２ Ｐｔ Ｐｌ Ｉ Ｐ２ Ｐ２ １ ２
且Ｐ ≥ ， ０ ∑Ｚｐ ＝ ， １ 矩阵Ａ ＝
ｉ Ｊ
称为 （ ｙ 联合概率分布矩阵， ，） 其行向量记为
ｐｌ ２ … ｐｉ ｉ
ｐｌ 、
＝
（ ， ， ， （ ｌ ， ． （ 】 的联合分布律为 （ ｙ ～ 。 …， …） ， …） 记 ， ） ２ ， ，） Ａ．
１二维 离散 型随机 变量相 互独立 的命题及推论
引理 设 是 非零 向量 ， 与 线性 相关 ，则 可 由 线 性表 出．
定理
若 （ Ｙ ～ 则 Ｘ和 ｙ ，） Ａ， 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量（ 或两个列向
量 ） 性相 关． 线
证 明 若 与 ｙ相互独 立 ，由 Ｐ ＝ＰＰ ，则 Ａ中任意 的两 个行 向量 可写 为 ： ｉ
，
～
．
Ｋ ｙｗ ｒ ｓｖ ｃ ｒ ｒｕ ；ｉｅｒ ｏｒｌ ｉｎ ｌ ｅｒｎ ｅ ｅｄ ｎｅｊｉｔ ｉｒ ｕｉ ； ｄｐ ｎ ｅｃ ｆａ ｄ ｍ ｖｒ ｂｅ ｅ ｏ ｄ ：ｅｔ ｏ ｐ ｌ ａ ｒ ａ ｏ ；ｉ ａ ｉｄｐ ｎ ｅｃ；ｏｎ ｓ ｉ ｔ ｎ ｉ ｅ ｅｄ ｎｅｏ ｎ ｏ ａｉ ｌ ｏｇ ｎ ｃ ｅｔ ｎ ｄ ｔｂ ｏ ｎ ｒ ａ
ａ＝ ｉ （＝ｌ ， ． ｋ＝ ， Ａ可写成 ｉ ， …） 取 ｌ １ 则 ２
毛 ２
ｋ ＰＩ ２ １
…
：
ｋｐｌ ｋｐ１ ， １ ｉ２
这 ＝ ｐ （ ＝，…， 里 。ｆ ｌ，）且∑ＥＰ＝ ， ２ ∑∑ ∑ 。 １ ｐ ： ∑Ｐ＝ ．