定比点差法及其应用解说
解析几何之定比点差法
解析几何之“定比点差法”文章来源： 作者：意琦行 时间：2016年1月5日 介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识： 一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点． 当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点； 当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点． 定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明 直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上． 答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上． 例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]． 练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围． 答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明 设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2， 命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标． 答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。
解析几何之定比点差法
解析几何之“定比点差法”文章来源： 作者：意琦行 时间：2016年1月5日 介绍定比点差法之前，先介绍一些解析几何中的基础知识： 一、定比分点若λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则称点M 为点A 、B 的λ定比分点． 当λ>0时，点M 在线段AB 上，称为内分点； 当λ<0(λ≠−1)时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点． 定比分点坐标公式：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点M 的坐标为M (x 1+λx 21+λ,y 1+λy21+λ).二、点差法若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,x 22a 2±y 22b2=1, 两式作差得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2±(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0.此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．下面介绍定比点差法：若点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在有心二次曲线x 2a 2±y 2b 2=1上，则有x 12a 2±y 12b 2=1,λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2±(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 这样就得到了1a 2⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ±1b 2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=1. 例1 过异于原点的点P(x 0,y 0)引椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的割线PAB ，其中点A,B 在椭圆上，点M 是割线PAB 上异于P 的一点，且满足AM MB =AP PB．求证：点M 在直线x 0x a 2+y 0y b 2=1上．证明 直接运用定比点差法即可．设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λMB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )，则有 x 0=x 1+λx 21+λ,y 0=y 1+λy 21+λ;x M =x 1−λx 21−λ,y M =y 1−λy 21−λ.又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 12a 2+y 12b 2=1,λ2x 22a 2+λ2y 22b2=λ2 两式作差得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)a 2+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)b2=1−λ2. 两边同除以1−λ2，即可得到x 0x M a 2+y 0y M b 2=1.命题得证．练习1 (2008高考数学安徽卷理科)设椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(√2,1)，且焦点为F 1(−√2,0)． (1)求椭圆的方程；(2)过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，证明：点Q 总在某定直线上． 答案 (1)x 24+y 22=1；(2)点Q 在直线2x +y −2=0上． 例2 已知椭圆x 29+y 24=1，过定点P(0,3)的直线与椭圆交于两点A,B (A,B 可以重合)，求PAPB的取值范围．解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PAPB =−λ．于是P (x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ)=(0,3)，于是x 1+λx 2=0,y 1+λy 2=3(1+λ) (1)又因为点A,B 在椭圆上，所以有x 129+y 124=1,λ2x 229+λ2y 224=λ2,两式相减得(x 1+λx 2)(x 1−λx 2)9+(y 1+λy 2)(y 1−λy 2)4=1−λ2.(2)将(1)代入(2)中得到y 1−λy 2=43(1−λ).(3)由(1)(3)解得y 1=3(1+λ)+43(1−λ)2=136+56λ∈[−2,2].从而解得λ的取值范围为[−5,−15]，于是PAPB 的取值范围为[15,5]． 练习2 设D(0,16)，M,N 是椭圆x 225+y 216=1上的两个动点(可以重合)，且DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ的取值范围． 答案 [35,53]．例3 设F 1(−c,0)、F 2(c,0)为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，直线PF 1,PF 2分别交椭圆于异于P 的点A 、B ，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2．证明 设P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1(x 0+λx 11+λ,y 0+λy 11+λ),F 2(x 0+μx 21+μ,y 0+μy 21+μ).于是有x 0+λ x 1=−(1+λ )c,y 0+λ y 1=0;(4) x 0+μ x 2=(1+μ )c,y 0+μ y 2=0.(5)又由点P,A 在椭圆上得到x 02a2+y 02b 2=1,λ2x 12a 2+λ2y 12b 2=λ2,两式相减得(x 0+λx 1)(x 0−λx 1)a 2+(y 0+λy 1)(y 0−λy 1)b2=1−λ2.(6) 从而有 λx 1=a 2c(λ−1).结合(4)式可解得 2x 0=a 2c(λ−1)−c(1+λ).同理可得 x 0−μx 2=a 2c (1−μ).结合(5)式得到 x 0=a 2c(1−μ)+c(1+μ).于是有 a 2c (λ−1)−c(1+λ)=a 2c(1−μ)+c(1+μ).整理得λ+μ=2⋅a 2+c 2a 2−c 2， 命题得证．练习3 已知过椭圆x 22+y 2=1的左焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，且有FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点A 的坐标． 答案 A(0,±1)．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．。
破解圆锥曲线解答题之定比点差法
破解圆锥曲线解答题之定比点差法
圆锥曲线展现一种对称和谐之美,这种美是杂乱中的秩序,是变化中的规律.圆锥曲线这类题目,是大多数高中生共同的恐惧如何拨云见日,在复杂的题目中找到破解方式,在繁琐的思路中揪出一条逻辑,定比点差是一种很好的解题方法。
设点设线成就了圆锥曲线的通解,极点极线造就了圆锥曲线的速解,定比点差规范了圆锥曲线的优解合理性的间述,规范性的证明，严谨的逻辑思维,简单的计算书写拥有强大的斜率处理方式后,换一种方式打开圆维曲线，一个小小的点竟然蕴蔽了如此大的威力。
在初中数学教学的过程中,教师应当关注学生解题思堆能力的培养使学生真正掌摇基本的解题方法和技巧，减少数学题目解题过程中的错误率,提高学生数学学习的兴趣.以常见的思维教学方式为基础，重点关注学生解题过程中的思维发故，使学生解题能力得到有效提高.。
高考数学定比点差法齐次化极点极线问题蝴蝶问题(解析版)
定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题【题型归纳目录】题型一：定比点差法题型二：齐次化题型三：极点极线问题题型四：蝴蝶问题【典例例题】题型一：定比点差法例1.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF =3FB ，求k【解析】由e =32，可设椭圆为x 24+y 2=m 2(m >0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，F (3m ,0)，由AF =3FB ，所以3m =x 1+3x 21+30=y 1+3y 21+3，⇒x 1+3x 2=43m y 1+3y 2=0 ．又x 124+y 12=m 2(1)x 224+y 22=m 2(2) 按λ配型(2)×9 x 124+y 12=m 2(1)9x 224+9y 22=9m 2(3) 由(1)-(3)得(x 1+3x 2)(x 1-3x 2)4+(y 1+3y 2)(y 1-3y 2)=-8m 2⇒x 1-3x 2=-833m ，又x 1+3x 2=43m ⇒x 1=233m ⇒A 23m 3,±6m 3．又F (3m ,0)⇒k =±2．例2.已知x 29+y 24=1，过点P (0,3)的直线交椭圆于A ，B (可以重合)，求PA PB 取值范围．【解析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，P (0,3)，由AP =λPB ，所以0=x 1+λx 21+λ3=y 1+λy 21+λ⇒x 1+λx 2=0y 1+λy 2=3(1+λ) ．由4x 12+9y 12=36(1)4x 22+9y 22=36(2) 配比(2)×λ2 4x 12+9y 12=36(1)4λ2x 22+9λ2y 22=36(3) 由(1)-(3)得：⇒4x 1+λx 2 x 1-λx 2 +9y 1+λy 2 y 1-λy 2 =361-λ2⇒y 1-λy 2 =41-λ 3，又y 1+λy 2=31+λ ⇒y 1=13+5λ6，又y 1∈-2,2 ⇒λ∈-5,-15 ，从而PA PB=λ ∈15,5 ．例3.已知椭圆x 26+y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 若λ=2，求μ的值．【解析】设P x 0,y 0 ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，，由PF 1 =λF 1A ，PF 2 =μF 2B 得①F 1-c ,0 满足-c =x 0+λx 11+λ0=y 0+λy 11+λ⇒x 0+λx 1=-c 1+λ y 0+λy 1=0 F 2c ,0 满足c =x 0+μx 21+μ0=y 0+μy 21+μ⇒x 0+μx 2=-c 1+μ y 0+μy 2=0 ②由x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2) ⇒x 02a 2+y 02b 2=1(1)λ2x 12a 2+λ2y 12b2=λ2(3) ③由(1)-(3)得：x 0-λx 1 x 0+λx 1 a 2+y 0-λy 1 y 0+yx 1 b2=1-λ2⇒x 0-λx 1 x 0+λx 1 1-λ 1+λ =a 2⇒x 0-λx 1 =-a 2c 1-λ ，又x 0+λx 1 =-c 1+λ ⇒2x 0=a 2-c 2c λ-a 2+c 2c ，同理可得2x 0=-a 2-c 2c μ+a 2+c 2c⇒a 2-c 2c λ+μ =2⋅a 2+c 2c ⇒λ+μ =2⋅a 2+c 2a 2-c 2=10⇒μ=8．题型二：齐次化例4.已知抛物线C :y 2=4x ，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：∠POQ =90°．【解析】直线PQ :x =my +4,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2由x =my +4，得1=x -my 4则由x =my +4y 2=4x ，得：y 2=4x ⋅x -my 4，整理得：y x 2+m y x -1=0，即：y 1x 1⋅y 2x 2=-1．所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-1，则OP ⊥OQ ，即：∠POQ =90°．例5.椭圆E :x 22+y 2=1，经过点M (1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A (0,-1)，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线PQ :mx +n (y +1)=1,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则m +2n =1．由mx +n (y +1)=1x 22+y 2=1，得：x 22+[(y +1)-1]2=1．则x 22+(y +1)2-2(y +1)[mx +n (y +1)]=0，故(1-2n )y +1x2-2m y +1x +12=0．所以y 1+1x 1+y 2+1x 2=2m 2n -1=2.即k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=2.例6.已知椭圆C :x 24+y 2=1，设直线l 不经过点P 2(0,1)且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：直线l 过定点．【解析】设直线l :mx +n (y -1)=1．．．．．．(1)由C :x 24+y 2=1，得x 24+[(y -1)+1]2=1即：x 24+(y -1)2+2(y -1)=0．．．．．．(2)由(1)(2)得：x 24+(y -1)2+2(y -1)[mx +n (y -1)]=0整理得：(1+2n )y -1x 2+2m ⋅y -1x +14=0则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=-2m 1+2n=-1，则2m =2n +1，代入直线l :mx +n (y -1)=1，得：l :(2n +1)x +2n (y -1)=2显然，直线过定点(2,-1)．题型三：极点极线问题例7.已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过A (-2，0)，B (0，1)两点．(1)求椭圆M 的离心率；(2)设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上(P 不与椭圆M 的顶点重合)，直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【解析】(1)因为点A (-2,0)，B (0,1)都在椭圆M 上，所以a =2，b =1．所以c =a 2-b 2=3．所以椭圆M 的离心率e =c a =32．(2)由(1)知椭圆M 的方程为x 24+y 2=1，C (2,0)．由题意知：直线AB 的方程为x =2y -2．设P (x 0,y 0)(y 0≠0，y 0≠±1)，Q (2y Q -2,y Q )，S (x S ,0)．因为C ,P ,Q 三点共线，所以有CP ⎳CQ ，CP =(x 0-2,y 0),CQ =(2y Q -2-2,y Q )，所以(x 0-2)y Q =y 0(2y Q -4)．所以y Q =4y 02y 0-x 0+2．所以Q 4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2,4y 02y 0-x 0+2．因为B ,S ,P 三点共线，所以1-x s =y 0-1x 0，即x s =x 01-y 0．所以S x 01-y 0,0．所以直线QS 的方程为x =4y 0+2x 0-42y 0-x 0+2-x 01-y 04y 02y 0-x 0+2y +x 01-y 0，即x =x 02-4y 02-4x 0y 0+8y 0-44y 0(1-y 0)y +x 01-y 0．又因为点P 在椭圆M 上，所以x 02=4-4y 02．所以直线QS 的方程为x =2-2y 0-x 01-y 0(y -1)+2．所以直线QS 过定点(2,1)．例8.若双曲线x 2-y 2=9与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)共顶点，且它们的离心率之积为43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线A 1P 与A 2Q 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1-15k 2=0．