本构关系
第3讲_本构关系和波动方程
广义本构方程 广义欧姆定律
这些关系可以通过实验或微观结构分析得到。对于不同媒 质，(3-15)-(3-17)有着不同具体形式。
第三讲 媒质的本构关系
【媒质的电极化】
电介质分子的两类： 无极分子－分子内部所有正负电荷的作用中心重 合。无外电场作用时，对外不呈现电场特性。 有极分子－分子内部所有正负电荷的作用中心不 重合，形成电偶极子。无外电场作用时，由于分 子的不规则运动，不同分子的电偶极子的电矩方 向不同，杂乱无章，因此对外不呈现电场特性。
外加场Ea 合成场Ea+ Es 介 质
二次场Es
极 化
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第三讲 媒质的本构关系
【极化强度】极化后，单位体积内的电偶极矩之和。
r P = lim
Research Institute of Antennas & RF Techniques South China University of Technology
第三讲 媒质的本构关系
实际中，自由电荷和自由电流可以直接受实验条件的控 制和测定，而束缚电荷、极化电流和磁化电流则不然。 r r 因此，从Maxwell基本方程中消去 ρ P , J p , J m 比较方便。 利用(3-1)、(3-5)和(3-6)，有
直接由实验定律获得的Maxwell方程实际为
r r r ⎧ ∂E ∇× B = μ0 J + μ0ε 0 ⎪ ∂t ⎪ r r ⎪ ∂B ⎪∇× E = − ∂t ⎨ r ⎪∇⋅ B = 0 ⎪ ⎪ r ρ ⎪∇⋅ E = ε 0 ⎩
材料工程塑性理论(本构关系)
L
d
p i
用来描述硬化程度
i
H(
L
d
p i
)
对上式求导，有：
H
di
d
p i
d 3dip 3di 2i 2iH
等效塑性应变总量：沿应变路径累积
Levy-Mises方程：
d ij
d ij '
3d i 2 iH
ij
'
Levy-Mises硬化材料本构方程
d x
3d i 2 iH
x
dy 23diHi y
d z
3d i 2 iH
z
d ij
3d
2
i
iH
ij
4. 全量理论（形变理论）
Hencky 全量理论，1924 应力偏量分量与塑性应变偏量分量（不含弹性部分）应相似且同轴：
p x
p y
p z
p xy
p yz
p zx
' x
' y
' z
xy
yz
zx
或
ij
' ij
物理概念： 1）塑性应变全量与应力主轴重合 2）塑性应变全量的分量与应力偏量分量成比例
dij d ij
Note:（1）已知应变增量分量且对于特定材料，可以 求得应力偏量分量或正应力之差 ，但一般不能求出正 应力的数值 ，因为这时平均应力未知。 （2）已知应力分量，能求得应力偏量，但只能求得应 变增量的比值而不能求得应变增量的数值（对于理想 塑性材料）。理想塑性材料应变分量的增量与应力分 量之间无单值关系（很多解），dλ不是常数。 （3）若两正应力相等，则由于应力偏量分量相同，相 应的应变增量也相同，反之亦然。 （4）若某一方向的应变增量为零，则该方向的正应力 应等于平均应力。
本构关系
④其它力学理论类模型。 (非弹性模型) 各类本构模型的理论基础、观点和方法迥异，表达形式多样， 简繁相差悬殊，适用范围和计算结果的差别大。很难确认一个 通用的混凝土本构模型，只能根据结构的特点、应力范围和精 度要求等加以适当选择。至今，实际工程中应用最明和使用方便的非线弹性 类本构模型。
1、各向同性本构模型
结构中的任何一点，共有6个独立的应力分量： 即正应力σ11、 σ22 、 σ33 剪应力τ12=τ21、 τ23=τ32 、 τ31=τ13 。 相应地也有6个应变分量： 为正应变ε11、 ε22 、 ε33 剪应变γ12=γ21、 γ23=γ32 、 γ31=γ13 假设材料的各方向同性、有相等的弹性常数，即可建立正应 力-正应变和剪应力-剪应变之间的关系如下：
所以，钢筋混凝土非线性本构关系的内容非常丰富，试验和 理论研究也有一定难度。经过各国研究人员的多年努力，本构 关系的研究已在宽广的领域内取得了大量成果，其中比较重要 和常用的本构关系有： ◆混凝土的单轴受压和受拉应力-应变关系；
◆混凝土的多轴强度（破坏准则）和应力-应变关系；
◆多种环境和受力条件下的混凝土应力-应变关系，包括受压 卸载和再加载，压拉反复加卸载，多次重复荷载（疲劳）， 快速（毫秒或微秒级）加载和变形，高温（＞l00oC）和低温 ＜0oC）状况下的加卸载，……；
4.8.2非线性分析中的各种本构关系
