可降阶的高阶方程
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可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程高阶微分方程在数学中有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等学科中。
但是，高阶微分方程一般而言难以解析求解，因此研究可降阶的高阶微分方程具有重要的理论和实际意义。
一、什么是可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程是指高于二阶的微分方程可以通过一定的代数变换转化为至多二阶的微分方程。
这种转化通常使用代数变换法、非线性变换、Laplace变换等方法实现，具体方法依据问题不同而异。
例如，对于形如$f(y'', y', y, x) = 0$的四阶微分方程，通过令$y'= v$，$y'' = v'$，可以将该微分方程转化为关于$v$和$x$的一阶微分方程$f(v', v, x) = 0$，进一步可以使用一阶微分方程的解法进行求解。
二、为什么要研究可降阶的高阶微分方程对于高阶微分方程，直接求解通常是非常困难的，因此找到一些可降阶方法可以降低计算的难度。
这对于实际应用中的问题求解非常有帮助，也可以进一步推动微分方程理论的发展。
此外，由于可降阶的高阶微分方程可以转化为至多二阶微分方程，因此在不同的数学领域中有着广泛的应用。
三、可降阶方法举例（1）代数变换法代数变换法是一种直接的可降阶方法，通过对微分方程中的项进行代数运算，将高阶项消去，转化为无常系数二阶微分方程。
例如，对于形如$y'''' - 3y'' + 2y = 0$的四阶微分方程，通过令$y' = v$，$y'' = v'$，可以得到$v'''' - 3v'' + 2v = 0$。
此时，在微分方程的两侧同时乘以$v'$，然后再次对$v$求导，可以得到$v'''(v''')^2 -3v''(v'')^2 + 2v'(v')^2 = 0$，这是个可以简化的式子。
一阶线性微分方程,可降阶的高阶微分方程
y = Ce ∫
− P( x)dx
y+ 1. 一阶线性齐次方程 − ∫ P( x )dx ′ P ( x ) y ≡ 0∫ P( x )dx 非齐次方程通解 C + Q( x)e dx 非齐次方程通解 y = e
可分离变量
∫
2.
一阶线性非 一阶线性非齐次方程
y′ + P( x) y = Q( x)
求解
1+ y ′ 2 (1) y′′ = ； 2y dy ′ dz dz dy dz 解：令 y ′ = z ，则 y ′′ = = = =z ，
dx
dx
dy dx
dy
dz 1+ z 2 2 zdz dy z = = ， ，即 2 y dy 2 y 1+ z
积分，得 ln(1+ z 2 )= ln y + lnC ， 1+ z 2 = C1 y ． 积分，
x=e ∫
=e ∫
− P ( y )dy
1 dy y
∫ P( y)dydy] ， [C + ∫ Q( y)e
3 −
[∫ y e
∫
1 dy y
故原方程的通解为 x = y + Cy ． 3
1 3 dy + C ] = y[ y + C ] ， 3 1 4
二 、 Bernoulli（伯努利）方程的解法 （ 伯努利）
(2)
( x 2 + y 2 + 2 x − 2 y )dx + 2( y − 1)dy = 0 ;
y′ + y y ln y = 2 ． x x
y y (2) y′ + ln y = 2 ． x x 1 1 1 y′ + ln y = 2 ， 解： y x x
可降阶的高阶微分方程的解法
第3.5节 可降阶高阶微分方程
一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
第3章
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一、 y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x) dx + C1
即 同理可得 y(n−2) = ∫[
故所求通解为
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y′′ − e2y = 0 例7. 解初值问题 y x =0 = 0 , y′ x =0 =1 解: 令 y′ = p (y), 则y′′ = p dp , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
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思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7
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例3. 求解 解:
(1+ x )y′′ = 2xy′
2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程
第3章
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一、 y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z=y
(n−1)
,
因此
z = ∫ f (x) dx + C1
即 同理可得 y(n−2) = ∫[
故所求通解为
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y′′ − e2y = 0 例7. 解初值问题 y x =0 = 0 , y′ x =0 =1 解: 令 y′ = p (y), 则y′′ = p dp , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
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思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如, 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号. 例6 例7
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例3. 求解 解:
(1+ x )y′′ = 2xy′
2
y
x =0
=1, y′
x =0
=3
代入方程得
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程
2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
y
( x3 6
ex
2x)dx
x4 24
ex
x2
C3.