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)由已知得双曲线的离心率为2，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为223；由题意知a =3，所以c =22，b =1．所以椭圆的标准万程为x 29+y 2=1．(2)当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：k 1=-k 2≠0，不满足k 1-15k 2=0，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x =ty +n ，由x =ty +n x 29+y 2=1，得：t 2+9 y 2+2tny +n 2-9=0，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以Δ=4t 2n 2-4t 2+9 n 2-9 >0，整理得：t 2-n 2+9>0，设P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9，k 1=y 1x 1+3，k 2=y 2x 2-3．因为k 1-15k 2=0，所以15=k 1k 2=y 1x 1+3y 2x 2-3=y 1x 2-3 y 2x 1+3 =y 1ty 2+n -3 y 2ty 1+n +3 ，整理得：4ty 1y 2+5(n -3)y 1-(n +3)y 2=0，4ty 1y 2+5(n -3)y 1+y 2 =(6n -12)y 2，将y 1+y 2=-2tn t 2+9，y 1y 2=n 2-9t 2+9代入整理得：t (n -2)(n -3)=(2-n )t 2+9 y 2要使上式恒成立，只需n =2，此时满足t 2-n 2+9>0，因此，直线l 恒过定点2,0 ．例9.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA QB =PA PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知，点(2,1)在椭圆E 上.因此，2a 2+1b 2=1,a 2-b 2=c 2,c a =22,解得a =2,b =2.所以椭圆的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则|QC ||QD |=|PC ||PD |=1，即|QC |=|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0,y 0).当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则M (0,2),N (0,-2)，由|QM ||QN |=|PM ||PN |，有|y 0-2||y 0+2|=2-12+1，解得y 0=1或y 0=2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为Q (0,2).下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |=|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y =kx +1，A 、B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).联立x 24+y 22=1y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.其判别式Δ=16k 2+8(2k 2+1)>0，所以，x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.因此1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=2k .易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B (-x 2,y 2).又k QA =y 1-2x 1=k -1x 1,k QB =y 2-2-x 2=-k +1x 2=k -1x 1，所以k QA =k QB，即Q ,A ,B 三点共线.所以|QA ||QB |=|QA ||QB |=|x 1||x 2|=|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |=|PA ||PB |恒成立.变式1.已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点.【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y09x +3联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 .同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1当y 20≠3时，∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1 ，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02 x -32所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．变式2.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F 1(-3,0)，且过点P 32,134 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线x =1上任意一点，直线A 1Q ，A 2Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)椭圆的一个焦点F 1-3,0 ，则另一个焦点为F 23,0 ,由椭圆的定义知:PF 1+PF 2=2a ，代入计算得a =2．又b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设Q 1,t ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则直线A 1Q :y =t 3x +2 ，与x 24+y 2=1联立，解得M -8t 2+184t 2+9,12t 4t 2+9同理N 8t 2-24t 2+1,4t 4t 2+1所以直线MN 的斜率为12t 4t 2+9-4t 4t 2+1-8t 2+184t 2+9-8t 2-24t 2+1=-2t 4t 2+3所以直线MN :y -12t 4t 2+9=-2t 4t 2+3x --8t 2+184t 2+9 =-2t 4t 2+3x -4 所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为4,0变式3.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,1)，且左焦点为F 1-2,0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点P (4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】(1)因为椭圆的左焦点为F 1-2,0 ，所以c =2，设椭圆方程为x 2a 2+y 2a 2-2=1，又因为椭圆过点M (2,1)，所以2a 2+1a 2-2=1，解得a 2=4,b 2=2所以椭圆方程为：x 24+y 22=1；(2)设直线AB 的参数方程是x =4+t cos αy =1+t sin α ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24+y 22=1，得：cos 2α+2sin 2α t 2+(8cos α+4sin α)t +14=0．由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |，得|AP |(|QP |-|PB |)=(|AP |-|QP |)|PB |，即|QP |(|AP |+|PB |)=2|AP |⋅|PB |，则t Q =2t A t B t A +t B =-288cos α+4sin α，点Q 轨迹的参数方程是x =4-28cos α8cos α+4sin αy =1-28sin α8cos α+4sin α，则8(x -4)+4(y -1)=-28，所以点Q 在定直线2x +y -2=0上题型四：蝴蝶问题例10.在平面直角坐标系中，已知圆M :x +2 2+y 2=36，点N 2,0 ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
定比点差法及其应用解说
定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。
高考数学专题调和点列中的定比点差法
调和点列中的定比点差法【微点综述】定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用．一、调和定比分点若AM =λMB 且AN =-λNB，则称M ,N 调和分割A ,B ，根据定义，那么A ,B 也调和分割M ,N (其中M 在线段AB 内，称为内分点，N 在线段AB 外，称为外分点)．二、调和定比分点的性质【性质1】在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b 2=1a >0,b >0 中，设A ,B 为椭圆或双曲线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM =λMB ，AN =-λNB ，则一定有x M x Na 2±y M y Nb 2=1．证明：由已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b2=1a >0,b >0 上，设M x M ,y M ,N x N ,y N ．首先AM =λMB ，则由定比分点坐标公式可得x M =x 1+λx21+λ,y M =y 1+λy 21+λ,又AN =-λNB ，则由定比分点坐标公式可得x N =x 1-λx21-λ,y N =y 1-λy 21-λ,当λ≠±1时，将A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 代入曲线，有x 21a 2±y 21b 2=1①x 22a 2±y 22b2=1②，②×λ2得到λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2③③和①作差整理可得：x 1+λx 2 x 1-λx 2a 21+λ 1-λ±y 1+λy 2 y 1-λy 2b 21+λ 1-λ=1，将前式代入整理得x M x Na 2±y M y Nb 2=1．【性质2】在抛物线y 2=2px 中，设A ,B 为抛物线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM=λMB ，AN =-λNB ，则一定有y P y Q =p x P +x Q ．证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由AM =λMB ，得M x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，由AN =-λNB ，得N x 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ，又y 12=2px 1①λ2y 22=2λ2px 2②，①-②得：y 12-λ2y 22=p x 1+x 1-λ2x 2-λ2x 2 ，即y 1+λy 2 y 1-λy 2 =p x 1+λx 2+x 1-λx 2+λx 1-λ2x 2-λx 1-λ2x 2 ，y 1+λy 2 y 1-λy 2 1+λ 1-λ=p (x 1+λx 2)1-λ 1-λ 1+λ +p x 1-λx 2 1+λ1-λ 1+λ,∴y P y Q =p x P +x Q ．定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．【性质3】定比点差转换定理：在椭圆、双曲线或抛物线中，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为椭圆或双曲线上的两点．若存在P ,Q 两点，满足AP =λPB ，AQ =-λQB，则一定有x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.(重点中的重点！！！)证明：x P x Qa 2±y P y Q b2=1⇒x 1+λx 21+λ=x P ,x 1-λx 21-λ=x Q⇒x 1+λx 2=1+λ x P ,x 1-λx 2=1+λ x Q ⇒x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.三、定比点差法在调和点列中的应用例1.已知椭圆C :x 24+y 22=1，过点P 4,1 的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，在线段AB 上取点Q 满足AP QB =AQ PB ，求证：点Q 在某条定直线上．BAO PQxy例2.已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53．OxyMF 1F 2(1)求椭圆C 1的方程；(2)已知点P (1,3)和圆O ：x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足：AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1)．求证：点Q 总在某定直线上．例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23．(1)求a ，b 的值；(2)当过点P 6,0 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP ⋅BQ+AQ ⋅BP=0，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．例4.已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的中心为原点O ，左､右焦点分别为F 1､F 2，离心率为54，且过点M 5,94 ，又P 点是直线x =a 25上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2 ⋅QF 2 =0．(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ､N ，在线段MN 上取异于点M ､N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．例5.椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQBλ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．例6.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F 1,0 的距离与到定直线x =3的距离之比为33．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知P 为定直线x =3上一点．①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G (G 不在y 轴上)，求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为3,3 ，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R 、T ，线段RT 上的点H 满足PR PT=RHHT，求证：点H 恒在一条定直线上．【针对训练】1.(2022·江苏·南京师大附中高三开学考试)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，已知椭圆的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆的方程；(2)点P为直线x=4上的动点，过点P的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点．2.已知椭圆E：x2a2+y24=1(a>0)的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为53，点P是直线x=-5a25上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足PF1⋅QF1=0．(1)试求出实数a；(2)设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；(3)若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足PMPN=MHHN，证明点H恒在一条定直线上．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23(1)求a ，b 的值(2)当过点P (6，0)的动直线1与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ=AQ BP ，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是C 上一点，MF 1 =2，且MF 1 MF 2 =-2MF 1⋅F 2M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)当过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相较于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB =AQ PB，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线.5.