分数与循环小数_提高
2020年小升初数学专题复习训练—拓展与提高：分数问题(1)(知识点总结+同步测试) 通用版(含答案)
1 2
1 2 1
2
1
1
4
1 1
1 4 1
1 100
1
，再将括号里的数
从第二个数开始进行计算，即可将括号中间的数消掉，再计算即可．
1
1
1
1
解： 22 1 + 42 1 + 62 1 +…+ 1002 1 ，
= 1 1 1 1 1 1 ，
2 21 21 41 41
100 1
=
1 2
A、2 4 25
B、 4 5
C、 15 16
D、 6 7
分析：一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成
有限小数；如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此即可解
答．
解：在 2 4 ， 4 中，分母 25，只含有质因数 5，能化成有限小数； 25 5
1
（1）分母为两个相邻自然数时： nn 1
=
1n
1 n 1
a
（2）分母为两个不相邻自然数时（差为 a）：nn a
=
1n
1或 na
1
nn
a
=（
1 n
-
1） na
×1 ． a
【命题方向】
1
1
1
1
50
例 1： 22 1
+
42 1 +
62 1 +…+
1002 1 =
． 101
分析：根据平方差公式：原式=
了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了
分米．
12．循环小数 8.8989…用简便方法写作：
高斯小学奥数六年级下册含答案第03讲_分数计算综合提高
+ 9 + 99 + 999 ) ⨯ (1- ) ⨯L ⨯ (1- ) ；（4） + + L + + + + L + + L + + ⎪ +⎝ 2 3 ⎝ 99 100 ⎭ 100100 ⎭ ⎝ 3 4 100 ⎭ + + L + ⎪ + + + L + ⎪ + L + + ⎪+ ．⎝ 2 3 ⎝ 19 20 ⎭ 2020 ⎭ ⎝ 3 4 20 ⎭ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫第三讲 分数计算综合提高本讲知识点汇总：一、 分数计算技巧1. 凑整2. 分组3. 提取公因数4. 约分（整体约分）二、 分数与循环小数互化1. 分数化循环小数2. 循环小数化分数三、 比较与估算四、 分数裂项五、 分数数列、数表例1． （1） 3 3 3 3 + 1 ；44 4 4（2） 1 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ L ⨯ 99 ； 2 3 4 100（3） (1- 1221 1 32 992⎛ 1 1 ⎛ 98 98 ⎫ 99 ⎪ ⎪「分析」大家还记得凑整、分组、约分等巧算方法吗？⎛ 1 1 ⎛18 18 ⎫ 19 练习 1、．例2．（1） 191919++⎪÷；（4）⎛⎪⨯++⎪-+++⎪⨯+⎪．2010201120122013练习2、（1） 202020++20002000⎪÷⨯2020例3．算式1+++++++++结果的小数点后第2013练习3、算式：1+1例4．（1）1++++L+（2）1++++L+⎝98989898098098009800⎭98（2）1665+666⨯1664；1665⨯666+9992011+2012+20132012+2013+20142013+2014+20152014+2015+2016 -+-（3）；1111-+-2010201120122013515973⎫⎛597315⎫⎛51597315⎫⎛5973⎫++⎝153795⎭⎝379551⎭⎝15379551⎭⎝3795⎭「分析」约分和换元法．⎝13131313013013001300⎭201313；（2）1⨯3⨯5+2⨯4⨯6+3⨯6⨯9+4⨯8⨯12．2⨯6⨯10+4⨯8⨯12+6⨯12⨯18+8⨯16⨯24111111111 234567891011位数字是多少，循环节是多少？「分析」题目中有限小数是不影响小数点后2013位的，计算时可以不考虑．11111111++++++++的计算结果，小数点后第23456789102012位是数字多少？11112⨯33⨯44⨯55⨯62012⨯2013；11111⨯33⨯55⨯77⨯913⨯15；（3） - + - + - + - + ；（4） - + - + - ． + + + + L + （2） + + + + L + ．已知 2*3= ，那么：+， a 它， ； ， ， ； ， ， ， ； ， ， ， ， ；3 5 7 9 11 13 15 17 192 6 12 20 30 42 56 72 904 812 16 20 24 28 32+ -3 15 35 63 99 143 195 255「分析」分数裂项的两种基本方向：“裂和”或“裂差”．1 1 1 1 1练习 4、（1）2 ⨯ 4 4 ⨯ 6 6 ⨯ 8 8 ⨯10 16 ⨯181 5 11 19 209 239+ 2 6 12 20 210 240；例5． 已知“*”表示一种运算符号， 的含义是： * b = 141 1ab (a + 1)(b + A)（1）A 等于多少？（2）计算 (1* 2 ) + (3 * 4 ) + (5 * 6 ) + L + (99 *100 ) ．「分析」这是一道定义新运算的题目，首先要弄清楚题目定义的新运算计算方法，然后按这个方法计算即可．例6． 