函数的图象经典练习题

1.5函数sin()y A x ω?=+的图象

一、情景导入：

1．函数y=Asin(ωx+φ)的图像与y=sinx 的图像关系.

(1)振幅变换：函数y=Asinx(A ＞0,且A ≠1)的图像，可以看作是y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换，它实质上是纵向的伸缩.

(2)周期变换：函数y=sin ωx(ω＞0,且ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的

1

ω倍(纵坐标不变)而得到的，由y=sinx 的图像变换为y=sin ωx 的图像，其周期由2π变2π

ω.这种变换叫做周期变换.它实

质上是横向的伸缩.

(3)相位变换：函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位而得到的.这种由y=sinx 的图像变换为y=sin(x+φ)的图像的变换，使相位x 变为x+φ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. 应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由y=sinx 的图像得到y=Asin(ωx+φ)+k 的图像.

2．设f 、t 、h 分别表示相位变换，周期变换，振幅变换，变换作图法共有以下不同的程序：

(1)f →t →h;(2)f →g →t(3)t →h →f;(4)t →f →h;(5)h →f →t;(6)h →t →f 3.y=Asin(ωx+φ)(A ＞0，ω＞0)与简谐振动

在物理学中，y=Asin(ωt+φ)(A ＞0,ω＞0),其中t ∈［0，+∞)，表示简谐振动的运动方程.这时参数A ，ω，φ有如下物理意义：

A 称为振幅，它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离. T=2π

ω

称为周期，它表示振动一次所需的时间(亦即函数y 的最小正周期).

f=

T 1= 2ω

π

称为振动的频率，它表示单位时间内往复振动的次数，ωt+φ叫做相位，当t=0时的相位，即φ称为初相. 二、感受理解：

1．请用五点法作出3sin(2)4

y x π

=+在一个周期上的简图

2．试说明y=cosx 的图像经怎样的变换可得到y=3cos(3x+

2

π

)+1的图像?

3．指出将y=sinx 的图像变换为y=sin(2x+3

π

)的图像的两种方法.

4．函数f(x)的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移2

π

个单位，所得到的曲线是

y=2

1

sinx 的图像，试求函数y=f(x)的解析式.

5．如图是函数y=Asin(ωx+φ)图像一段，函数定义域是 ，值域是 ，周期是 ，振幅是 ，函数解析式是 ，当x= 时y 取最大值= ，当

x= ,y 取最小值 ，x= 时，y=0，函数递减区间是 . 三、迁移拓展：

6．函数y=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω≠0)的奇偶性( ) A.仅与A 有关

B.仅与ω有关

C.仅与φ有关

D.与A 、ω、φ有关

7. 函数y=sin2x 的图像向左平移

6

π

所得曲线的对应函数式( ) A.y=sin(2x+6π) B.y=sin(2x-6π) C.y=sin(2x+3π) D.y=sin(2x-3

π

)

8.得到函数y=sin(2x-3π

)的图像，只需将y=sin2x 的图像( )

A.向左移动3π

B.向右移动3π

C.向左移动6π

D.向右移动6π

9.函数y=sin(2x-6π

)的单调递减区间是( )

A.［k π+12π,k π+127π］

B.［k π-125π,k π+12π

］

A.［k π-6π,k π+3π］ D.［k π+3

π,k π+65

π］(k ∈Z)

10. 函数()f x ＝Asin(ωx+φ)的一个周期内的图象如图，则()f x 的表达式为( )

A ．y ＝2sin(x+6π)

B ．y ＝2sin(x+3π)

C ．y ＝2sin(2x+6

π

) D ．y ＝

2sin(2x+

3

π

) 11．函数2sin(

3)6

y x π

=--的振幅是 ；周期是 ．

12．函数y=

21sin(3x-3

π

)的定义域是 ，值域是 ，周期是 ，振幅是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 12. 要得到函数y=3cos(2x-

4

7

π)的图像C ，需要将函数y=3sin2x 的图像C 0经过平移得到，则平移路程最小的长度是 单位. 14.已知函数f(x)=sin(3k x+4

π),使f(x)的周期在(32，34

)内，则正整数k= . 15.给出下列命题：

(1)函数y=sinx 在第一、四象限都是增函数；(2)函数y=cos(ωx+φ)的最小正周期为2π

ω

；

(3)函数y=sin(

32x+2

7

π)是偶函数； (4)函数y=sin2x 的图像向左平移

4π个单位，得到y=sin(2x+4

π

)的图像. 其中正确的命的序号是 . 16．写出下列函数图象的解析式

（1）将函数y=sinx 的图象上所有点向左平移3

π

个单位，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得到所求函数的图象。

（2）将函数y=cosx 的图象上所有点横坐标缩为原来的一半，纵坐标保持不变，然后把图象向左平移

4

π

个单位，得到所求函数的图象。 17.已知y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为3

2π

，最小值为-2，且过点(

9

5

π，0)，求它的表达式. 18.用“五点法”作出函数f(x)=sin(x+4

π

)一个周期的图像，并画出f(｜x ｜)的图像.

19．说明函数1tan()2

6

y x π

=-的图像可以由函数tan y x =的图像经过怎样的变换得

到。

20．如图，是正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的一个周期的图像. (1)写出f(x)的解析式；

(2)若g(x)与f(x)的图像关于直线x=2对称，写出g(x)的解析式.

四、实践应用：

21．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间［a,b ］上是增函数，且f(a)=-M,f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在［a,b ］上( )

A.是增函数

B.是减函数

C.可以取得最大值M

D.可以取得最小值-M 22．函数y ＝Asin(ax+b)的图象与函数y ＝Acos(ax+b)的图象在区间［m,m+a

π

］(a ＞0)( )

A.可能没有交点 B .一定有两个交点 C.至少有一个交点 D .只有一个交点

参考答案：

1.5函数sin()y A x ω?=+的图象 二、感受理解 1． 略 2． 略

3． （1） y=sinx 1

2??????????→横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

y=sin2x 6π

???????→向左平移单位

y=sin ［2(x+6π)］ （2） y=sinx 3π???????→向左平移单位 y=sin(x+3π)1

2??????????→横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

y=sin(2x+3π). 4．y=-21cos2x 5． ［2k π-3π,2k π+35π

］(k ∈Z),［-2,2］,T=2π,2， y=2sin(x+3π),x=6π+2k π,k ∈Z,2,x=67π+2k π,k ∈Z 时，-2，x=-3

π+2k π, 32π

+2k π,

35π+2k π时,y=0,［6

π+2k π, 67π+2k π］(k ∈Z) 三、迁移拓展：

6．Ｃ 7．Ｃ 8．Ｄ 9．Ｄ 10．D 11．2 ,23

π 12．R ，［-

21，2

1

］T=

32π,A=21,f=π23,3x-3π,-3

π 13．向左平移83π

14．15,16,17 15．(3) 16． （1）sin()23x y π=+(2)cos(2)2y x π=+ 17．y=2sin(3x+3

π

)

18．

19．可先把tan y x =的图像上所有点向右平移6

π个单位，得到tan()6y x π

=-的图像，

再把tan()6

y x π

=-

图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），从而

得到1

tan()2

6

y x π

=-的图像。

20． (1)f(x)=2sin(4πx+4π) (2)g(x)=2sin(4πx-4

π) 四、实践应用： 21．C 22． C.