(2022·山东·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点F(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为12.(1)求动点C的轨迹方程；(2)点P为直线l上的动点，过点P的动直线m与动点C的轨迹相交于不同的A，B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|=λ|PB|,|AQ|=λ|QB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点.6.(2022·北京八中高二期末)如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴端点为B1、B2，且B1B2=2，椭圆C的离心率e=22，点P(0,2)，过点P的动直线l椭圆C交于不同的两点M、N与B1，B2均不重合)，连接MB1，NB2，交于点T．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．MNOPTB1B2x y调和点列中的定比点差法【微点综述】定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势，本文介绍定比点差法在调和点列中的应用．一、调和定比分点若AM =λMB 且AN =-λNB，则称M ,N 调和分割A ,B ，根据定义，那么A ,B 也调和分割M ,N (其中M 在线段AB 内，称为内分点，N 在线段AB 外，称为外分点)．二、调和定比分点的性质【性质1】在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b 2=1a >0,b >0 中，设A ,B 为椭圆或双曲线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM =λMB ，AN =-λNB ，则一定有x M x Na 2±y M y Nb 2=1．证明：由已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆或双曲线x 2a 2±y 2b2=1a >0,b >0 上，设M x M ,y M ,N x N ,y N ．首先AM =λMB ，则由定比分点坐标公式可得x M =x 1+λx21+λ,y M =y 1+λy 21+λ,又AN =-λNB ，则由定比分点坐标公式可得x N =x 1-λx21-λ,y N =y 1-λy 21-λ,当λ≠±1时，将A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 代入曲线，有x 21a 2±y 21b 2=1①x 22a 2±y 22b2=1②，②×λ2得到λ2x 22a 2±λ2y 22b2=λ2③③和①作差整理可得：x 1+λx 2 x 1-λx 2a 21+λ 1-λ±y 1+λy 2 y 1-λy 2b 21+λ 1-λ=1，将前式代入整理得x M x Na 2±y M y Nb 2=1．【性质2】在抛物线y 2=2px 中，设A ,B 为抛物线上的两点．若存在M ,N 调和分割A ,B ，即满足AM=λMB ，AN =-λNB ，则一定有y P y Q =p x P +x Q ．证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由AM =λMB ，得M x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，由AN =-λNB ，得N x 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ，又y 12=2px 1①λ2y 22=2λ2px 2②，①-②得：y 12-λ2y 22=p x 1+x 1-λ2x 2-λ2x 2 ，即y 1+λy 2 y 1-λy 2 =p x 1+λx 2+x 1-λx 2+λx 1-λ2x 2-λx 1-λ2x 2 ，y 1+λy 2 y 1-λy 2 1+λ 1-λ=p (x 1+λx 2)1-λ 1-λ 1+λ +p x 1-λx 2 1+λ1-λ 1+λ,∴y P y Q =p x P +x Q ．定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程．【性质3】定比点差转换定理：在椭圆、双曲线或抛物线中，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 为椭圆或双曲线上的两点．若存在P ,Q 两点，满足AP =λPB ，AQ =-λQB，则一定有x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.(重点中的重点！！！)证明：x P x Qa 2±y P y Q b2=1⇒x 1+λx 21+λ=x P ,x 1-λx 21-λ=x Q⇒x 1+λx 2=1+λ x P ,x 1-λx 2=1+λ x Q ⇒x 1=x P +x Q2+x P -x Q2⋅λ,x 2=x P +x Q2+x P -x Q2λ.三、定比点差法在调和点列中的应用例1.已知椭圆C :x 24+y 22=1，过点P 4,1 的动直线l 交椭圆C 于A ,B 两点，在线段AB 上取点Q 满足AP QB =AQ PB ，求证：点Q 在某条定直线上．BAO PQxy【解析】解法一：设AP PB=AQ BQ=λλ≠1 ，即AP =λPB ，AQ =-λQB，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，由于AP =λPB ，4=x 1+λx21+λ⋅⋅⋅①1=y 1+λy 21+λ⋅⋅⋅②，又x 214+y 212=1,λ2x 224+λ2y 222=λ2，两式相减得x 1+λx 2 x 1-λx 2 4+y 1+λy 2 y 1-λy 2 2=1-λ2③①②式代入③式，x 1-λx 21-λ+y 1-λy 221-λ=1④又由于AQ =-λQB ，x =x 1-λx21-λ⋅⋅⋅⑤y =y 1-λy 21-λ⋅⋅⋅⑥，⑤⑥式代入④式，x +12y =1，即点Q 在定直线2x +y -2=0上．解法二：设AP PB =AQBQ =λλ≠1 ，即AP =λPB ，AQ =-λQB ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x 0,y 0 ，则Px 1-λx 21-λ,y 1-λy 21-λ,Q x 1+λx 21+λ,y 1+λy 21+λ，于是有x 1-λx 21-λ=4,y 1-λy 21-λ=1,x 1+λx 21+λ=x 0,y 1+λy 21+λ=y 0,由点A ,B 在椭圆上，则x 21+2y 21=4,λ2x 21+2λ2y 21=4λ2, 于是有x 1+λx 21+λ⋅x 1-λx 21-λ+2⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1-λy 21-λ=4，即4x 0+2y 0=4，故点Q 在定直线2x +y -2=0上．【评注】共线的四点成两组等比例线段，于是设AP =λPB ,AQ =-λQB，自然想到定比点差法，非常巧妙地得到结论，体现出定比点差法比其他方法的优越性．例2.已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2:x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=53．OxyMF 1F 2(1)求椭圆C 1的方程；(2)已知点P (1,3)和圆O ：x 2+y 2=b 2，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ,B ，在线段AB 上取一点Q ，满足：AP =-λPB ，AQ =λQB，(λ≠0且λ≠±1)．求证：点Q 总在某定直线上．【答案】(1)y 24+x23=1；(2)x +3y =3析】(1)设M x 0，y 0 ，由已知得x 02=4y 0y 0+1=53，可求得点M 的坐标，代入椭圆的方程中可求得a ,b ,c ，可得椭圆C 1的方程；(2)由向量的坐标运算和向量相等的条件，以及点在圆上可得出点Q 所在的直线．【解析】(1)设M x 0，y 0 ，因为点M 在抛物线C 2上，且|MF 1|=53，所以x 02=4y 0y 0+1=53 ，解得x 0=-263y 0=23，又点M 在抛物线C 1上，所以232a2+-2632b2=1，且c =1，即b 2=a 2-1，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆C 1的方程y 24+x 23=1；(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，因为AP =-λPB ，所以1-x 1，3-y 1 =-λx 2-1,y 2-3 ，即有x 1-λx 2=1-λ，1y 1-λy 2=31-λ ，2 ，又AQ =λQB ，所以x -x 1，y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，即有x 1+λx 2=x 1+λ ，3 y 1+λy 2=y 1+λ ，4 ，所以1 ×3 +2 ×4 得：x 12+y 12-λ2x 22+y 22 =x +3y 1-λ2 ，又点A 、B 在圆x 2+y 2=3上，所以x 12+y 12=3，x 22+y 22=3，又λ≠±1，所以x +3y =3，故点Q 总在直线x +3y =3上．OPQABxy【评注】本题考查椭圆和抛物线的简单几何性质，以及直线与圆的交点问题，属于较难题．例3.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23．(1)求a ，b 的值；(2)当过点P 6,0 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP ⋅BQ+AQ ⋅BP=0，问点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．【答案】(1)a =2，b =3；(2)直线Q 恒在定直线x =23上析】(1)利用椭圆a ,b ,c 关系、离心率和三角形面积可构造方程求得结果；(2)根据四点的位置关系可知AP AQ=BP BQ，由此可得Q x 0,y 0 中y 0=2y 1y 2y 1+y 2，将直线AB 方程代入椭圆方程，得到韦达定理形式，整理可求得y 0，代入直线方程可知x 0=32恒成立，由此可确定结论．【解析】(1)以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大时，三角形另一顶点为椭圆短轴的端点，∴a 2=b 2+c 2e =c a =1212×2a ×b =ab =23，解得：a =2，b =3．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x 0,y 0 ，AP ⋅BQ =-AP ⋅BQ ，AQ ⋅BP=AQ ⋅BP ，∴-AP ⋅BQ +AQ ⋅BP =0，即AP AQ=BP BQ，即y 1-0y 1-y 0=y 2y 0-y 2，整理可得：y 0=2y 1y 2y 1+y 2，设直线AB ：x =ty +6，联立直线AB 与椭圆：x 24+y 23=1x =ty +6 ，整理得：3t 2+4 y 2+36ty +96=0，∴y 1+y 2=-36t3t 2+4y 1y 2=963t 2+4，∴y 0=2y 1y 2y 1+y 2=1923t 2+4-36t 3t 2+4=-163t，∵Q 在线段AB 上，则x 0=ty 0+6=t ⋅-163t +6=23，∴点Q 恒在定直线x =23上．OPQ A Bxy【评注】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出所求量，通过化简整理确定所求的定直线．例4.已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的中心为原点O ，左､右焦点分别为F 1､F 2，离心率为54，且过点M 5,94 ，又P 点是直线x =a 25上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足PF 2 ⋅QF 2 =0．(1)求双曲线的方程；(2)证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ､N ，在线段MN 上取异于点M ､N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)x 216-y 29=1；(2)证明见解析；(3)证明见解析析】(1)由离心率公式和点满足双曲线的方程，结合双曲线的a ，b ，c 的关系，即可求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；(2)设出P 165,t ，Q x 0,y 0 ，代入双曲线的方程，再由PF 2 ⋅QF 2 =0，再由直线的斜率公式，得到直线PQ 与直线OQ 的斜率之积，化简整理，运用代入，即可得到定值916；(3)设点H x ,y ，且过点165,1的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，设PM PN=MH HN=λ，代入可得求出坐标之间的关系，化简可得点H 恒在定直线9x -5y -45=0上．【解析】(1)双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，c 2=a 2+b 2，由于离心率为54，即e =ca =1+b 2a2=54，M 5,94 代入双曲线的方程可得25a 2-8116b 2=1，解得a =4，b =3，c =5，即有双曲线的方程为x 216-y 29=1．(2)由于点P 是直线x =a 25=165上任意一点，可设P 165,t ，再由Q 为双曲线x 216-y 29=1上一点，可设Q x 0,y 0 ，则x 2016-y 209=1，即y 20=916x 20-16 ．由F 25,0 ，则PF 2 ⋅QF 2 =5-165 5-x 0 +-t -y 0 =0，即有9-95x 0+ty 0=0，即有ty 0=-9+95x 0，则k PQ ⋅k OQ =y 0-t x 0-165⋅y 0x 0=y 20-ty 0x 20-165x 0=916x 20-16 -95x 0-5 x 20-165x 0=916，则直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值916．(3)设点H x ,y ，且过点P 165,1的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 2116-y 219=1x 2216-y 219=1，即y 21=916x 21-16 ，y 22=916x 22-16 ，设PM PN =MH HN=λ，则PM =λPNMH =λHN ，即x 1-λx 2=1651-λ ,1 y 1-λy 2=1-λ,2 x 1+λx 2=x 1+λ ,3 y 1+λy 2=y 1+λ ,4 由1 ×3 ，2 ×4 得x 21-λ2x 22=1651-λ2 x ,5 y 21-λ2y 22=1-λ2y ,6，将y 21=916x 21-16 ，y 22=916x 22-16 ，代入6 ，得y =916⋅x 21-λ2x 221-λ2-9,7 ，将5 代入7，得y =95x -9，所以点H 恒在定直线9x -5y -45=0上．例5.椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22．(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQB λ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 22=1；(2)证明见解析；(3)是，x =-1析】(1)根据双曲线与椭圆的关系，求得a ,b ,c ，可得结果．(2)假设点M x ,y ，直接表示斜率，然后根据双曲线方程化简即可．(3)设直线方程并与椭圆联立，结合韦达定理，然后根据AQ =λQB ,AR =-λ RB，求得λ，最后计算x 0即可．【解析】(1)有由题可知：c =2，由△PF 1F 2的周长为4+22，所以PF 1 +PF 2 =4+22-22=4，即2a =4⇒a =2，所以b 2=a 2-c 2=2，所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．(2)设M x ,y ，由F 1-2,0 ,F 22,0 ，所以k 1=y x +2,k 2=yx -2，所以k 1⋅k 2=y 2x 2-2，又x 22-y 22=1，则y 2=x 2-2，所以k 1⋅k 2=1．(3)依题可知：直线的斜率存在，设方程为y =k x +4 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以y =k x +4x 24+y 22=1⇒1+2k 2 x 2+16k 2x +32k 2-4=0，所以Δ=16k 2 2-4×1+2k 2×32k 2-4 =161-6k 2>0，x 1x 2=32k 2-41+2k 2,x 1+x 2=-16k 21+2k2，由AQ =λQB ⇒-4-x 1=λx 2+4 ⇒λ=-4+x 1x 2+4，设R x 0,y 0 ，由AR =-λ RB ⇒x 0-x 1=-λx 2-x 0 ，所以x 0=x 1-λx 21-λ=x 1+4+x1x 2+4x 21+4+x 1x 2+4=2x 1x 2+4x 1+x 2x 1+x 2+8，所以x 0=2×32k 2-41+2k 2+4×-16k 21+2k 2-16k 21+2k2+8=-1．【评注】关键点点睛：本题第(3)问，第一，假设直线方程；第二，联立椭圆方程并使用韦达定理；第三，根据条件求得λ；第四，计算x 0．例6.在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到定点F 1,0 的距离与到定直线x =3的距离之比为33．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)已知P 为定直线x =3上一点．