观察下面的数表：1 1 ；2 1 1 23 2 11 2 34 3 2 11 2 3 45 4 3 2 11 2 3 4 5… … … … … … … …．根据前五行数所表达的规律，1991这个数位于由上而下的第几行；1949在这一行中，它位于由左向右的第几个？「分析」这是一道数表题目，注意每行分数个数的变化，以及分子、分母数值上的变化．1.计算： ++L+⎪+++L+⎪+ ++L+⎪+L+ +⎪+1⎫⎛222⎫⎛333⎫2.算式++++结果的小数点后第666位、2013位数字分别是多少？3.计算：1++L+．4.计算：1++++L+．作业⎛11⎛88⎫9⎝2310⎭⎝3410⎭⎝4510⎭⎝910⎭10．11 3617+18+1111+9101112 111⨯33⨯535⨯3711111⨯2⨯32⨯3⨯43⨯4⨯54⨯5⨯611⨯12⨯135.将真分数按照图中数表方式排列开，那么位于不超过100行，100列的所有真分数之和是多少？12233445132435461425364715263748LLLLM M M M O解答：（1） 原式 = ⎪ ⨯ = 3 ⨯ ⨯ = 3 ； (1664 + 1)⨯ 666 + 999 1664 ⨯ 666 + 1665 = 1 ；3 + ⎪ - 3 + ⎪ + 3 + ⎪ - 3 + ⎪ 2010 ⎭ ⎝ 2011 ⎭ ⎝ 2012 ⎭ ⎝ 2013 ⎭ （ 3 ） 原式= ⎝ = 2010 2011 2012 2013 =6 ；； Y = +， Y ⨯ X + ⎪ - Y + ⎪ ⨯ X = (Y - X )⨯= 1 ．+ + = 0.142857& + 0.111111&+ 0.090909& = 0.344877& ，所以第 2013 位数字是 4，注意到1 1 1 1 - + - + L + - = - = ； （2） 1 + + L + = 1 - + - + L + - ⎪⨯ = ；（4） 原式 == 1 + 2-⎪ - 2++ 3 ⎪ + - 3 + 4 ⎪+- L + -9 + 10 ⎪ +1 + 3 1 ⎫3 +⎛51 51+ 7 ⎛ 1 + 19 ⎫ 9 + 11⎛ 111 + 13 13 + 15 15 + 17 16 ⎝ ⎭ ⎭第三讲 分数计算综合提高例7． 答案：1111、 1 、 50 、2475．10099解答：（1）凑整；（2）约分；（3）平方差公式后约分；（4）找规律计算，括号展开后分别计算同分母分数，会发现等差数列．例8． 答案：3；1；6；1．⎛ 19 ⨯10101 190 ⨯1001 1900 ⨯10001 ⎫ 98 + +⎝ 98 ⨯10101 980 ⨯1001 9800 ⨯10001 ⎭ 1919 98 98 19（2） 1665 + 666 ⨯1664 1665 ⨯ 666 + 999 1665 + 666 ⨯1664 1665 + 666 ⨯1664 = =⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ ⎛ 1 + 2 + 3 ⎫ 6 6 6 6 - + -1 1 1 1 1 1 1 1- + - - + - 2010 2011 2012 2013 2010 2011 2012 2013（4）设： X =例9． 答案：4；448773．解答： 首先，不考虑：1 1 1 1 1 1 1、 、 、 、 、 + 这五个分数，剩下的分数转化为循环小数：2 4 5 8 103 6& & & &7 9 11 8小数点后第 3 位，所以循环节是 877344．例10． 答案： 2011 ； 7 ； 1 1 ； 16 ．4026 15 10 17会影响到解答：（1） 原式 = 1 1 1 1 1 1 1 1 20112 3 3 4 2012 2013 2 2013 40261 1 ⎛ 1 1 11 1 ⎫ 1 7 1⨯ 3 3 ⨯ 5 13 ⨯15 ⎝ 3 3 5 13 15 ⎭2 15（3） 原式 =1 +2 2 +3 3 +4 4 +5 5 +6 6 +7 7 +8 8 +9 9 + 10- + - + - + - + ； 1⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 4 ⨯ 5 5 ⨯ 6 6 ⨯ 7 7 ⨯ 8 8 ⨯ 9 9 ⨯10- = ． 1⨯ 3 ⎭3 ⨯⎝5 5 ⨯ 7 ⎝ 7 ⨯ 9 ⎭ 9 ⨯11⎝ 11⨯13 13 ⨯15 15 ⨯17 17 1 1 = 1 + = 110 10例11． 答案：1； 100 ．101解答：（1） a * b = 1 ； 2 * 3 = + = ；A =1；+ + L + + =，所以第 1949 列，3939 行得到的是 ． ； ．简答：（1） 原式= + ⎪⨯ ⨯= ，……， = ， 简答： 小数点后第 2012 位只与 、 、 、 有关，而 + = ， + =0.253968& ，2012 ÷ 6 余 2，所以， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 练习 4、答案： 9 ； ．简答：（1） 原式 = - + - + L + - ⎪⨯ = ； （2） 原式= 1 - ⎪ + 1 - ⎪ + L + 1 - ⎪ =15 - 1 - ⎪ =14 ．1 ⎫1 1 1 1+ ab (a + 1)(b + A) 2 ⨯ 3 (2 + 1)(3 + A) 4（2） (1 * 2) + (3 * 4) + L + (99 *100 )= 1 1 1 1 100 1⨯ 2 2 ⨯ 3 99 ⨯100 100 ⨯101 101．