高考专题练习： 函数的图象

1．利用描点法作函数的图象 其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

(2)对称变换 ①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )

――→关于原点对称y ＝－f (－x )．

④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称

y ＝log a x (x ＞0)．

(3)翻折变换

①y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴及上方图象

将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|．

②y ＝f (x )――――――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其

关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．

(4)伸缩变换

①y ＝f (x )

a ＞1，横坐标缩短为原来的1

a 倍，纵坐标不变

0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1

a 倍，纵坐标不变

→y ＝f (ax )．

②y ＝f (x )

a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变

0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变

→y ＝af (x )．

常用结论

1．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图

象关于直线x＝a＋b

2

对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()

(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．()

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．()

(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．()

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×

二、易错纠偏

常见误区|(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；

(2)不注意函数的定义域出错．

1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．

解析：与f (x )的图象关于直线y ＝x 对称的图象所对应的函数为g (x )＝－log 2x ，再将其图象右移1个单位得到h (x )＝－log 2(x －1)的图象．

答案：－log 2(x －1)

2．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是

________．

解析：当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数

f (x )的图象知满足

f (x )＞0时，x ∈(2，8]．

答案：(2，8]

作函数的图象(师生共研)

作出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1.

(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.

【解】 (1)先化简，再作图，

y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，

图象如图所示．

(2)因为y ＝

x ＋2x －1

＝1＋

3x －1

，先作出y ＝3

x 的图象，将其图象向右平移1个单

位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2

x －1

的图象，如图所示．

(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．

函数图象的三种画法

(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．

[提醒] (1)画函数的图象时一定要注意定义域．

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

分别作出下列函数的图象．

(1)y ＝|x －2|(x ＋1)； (2)y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |.

解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时，

y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2

－x －2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122－9

4；

当x <2，即x －2<0时，

y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2

＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122＋9

4.

所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝

⎛⎭⎪⎫x －122－9

4，x ≥2，－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －122＋9

4，x <2.

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．

(2)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x

的图

象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12|x |

的图象，如图中实线部分．

函数图象的识别(多维探究) 角度一 知式选图 方法一 特殊点法

函数f (x )＝x 2

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

的大致图象是( )

【解析】由f(0)＝－1，得函数图象过点(0，－1)，可排除D；由f(－2)＝4－4＝0，f(－4)＝16－16＝0，得函数图象过点(－2，0)，(－4，0)，可排除A，C．故选B．

【答案】 B

使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．

方法二性质检验法

函数f(x)＝ln(2－|x|)的大致图象为()

【解析】由2－|x|>0，解得－2

所以函数f(x)＝ln(2－|x|)的定义域为(－2，2)，定义域关于原点对称．

又因为f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)＝ln(2－|x|)在定义域上为偶函数，排除C和D；当0

【答案】 A

利用性质识别函数图象是解题的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．

方法三图象变换法

已知函数f(x)＝log a x(0

【解析】当x≥0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)＝log a(x＋1)，而函数y＝log a(x ＋1)的图象可由函数y＝log a x的图象向左平移一个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以函数y＝f(|x|＋1)的图象是由函数y＝log a(x＋1)，x≥0的图象及其关于y轴对称的图象组成的，所以A正确．

【答案】 A

通过图象变换识别函数图象要掌握两点：一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等图象)；二是了解常见的一些变换形式，如平移变换、翻折变换．

角度二知图选式(图)

(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()

A．f(x)＝ln|x|

x B．f(x)＝

e x

x

C．f(x)＝1

x2－1 D．f(x)＝x－

1

x

(2)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b 的大致图象是()

【解析】(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C．若函数

为f(x)＝x－1

x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A．

(2)由函数f(x)的大致图象可知3＜a＜4，－1＜b＜0，所以g(x)的图象是由y ＝a x(3＜a＜4)的图象向下平移－b(0＜－b＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图象，故选A．

【答案】(1)A(2)A

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型分析解决问题．

角度三由实际问题的变化过程探究函数图象

广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图象为()

【解析】 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P →

与O 2O 1→的夹角为θ，因为|O 2P →|＝1，|O 2O 1→|＝2，θ＝x －π，所以y ＝(O 2P →－O 2O 1→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，所以y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →与OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→

|＝1，α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P |2＝(OP →－OO 1

→)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，

函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．

【答案】 A

实际背景下的函数图象识辨

在实际背景中，判定两个量构成的函数图象时，在优先明确定义域后，一是直接求得解析式(定量分析)进行识辨．二是估计函数值的变化趋势判断图象走势(定性分析)作出判断．

1．(2020·高考浙江卷)函数y ＝x cos x ＋sin x 在区间[－π，π]上的图象可能是( )

解析：选A ．令f (x )＝x cos x ＋sin x ，所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＋sin(－x )＝－x cos x －sin x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，排除C ，D ，又f (π)＝－π<0，排除B ，

故选A ．

2．(2020·贵阳四校联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋1x ln|x |的图象的大致形状为( )