①过点F 作FP 的垂线交轨迹C 于点G (G 不在y 轴上)，求证：直线PG 与OG 的斜率之积是定值；②若点P 的坐标为3,3 ，过点P 作动直线l 交轨迹C 于不同两点R 、T ，线段RT 上的点H 满足PR PT=RHHT，求证：点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)x 23+y 22=1(2)①直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23．②点H 在定直线2x +3y -2=0上析】(1)设动点坐标(x ,y )，直接利用轨迹方程定义计算即可；(2)令P 3,t ，①令G x 0,y 0 ，由FG ⊥FP ，得FG ·FP=0，即x 0-1,y 0 ·2,t =0，即ty 0=2-2x 0，又因为点G x 0,y 0 在椭圆x 23+y 22=1上，所以y 20=2-2x 203，而PG 、OG 的斜率分别为k PG =y 0-t x 0-3、k OG =y 0x 0，于是k PG ·k OG =y 0-t y 0x 0-3 x 0=y 20-ty 0x 20-3x 0=2-2x 203-2+2x 0x 20-3x 0=-23x 2-3x 0 x 20-3x 0=-23，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23； ②令PR PT =RHHT=λ(λ>0)，则PR =λPT ,RH =λHT ，代入椭圆，消元即可证明点H 在定直线2x +3y -2=0上．【解析】(1)设M x ,y ，则MF =x -12+y 2，点M 到直线x =3的距离d =x -3 ，由MFd=33，得x -1 2+y 2x -32=13，化简得x 23+y 22=1，即点M 在轨迹C 的方程为x 23+y 22=1．(2)因为P 为直线x =3上一点，所以令P 3,t ，①令G x 0,y 0 ，由FG ⊥FP ，得FG ·FP=0，即x 0-1,y 0 ·2,t =0，即ty 0=2-2x 0，又因为点G x 0,y 0 在椭圆x 23+y 22=1上，所以y 20=2-2x 203，而PG 、OG 的斜率分别为k PG =y 0-t x 0-3、k OG =y 0x 0，于是k PG ·k OG =y 0-t y 0x 0-3 x 0=y 20-ty 0x 20-3x 0=2-2x 203-2+2x 0x 20-3x 0=-23x 20-3x 0 x 20-3x 0=-23，即直线PG 与OG 的斜率之积为定值-23．②令PR PT =RHHT =λ(λ>0)，则PR =λPT ,RH =λHT ，令点H x ,y ,R x 1,y 1 ,T x 2,y 2 ，则x 1-3,y 1-3 =λx 2-3,y 2-3x -x 1,y -y 1=λx 2-x ,y 2-y ，即x 1-3=λx 2-3λ,y 1-3=λy 2-3λ,x -x 1=λx 2-λx ,y -y 1=λy 2-λy , ，即3=λx 2-x 1λ-1①3=λy 2-y 1λ-1②x =λx 2+x 1λ+1③y =λy 2+y 1λ+1④由①×③，②×④，得3x =λ2x 22-x 21λ2-1⑤3y =λ2y 22-y 21λ2-1⑥ ，因为R x1,y1,T x2,y2在椭圆x23+y22=1上，所以{2x21+3y21=62x22+3y22=6，⑤×2+⑥×3，得6x+9y=2λ2x22-2x21+3λ2y22-3y21λ2-1=λ22x22+3y22-2x21+3y21λ2-1=6λ2-6λ2-1=6λ2-1λ2-1=6，即2x+3y-2=0，所以点H在定直线2x+3y-2=0上．【评注】本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c的方程，求出a2,b2即可，注意a2=b2+c2,e=ca的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1 +x2,x1⋅x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．【针对训练】1.(2022·江苏·南京师大附中高三开学考试)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，已知椭圆的短轴长为22，离心率为22．(1)求椭圆的方程；(2)点P为直线x=4上的动点，过点P的动直线l与椭圆C相交于不同的A,B两点，在线段AB上取点Q，满足|AP|⋅|QB|=|AQ|⋅|PB|，求证：点Q总在一条动直线上且该动直线恒过定点．【答案】(1)x24+y22=1(2)证明见解析【分析】(1)根据椭圆定义即离心率求出a,b,c即可.(2)设出点的坐标，分别表示出|AP|，|QB|，|AQ|，|PB|的长度，代入题目关系式中，得到一组关系即2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0，由此可发现可将联立直线与椭圆的韦达定理代入，寻找Q所满足的直线关系(1)由题意可知2b=22c a =22，解得a=2,b=2,c=2，则椭圆的方程：x24+y22=1(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，Q(x,y)，P(4,t)，直线AB的斜率显然存在设为k，则AB的方程为y=k(x-4) +t．因为A,P,B,Q四点共线，不妨设x2<x<x1<4，|AP |=1+k 2(4-x 1)，|AQ |=1+k 2(x 1-x )，|QB |=1+k 2(x -x 2)，|PB |=1+k 2(4-x 2)，由|AP |⋅|QB |=|AQ |⋅|PB |可得(4-x 1)(x -x 2)=(x 1-x )(4-x 2)，化简可得2x 1x 2-(x 1+x 2)(4+x )+8x =0．(*)联立直线y =k (x -4)+t 和椭圆的方程消去y ：x 24+y 22=1y =k x -4 +t，即(2k 2+1)x 2+4k (t -4k )x +2(t -4k )2-4=0，由韦达定理，x 1+x 2=-4k (t -4k )2k 2+1，x 1x 2=2(t -4k )2-42k 2+1．代入(*)化简得x =4kt +2-t 2kt +2=4-6+t 2kt +2，即6+t 2kt +2=4-x又k =y -t x -4代入上式：6+t 2y -t x -4t +2=4-x ，化简：2x +ty -2=0，所以点Q 总在一条动直线2x +ty -2=0上，且该直线过定点(1,0)2.已知椭圆E ：x 2a2+y 24=1(a >0)的中心为原点O ，左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P 是直线x =-5a 25上任意一点，点Q 在椭圆E 上，且满足PF 1 ⋅QF 1 =0．(1)试求出实数a ；(2)设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为k 1与k 2，求积k 1•k 2的值；(3)若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足PM PN=MH HN，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】(1)a =3(2)-49(3)证明见解析【分析】(1)根据椭圆的离心率列方程求出实数a 的值；(2)由(1)可设点P -955，t ，Q (x 0，y 0)，根据PF 1 ⋅QF 1 =0得出ty 0=4+455x 0再由点Q 在椭圆E 上得出y 02=41-x 029，用斜率公式及可求出k 1•k 2的值；(3)设过P -955，1 的直线l 与椭圆交于两个不同点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，点H (x ，y )，代入椭圆方程得出4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，再设PM PN=MH HN=λ，即PM =λPN，MH =λHN，代入数据整理即可得出点H 恒在一条定直线上．【详解】(1)解：设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可得c a =53a 2=4+c 2，解得a =3；(2)解：由(1)可知，直线x =-5a 25=-955，点F 1(-5，0)．设点P -955，t ，Q (x 0，y 0)，∵PF 1 ⋅QF 1 =0，∴-5+955，-t •(-5-x 0，-y 0)=0，得ty 0=4+455x 0．∵点Q (x 0，y 0)在椭圆E 上，∴x 029+y 024=1，即y 02=41-x 029．∴k 1•k 2=y 0-t x 0+955⋅y 0x 0=y 02-ty 0x 02+955x 0=4-49x 02-4-455x 0x 02+955x 0=-49，∴k 1•k 2的值是-49；(3)证明：设过P -955，1 的直线l 与椭圆交于两个不同点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，点H (x ，y )，则4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，设PM PN=MH HN=λ，则PM =λPN ，MH =λHN，∴x 1+955，y 1-1 =λx 2+955，y 2-1 ，(x -x 1，y -y 1)=λ(x 2-x ，y 2-y )，整理得955=λx 2-x 11-λ，x =x 1+λx 21+λ，1=y 1-λy 21-λ，y =y 1+λy 21+λ，从而955x =λ2x 22-x 121-λ2，y =y 12-λ2y 221-λ2，由于4x 12+9y 12=36，4x 22+9y 22=36，∴3655x -9y =4λ2x 22-4x 12-9y 12+9λ2y 221-λ2=λ24x 22+9y 22 -4x 12+9y 12 1-λ2=-36．∴点H 恒在直线3655x -9y +36=0．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．3.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23(1)求a ，b 的值(2)当过点P (6，0)的动直线1与椭圆C 交于不同的点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ=AQ BP ，问点Q 是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.OPQ P MH NF 1xy【答案】(1)a =2,b =3；(2)存在，点Q (x ,y )总在定直线x =23上.【分析】(1)由已知建立关于a ,b ,c 方程组，解之可求得答案；(2)设点Q ,A ,B 的坐标分别为(x ,y ),(x 1,y 1)，(x 2,y 2).记λ=|AP ||PB |=|AQ ||QB |，由已知得坐标的关系：6=x 1-λx 21-λ，0=y 1-λy 21-λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ，由点A ,B 在椭圆上，代入可得定直线.【详解】(1)由已知得c a =1212×2a ×b =23b 2+c 2=a 2，解得a =2b =3c =1，所以a =2,b =3；(2)由(1)得椭圆的方程为C :x 24+y 23 =1，设点Q ,A ,B 的坐标分别为(x ,y ),(x 1,y 1)，(x 2,y 2).由题设知|AP |,|PB |,|AQ |,|QB |均不为零，记λ=|AP ||PB |=|AQ||QB |，则λ>0且λ≠1，又A ,P ,B ,Q 四点共线，从而AP =-λPB ,AQ =λQB ，于是6=x 1-λx 21-λ，0=y 1-λy 21-λ，x =x 1+λx 21+λ，y =y 1+λy 21+λ，从而x 21-λ2x 221-λ2=6x ①，y 21-λ2y 221-λ2=0②，又点A ,B 在椭圆上，所以3x 21+4y 21-12=0③，3x 22+4y 22-12=0④，所以3×①+4×②并结合③，④，得18x =3x 21-λ2x 22 +4y 21-λ2y 221-λ2=3x 21+4y 21 -λ23x 22+4y 221-λ2，化简得x =23.即点Q (x ,y )总在定直线x =23上.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系之：定直线问题.证明动点在定直线上，其实质是求动点的轨迹方程，所以所用的方法即为求轨迹方程的方法，如定义法、消参法、交轨法等.属于较难题.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是C 上一点，MF 1 =2，且MF 1 MF 2 =-2MF 1⋅F 2M .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)当过点P 4,1 的动直线l 与椭圆C 相较于不同两点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且Q 满足AP QB =AQ PB ，证明点Q 总在某定直线上，并求出该定直线.【答案】(Ⅰ)x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明见解析，直线方程为3x +y -3=0．【分析】(1)本问主要考查求椭圆标准方程，由MF 1 MF 2 =-2MF 1 ·F 2M ，可得cos ∠F 1MF 2=MF 1 ·MF 2MF 1 MF 2=12，所以∠F 1MF 2=60°，则在ΔF 1MF 2中，MF 2 =2a -2，F 1F 2 =2c ，再根据余弦定理及a =2c ，可以求出a ,c 的值，于是可以求出椭圆的方程；(2)本问主要考查直线与椭圆的综合应用，分析题意可知直线l 的斜率显然存在，故设直线方程为y -1=k x -4 ，再联立直线方程与椭圆方程，消去未知数y 得到关于x 的一元二次方程，根据韦达定理表示出A ,B 两点横坐标之和及横坐标之积，于是设点Q x 0,y 0 ，将题中条件AP QB =AQ PB 转化为横坐标的等式，于是可以得出Q x 0,y 0 满足的方程，即可以证明Q x 0,y 0 总在一条直线上.【解析】(1)由已知得a =2c ，且∠F 1MF 2=600，在ΔF 1F 2M 中，由余弦定理得2c 2=22+4c -2 2-2×24c -2 cos600，解得c =1.则a =2,b =3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y -1=k x -4 ，即y =kx +1-4k ，代入椭圆方程，整理得3+4k 2 x 2+8k -32k 2 x +64k 2-32k -8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=32k 2-8k 3+4k 2,x 1x 2=64k 2-32k -83+4k 2.设Q x 0,y 0 ，由AP QB = AQ PB 得4-x 1 x 0-x 2 =x 1-x 0 4-x 2 (考虑线段在x 轴上的射影即可)，所以8x 0=4+x 0 x 1+x 2 -2x 1x 2，于是8x 0=4+x 0 32k 2-8k 3+4k 2-2×64k 2-32k -83+4k2，整理得3x 0-2=4-x 0 k ，(*)又k =y 0-1x 0-4，代入(*)式得3x 0+y 0-3=0，所以点Q 总在直线3x +y -3=0上.【考点】1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：(1)从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.5.(2022·山东·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，已知动点C 到定点F (1,0)的距离与它到直线l :x =4的距离之比为12.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)点P 为直线l 上的动点，过点P 的动直线m 与动点C 的轨迹相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足|AP |=λ|PB |,|AQ |=λ|QB |，求证：点Q 总在一条动直线上且该动直线恒过定点.【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)直接根据题意翻译条件为代数式，即可求解.(2)设点设直线，将条件翻译成代数式，联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理消元即可.【解析】(1)设动点C (x ,y )，由动点C 到定点F (1,0)的距离与它到直线l :x =4的距离之比为12.得(x -1)2+y 2|x -4|=12，化简得x 24+y 23=1，即点C 的轨迹方程为x 24+y 23=1(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,Q (x ,y ),P (4,t )，直线AB 的斜率显然存在设为k ，则AB 的方程为y =k (x -4)+t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 1<x <x 2<4，由|AP |=λ|PB |,|AQ |=λ|QB |可得，AP =λBP ,AQ =λQB即4-x 1,t -y 1 =λ4-x 2,t -y 2 ,x -x 1,y -y 1 =λx 2-x ,y 2-y ，所以4-x 1=λ4-x 2 ,x -x 1=λx 2-x ;t -y 1=λt -y 2 ,y -y 1=λy 2-y可得4-x 1 x 2-x =x -x 1 4-x 2 ，化简可得2x 1x 2-x 1+x 2 (4+x )+8x =0.(*)联立直线y =k (x -4)+t 和椭圆C 的方程：x 24+y 23=1y =k x -4 +t，消去y 得：4k 2+3 x 2+8k (t -4k )x +4(t -4k )2-12=0，由韦达定理，x 1+x 2=-8k (t -4k )4k 2+3，x 1x 2=4(t -4k )2-124k 2+3.