例12． 答案：3939；1949．解答：观察图表可发现第一列分数的分母都是 1，第 2 列分数的分母都是 2，第 3 列分数的分母都是 3，第 4 列分数的分母都是 4，……，第 1949 列分数的分母都是 1949，且第 1949 列、第 1949 行的分数是 1 19911949 1949练习：练习 1、答案：95．简答：分母是 2、3、4、……，的分数之和依次是 0.5、1、1.5、……，这样一个的等差数列，所以，和是(0.5 + 9.5)⨯192= 95 ．练习 2、答案： 24000 12197 8⎛ 20 20 20 ⎫ 20 20 24000 + = ⎝ 13 13 13 ⎭ 13 13 2197；（2）1⨯ 3 ⨯ 5 1 4 ⨯ 8 ⨯12 1 2 ⨯ 6 ⨯10 8 8 ⨯16 ⨯ 24 81⨯ 3 ⨯ 5 + 2 ⨯ 4 ⨯ 6 + 3 ⨯ 6 ⨯ 9 + 4 ⨯ 8 ⨯12 1 =2 ⨯ 6 ⨯10 + 4 ⨯ 8 ⨯12 + 6 ⨯12 ⨯ 18 + 8 ⨯16 ⨯ 248练习 3、答案：5．& 3 6 7 9 3 6 2 7 92012 位是 5．1040 21⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎫ 1 2 ⎝ 2 4 4 616 18 ⎭ 2 9⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ ⎛ ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 240 ⎭ ⎝ 15 ⎭ 15+ + L + ⎪+ + + L + ⎪+ + + L + ⎪ + L + + ⎪+= + + ⎪+ + + ⎪ + L + + + L + ⎪= + ⨯ + ⨯ + L + ⨯= + + + L + 1 ⎫ ⎛ 2 2 2 ⎫ ⎛ 3 3 3 ⎫ 10 ⎭ ⎝ 3 4 10 ⎭ ⎝ 4 5 10 ⎭ + + L + = ⨯ 1 - + - + L + - ⎪= ⨯ 1 - ⎪ + + + + L += ⨯ ( - + - + L + - )作业6. 答案：22.5．简答：⎛ 1 1 ⎛ 8 8 ⎫ 9⎝ 2 3 ⎝ 9 10 ⎭ 101 ⎛ 12 ⎫ ⎛ 1 23 ⎫ ⎛ 1 2 9 ⎫ 2 ⎝ 3 3 ⎭ ⎝4 4 4 ⎭ ⎝ 10 10 10 ⎭ 1 1 2 ⨯ 3 1 3 ⨯ 4 1 9 ⨯102 3 2 4 2 10 2 1 2 3 9 2 2 2 2 1 9 ⨯10 = ⨯ 2 2 = 45 27. 答案：第 666 位、2013 位数字分别是 0、8．简答：同例 3 的算法．8. 答案： 18 ．简答：371 1 11⨯ 3 3 ⨯ 5 35 ⨯ 371 ⎛ 1 1 1 1 1 ⎫2 ⎝3 3 5 35 37 ⎭1 ⎛1 ⎫2 ⎝ 37 ⎭．= 18 379. 答案： 77 312．简答：1 1 1 1 11⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 4 ⨯ 5 ⨯ 6 11⨯12 ⨯13 1 1 1 1 1 1 1 2 1⨯ 2 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 11⨯12 12 ⨯131 1 1 = ⨯ ( - )2 2 12 ⨯13．=77 31210. 答案：394272．简答：．按从右上到左下斜线计算，发现分母是 2、3、4、5、6……的分数之和依次是0.5、1、1.5、2、……，接下来按等差数列即可得出 394272．。
循环小数和分数的互化-教师版
循环小数和分数的互化1循环小数的认识同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况．比如计算1÷3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现3，怎么也计算不完；再比如在计算3÷7的时候，我们会发现商在0和小数点之后不停的出现428571．像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，叫做循环小数．例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数．通常我们把0.333…简写成0.3 ，把0.428571428571…简写成0.4 28571 ，把1.2357357357…简写成1.23 57 ．一个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数字，叫做这个循环小数的循环节．上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357．循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.3 和0.4 28571 ．不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.23 57 ．2分数转化为小数下面我们来学习一下分数与小数之间的互化．把分数化为小数非常简单，直接用分子除以分母即可．例如25 =2÷5=0.4，815=8÷15=0.53 ．1.将下列分数化为小数：38 ，56 ，449 ，27 ，1013．「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算．