1.7 几种可降阶的高阶方程
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第三节 可降阶的高阶微分方程
例5
求方程 yy′′ − y′2 0 的通解 。 ＝
dp 解 令 p = y′ ，则 y′′ = p 。 dy dp yp − p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ，故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ，则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ，则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为
2 2
（***）
此处取负号是因为物体运动的方向与y轴的正向相反. 在（***）中令 y=R，就得到物体到达地面时的速度为
2 gR(l − R) v=− l
最后求物体落到地面所需的时间. 由（***）式有
1 1 dy = v = −R 2g − , y l dt
分离变量，得
1 l y dt = − dy. R 2g l − y
1 y′′ = 1 + y ′2 a
取原点 O 到点 A 的距离为定值 a ，即 |OA|= a ,则初始条件为：
y x =0 = a, y′ x =0 = 0.
故初值问题为
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
′′ 1 y = 1 + y ′2 , a y x = 0 = a, y ′ x = 0 = 0
令 y ′ = p,
y′′ = p′ 代入上方程，得
dx = a 1 + p2 dp
1 2 p′ = 1+ p . a
x ln( p + 1 + p ) = + C1 a
可降阶的高阶微分方程
f1
α
f 2与 N 保持平衡， f1和 R 之合力 F = f1 − R = mg (sin α − µ cos α ) 使物体沿斜面运动。设 物体移动的距离 s = s (t )，则由 Newton d 2s 第二定律，有： mg (sin α − µ cos α ) = m 2 dt d 2 s（2） 即： 2 = g (sin α − µ cos α ) — —此为 s (t )应满足的微分方程 dt
3. 例子： 7-17 例
dy 解：积分一次得： = x(ln x − 1) + c1 dx 1 2 3 再积分一次得：y = x (ln x − ) + c1 x + c2 2 2 即为所求之通解。
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d y 求 = ln x 的通解 2 dx
2
可降阶方程第一型举例（续1）
例7-18 质量为m的物体，以初速度v0从一斜面上滑下。如斜面的倾角为
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三、 y′′ = f ( y，y′)型
1. 形式：
y′′ = f ( y，y′)
(7)
（即含有未知函数y, 不含自变量x）
2. 解法： 令y ′ = f ′( x )，视 x为未知函数， y为自变量，两边对 y求导：
dp ====================================== d ( y ′) d [ f ′( x )] dx d 2 y 1 1 = = ⋅ = 2⋅ = y ′′ ⋅ dy dy dx dy dx dy p dx (*) dp df (u ) df (u ) du ∴ y ′′ = p ⋅ ∵ = • dy dx du dx
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可降阶的高阶微分方程
第七节 可降阶的高阶微分方程
一、 y(n) f ( x) 型
特点: 左端是未知函数 y 的n 阶导数, 右端是
自变量x 的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n 次,得到含有n 个任意常数的通解.
例1 求微分方程 y e2x cos x 的通解.
解
y
(e 2 x
cos
x)dx
1 e2x 2
sin x
C1 ,
y
1 2
e2x
sin
x
C1
dx
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2,
通解为 y
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2
dx
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3 .
二、y f (x, y) 型
可得
p C1 y,
dy dx
C1
y,
即
dy y
C1dx,
原方程通解为 y C2ec1x .
F( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
例3 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解 令 y(4) p( x), 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
解 设 y p,代入原方程, 得
dp 2 x dx p 1 x2
一、 y(n) f ( x) 型
特点: 左端是未知函数 y 的n 阶导数, 右端是
自变量x 的一个已知函数,且不含未知函数 y 及其
导数 y.
两边积分 y(n1) f ( x)dx C1
再积分
y(n2) [ f ( x)dx C1]dx C2
……
接连积分n 次,得到含有n 个任意常数的通解.
例1 求微分方程 y e2x cos x 的通解.
解
y
(e 2 x
cos
x)dx
1 e2x 2
sin x
C1 ,
y
1 2
e2x
sin
x
C1
dx
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2,
通解为 y
1 4
e2x
cos
x
C1 x
C2
dx
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3 .
二、y f (x, y) 型
可得
p C1 y,
dy dx
C1
y,
即
dy y
C1dx,
原方程通解为 y C2ec1x .
F( x, p,, p(nk) ) 0
求出通解后, 再积分k次,即可求得原方程的通解.