代入(*)化简得x =4kt +3-t 2kt +3=4-9+t 2kt +3，即9+t 2kt +3=4-x 又k =y -t x -4代入上式：9+t 2y -t x -4t +3=4-x ，化简：3x +ty -3=0，所以点Q 总在一条动直线3x +ty -3=0上，且该直线过定点(1,0)6.(2022·北京八中高二期末)如图，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴端点为B 1、B 2，且B 1B 2 =2，椭圆C 的离心率e =22，点P (0,2)，过点P 的动直线l 椭圆C 交于不同的两点M 、N 与B 1，B 2均不重合)，连接MB 1，NB 2，交于点T ．MNOPTB1B2x y(1)求椭圆C的方程；(2)求证：当直线l绕点P旋转时，点T总在一条定直线上运动；(3)是否存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x22+y2=1(2)证明见解析；(3)不存在直线l，使得MT⋅NT=B1T⋅B2T成立，理由见解析.【分析】(1)根据题意，列出方程组，求得a2=2,b2=1，即可求得椭圆的方程；(2)设直线的方程为y=kx+2，联立方程组求得x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1，设T(m,n)，根据B1,T,M和B2,T,M在同一条直线上，列出方程求得n的值，即可求解；(3)设直线l的为x=m(y-2)，把MT⋅NT=B1T⋅B2T转化为-y1y2+12(y1+y2)=1，联立方程组求得y1+y2,y1y2，代入列方程，求得m=0，即可得到结论.【解析】(1)解：由题意可得e=ca=222b=2c2=a2-b2，解得a2=2,b2=1，所以所求椭圆的方程为x22+y2=1.(2)解：由题意，因为直线l过点P(0,2)，可设直线的方程为y=kx+2，M(x1,y1),N(x2,y2)，联立方程组y=kx+2x2+2y=2，整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0，可得x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1，因为直线l 与椭圆有两个交点，所以Δ=(8k )2-4×6⋅(2k 2+1)>0，解得k 2>32，设T (m ,n )，因为B 1,T ,M 在同一条直线上，则n +1m =y 1+1x 1=kx 1+3x 1=k +3x 1，①又由B 2,T ,M 在同一条直线上，则n -1m =y 2-1x 2=kx 2+1x 2=k +1x 2，②由①+②×3所以n +1m +3⋅n -1m =4k +3(x 1+x 2)x 1x 2=4k +3⋅-8k 2k 2+162k 2+1=0，整理得4n -2=0，解得n =12，所以点T 在直线y =12，即当直线l 绕点P 旋转时，点T 总在一条定直线y =12上运动.(3)解：由(2)知，点T 在直线y =12上运动，即y T =12，设直线l 的方程为x =m (y -2)，且M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，又由B 1(-1,0),B (1,0)且MT ⋅NT =B 1T ⋅B 2T ，可得y 1-12 ⋅12-y 2 =1-12 ⋅12+1 ，即-y 1y 2+12(y 1+y 2)=1，联立方程组x =m (y -2)x 2+2y =2，整理得(m 2+2)y 2-4m 2y +4m 2-2=0，可得y 1+y 2=-4m 2m 2+2,y 1y 2=4m 2-2m 2+2，代入可得-4m 2-2m 2+2-4m 2m 2+2=1，解得8m 2=0，即m =0，此时直线的斜率不存在，不合题意，所以不存在直线l ，使得MT ⋅NT =B 1T ⋅B 2T 成立.。
例谈“定比点差法”在解析几何问题中的应用
2021年第4期(上)中学数学研究25例谈“定比点差法”在解析几何问题中的应用安徽省芜湖市第一中学(241000)刘海涛1问题的提出在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握,其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理,一般把这种方法叫做“定比点差法”，文［1］以椭圆为例给岀了该法的简单介绍，并在两道圆的问题和两道椭圆的问题中给岀了该法的运用，笔者认为介绍的不够全面系统，本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来,并例举该法在7类解几问题中的应用，全面系统地介绍了“定比点差法”，现与读者分享交流.2“定比点差法”的介绍整理得b2(x1-Ax2):找2-a2(y1-Ay2)豊冒= (1—A)a2b2,即x1—Ax2y1—Ay22 x o--------y o—歹—=1一A②⑶若点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px(p>0)上且点P(x o,y o)满足一T=APB,则于是有y2—A2y2(y1-Ay?)豊十_管=2P x1—A2x21+Ay122p(H—A2x2),=2px1,=2px2,整理得,即(1+A)(y1—Ay2)y o=2p(n—A2x^①2.1定比分点的定义若一卫=品,则称点P为有向线段AB的定比分点,点P分有向线段AB的比为丸若点P在线段AB上,则称点P为内定比分点，否则，称点P为外定比分点.(1)当点P 在线段AB上时A>0;(2)当点P在线段AB延长线上时入<—1;(3)当点P在线段AB反向延长线时—1<A<0.若点A(n,y1),B(x2,y2),P(x o,y o),则x oy1+Ay2y o一厂•x1+Ax21+A，上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”,由推导过程可以看岀，该法是“点差法”的更一般的推广而已，当A=1时“定比点差法”即为“点差法”.“定比点差法"的应用3.1应用“定比点差法”求点的坐标例1已知F1,F2分别x2是椭圆才+y2=1的左右焦点,点A,B在椭圆上,且——1T A=5——2T B,则点A的坐标是—•32.2“定比点差法”的由来x2y2(1)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆—2+备a2b2b>0)上，且点P(x o,y o)满足一P=APB,则1(a>b2x2+a2y f=a2b2,b2x2+a2y2=a2b2,于是有b2x1+a2y12—A2b2x2+a2y2=1—A2a2b2,整理得b2(x1-Ax2)忙丫2+a2(y1-Ay?)斗+半=1+A1+A (1—A)a2b2,即解析如图1,延长AF1称性得一一1=—B,则一畐C(x2,y2),则F16所以(x1十5x2=—6/2,由点A,C在椭圆上，则I y1+5y2=0.{x1+3y2=3,匕亠于是有(x1+5x2)(x1—5x2)+3(y1+ 25x2+75y2=75,5y2)(y1—yx2)=—72,即—6/2(x1—5x2)=—72,则x1—5x2=6/2,联立x1+5x2=—6/2得x1=0,则H+5x2y1+5y2交椭圆于点C,由对=5一1^,设A(x1,y1),6,又F1(—/2,0),x1—Ax2y1—Ay2十y o厂1A①(2)若点A(n,y1),B(x2,y2)在双曲线0)上,且点P(x o,y o)满足一pP=a PB,则x2a21(a,b>b2x2-a2y2=a2b2,b2x2—a2y2=a2b2,于是有(b2x f-a2y2)—A2(b2x2-a2y2)=(1-A2)a2b2,A(0,±1).评注由向量数乘的几何意义知F1A//F2B且|F1A|= 5|F2B|,考虑到椭圆的中心对称性，可以延长AF1交椭圆于点C,得到|F1C|=|F2B|,从而得到A,F2,C三点共线，且一畐=5一2,于是定点F1为焦点弦AC的定比分点，自然想到使用定比点差法.3.2应用“定比点差法”求离心率26中学数学研究2021年第4期(上) x2y2例2已知椭圆冷+y=1(a>b>0),过其左焦点F且斜率为/的直线与椭圆交于A,B两点，若一方=2FB,求椭圆的离心率.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由一=2FB得F(冲竺，坐¥里)，由F(—e,0)得33x1+2x2=—3e,y1+2y2=0.由点A,B在椭圆上，则\b2x2+—2y2=—2b2,故有[4b2x2+4a2y2=4a2b2,b2(x1+2x2)(x1—2x2)+a2(y1+2y2)(y1—2x2)=一3a2b2,a2即—3eb2(x1—2x2)=—3a2b2,则x1—2x2=。
【圆锥曲线】25定比点差法(含经典题型+答案)
定比点差法及其应用例1:已知椭圆14922=+y x ，过定点()3,0P 的直线与椭圆交于两点B A ,PB.注意：根据两个调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式。
两个分点式子齐上场才能解决问题，这是定比点差法的核心。
例2：过异于原点的点()00,y x P 作椭圆()012222>>=+b a by a x 的割线B A PAB ,,在椭圆上一点，M 是PAB 异于P 的一点，且满足PBAP MB AM =,求证：点M 在直线12020=+b yya xx 上. 解：设,PB AP λ=则.MB AM λ-=()()().,,,2211M M y x M y x B y x A例3:（2008安徽）设椭圆1:2222=+by ax C ，过点()1,2M,左焦点为().0,21-F(1) 求椭圆C 的方程.(2) 当过点()1,4P 的有直线l 与椭圆C 相交于B A ,.在线段上取点,Q =.证明：点Q 在某定直线上.秒杀秘籍：定比点差法原理定比分点：若,MB AM λ=则称点M 为AB 的入定比分点，若()()2211,,,y x B y x A 则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x M若MB AM λ=且NB AN λ-=,则称N M ,调和分割B A ,,根据定义，那么B A ,也调和分割N M ,.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B 为椭圆或双曲线上的两点。
若存在P ,Q 两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，一定有122=±by y ax x Q P Q P证明：若()()2211,,,y x B y x A ， PB AP λ=，则⎪⎭⎫⎝⎛++++λλλλ1,1:2121y y x x P,QB AQ λ-=则⎪⎭⎫ ⎝⎛----λλλλ1,1:2121y y x x Q ，有2211222222222221x y a b x y a b①② ①—②得：()()()()121212122221.x x x x y y y y a b λλλλλ+-+-±=-即11111112121221212=--•++•±--•++•λλλλλλλλy y y y b x x x x a122=±by y ax x Q P Q P例4：（2018全国一卷19）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为2(1,)2或2(1,)2-. 所以AM 的方程为222y x =-+或222y x =-. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设1221(,),(,)A y x y x B ，点B 关于x 轴对称的点22(,)x B y '-,根据几何性质可得：令ON 为ANB ∠的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明OMA OMB ∠=∠，根据角平分线定理有：22AF AN ANF B NB NB==', 令AN NB λ'=,则12:,01x x N λλ+⎛⎫⎪+⎝⎭则,122211x x AF F B λλλ-=-⇔=-，如图22112222222122x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①—②得： ()()()()1112212121.2x x x x y y y y λλλλλ+-++-=-即1212121012111x x x x y y λλλλλλ+--••+•=+--()212,02F N x x N ⇒=⇒ 即N 与M 重合，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.例5：（2018北京文20压轴）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为63，焦距为22．斜率为k 的直线l与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．(1)求椭圆M 的方程；(2)若1k =，求||AB 的最大值；(3)设(2,0)P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)44Q - 共线，求k ．解：(1)由题意得222c =，所以2c =，又63c e a ==，所以3a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=． (2)设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232mx x +=-，212334m x x -=，则222212121264||1||1()42m AB k x x k x x x x ⨯-=+-=+⋅+-=，易得当20m =时，max ||6AB =，故||AB 的最大值为6．(3) 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，秒杀秘籍：有心曲线角平分线定理三角形的内角平分线定理：在ABC ∆中，若AD 是A ∠的平分线，则有DCBDAC AB =证明;作AB DE ⊥交AB 于E ，AC DF ⊥交AC 于F ，设BC 边上的高为h ，易知DF DE =，DCBDAC AB h DC h BD DF AC DE AB S S ACD ABD =⇒⋅⋅=⋅⋅= 定理：已知AB 交椭圆)0(12222>>=+b a bya x 长轴（短轴）于点P ，B B ',是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点，直线B A '交长轴（短轴）于Q ， 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=⋅1122b y y a x x Q P Q P 或。
点差法的作用-概述说明以及解释
点差法的作用-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分：点差法是一种用来衡量和管理市场价格波动的方法，它在金融领域中应用广泛。
它通过计算两个价格之间的差值来确定市场波动的情况，为投资者提供了重要的参考数据。
点差法在外汇交易、股票交易和期货交易中都起着至关重要的作用，能够帮助投资者进行风险管理和决策分析。
本文将深入探讨点差法的定义、作用和应用，以及对其重要性、局限性和未来发展的展望。
通过对点差法的全面分析，能够更好地认识和应用这一重要的市场分析工具。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文将首先对点差法进行概述，介绍其定义和作用，然后探讨点差法在实际应用中的具体情况。
随后，将对点差法的重要性进行总结，同时也会说明其局限性，并展望其未来的发展方向。
通过这样的文章结构，读者可以全面了解点差法在不同领域的作用和影响，以及未来的发展前景。
分的内容1.3 目的点差法作为一种重要的分析方法，在金融领域有着广泛的应用。
本文旨在深入探讨点差法的作用，以帮助读者更加全面地了解这一理论，并且对点差法在实际应用中的重要性进行分析和总结。
同时，也将探讨点差法存在的局限性，以及展望点差法在未来可能的发展方向。
通过本文的阐述，读者可以更好地把握点差法的应用要点，从而在金融交易和投资中取得更好的成效。
2.正文2.1 点差法的定义点差法是一种经济学和财务领域常用的尺度和计算方法。
它用于衡量不同经济变量之间的差异或偏离程度。
在金融市场中，点差法常常用来衡量利率、汇率、价格和其他金融指标之间的差异。
在具体应用中，点差是指在两个价格之间的差异或间隔。
例如，在外汇市场上，买入价和卖出价之间的差异就是点差。
这个差异是由市场的供需关系和交易成本等因素所决定的，它反映了市场交易的实际成本和风险。
点差法的核心在于通过定量的方法来解释和计量经济变量之间的差异，从而帮助人们更好地理解市场，进行更准确的决策和分析。
点差法的定义经常被用于金融交易和投资管理中，通过对点差的计算和分析，投资者可以更好地把握市场的波动和风险，从而实现更好的投资回报。
专题12 定比点差法及其应用 微点3 定比点差法综合应用(二)——解决范围、最值、探索型