对于除不尽的情况，注意寻找循环节．答案：0.375，0.83 ，4.8 ，0.2 85714 ，0.7 69230 ．2.将下列分数化为小数：1720 ，1425 ，223 ，57 ，711．答案：0.85，0.56，7.3 ，0.7 14285 ，0.6 3 ．3循环小数的规律对于任意一个分数，我们一定可以把它化成有限小数或循环小数．反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单，例如，，每个有限小数都可以化成分母是10、100、1000、……的分数．那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律．（1）纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑．分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数．比如0.5 =59 ，1.7 0 =17799 ，5.0 1949 =5194999999．（2）混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑．分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数．比如0.618 =618-6990 =612990 =3455 ，0.01358 =1358-13590000 =12239000 ，0.209 4 =2094-209900=10374950．请同学们务必牢记以上方法，熟练使用．3.把下列循环小数转化为分数：0.4 ，0.2 4 ，0.1 85 ，0.56 ，6.365 31 ．「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法，最后一定要注意将结果约分成最简分数．答案：49 ，833 ，527 ，1730 ，68112220，4.把下列循环小数转化为分数：0.1 ，0.1 2 ，0.1 23 ，0.12 3 ．答案：19 ，433 ，41333 ，61495．在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成9、99、999等特殊形式来转化．5.把下列分数化成循环小数：211 ，1437 ，22101 ，1145 ，335 ．答案：0.1 8 ，0.3 78 ，0.2 178 ，0.24 ，0.08 57142 ．6.把下列分数化成循环小数：733 ，127 ，901001 ，314 ，1136．答案：0.2 1 ，0.0 37 ，0.0 89910 ，0.21 42857 ，0.305 ．4循环小数之间的运算可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数2和5的个数有关．如果最简分数的分母的质因数只有2和5，会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有2或5，会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有2或5，也有其他质数，会化成混循环小数．对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算．但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐．要计算出正确结果，我们应该多写出几位再加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心，再多写几位．在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况．7.计算：(1)0.1 2 +0.3 1 ；(2)0.6 7 +0.5 8 ；(3)0.1 2 +0.43 5 ；(4)0.1 2 +0.4 34 ；(5)0.7 5 -0.4 ；(6)0.3 45 -0.11 2 ．「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算．那么循环小数的加法，是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？答案：(1)0.4 3 ；(2)1.2 6 ；(3)0.55 6 ；(4)0.5 55646 ；(5)0.3 1 ；(6)0.23 32241 ．8.计算：(1)0.5 6 +0.8 76 ；(2)0.12 3 +0.4 56 ；(3)0.7 2 -0.3 53 ．答案：(1)1.4 42533 ；(2)0.57 96887 ；(3)0.3 73919 ．5循环小数的周期问题由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性．比如的循环节有两位，小数部分以4、8为一个周期．利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是多少．9.把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1．a 是多少？「分析」a 7是一个真分数，所以a 必须小于7，只能是1、2、3、4、5、6中的一个．