例3 解方程 y(5) 1 y(4) 0. x
解 令 y(4) p( x), 则方程变为
p 1 p 0, 可分离变量方程 x
由分离变量法解得 p C1 x. 于是
y(4) C1 x,
所以原方程的通解为
解 设 y p,代入原方程, 得
dp 2 x dx p 1 x2
几种可降阶的高阶方程
1.7 几种可降阶的高阶方程一般的 n 阶高阶方程 F ( x, y , y ¢,L , y ( n ) ) = 0 没有一般性的求解方法，但我们如果能把它的阶数降下来， 就增加了求解的可能性. 下面我们介绍三种可降阶的情形：1 方程不显含未知函数 y, 或更一般地不显含 y, y¢,L,y ( k -1) , 即方程呈形状 （k） ( k +1) F ( x, y ,y ,L, y ( n ) ) = 0(1 £ k £ n).2 方程不显含自变量 x，呈形状F ( y, y¢, L, y ( n ) ) = 0 .3 恰当导数方程本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方 程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”.一。
第一种可降阶的高阶方程方程（1.78）这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 . 这时只要令 (1.78)中就化成 如果(1.79)能求出通解 则由对 积分 ，就可以求出 y来了.（1.79）例1.解d 5x 1 d 4x 求方程 5 - × 4 = 0 的解. dt t dtd 4x 令 4 = y , 则方程化为一阶方程 dtdy 1 - y = 0, dt t积分得d 4x y = ct , 即 4 = ct , dt于是通解x = c1t + c2t + c3t + c4t + + c5 .5 3 2二.第二种可降阶的高阶方程 方程 这类方程的特点是不显含自变量 x，这时， 总可以利用代换 ，使方程降低一阶.以二阶 方程 为例.令 代入原方程，就有 ，于是有“这是一个关于未知函数 p ”的一阶方程.如 果由它可求 则有 这是一个关于y的变量可分离方程， 可求得通积分.例2. 求解方程xx ¢¢ + ( x ¢) = 0 .2解 令 x ¢ = y , 则 x ¢¢ = y dy , 方程化为dy xy + y 2 = 0 , dx或 积分后得 所以dxdy y = 0及 x + y = 0, dxc c y = 即 x¢ = , x xx = c1t + c22是原方程的通解 .三. 恰当导数方程假如方程 （1.80） 的左端恰为某一函数 即(1.80)可化为 对 x的导数，则(1.80)称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一 阶，成为 之后再设法求解这个方程.2 ¢ ¢ ¢ 求方程 y y + y = 0 的通解 . 例3. 解 将方程写成故有d ( yy ¢ ) = 0 , dx y y ¢ = C 1 , 即 ydy = C1dx ,积分后得通解y 2 = C1 x + C 2 .注：这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.例4.求解方程 1 解 先将两端同乘不为0 的积分因子 2 ， y 2 则有 yy¢¢ - y¢ d y¢y2yy¢¢ - y¢ = 02=( )=0 dx y故y¢ = C1 y, 从而通解为y = C2 eC1 xP49 1,3,4,5,7,9,11.。
可降阶的高阶微分方程
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
【例4】
求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解． 解方程不显含自变量x，设y′=p，则
，代入方程得
在y≠0,p≠0时，约去p并整理，得
这是关于p的一阶线性微分方程，利用公式解之得 p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分离变量并两端积分，便得方程 的通解为
这是一阶方程，设其通解为
因y′=p(x)，于是
p=φ(x,C1)，
dydx=φ(x,C1)，
两端积分，得
y=∫φ(x,C1) dx+C2．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例2】
解方程xy″=y′lny′．
解设y′=p(x)，则
，方程化为
分离变量，得
为所求方程的通解．
二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程
【例3】
三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程
方程 y″=f(y,y′)（6-19）
中不显含自变量x．为了求出它的解，我们令y′=p，并利用复合函数 的求导法则把y″化为对y的导数，即
这样，方程（6-19）就成为
这是一个关于y,p变量的一阶微分方程．设它的通解为 y′=p=φ(y,C1)，
分离变量并积分，便得方程的通解为
可降阶的高阶 微分方程
一、形如y″=f(x)型的微分方程
对于微分方程
y″=f(x)，
其右端仅含自变量x，如分得
y′=∫f(x)dx+C1，
y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x +C2． 以此类推，对于n阶微分方程，连续积分n次，便得含
有n个任意常数的通解．
一、形如y″=f(x)型的微分方程
【例1】
常微分方程课件--可降阶的高阶方程
1 y '2
则
''
（1.7.11）
dp y p dy
于是（1.7.11）变为
dp ap 2 p dy vy
1 p2
由此得
dp ap 1 p2 , p 0 dy vy
（1.7.12）
从 p 0 得解 y 0 ,即点M沿Ox轴移动.