解析：选D ．方法一：当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1x ln x ，且当00，

ln x <0，f (x )<0，故排除B ，C ；当x <0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋1x ln(－x )，且当－1

x ＋1

x <0，ln(－x )<0，f (x )>0，故排除A ．故选D ．

方法二：因为f (－x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1（－x ）ln|－x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ln|x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，故排除A ，B ；又当x ＝2时，f (2)＝5

2ln 2>0，故排除C ．故选D ．

3.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( )

A ．f (x )＝x 2－2ln |x |

B ．f (x )＝x 2－ln |x |

C ．f (x )＝|x |－2ln |x |

D ．f (x )＝|x |－ln |x |

解析：选B ．由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x ＞0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，2

2，2，1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln |x |符合条件．故选B ．

4．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注

入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选A ．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．

函数图象的应用(多维探究) 角度一 研究函数的性质

已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是 ( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)

【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，

－x 2－2x ，x <0，

画出

函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．

【答案】 C

一般根据图象观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图象是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图象上升与下降的情况，确定单调性．角度二解不等式

函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为()

A．(1，3) B．(－1，1)

C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)

【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．【答案】 C

利用函数的图象研究不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．

角度三求参数的值或取值范围

设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)

恒成立，则实数a的取值范围是________．

【解析】如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．

【答案】[－1，＋∞)

当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．

1．对于函数f(x)＝lg(|x|＋1)，给出如下三个命题：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．0

解析：选B．作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．

2．已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|

A．有最小值－1，最大值1

B．有最大值1，无最小值

C．有最小值－1，无最大值

D．有最大值－1，无最小值

解析：选C ．画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”知在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|

3.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．

解析：在同一直角坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．

答案：(－1，1]

4．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．

解析：先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1

2，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，1.

答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，1

[A 级 基础练]

1．(2021·福州市质量检测)函数y ＝x 2e x 的大致图象为 ( )

解析：选A ．y ＝x 2e x ≥0，排除选项C ；函数y ＝x 2e x 既不是奇函数也不是偶函数，排除选项D ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除选项B ．综上，选A ．

2．(2020·高考天津卷)函数y ＝4x

x 2＋1

的图象大致为( )

解析：选A ．方法一：令f (x )＝

4x

x 2

＋1

，显然f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，排除C ，D ，由f (1)>0，排除B ，故选A ．

方法二：令f (x )＝

4x x 2＋1

，由f (1)>0，f (－1)<0，故选A ．

3．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，

x ，0＜x ≤1，

则下列函数的图象错误的是( )

解析：选D ．在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D ．

4.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )

A ．a ＝1，b ＝2

B ．a ＝1，b ＝－2

C ．a ＝－1，b ＝2

D ．a ＝－1，b ＝－2

解析：选B ．令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b

a ，由图象可

知，－b a ＞1，又当x ＞－b

a 时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，

b ＝－2满足题意，故选B ．

5．已知函数y ＝f (－|x |)的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象不可能是( )

解析：选C ．函数y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，f （x ），x <0，当x <0时，y ＝f (－|x |)＝f (x )，

所以函数y ＝f (－|x |)的图象在y 轴左边的部分，就是函数y ＝f (x )的图象，故可得函数y ＝f (x )的图象不可能是C ．

6.已知奇函数f (x )在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf (x )<0的解集为________

解析：因为函数f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x <0时的函数图象，如图．对于不等式xf (x )<0，当x >0时，f (x )<0，所以10，所以－2

答案：(－2，－1)∪(1，2)

7.若函数f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋b ，x <－1，

ln （x ＋a ），x ≥－1

的图象如图所示，则f (－3)＝________．

解析：由题图可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，所以a ＝2，b ＝5， 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，

ln （x ＋2），x ≥－1，

故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 答案：－1

8．给定min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，

b ，b ＜a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若

动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为________．

解析：函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4，5)．

答案：(4，5)

9．作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝|log 2x －1|.

解：(1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度，图象如图①.

(2)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如

图②.

10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；

(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.

(2)f (x )＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，

－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4，

f (x )的图象如图所示．

(3)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，即方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．

[B 级 综合练]

11．(2020·河北九校第二次联考)函数f (x )＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－21＋e x sin x 的图象的大致形

状是( )

解析：选A ．因为f (x )＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝e x －1e x

＋1sin x ，且y ＝e x －1e x ＋1和y ＝sin x 都是奇函数，所以f (x )＝

e x －1e x

＋1

sin x 为偶函数，故其图象关于y 轴对称，排除C ，

D ．当x ∈(0，π)时，e x >1，所以y ＝e x －1e x ＋1

>0，又sin x >0，所以f (x )>0，故排除B ，

故选A ．

12．已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0

D ．(1，2)

解析：选C ．作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．

13．已知函数f (x )＝x ＋1

|x |＋1

，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )

解析：由已知得，f (x )＝⎩

⎨⎧1，x ≥0，

－1－2x －1，x <0.

其图象如图所示：