请同学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六个数字都是1、4、2、8、5、7(顺序不同)．2013除以6余3，说明循环节第三位是1，所以是571428循环，这个真分数是47．10.将最简真分数a 7化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个．试着计算一下17 、27 、…、67化成小数后，小数点后连续1000位之和．发现什么规律了吗？答案：a =1n =2002 或者a =2n =2001 详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27．9006÷27=333⋯⋯15，说明在小数点后的n 个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15，可能是1+4+2+8，对应的分数是17，a =1，n =6×333+4=2002．也有可能是2+8+5，对应的分数是27 ，a =2，n =6×333+3=2001．11.将下列分数化为小数：334 ，23 ，57 ，56 ．答案：(1)8.25；(2)0.6 ；(3)0.7 14285 ；(4)0.83 ．12.把下列循环小数转化为分数：0.2 7 ，0.1 48 ．答案：311 ；427 13.把下列循环小数转化为分数：0.16 ，0.20 6答案：16 ；34165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分．14.计算：(1)0.0 1 +0.2 6 +0.6 2 ，(2)0.4 7 +0.7 4 ．答案：0.8 9 (8999 )；1.2 (119)简答：列竖式或将循环小数化为分数均可．15.计算：0.1 +0.125+0.3 +0.16【答案】原式=19 +18 +39 +1590 =1118 +18 =537216.(1)把67化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？(2)把真分数a 7化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1,a 是多少？答案：(1)7；(2)4简答：(1)67=0.8 57142 ，利用周期问题的解决方法：2013÷6=335⋯⋯3，所求位上的数字是7．(2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013÷6=335⋯⋯3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是47．17.某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3900 a =310,所以a =90，所以正确答案为：1.23 ×90=123-290×90=90+21=11118.将循环小数0.0 27 与0.1 79672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【答案】解：0.0 27 ×0.1 79672 =27999 ×179672999999 =137 ×179672999999 =4856999999=0.0 04856 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．。
七年级数学上册《与无限循环小数化分数》优秀教学案例
（一）导入新课
在导入新课环节，我将通过一个简单的数学谜语来吸引学生的注意力：“一个数字，它既是小数，又是分数，你知道它是谁吗？”通过这个谜语，让学生思考小数与分数之间的关系，为新课的学习做好铺垫。
接着，我会向学生展示一些生活中常见的无限循环小数的例子，如0.3333…（1/3）、0.6666…（2/3）等，让学生观察这些数字的特点，引导他们发现无限循环小数的规律。
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动探究、思考。针对无限循环小数化分数的知识点，设计一系列具有启发性的问题，如：“为什么无限循环小数可以化为分数？”“它们之间有什么样的关系？”等。让学生在解决问题的过程中，逐步掌握无限循环小数的概念和化分数的方法。
（三）小组合作
小组合作是提高学生参与度和互动性的有效手段。在课堂教学中，我会将学生分成若干小组，让他们针对某一问题展开讨论。例如，让学生探讨如何将不同的无限循环小数化为分数，并总结出规律。通过小组合作，培养学生的团队协作意识，提高他们的沟通能力。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请几名学生分享他们在小组讨论中的成果，总结无限循环小数化分数的规律。然后，我会对学生的总结进行补充和归纳，强调以下几点：
1. 无限循环小数化分数的关键是找出循环节，并利用循环节进行计算。
2. 熟悉纯循环小数和混循环小数的化分数方法。
3. 掌握特殊无限循环小数（如0.9999…）的化分数技巧。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会从以下几个方面进行讲解：
1. 无限循环小数的定义：让学生了解无限循环小数是由一个数字或一组数字无限重复组成的小数。
2. 无限循环小数的分类：介绍纯循环小数和混循环小数两种类型，并通过实例进行讲解。
五年级数学春季提高班第21次课 循环小数与分数的互化