专题12 定比点差法及其应用 微点3 定比点差法综合应用（二）——解决范围、最值、探索型以及存在性问题专题12 定比点差法及其应用微点3 定比点差法综合应用（二）——解决范围、最值、探索型以及存在性问题 【微点综述】本文在上一节的基础上，进一步介绍定比点差法的综合应用——解决范围问题、最值问题、探索型问题以及存在性问题． 一、范围问题1．过点()1,0M 的直线l 交椭圆E：22142x y +=于A 、B 两点，若AM MB λ=，求λ的取值范围．（2022·浙江·模拟预测）2．如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 3．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，焦距为直线l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围.二、最值问题（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为4；(1)求C 的方程；(2)过点()3,0P -作两条相互垂直的直线上1l 和2l ，直线1l 与C 相交于两个不同点A ，B ，在线段AB 上取点Q ，满足AQ APQB PB=，直线2l 交y 轴于点R ，求PQR 面积的最小值． （2022全国·高二专题练习）6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于()11,A x y ，()()2212,B x y x x ≥两点． （i ）求22AF BF ⋅的最小值；（ii ）点Q 是直线l 上异于2F 的一点，且满足22||||F AQA QB F B=，求证：点Q 在一条定直线上． 7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线0l ：4x =-上的动点，动点Q 满足0PQ l ⊥，且原点O 在以PQ 为直径的圆上.记动点Q 的轨迹为曲线C （1）求曲线C 的方程：（2）过点()2,0E 的直线1l 与曲线C 交于A ，B 两点，点D （异于A ，B ）在C 上，直线AD ，BD 分别与x 轴交于点M ，N ，且3AD AM =，求BMN 面积的最小值. 三、探索型问题（2022浙江·高二开学考试）8．如图，已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，过x 轴上一点()2,0T 作两条直线分别交抛物线于A ，B 和C ，D ，设AC 和BD 所在直线交于点P ．设M 为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M 点坐标可以为()4,4；①MF x ⊥轴时，3MF =；①MF 比M 到y 轴距离大1．（1）抛物线C 同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；（2）判断并证明点P 是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．（2022安徽·高三阶段练习）9．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别为椭圆C ：2222x y a b+=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，OABC 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程.（2）设斜率不为0的直线l 经过椭圆C 的右焦点F ，且与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，过M 作直线x =4的垂线，垂足为Q .试问：直线QN 是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，其中b =，过椭圆E 内一点P (1,1)的两条直线分别与椭圆交于点,A C 和,B D ，且满足AP PC λ=，BP PD λ=，其中λ为正常数. 当点C 恰为椭圆的右顶点时，对应的57λ=.（1）求椭圆E 的离心率； （2）求a 与b 的值；（3）当λ变化时，AB k 是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由. 四、存在性问题（2022重庆市育才中学二模）11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，长轴长为A ､B 为椭圆上的两个动点，当A ､B 关于原点对称时，()222ABF AF BF S +⋅的最大值为（1）求椭圆C 的方程；→→是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. （2022·全国·高三专题练习）12．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 【总结】（1）“定比点差法”属于技巧，并不是解析几何的通解通法，其适用范围较窄，从上述例题的解答过程可以看出，当遇到三点共线、定点、成比例等条件时，我们可以尝试该法．（2）本文介绍的“定比点差法”，为今后解决一类解几问题提供了新的思路，相较于联立直线与曲线方程的通法，该法过程简洁、计算量小，可以提高解题效率，但是该法有其局限性，我们在日常的学习中，要结合自身掌握程度和实际情况，选择最佳的解题方法，不能盲目追求某一种解法，要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想，从而提高自身的数学核心素养． 【针对训练】13．已知椭圆22194x y +=，过定点()0,3P 的直线与椭圆交于两点A ，B （可重合），求PA PB 的取值范围．14．已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，2MNF C(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的动直线与椭圆C 交于P 、M 两点，直线2PF 与椭圆C 于P 、N ，且11PF F M λ=，22PF F N μ=，当12 F PF △的面积最大时，MPN △为等边三角形．（1）求椭圆C 的离心率； （2）若12b >，直线1x y λμ+=与椭圆C 是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由．16．如图，已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，k =（1）求a 的值；（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. （2022上海浦东新·二模）17．已知椭圆C ：2212x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过点()0,2A 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,P Q .（1）若直线l 经过2F ，求1F PQ 的周长；（2）若以线段PQ 为直径的圆过点2F ，求直线l 的方程； （3）若AQ AP λ=，求实数λ的取值范围． （2020·河北唐山·二模） 18．已知()11,A x y ，11,Bx y 是椭圆T .2214x y +=上的两点，且A 点位于第一象限.过A 做x 轴的垂线，垂足为点C ，点D 满足2AC CD =，延长BD 交T 于点()22,E x y . （1）设直线AB ，BD 的斜率分别为1k ，2k . （i ）求证：124k k =；（ii ）证明：ABE 是直角三角形； （2）求ABE 的面积的最大值. （2022·全国·高三专题练习）19．如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（①）求斜率k 的取值范围；（①）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．20．椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的焦点1F ，2F 是等轴双曲线2C ：22122x y-=的顶点，若椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点是P ，12PF F △的周长为4+. (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()4,0Q -任作一动直线l 交椭圆1C 与A B ，两点，记()R AQ QB λλ=∈，若在直线AB 上取一点R ，使得()AR RB λ=-，试判断当直线l 运动时，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.参考答案：1．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设出A 、B 两点坐标，由向量相等得两点横、纵坐标之间的关系，将两点坐标代入椭圆方程作差整理，再将刚才得到的横、纵坐标间的关系代入，解出λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为AM MB λ=，()1,0M ，1122(1,)(1,)x y x y λ--=-由向量关系得：121x x λλ+=+①，120y y λ+=①将A ，B 代入椭圆方程为2211222222214242x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得()()()()()()121212121142x x x x y y y y λλλλλλ+-+-+=-+，将①①代入得()1241x x λλ-=-①对比①①得：()1212141x x x x λλλλ+=+⎧⎨-=-⎩ ，解得1253x λ=-， 由122x -≤≤得4534λ-≤-≤，解得133λ≤≤，所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2．（1）24y x =；（2）()(),7743,11,⎡-∞---++∞⎣.【分析】（1）求出p 的值后可求抛物线的方程.（2）方法一：设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，联立直线AB 的方程和抛物线的方程后可得12124,4y y y y t =-+=，求出直线,MA MB 的方程，联立各直线方程可求出,,P Q R y y y ，根据题设条件可得()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，从而可求n 的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =.（2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ， 所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=， 因为2RN PN QN =⋅，故2R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-， 所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦， 整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-， 令21s t =-，则12s t +=且0s ≠， 故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩， 解得7n ≤--71n -+<或1n >.故直线l 在x轴上的截距的范围为7n ≤--71n -+≤<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-． 因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-． 同理3112Q m y k +=-． 由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-． 因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得7m ≤--71m -+≤<或1m >．故直线l 在x轴上的截距的范围为(,7[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--． 设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-， 则222(2)(2)(2),,,1112P Q R Nm a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--． 所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN a a a a +-=⋅⇔=--+-．故()()()222222222222111122140,2333111a a a t m t t a m t t a aa a ⎛⎫-- ⎪---+-+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）． 所以(,14[1483,)m ∈-∞-++∞．因此直线l 在x 轴上的截距为(,7[743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．【整体点评】本题主要是处理共线的线段长度问题，主要方法是长度转化为坐标.方法一：主要是用()()1122,,,A x y B x y 坐标表示直线,MA MB ，利用弦长公式将线段长度关系转为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法二：利用焦点弦的性质求得直线,MA MB 的斜率之和为0，再利用线段长度关系即为纵坐标关系，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.方法三：利用点,A B 在抛物线上，巧妙设点坐标，借助于焦点弦的性质求得点,A B 横坐标的关系，这样有助于减少变元，再将所求构建出函数关系式，再利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围.3．（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-.【解析】（1）31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）①焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ，①31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-，又①将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+=①2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ①将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=，所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………①.①222a c b -=………①由①①得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）①M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+①根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=，①122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………①，根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k -=+，代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ①()222222363321313k m m kk --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-. ①2910m -≠，219m ≠，①22213091m k m -=≥-………①，代入①式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-，①()()2221910m m m --<，①2119m <<满足①式，①113m <<或113m -<<-. 【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题. 4．（1）22143x y +=；（2）6.【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值.【详解】解析：（1）由题意，得222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=． （2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：=1x -与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434my y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QB λλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m ==-+．于是1F Q = 直线2l 的方程为：11x y m=-- 联立111x y m x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF = 所以()12113111362PQF m SFQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1m =±时，()1min6PQF S=．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题. 5．(1)22184x y +=；(2)1.【分析】（1）由题可得24,2c b e a ====，即得；（2）由题可设1l 的方程为3x ty =-，利用韦达定理法可得PQ =，进而可得PR =，然后利用面积公式及基本不等式即求.（1）由题可得24,c b e a ===①2a b ==， ①椭圆C 的方程为22184x y +=；（2）由题可知直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为3x ty =-，()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由223184x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222610t y ty +-+=，由()22236423280t t t ∆=-+=->，可得12t >，或21t <-，①12122261,22t y y y y t t +==++， 由AQ AP QB PB=及,,,P A Q B 四点共线，知011202y y y y y y -=-， ①21201222212632y y t y t y y t t +===++，则0PQ =①1l 和2l 相互垂直，则2l 的方程为13x y t =--，令0x =，得3y t =-，①()0,3R t -，PR t ==①PQR面积为21111112222t S PQ PR t t t ⎛⎫+===+≥ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当1t t =，即112t =>等号成立， 所以PQR 面积的最小值为1.6．