再由y x0 1,得C3 2，所以
y x4 ex x2 2为所求的特解. 24
6.4.2 y(n) f ( x, y(n1) )型的微分方程
令 p y(n1)，则原方程化为
例6.40（略）
例6.41
求方程 y(5) 1 y(4) 0 的通解。 x
解 令y(4) p, 则y(5) p, 原方程可化为
p
1 x
p
0 .
p
C1e
(
1 x
)dx
C1 x .
y(4) .
y
C1xdx .
C1 2
x2
C2,
y
y ln x d x x ln x x C1，
y ( x ln x x C1)d x
x ln xdx (x C1)d x
x2
ln xd( 2 ) (x C1)d x
x2
x2 1
x2
ln x 2
2
dx x
例6.42 设函数y( x)在区间[0， ）上具有连续偏导数，
并且满足关系式y( x) 1 x 2 x ( x t) y(t) y(t)dt,求y(t). 0
解
x
x
y( x) 1 x 2x y(t)y(t)dt 2 ty(t)y(t)dt,
0
0
[
2 x2
e
3 x
dx
dx
C1]
【高数(下)课件】10-3可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
2 y 2 2 x
2 1 2x y dx ln C1 2 2 x 2 2x
再由初始条件 y(1) 2 ,知
C1 2[1 ln( 1 2 )]
故所求解为
1 2x y ln 2[1 ln( 2 1)] 2 2x
可降阶的高阶微分方程
可降阶的高阶微分方程
3 x 2 y y 1 x 3
y
x 0
1, y x0 4
3
dy 4(1 x )dx y x 4 x C2
4
再由初始条件 y x0 1, 知C2 = 1 故所求解为
y x4 4 x 1可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程
求微分方程 y 2 y 1 0 的积分曲线, 使该 1 积分曲线过点 0, , 且在该点的切线斜率为2. 2 解 方程 y 2 y 1 0 属y f ( y, y)型
1 p2 C1 y p C1 y 1
dy 即 C1 y 1 dx
属y f ( y, y)型
可分离变量方程
可降阶的高阶微分方程
dy dy dx C1 y 1 C1 y 1 dx
2 C1 y 1 x C 2 C1
三、y f ( y, y) 型的方程
特点 方程缺自变量x dy p p( y ) 解法 设 y dx 2 d p dp d y dp d y 则 y 2 p , 方程变成 d x dy d x dy dx dp p f ( y , p).这是关于变量y , p 的一阶方程. dy 设它的通解为 y p ( y, C1 ). 分离变量并积分, dy x C2 得通解为 ( y , C1 )
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令 x = 0 , p = 0 c1 = 0 , 所以有
ln( p 1 p2 ) sh1 p x a
p sh x a x
y ach a c2 再令 x = 0 , y = 0 c2 = a
所以有 y a(ch x 1) a
例 设兔子从点 (1 , 0) 出发 , 其运动速度大小为常
1 x 2 (c1 x)
11 p x2 (c1 x)
(
x
c1
c12 c1
x
)dx
c2
1 2
x2
c1 x
c12
ln
c1
x
c2
例 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳索 , 两
端固定 , 绳索在重力的作用下自然下垂 , 求该绳索
在平衡状态下的曲线方程
y
解 如图建立坐标系 在曲线上取一点 M(x, y) ( O)
到 x = x(t) ,子弹的质量为 m
0 0.1
x
根据牛顿第二定律有
m
d2x dt 2
k
dx dt
2
若记
dx v , a k
dt
m
及注意到 v(0) = 200
则速度 v = v(t) 满足下初值问题:
dv av2 dt
( 可分离变量方程 )
v 200
dv adt v2
1 at c v
x2 p ' p2 2 xp 两边同乘 p 2 得
( 伯努里方程 )
dp 1 2 dx x
p1
1 x2
令 u p1 得
du dx
2 x
u
1 x2
通解
u
e
2 x
dx
(c1
(
1 x2
)e
2 dx
x dx)
e2ln x (c1
(
1 x2
)e2ln xdx)
e2ln x (c1
(
1 x2
)e2ln xdx)
(1) 不显含因变量的二阶方程