结构分析时，无论采用解析法和有限元法都要将整体结构离 散化、分解成各种计算单元。例如二、三维结构的解析法取为 二维或三维应力状态的点（微体），有限元法取为形状和尺寸 不同的块体；杆系结构可取为各杆件的截面、或其一段、或全 长；结构整体分析可取其局部，如高层建筑的一层作为基本计 算单元。因此，本构关系可建立在结构的不同层次和分析尺度 上．当然最基本的是材料一点的应力-应变关系，由此决定或推 导其他各种本构关系。 各种计算单元的本构关系一般是以标准条件下，即常温下短 时一次加载试验的测定值为基础确定的。当结构的环境和受力 条件有变化时，如反复加卸载、动载、荷载长期作用或高速冲 击作用、高温或低温状况、……等，混凝土的性能和本构关系随 之有不同程度的变化、必须进行相应修正，甚至重新建立专门 的本构关系。
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
第五章 本构关系
ij C ijkl kl
其中， C ijkl 称为柔度系数。
§5.3 各向同性弹性体
张量变换关系
E ijkl Q im Q jn Q kp Q lq E mnpq
满足各向同性条件时
E ijkl ij kl ik
jl
il
jk
式中 、 、 是任意常数。代入本构方程
dw ij d ij
→
ij
w ij
§5.2 广义虎克定律
小变形条件下
W c bij ij 1 2 E ijkl ij kl
在无应变和无初应力情况下 bij 0 c0
E ijkl W
2
ij kl 1 2
E ijkl E ijkl E ijlk E klij
由于应变能正定，故
W 0,
＞
。当材料不可压缩时 ，
1 2
§5.5 余能密度
定义余能密度如下
Wc
ij
0
ij d ij
对上式进行分部积分，得
W c ij ij ij d ij ij ij W
0
Hale Waihona Puke j ijW c ij
ij E ijkl kl ij kl ik
ij kk ij 2 ij
kk jl
il
jk
kl
ij kl kl ik jl kl il jk kl
0
ij
W ij
E
ijkl
kl E klij kl E ijkl kl
第六讲 什么是本构关系
谢谢！
Thank you！
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文档属性
什叫做本构关系？
上海世科嘉车辆技术研发有限公司
姓名：李涛 日期：2011-5-15
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目录
Content
1. 力和变形，时间以及温度之间的关系 2. 固体本构关系举例 3. 液体本构关系举例 4. 气体本构关系举例 5. 还有其它的本构关系吗？
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力和变形，时间以及温度之间的关系
力 变形
力 变形率 力 温度
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固体本构关系举例
固体变形需要的力的大小主要和物体变形以及变形历史相关
线弹性物体：
塑性物体：
力
变形 弹塑性物体： 非线性弹性物体：
气体本构关系举例
气体随温度升高体积会明显增大，相同体积下，气体受力和温度成正比。固体和 液体变形需要的力则和温度关系不大。
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其它的本构关系
电磁本构关系：
导体，半导体，绝缘体，超导体
辐射本构关系：
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液体本构关系举例
液体变形需要的力的大小主要和物体变形速率相关
粘性物体：大多数液体都是粘性物体， 变形力大小和变形速率成正比
介于固体和液体之间的有：
粘弹性物体：
粘塑性物体：
本构关系
本构关系1. 次弹性（Hypoelasticity ）次弹性材料定律联系应力率和变形率，次弹性关系的一般形式为：(),∇=σf σD (1)∇σ表示Cauchy 应力的任意客观率；D 为变形率，也是客观的，所以其关系函数f 也必须是应力和变形率的客观函数。
大量的次弹性本构关系可以写成应力率和变形率客观度量之间的线性关系式，如：∇=σC :D (1)2. 超弹性材料（Hyperelastic material ）超弹性材料的能量与路径无关，它存在一个能量函数，表示为应力的势能：()()2w ϕ∂∂==∂∂C E S C E (1)式中()ϕC 为潜在势能。