讨论方程
dp ap 2 2 p 1 p dy vy 由图1.7知,在点M未追上点P之前,点P的横
水平线),如图3.2所示.设绳索是均匀的,柔 软的,仅受绳本身的重量作用,它弯曲如图中的 形状,试确定该绳索在平衡状态时的形状. 解: 设C是其最低点,选取坐标系xOy 如图中所示, 且 y 轴通过C点.
y
B
P ( x, y )
A
C O
图3.2
x
考虑绳索在最低点C与点 P( x, y ) 之间的一段, 这一段在下面三个力的作用下平衡: (1)在点P的张力T,方向沿着P点的切线方向; (2)在点C的水平张力H; (3)CP段的垂直的重量,记为 W (x) ,设它作用
x x
x
x
积分上式，得：
a a x a y (e e ) c2 ach( ) c2 2 a 把初始条件 y(0) b 代入上式得 c2 b a
H ．此时 c2 0，从而 为简单起见，假设b a w
得绳索的方程：
x a a y ach( ) (e e a ) a 2 x x
x 的方
dy 程，令 p 则方程（1.7.1７）化为 dx dp w 1 ( p) 2 dx H
分离变量，积分得：
w dx c1 H 1 p2
可降阶高阶微分方程
n阶线性非奇次方程
y ( n ) + P1 ( x ) y ( n 1) + P2 ( x ) y ( n 2 ) + + Pn ( x ) y = 0
n阶线性奇次方程 下面以二阶方程为例,讨论高阶线性微分方程解的结构.
一. 二阶线性奇次方程解的结构 一般形式: y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0, 显然, y = 0 是(2)的解. 讨论非平凡解: 定理1. 如果 y1 ( x), y2 ( x) 是(2)的两个解,则 y = C1 y1 ( x) + C2 y2 ( x) 也是(2)的解,其中 C1 ,C2 为任意常数. 证明: 由于 y1 ( x), y2 ( x)是(2)的两个解, 所以
∴C2 = 1
y = x3 + 3x + 1
三. y′′ = f ( y, y′) 型方程 如果方程不显含 x, dp = f ( y, p) 方程变为: p dy 解出这个以 y 为自变量的一阶方程的通解: 令 y′ = p , 则 y′′ =
dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy
二. y′′ = f ( x, y′) 型方程 如果二阶方程不显含 y, 令 y′ = p ,则 y′′ = 方程变为: p′ = f ( x, p ) 解出这个一阶方程的通解: p = ( x, C1 ) 则原方程的通解为: 例:
dp = p′ dx
y = ∫ ( x, C1 ) dx + C2
的特解,则 y1 ( x) + y2 ( x) 是方程
y ′′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f1 ( x ) + f 2 ( x ) ( 4)
可降阶的高阶微分方程
即 由
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
2 y c ( 1 x ) p c1 (1 x ) 1
2
y x0 3 得 c1 3
y 3(1 x 2 ) y x 3 3 x c2
由 y x 0 1 c2 1 故 y x 3x 1
3
例6 解方程 y 1 ( y )2 . 看成类型二的特例
再利用
得 C2 0, 故所求质点运动规律为
F0 2 t 3 x (t ) 2m 3T
二、 y f ( x , y ) 型
特点： 右端不显含未知函数 y 解法： 降阶 令ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y p y p
回代 y p 得
代入原方程得
dp f ( x , p) dx
若已求得其通解为 p ( x , c1 )
2 d P dP 2 2 y P P ( ) , , 2 dy dy
代入原方程得到新函数 P ( y )的 ( n 1)阶方程 ,
dy 求得其解为 P ( y ) ( y, C1 , , C n1 ) , dx
原方程通解为
dy x Cn ( y , C1 , , C n1 )
可降阶的高阶微分方程
前面介绍了几种标准类型的一阶方程及其求 解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当 有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用 降阶法求解，一般都没有初等解法， 本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同 特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的 方程来求解。
§4 可降阶的高阶微分方程
f ( x , z ,, z
( n k 1 )
).
求得 z ,
将 y ( k ) z 连续积分 k次, 可得通解.