y'' f ( x, y')
(1
令 p y' , 则 y'' p' , 代入方程 (1) ) 有
dp f ( x, p) dx
( 一阶方程 )
例 求方程 x2 y'' ( y' )2 2 xy' 的通解
解 这是一不显含因变量 y 的二阶方程
令 p y' , 则 y'' p' , 代入方程有
数 v , 方向与 y 轴的正向相同 , 猎狗从原点 (0 , 0)
与兔子同时出发 , 以速度大小为 2v 追逐兔子 , 求
猎狗的运动轨迹
y
解 设猎狗的运动轨迹曲线为 y=y(x)
A
B
在时刻 t , 兔子位于 A( 1, vt ) ,
0
1
x
猎狗位于 B( x , y ) , 则据题意有
t 1 ( y (1 x) y') v
T
M mg
分析 OM 段上的受力情况
H0
x
自身重力: mg = ρsg (ρ是线密度 , s为 OM 的弧长)
O点处的张力: H ,ห้องสมุดไป่ตู้M点处的张力: T
由于绳索平衡 在各方向上的合力为零
在水平方向上: H T cos
在垂直方向上: sg T sin
两式相除得
tan g s s
Ha
( 其中
§9.3 可降阶的高阶方程
1º形如 y(n) = f (x) 的方程
例 求方程 y(4) sin x x 的通解
解 对方程两边积分有
y'''
cos
x
1 2
x2
c1
再积分得
y''
sin
x
1 6
x3
c1 x
c2
再积分得
y'
cos
x
1 24
x4
c1 2
x2
c2 x
c3
再积分得方程的通解
2º二阶可降阶方程 二阶方程的一般形式:
x
又 2vt
1 ( y')2 dx t
1x
1 ( y')2 dx
0
2v 0
y
(1
x) y'
1 2
x
0
1 ( y')2 dx
两边对 x 求导有
y' y'(1 x) y'' 1 1 ( y')2 2
( 不显含因变量的方程 )
从题意知初始条件
:令 p y', 则 y'' p' , 代入方程有
(1 x) p' 1 1 p2 2
分离变量得
dp dx 1 p2 2(1 x)
积分得
令 x = 0 , p = 0 c1 = 1 ,
y' 1 ( y' )2 1 1 x
1
1
y' 1 ( y')2 1 x
1 ( y')2 y' 1 x 两式相减得 2 y' 1 1 x
1 x
积分得
令x=0,y=0 得
c2
2 3
所以猎狗的运动轨迹为
y
1 (1
3
x)2
1 x 2
( 0 x 1)
3
3
例 一颗子弹以速度 v0 =200 m/s 打进一块厚度
为 0.1 m 的板 , 然后穿过板 , 以速度 v1= 80 m/s 离开板 , 该板对子弹运动的阻力与运动速度平
方成正比 , 问子弹穿过板用了多少时间 ?
解 设时刻 t , 子弹在木板中移动
代入方程有
( x)z''[2'( x) P( x)( x)]z'
[''( x) P( x)'( x) Q( x)( x)]z 0
即
z''[ 2'( x) P( x)]z' 0
(x)
令 p z', 则
, 方程转化为
通解
p
c1e
(
2 '( x) (x)
P(
x ))dx
c1e2ln ( x) P( x)dx
400T
3 ln(
1)
aT
32
T 0.3 8.2104 (s) 400 ln2.5
例 已知二阶微分方程
( 二阶线性方程 )
的一个非零特解 (x) , 试利用变换 y =(x)z , 求
该方程的通解 ( P(x) , Q(x) 连续 )
解 由 y = (x)z , 知
y'' ''( x)z 2'( x)z'( x)z''
c1 2(x)
e
P( x)dx
由
z'
c1 2(x
)
e
P
(
x
)dx
,
得
z
c1 2(x)
e
P(
x)dxdx
c2
所以原方程的通解
y
c1 ( x)
1 2(x)
e
P( x)dxdx
c2 (
x)
(2) 不显含自变量的二阶方程
y'' f ( y, y')
由 v(0) = 200
设子弹穿透板的所用时间为 T , 则据题意
0.1
T
v(t )dt
0
T
0
200 200at
dt 1
1 a
ln(200at
1)
T 0
1 a
ln(200aT
1)
又 v (T) = 80
200 80 200aT 1
于是有
aT 3 400
0.1
T
ln(200aT
1)
a
H
g
)
又
dy dx
1 a
x
0
1 ( y')2 dx
两边对 x 求导得
y'' 1 1 ( y')2 a
初始条件:
( 不显含因变量 y 的方程 )
令
, 则 y'' p' , 代入方程有
dp 1 1 p2 dx a
( 可分离变量方程 )
dp 1
dx
1 p2 a
积分得
ln( p
1
p2
)
1 a
x
c1