当势能表示为Green 应变E 的函数时，我们使用标记w ，这里两个标量函数的关系为：()()2w ϕ=+E E I (1)超弹性材料通过在势能函数w 中嵌入各向异性，为各向异性材料响应的框架不变性公式提供了一个自然构架。
不同的应力度量可以通过适当的转换得到：()()T T T 2w ϕ∂∂====∂∂C E τJ σF S F F F F F C E (1)存在潜在势能函数的一个推论就是在超弹性材料上做功独立于变形路径，很多橡胶材料可以观察到这一特征。
为了描述功独立于变形路径，考虑变形状态从1C 到2C 每单位参考体积潜在能量的变化。
由于PK2应力张量S 和Green 应变()/2=-E C I 是功共轭的，所以()()()()221121211d ,or d 2w w ϕϕ=-=-⎰⎰E C E C S :E E E S :C C C (1)存储在材料中的能量仅取决于变形的初始状态和最终状态，并且独立于变形路径的。
为了获得名义应力张量P 作为势能函数的表达式，我们利用P 与F功率共轭，给出名义应力能量表达式如下：T T T :or ij ijw w P F ϕ∂∂∂∂====∂∂∂∂C S F P F C F (1)由于变形梯度张量F 不是对称的，所以名义应力张量的9个分量也不是对称的。
第十七章 塑性应力应变关系(本构关系)
• 广义胡克定律的比例式：
x y y z z x xy yz zx 1 x y y z z x xy yz zx 2G
弹性应力应变关系的特点
• 应力与应变完全呈线性关系，应力主轴与应变主 轴重合。 • 弹性变形是可逆的，应力与应变单值对应。 • 弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化， 泊松比υ＜0.5
' y
z
' z
xy
xy
yz
yz
zx
zx
d
d 3 2
x y
z x d x y y z z x 1 2 2 3 3 1 d 1 2 2 3 3 1
• 流动理论是描述材料处于塑性状态时，应 力与应变增量或应变速率之间关系的理论。 该理论针对是加载过程的任一瞬间，认为 应力状态确定的不是全量应变，而是该瞬 时的应变增量，从而撇开了加载路线和加 载历史的影响。
Levy—Mises方程
' ' ij ij d
x
' x
y
第五节 塑性应力应变关系（本构关系）
• 一、弹性应力应变关系———Hooke’s Law 对于各向同性材料，有广义虎克定律：
1 1 x y z ; xy xy E 2G 1 1 y y x z ; yz yz E 2G 1 1 z z x y ; zx zx E 2G
• 弹塑性
塑性应变
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本构关系，本质上说，就是物理关系，建立的方程称为物理方程，它是结构或者材料的宏观力学性能的综合反映。
广义上说，就是广义力-变形（F-D）全曲线，或者说是强度-变形规律。
一定要从“宏观角度”来理解“本构关系”。
因为各种材料或者构件或者结构，它在各种受力阶段的性能可有许多不同的具体反应，但是若绘制出它的广义力-变形（F-D）全曲线，则各种不同反应的现象在曲线上都会有相类似和相对应的几何特征点，即在宏观上是一致的。
从“宏观角度”出发看问题也是一种不错的学习和看问题的思路，在我们的研究和工程实践中都大有用途。
（1）本构关系有材料层次、构件截面层次、构件层次、结构层次等几个层次，不过现在的本构关系多是构件层次上的，对于结构层次的本构关系，目前研究较少，不过这会是以后的研究方向。
（2）另外，现在也多是一维本构，其经验模型已基本定型，而多维本构方面的强度准则的经验模型基本成熟，不过还有待进一步完善，多维本构也是是以后的发展趋势。
（3）现在的本构关系多是不考虑时间的影响的静本构关系，也发展到考虑短时间内影响的（譬如地震作用下几十秒内）动本构关系，其发展方向会是：即时（随时间发生变化的）本构关系，这有难度，不过总是有可研究的嘛！
wanghaiwei wrote:
另外，影响本构关系的因素有哪些？
影响本构关系的因素有很多：
（1）.材料本身的组成和材性；
（2）.受力状态：拉压剪扭弯等等；
（3）.荷载重复加卸作用；
（4）.偏心受力与否，构件截面非均匀受力与否，即有否应力或应变梯度；
（5）.砼的龄期;
（6）.荷载长期持续作用；
（7）.收缩；
（8）.徐变；。