循环小数与分数的互化月 日 姓 名【知识要点】纯循环小数化分数的方法：这个分数的分子是一个循环节所表示的数：分母的各位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数。
混循环小数化分数的方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之差；分母的头几位数字是9，9后面的数字是0，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。
【课前热身】1.把下列分数化为小数（除不尽保留三未小数）。
1________2= 3_______4=1_______8=7________10= 1_______9= 2_______11= 2______7= 5_______6=7_______15= 2.把下面的小数化成分数：0.75_______= 1.39_______=1.625_______= 0.25_______= 0.5________1.375_______= 0.55________=0.52________=0.46_______=【典型例题】例1、在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）∙∙1871822. （2）∙∙62514913.例2、将下列循环小数化成分数。
=∙70. =∙∙860.=∙∙54370.=∙50. =∙∙570.=∙310.=∙∙8746. =∙540. =∙∙5674.例3、在循环小数0.∙123456∙7中，移动循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，新的循环小数是几？例4、计算：0.1∙2+0.2∙3+0.3∙4+0.4∙5+0.5∙6+0.6∙7+0.7∙8+0.8∙9随堂小测姓名 成绩 1.适当补上循环点，使下列不等式成立。
89.89﹥89.89﹥89.892.把下列循环小数化成分数 =∙∙720. =∙∙6540.=∙∙4740.=∙∙23450. =∙∙4500.=∙∙76058.3.在下列混合循环小数中，移动循环节的第一个圆点，使新产生的循环小数尽可能小： （1）1.100901∙0∙3 （2）2.65685∙6∙9（3）0.412125∙2∙14.给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。
七年级数学上册《与无限循环小数化分数》教案、教学设计
请同学们认真完成作业，注意书写规范，保持作业本整洁。作业完成后，请家长签字确认，以便教师了解大家在家的学习情况。期待大家在作业中展现出自己的学习成果，共同提高数学素养。祝大家学习愉快！
2.学会与他人合作，通过讨论、交流、互助等形式解决问题。
3.能够运用所学知识进行自我评价，发现并改正自己在解题过程中的错误。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发他们主动学习的积极性。
2.培养学生严谨、认真的学习态度，让他们认识到数学在生活中的重要性。
3.培养学生面对困难的勇气和毅力，使他们学会克服困难、解决问题。
二、教学设计
（一）导入
（二）新知学习
1.讲解无限循环小数的定义及特点，让学生了解并识别常见的无限循环小数。
2.介绍将无限循环小数化为分数的方法，如长除法、反约分等。
3.通过例题讲解，让学生学会运用所学方法解决实际问题。
（三）巩固练习
设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。同时，鼓励学生相互讨论、交流，提高解题能力。
2.教师介绍将无限循环小数化为分数的方法，如长除法、反约分等。
“现在，我们来学习如何将无限循环小数化为分数。首先，我们可以使用长除法的方法，将小数部分逐步转化为分数。其次，我们可以通过反约分的方法，简化分数，使其更加直观。”
3.教师通过示例讲解，让学生理解并掌握无限循环小数化分数的方法。
（三）学生小组讨论
在此基础上，教师还需关注学生的情感态度，鼓励他们克服困难，勇于尝试，培养他们面对挑战的信心和毅力。通过本章节的学习，使学生体会到数学的趣味性和实用性，进一步提高他们的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
第7讲 循环小数与分数
（4） 1 6
例题1
将下列分数化为循环小数，并求出小数点后第 96 位上的数字．
（1） 1 7
（2） 1 13
（3） 1 14
（1） 1 ＝0.1˙42857˙，96÷6＝16（组），是 7． 7
（2） 1 ＝0.0˙76923˙，96÷6＝16（组），是 3． 13
（3） 1 ＝0.07˙14285˙，(96－1)÷6＝15（组）……5，是 8． 14
405 ÷999=
知识要点：
纯循环小数化分数：分子是一 个循环节所表示的数，分母的 各个数位数字全是9，9的个数 等于一个循环节中数字的个数。
知识要点：
把
化成分数
10A=2.373737… 1000A=237.373737… 1000A-10A=990A
235 ÷990= =
知识要点：
把
化成分数
111=123-12
235=237-2 1026=1027-1
一个9
二个9
三个9
知识要点：
知识要点：
循环小数与分数
循环小数 从小数部分的某一位起，一个数字或几 个数字，依次不断地重复出现的小数．
循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断 重复出现的一个或几个数字．