（1）2212x y +=；（2）（i ）最小值是12；（ii ）证明见解析．【分析】（1）根据题中条件，求出a ，b ，即可得出椭圆方程；（2）（i ）先由（1）知2(1,0)F ，先讨论线l 的斜率不存在，求出2212⋅=AF BF ；再讨论直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(1)y k x =-，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及两点间距离公式，求出()()2221212*********AF BF k x x x x k ⎛⎫⋅=+-++=+ ⎪+⎝⎭，进而可得出结果； （ii ）先由题意得，直线l 的斜率一定存在，所以设点Q 的坐标是(),(1)m k m -，根据题中条件，得到112211--=--m x x m x x ，化简整理，求出2m =，即可证明结论成立. 【详解】（1）因为椭圆的焦点是1F ，2F ，且122F F =，所以半焦距1c =．因为离心率为2，所以a =1b =． 所以椭圆的方程是2212x y +=．（2）（i ）由（1）知2(1,0)F ，当直线l的斜率不存在时，不妨设,1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭A B ，所以2212⋅=AF BF ． 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．联立方程2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，整理得2222)202142(-=+-+x k x k k ．所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+．所以211AF =-，221BF =-．所以()()222121211AF BF k x x x x ⋅=+-++()22222222224111111121212212-+⎛⎫=+-+==+ ⎪++++⎝⎭k k k k k k k k ，因为21(0,1]12∈+k ， 所以22AF BF ⋅的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦．因为当直线l 的斜率不存在时，2212⋅=AF BF ，所以22AF BF ⋅的最小值是12．（ii ）证明：由题意得，直线l 的斜率一定存在．因为点Q 在直线l 上，所以设点Q 的坐标是(),(1)m k m -．因为22||||F AQA QB F B=， 所以点Q 一定在BA 的延长线上， 所以112211--=--m x x m x x ， 即()1212(1)220++--=m x x x x m ．所以()22222224(1)201212-+--=++k k m m k k． 化简得2m =．所以点Q 的坐标是(2,)k ． 因此点Q 在定直线2x =上．【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，考查椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型. 7．（1）24y x =（2）【分析】（1）设动点(),Q x y ，表示出,OP OQ ，再由原点O 在以PQ 为直径的圆上，转化为0OP OQ ⋅=，得到曲线C 的方程.（2）设而不解，利用方程思想、韦达定理构建BMN 面积的函数关系式，再求最小值. 【详解】解：（1）由题意，不妨设(),Q x y ，则()4,P y -，()4,OP y =-，(),OQ x y =①O 在以PQ 为直径的圆上，①0OP OQ ⋅=，①()()24,,40y x y x y -⋅=-+=，①24y x =，①曲线C 的方程为24y x =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，(),0M m ，(),0N n ，依题意，可设1l ：x ty a =+（其中 2a =），由方程组24x ty ay x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理，得2440y ty a --=，则124y y t +=，1248y y a =-=-，同理可设1:AM x t y m =+，2:BN x t y n =+， 可得134y y m =-，234y y n =-，①134y y m =-，234y y n =-，又①3AD AM =，①()()313111,3,x x y y m x y --=--， ①3113y y y -=-，①312y y =-，①13231231144MN m n y y y y y y y =-=-=-⋅ 12111211242y y y y y y =-⋅-=⋅-， ①212121124BMN S MN y y y y y =⋅=⋅-==△①当0=t 时，BMN 面积取得最小值，其最小值为【点睛】本题以直线与抛物线为载体，其几何关系的向量表达为背景，利用方程思想、韦达定理构建目标函数，利用坐标法解决几何问题贯穿始终，主要考查直线与抛物线的位置关系最值问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 8．（1）①①，24y x =；（2）点P 在定直线上；证明见解析；定直线2x =-． 【分析】（1）根据抛物线的标准方程确定可以满足哪两个条件；（2）设:2AB x my =+，:2CD x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，直线AB 方程代入抛物线方程整理应用应用韦达定理得1212,y y y y +，同理得3434,y y y y +，然后由抛物线上两点坐标写出直线AC 和BD 方程，两方程消去y 后并代入韦达定理的结论可得2x =-为定值．这样得定直线．【详解】（1）若有①，则2424p =⨯，2p =，此时①不能满足，2MF =，①能满足， 若有①，则3p =，①①都不能满足． 故能同时满足①①，抛物线方程为24y x =； （2）:2AB x my =+，:2CD x ny =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ；2224804x my y my y x=+⎧⇒--=⎨=⎩， 由韦达定理得121248y y my y +=⎧⎨=-⎩，同理，343448y y ny y +=⎧⎨=-⎩；因为211134:4y AC y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭即13134:x y y AC y y y +=+，同理，24244:x y y BD y y y +=+；消去y 得1324132444x y y x y y y y y y ++=++，()()()()24132413241344x y y y y y y x y y y y y y +++=+++， ()24131231341242344x y y y y y y y y y y y y y y y y +--=--++， ()()2413241348x y y y y y y y y +--=-+--，2x =-． 所以点P 在定直线2x =-上．【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线相交中的定直线问题．解题方法是设而不求的思想方法：设直线方程，设交点坐标，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得两交点的纵坐标（或横坐标）的和与积．对定直线问题，需求出动点的坐标，代入上述韦达定理的结论可得坐标满足的性质，从而确定定直线， 9．（1）22143x y +=；（2）过定点，定点为(52，0).【分析】（1）设椭圆的半焦距为c (c >0)，根据OAB且椭圆C 的离心率为12，由1212AOB c e a S ab ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2）设M (1x ，1y )，N (2x ，2y )， Q (4，1y )，直线l 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，则直线QN ：2112(4)4y yy x y x -=-+-，根据椭圆的对称性，若直线QN 过定点，则定点在x 轴上，设交点为(0x ，0)，由21012(4)04y y x y x --+=-结合韦达定理求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c (c >0)，由题意得1212AOB c e a S ab ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又222a b c =+，①21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩①椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）设M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，则Q (4，1y ).设直线l 的方程为x =my +1，将x =my +1代入22143x y +=， 得22(34)690m y my ++-=，122634m y y m -+=+，122934y y m -=+. 得12123()2my y y y =+①直线QN ：2112(4)4y y y x y x -=-+- 假设直线QN 过定点，则由对称性知定点在x 轴上， 设直线QN 与x 轴的交点为(0x ，0)， 则21012(4)04y y x y x --+=-， ①12121120212121(4)(3)3444y x y my y my y x y y y y y y ----=+=+=+---，将①式代入上式可得112121120212121333()()33522444422y y y y y y my y x y y y y y y -+--=+=+=+=-+=---， ①直线QN 过定点(52，0).【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；①从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 10．（1）；（2）2,3a b ==；（3）34AB k =-．【详解】试题分析：（1）利用的关系进行求解；（2）利用AP PC λ=得出12512(,)77a A -，代入椭圆方程，求解即可；（3）利用AP PC λ=，BP PD λ=得出各点坐标的关系，再求AB k ，证明其为定值. 试题解析：（1）因为b =，所以2234b a =，得22234a c a -=，即2214a c =，所以离心率12c e a ==. （2）因为(,0)C a ，57λ=，所以由AP PC λ=，得12512(,)77a A -， 将它代入到椭圆方程中，得2222(125)121349494a a a-+=⨯，解得2a =，所以2,a b ==.（3）法一：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由AP PC λ=，得131311{11x x y y λλ-=+-=+， 又椭圆的方程为22143x y +=，所以由222233111,14343x y x y +=+=，得12432121=+y x ①， 且2211113(1)4(1)12x y λλ--+++= ①， 由①得，221111212[3(1)4(1)][3(1)4(1)]5x y x y λλ-+-+-+-=， 即22111111212[(34)72(34)][7(34)]5x y x y x y λλ++-++-+=， 结合①，得211191453422x y λλλ+-+=+，同理，有222191453422x y λλλ+-+=+，所以11223434x y x y +=+，从而121234y y x x -=--，即34AB k =-为定值. 法二：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ， 由AP PC λ=，得13131{1x x y y λλλλ+=++=+，同理24241{1x x y y λλλλ+=++=+，将,A B 坐标代入椭圆方程得221122223412{3412x y x y +=+=，两式相减得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，即12123()4()0AB x x y y k +++=， 同理，34343()4()0CD x x y y k +++=，而AB CD k k =，所以34343()4()0AB x x y y k +++=，所以34343()4()0AB x x y y k λλ+++=，所以132413243()4()0AB x x x x y y y y k λλλλ+++++++=，即，所以为定值.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的性质；3.直线与椭圆的位置关系. 11．（1）22184x y +=；（2）存在，定点为(3,0)-. 【分析】（1）由题得22248bc a b c =⎧⎨=+=⎩，解方程即得解； （2）当AB 斜率不存在时，易得直线NB 经过定点(3,0)-.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，求出2112:(4)4y y NB y y x x --=++，令0y =，化简即得解. 【详解】（1）由题知，2a =且222AF BF a +== 当AB 为短轴时，2ABF S取得最大值bc ，因此22248bc a b c =⎧⎨=+=⎩，解得2,2a b c ===， ①椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）当AB 斜率不存在时，易得直线NB 经过定点(3,0)-.当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线AB 不与x 轴重合，即0k ≠；联立22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2222128880k x k x k +++-=，0∆>，则2122812k x x k +=-+，21228812k x x k -=+，①()14,N y -，2112:(4)4y y NB y y x x --=++， 令0y =，得()1212221214864y x x x x x y y x x -+---=-=--.易得()2212122288248831212k k x x x x k k ----=--==+++，所以12212212186333x x x x x x x x x x ----===---， 即直线NB 过定点(3,0)-.【点睛】方法点睛：证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.12．（1）2A B y y ⋅=-；（2）存在，2λ=.【分析】（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =由韦达定理得出A B y y 的值； （2）设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =，由韦达定理得出4A N y y ⋅=-，结合2M N y y ⋅=-，2A B y y ⋅=-得出212k k λ==. 【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=-又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A NA N A NB M A Ny y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+①存在实数2λ=，使得212k k =成立.【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于联立直线方程以及抛物线方程，结合韦达定理得出根与系数的关系，进而得出证明.13．1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设出,A B 两点坐标，由题意知,,P A B 三点共线，用向量坐标表示AP PB λ=，进而表达出点P ，为点A ，B 在椭圆上，将之代入椭圆再化简整理可得1y 的范围，进而取得λ的取值范围.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则PAPBλ=-， 于是()1212:,0,311x x y y P λλλλ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭， ①120x x λ+=．()1231y y λλ+=+，又因为点A ，B 在椭圆上，所以有2211222222219494x y x y λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 化简得：()()()()121212122194x x x x y y y y λλλλλ+-+-+=-，将条件代入整理得()12413y y λλ-=-，①进而解得()()[]132135112,22366y λλλ=++-=+∈-因此解得λ的取值范围15,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，①PAPB的取值范围为：1,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】14．(1)2214y x +=(2)(2,1)(1,2){0}--⋃⋃【分析】（1）设椭圆的焦距为2c ，11(,),(,)M x c N x c -，根据题意，可求得MN 的值，代入面积公式，结合离心率，可求得21b =，根据a ，b ，c 的关系，即可求得2a 的值，即可得答案.