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2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0 v的一阶方程
降阶法
解得 v 1 e , P( x)dx
y2 1
u
1
e
P(
x )dx
dx
y2 1
y2 y1
1
e
P ( x )dx
dx,
y2 1
齐次方程通解为
刘维尔公式
y y1(C1 C2
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
(2.1)
只要令 y z
y dz dz dy z dz dx dy dx dy
于是方程(2.1)可降低一阶, G( y, z, z dz ) 0 dy
含参数 隐式方
程
例2 求解方程 y y 0
例3 求解方程 yy ( y)2 0
(3)恰当导数方程.
回顾：上几次课内容
➢ 几类一阶方程的解法
本节要解决的问题：
➢ 在以往知识的基础上，研究另外几类高阶 方程的解法
$1.7 几种可降阶的高阶方程
/Implicit First-Order ODE
可降阶的一些方程类型
(1)方程不显含y,或更一般地,方程不显含
y, y,L , y(k1) . 即
F ( x, y(k) , y(k1) ,L , y(n) ) 0
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0 将 P( x),Q( x)展开为 x 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
(5)
设y1是方程(5)的一个非零特解，
令 y2 u( x) y1 代入(5)式, 得
y1u (2 y1 P( x) y1 )u ( y1 P( x) y1 Q( x) y1 )u 0,
即 y1u (2 y1 P( x) y1 )u 0, 令v u, 则有 y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0,
再经k次积分便得方程(1)的通解为:
y ( x, c1, c2 ,L , cn )
例1
求方程
d5y dx5
1 x
d4y dx4
0 的解.
解：
令
z
d4y dx4
,则有
dz dx
z x
0,
其通解为
z Cx. 从而
d4y dx 4
Cx。积分四次，得到原方程的通解
y C1 x5 C2 x3 C3 x2 C4 x C5
1 y12
e
P
(
x
)dx
dx
).
(6)
例3 已知 x sin t 是方程 x 2 x x 0 的解,
t
t
试求方程的通解.
解 这里 p(t) 2 ,由公式(7)可得 t
x
sin t
t
(c1
c2
t2 sin2
t
1 t2
dt )
sin t t (c1 c2 cot t)
F( x, y, y, y,L , y(n) ) 0
(3)
如果方程 的左端恰为某一函数 ( x)( x, y, y, y,L , y(n1) )对x的导数，即（3）可化为
d（x）( x, y, y, y,L , y(n1) ) 0 dx
则（3）称为恰当导数方程。
降低一阶： ( x, y, y, y,L , y(n1) ) C
设 y1, y2 ,L , yk是方程(4)的k个线性无关解, 若令 y yku( x) 则方程可降低 1 阶,做类似的变换,可将方 程(4)降低k阶.
特别地, 对一个二阶微分方程, 只要知道其一个 特解, 就可将其化成一个一阶微分方程,
考虑二阶微分方程
y P( x) y Q( x) y 0
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
2、 x a(1 1 t 2 2 t 4 9 55 t 8 . 2! 4! 6! 8!
作业 : P183 1(4),(6); 2(2); 6.
1 t (c1 sin t c2 cos t).
作业： P.49 ( 2 ) （4 ）
4.3.2、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为 x的幂级数,
那么在 R x R内原方程必有形如
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
ห้องสมุดไป่ตู้x3
,
y x0
1； 2
2、
d2 dt
x
2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
若令 y(k) z,则方程降为关于 z 的n k阶方程
F ( x, z(k) , z(k1) ,L , z(n) ) 0
(1.1)
如果能求得方程(1.1)的通解
z ( x, c1 , c2 ,L , cnk ),
即
y(k ) ( x, c1 , c2 ,L , cnk ),
(2) 不显含自变量 x 的方程
F ( y, y,L , y(n) ) 0
(2)
只要令 y z, 并把 y 看成是新的自变量,则方程
(2)可降低一阶. y z(?)
dz
d n1z
G( y, z, dy
,L
, dyn1 )
0
以二阶方程为例
F( y, y, y) 0
再设法求解该方程。
例3 求解方程 yy ( y)2 0 解： 原方程可化为 d ( yy) 0,故有
dx yy=C1 即 ydy=C1dx 积分后即得通积分
y2 =C1 x+C2
拓展
(4) 齐次线性微分方程
(4) 齐次线性微分方程
dny
d n1 y
dxn a1( x) dxn1 L an ( x) y 0 (4)
(1)
(2) 不显含自变量 x 的方程.
F ( y, y, y,L , y(n) ) 0
(2)
(3)恰当导数方程.
F ( x, y, y, y,L , y(n) ) 0
(3)
(4)知道k个线性无关特解的齐次线性微分方程.
(1) 形如F ( x, y(k) , y(k1) ,L , y(n) ) 0的方程