纯循环小数 从小数点后第一位起，一个数字或几个数 字依次不断重复出现的小数，例如 90
×6÷2＝ 38 ×1＝ 2 8 ．
15
15
练习4
计算：0.3˙5 ＋0.4˙6 ＋0.5˙7 ＋0.6˙8 ＋0.7˙9
选讲题
※ 已知 4 ＝0.˙5 7142˙8 ，问：最少从小数点右面第______位开始，到第______位为止 7
的数字之和等于 2008．
【精品】循环小数与分的互化循环小数之间简单的加减运算
【关键字】精品循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1.的“秘密”，，,…,2.推导以下算式⑴；；；；⑵；；；⑶；以为例，推导．设，将等式两边都乘以100，得：；再将原等式两边都乘以10000，得：，两式相减得：，所以．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧；；；，……模块一、循环小数的认识【例 1】在小数上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
)【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空【关键词】第六届，希望杯，1试【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为【答案】【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.19980.19980.19980.1998【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算循环小数的计算【解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因此一定是，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是，而次大数为，于是得到不等式：【答案】【例 1】真分数化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么是多少?【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】，，，，，．因此，真分数化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以，即．【答案】【巩固】真分数化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是，则是多少？【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算【解析】我们知道形如的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组成，只是各个数字的位置不同而已，那么就应该由若干个完整的和一个不完整组成。
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分数与循环小数_提高
1. 指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？能化为有限小数(提示: 有限看二五)有：
能化为纯循环小数(没有二五)有：
能化为混循环小数(有二五，还有其它)有：
2. 将下面循环小数化成分数。
3. 把 化成循环小数。
这个循环小数的第 位上的数字是几？第 位上的数字是几？
4. 写出一个最大的分数，它的分子是1，并且它所化成的小数是：
1）循环节里只有一位数字的纯循环小数；
2）不循环部分有一位数字，循环节里最少的位数是2的混循环小数。
班级姓名日期
,,,,,327214250377826117100850
30.=7˙0.=6˙0.=3˙9˙0.7=3
˙2˙0.0=2˙7˙ 4.17=8˙ 1.3=0˙7˙ 2.2=6
˙3˙14
520202021
5. 计算下列各题
6. 解答题
1）把化成小数后，小数点后面50位各位上的数字的和是多少？2）在循环小数 中，移动“前”一个循环点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少?
3）假定是自然数，是十进制中的一个数字，若 ，求等于多少？（1）0.25+3˙0.1+5˙3˙0.41+3˙0.8；（2）0.+1˙0˙1
˙0.+3˙7˙0.+3˙6˙0.；2˙1˙（3）0.+3
˙；（4）+0.+3˙0.+3˙0.3˙11
1 1.7˙1.3˙0.1×6˙ 1.；1˙6˙（5）0.1+2
˙0.2+3˙0.3+4˙0.4+5˙0.5+6˙0.6+7˙0.7+8˙0.89˙21
40.1001002
˙3˙n d =810
n 0.2d ˙5˙n
4）对小数 取近似值，要求保留 2020 位小数，那么小数的末两位数应是多少?
5）某人将 乘以一个数时，误把 看成 ，结果与正确结果相差 ，正确答案应是多少？
6）纯循环小数 化成最简真分数时，分母与分子之和为 。
请写出这个循环小数。
7）对循环小数 与 的乘积取近似值，要求保留一百位小数，问：小数的最后一个数字是几？0.234567891011⋯4951
˙0˙2.46
˙ 2.46˙ 2.46 2.460.b a ˙c ˙580.20
˙7˙0.53841˙6˙。