（2）分析的当m =0时，满足题意，当0m ≠，根据题意，结合三点共线定理，可得3λ=，即可得3AP PB =，设2233(,),(,)A x y B x y ，将直线与椭圆联立，根据韦达定理，可得23,x x 关系，结合233x x =-，可得3x 表达式，计算化简，可得222240m k k m -+-=，根据判别式0∆>，计算即可得答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ，11(,),(,)M x c N x c -， 代入椭圆方程可得 221221x c a b +=，解得21b x a =±，所以2112()b MN x x a=--=，所以221122222b MNF MN c c a =⨯⨯=⨯⨯=22b ca=又c e a ==21b =， 又222a b c =+，所以24a =， 所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=（2）当m =0时，则(0,0)P ，由椭圆的对称性得AP PB =, 所以04OA OB OP +==，所以当m =0时，存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=； 当0m ≠时，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+，因为A 、B 、P 三点共线， 所以1144λ+=，解得3λ=，所以3AP PB =，设2233(,),(,)A x y B x y ，由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222)(4240k x mkx m +++-=， 由题意得222244(4)(4)0m k k m ∆=-+->，则2240k m -+>， 且223232224,44mk m x x x x k k --+==++， 由3AP PB =，可得233x x =-， 所以2332224mk x x x k -+=-=+，解得324mkx k =+， 又2222332243344mk m x x x k k -⎛⎫=-=-= ⎪++⎝⎭，整理得222240m k k m -+-=，显然21m =不满足上式，所以22241m k m -=-，因为2240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， 解得21m -<<-或12m <<，综上，m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}--⋃⋃ 15．（1）12；（2）有两个公共点．【分析】（1）可得当12 F PF △的面积最大时，P 是椭圆 C 在短轴上的顶点，由1sin ce F PO a∠==可求； （2）椭圆 C 的方程可化为2222413x y a a+=，由已知和11PF F M λ=得M 坐标代入椭圆，解得0543a x a λ+=,同理可得0543a x a μ-=,得出1x y λμ+=经过定点33,1010⎫⎛ ⎪⎝⎭即可判断.【详解】（1）由已知：P ，M ，N 是椭圆 C 上的动点，P 、1F 、M 三点共线，P 、2F 、N 三点共线．∴当12 F PF △的面积最大时，P 是椭圆 C 在短轴上的顶点． 当12 F PF △的面积最大时，MPN △为等边三角形，∴当12 F PF △的面积最大时，11212F PO F PF ∠∠=1302MPN ∠==，其中O 是坐标原点．∴当12 F PF △的面积最大时，1sin c e F PO a∠==1sin 302==．∴椭圆 C 的离心率为12．（2）由（1）知：12c a =． 12c a ∴=，222234a b a c =-=．∴椭圆 C 的方程可化为2222413x y a a+=，11,02F a ⎫⎛- ⎪⎝⎭．设()00,P x y ，()11,M x y ，100,2a PF x y ⎫⎛∴=--- ⎪⎝⎭，111,2a F M x y ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭．由已知和11PF F M λ=得：01(1)2ax x λλ+--=，01yy λ=-．()11,M x y 在椭圆 C 上，221122413x y a a ∴+=，即202(1)12a x a λλ+⎡⎤--⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦202413y a λ⎫⎛+⨯-= ⎪⎝⎭．2200222143x y a a λ⎫⎛∴+⎪ ⎝⎭2022(1)(1)14x a λλλλ++++=． ()00,P x y 在椭圆 C 上，220022413x y a a∴+=．202221(1)(1)14x a λλλλλ++∴++=，解方程得0543a x a λ+=．同理可得0543a x aμ-=．∴直线1x y λμ+=可化为543a x x a+05413a x y a -+=． 00543543310310a x a x a a +-⨯+⨯0035454103a x a x a ++-=⨯3101103a a =⨯=， ∴直线005454133a x a x x y a a +-+=经过定点33,1010⎫⎛ ⎪⎝⎭．即直线1x y λμ+=经过定点33,1010⎫⎛ ⎪⎝⎭．222234a b a c =-=，12b >，221334a b ∴=<． 2222134310310a a ⎫⎫⎛⎛⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭229141003a a ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭2971003a =⨯221163 1100100a =⨯<<， ∴定点33,1010⎫⎛ ⎪⎝⎭在椭圆C 内．∴直线1x y λμ+=与椭圆C 有两个公共点．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出直线1x y λμ+=经过定点33,1010⎫⎛⎪⎝⎭，根据定点在椭圆内得出位置关系.16．（1（2）过定点，定点为⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与椭圆()22211x y a a+=>，求出A 的坐标，再利用0FA FB ⋅=时，k =a 的值；（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=，设出直线AD 的方程与椭圆方程联立解得D 的坐标，同理得E 的坐标，再求出直线DE 的方程，令0y =，可得x 为定值，从而可知直线DE 过定点.【详解】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()F所以，()()2220000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-.当0FA FB ⋅=时，有222001x y a +=-.联立222,1,y kx x y a =⎧⎪⎨+=⎪⎩得220221a x k a =+，2220221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++.将k =222413a a a =-+，即42230a a --=， 所以23a =或21a =-（舍），故a =（2）由（1）知，()F ，椭圆C ：2213x y +=.设AD：0x y C ：2233x y +=， 消去x并整理得(2002200310x x y y y y ⎡⎤⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以222200000(32)0y x y x y y y +++--=， 而220033x y +=，所以()22000050y x y y y +--=，由韦达定理得20D y y =，所以D y =同理BE：0x y =x =E y =所以0020258E D y y y x +==-，2010258E D y y y x -==-所以00210258E D E D y y y y y x +==--于是0000000055E D DE E D E D y y y k kx x x -===⋅=-.所以直线DE ：()05D D y y y x x x -=-. 令0y =，得0000055D D D D x xx x y y y y y =-=-D y =将D y =x = 所以DE经过定点⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：将A 的坐标当已知，求出,D E 的坐标和直线DE 的方程，再令0y =得到x 为定值是本题解题关键.17．（1）（2）0x =或118160x y +-=；（3）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由椭圆定义知所求周长4L a =，由此得到结果；（2）当直线l 斜率不存在时，易知220F P F Q ⋅=；当直线l 斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由220F P F Q ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可构造方程求得k ，得到直线l 方程；综合两种情况可得结果；（3）当直线l 斜率不存在时，可得,P Q 坐标，由此可确定λ的取值；当直线l 斜率存在时，由AQ AP λ=得21x x λ=，利用()21212x x x x+可得λ与k 的关系，借助k 的范围可得1λλ+的范围，解不等式可求得λ的取值范围；综合两种情况可得结果.【详解】（1）由椭圆定义知：12PF PF +=12QF QF +=则1F PQ的周长1212L PF PF QF QF =+++=（2）当直线l 斜率不存在时，直线:0l x =，设()0,1Q ，()0,1P -， 则220F P F Q ⋅=，符合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立直线与椭圆22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()2212860k x kx +++=，()221264460k k =-⨯+∆>，解得：232k >， 则122812k x x k +=-+，122612x x k =+， 又()2111,F P x y =-，()2221,F x y Q =-，()()12122211P F Q x y F x y ∴⋅=--+()()()()121211220x x kx kx =--+++=，即()()()2121212150k x x k x x ++-++=，()()22268121501212k k k k k -∴++-⋅+=++，解得：118k =-，满足232k >， ∴直线l 的方程为：0x =或118160x y +-=；（3）①当直线l 斜率不存在时， 直线:0l x =，若()0,1Q ，()0,1P -，则()0,1AQ =-，()0,3AP =-，13AQ AP ∴=，此时13λ=；若()0,1Q -，()0,1P ，则()0,3AQ =-，()0,1AP =-，3AQ AP ∴=，此时3λ=； ①当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 又AQ AP λ=，即()212122x x y y λλ=⎧⎨-=-⎩，故21x x λ=，由（2）知：()22212122812612k x x k x x k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+，即()212221322312x x k x x k ++=+ ()2110161033312k λλ∴+=-<+，又232k >，故()231212k ∴+>，21016233(12)k ∴->+，1102,3λλ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 即11023λλ<+<，113λ∴<<或13λ<<； 综上所述：实数λ的取值范围为(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ①利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；①利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ①化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围. 18．（1）（i ）见解析（ii ）见解析（2）4825【分析】（1）（i ）求出点D 的坐标，用1x 、1y 表示出1k 、2k 即可得证；（ii ）利用()11,A x y ，()22,E x y 都在T 上可将两点坐标代入椭圆方程，两式相减并通过变形证明214AE k k ⋅=-，由（i ）可推出11AE k k ⋅=-，则AB AE ⊥，得证；（2）直线AE 的方程代入椭圆方程整理得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理求出12x x +，由()2112ABE S AD x x =⨯⨯--△求出面积的表达式，利用换元法及对勾函数的单调性即可求得面积的最大值.【详解】（1）（i ）由题意可得11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()111211124y y y k x x x ---==--， 又111y k x =，因此124k k =. （ii ）因为()11,A x y ，()22,E x y 都在T 上，所以221114x y +=，222214x y +=，从而()2222212104x x y y -+-=， 即()()2121212114y y y y x x x x ---⋅=----. 又2121AE y y k x x -=-，()()21221BE y y k k x x --==--，所以214AE k k ⋅=-， 由（i ）124k k =，则11AE k k ⋅=-，即AB AE ⊥. 故ABE 是直角三角形.（2）由（1）得，AE ：()22111111111x x x x y y x x y y y y +=--+=-+，将直线AE 代入椭圆T ，并整理可得()()()2222222221111111148440x y x x x y x x y y +-+++-=，所以()2211112221184x x y x x x y++=+.。
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定比点差法及其应用解说
一、定比分点
若
，则称点为点
、的
定比分点．
当
时，点在线段
上，称为内分点；
当
（
）时，点在线段的延长线上，称为外分点．
定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为
二、点差法
点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。
若点在有心二次曲线
上，则有
两式作差得
此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．
1、弦的中点
点差法一个妙用：
例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。
分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。
解设，，
在椭圆上：，
作差得：
即：，
因为
所以，为定值。
以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。
考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。
在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。
2、弦上的定比分点
当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：
设，，，则点坐标可以表示为：
，
证明设，，化简可得：
，同理
这时候就出现了这样形式的式子。
如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：
可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。
因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。
例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。
分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。
解设，，，
则，结合图形得：
则，
在椭圆上：①，②
得：
即
，所以在定直线上。
下面介绍定比点差法：
若点在有心二次曲线上，则有
两式作差得
这样就得到了
例7、过异于原点的点
引椭圆
的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足
．求证：点在直线
上．
证明：直接运用定比点差法即可．
设，则有
，设
，则有
又因为点在椭圆上，所以有
两式作差得
两边同除以
，即可得到
命题得证．
例8、已知椭圆
，过定点
的直线与椭圆交于两点（可以重合），求
的取值范围．
解析：设，，则
．
于是
，于是
又因为点在椭圆上，所以有
两式相减得
将(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
从而解得的取值范围为
，于是的取值范围为
．
例9、设
、
为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线
分别交椭圆于异于的点、，若
，
，求证：
．
证明：设，，，则
于是有
又由点
在椭圆上得到
两式相减得
从而有
结合(4)式可解得
同理可得
结合(5)式得到
于是有
整理得，命题得证．
例10、已知椭圆
，点
，过点作椭圆的割线，
为关于
轴的对称点．求证：直线
恒过定点．
解析：因为
三点共线，
三点也共线，且
三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则
，设与轴的交点为
，，
，则
于是有
由点
在椭圆上得
两式相减得
将(2)代入(3)得。