高三模拟考试数学试题(文科)附答案
四川省成都市第七中学2024届高三零诊模拟考试数学(文 答案
1成都七中高2024届零诊模拟考试数学参考答案(文科)二、填空题：共4道小题，每题5分,共20分. 13. 00x ∃>，00tan x x ≤ 14. 0x y += 15. 80.5 16. 5[,2)4三、解答题：共5道大题，共70分.17. （12分）解：(1)由题设知2(1)()22f f x x x '−'=−+，取1x =−，则有(1)(1)32f f '−'−=+，即(1)6f '−=； 也即3213()2(1)32f x x x x f =−+−，取1x =，则有5(1)(1)6f f =−，即5(1)12f =. 故(1)6f '−=，5(1)12f =. ……6分 (2)由(1)知32135()2f x x x x =−+−，2()32(1)(2)f x x x x x '=−+=−−， 故max ()(1)12f x f ==，min ()(0)12f x f ==−. ……12分CF 中点H ，连接OH GH 、，如图所示：EBCF 是矩形，且2CB EB =，的中点，∴//OH BC 且12OH BC =， 12EF ，而//EF BC 且EF BC =. BC 且12AG BC =， ，是平行四边形，则//AO HG ，HG ⊂平面GCF ，.2224t tt−+，解得2,1()3t t==或舍去.故t的取值为23. ……12分21.（12分）解：(1)由()xf x e ax=−知()xf x e a'=−，1）当a e≤时，且有[1,)x∈+∞，()0f x'≥，()f x单增，故无极值；2）当a e>时，有(1,ln)x a∈，()0f x'<，()f x单减，而(ln,)x a∈+∞，()0f x'>，()f x单增，故()(ln)lnf x f a a a a==−极小值，()f x无极大值.综上，当a e≤时，()f x无极值；当a e>时，()f x极小值为lna a a−，()f x无极大值. ……4分(2)由(1)可知()1xf x e'=−，即有1111lntt t tλλ+>+−−，整理可令得(1)(1)()ln01tF t ttλλ+−=−>+, ……6分而22221(1)(1)(1)()(1)(1)t tF tt t t tλλλλ+−−'=−=++，……7分 1）当1λ≥时，且(1,)t∈+∞，有22(1)()0(1)tF tt tλ−'≥>+，()F t单增，()(1)0F t F>=，满足题设；……9分 2）当01λ<<时，且21(1,)tλ∈，有()0F t'<，()F t单减，()(1)0F t F<=，不满足题设；……11分综上，λ的取值范围为[1,)+∞. ……12分22.（10分）解：（1）由2sin2cosaρθθ=+，得22sin2cosaρρθρθ=+，故曲线的直角坐标方程为，即222()(1)1x a y a−+−=+；由sin()4πρθ−sin cos2ρθρθ−=，故直线的直角坐标方程为. ……4分（2）点P的直角坐标为(2,0)−，在直线上，而直线的标准参数方程为(t为参数），将其代入，整理可得.由题设知222(3)4(44)2(1)0a a a∆=+−+=−>，解得.又，.当1,1a a>−≠且时，有12,0t t>，则1212||||||||3)PM PN t t t t a+=+=+=+=解得2a=；当1a≤−时，有12t t≤，则1212||||||||||1|PM PN t t t t a+=+=−=−=，解得4a=−.故a的值为2或-4. ……10分C2222x y y ax+=+l2y x=+ll2xy⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222x y y ax+=+()2440t t a−++=1a≠12t t+=1244t t a=+3。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题(含解析)
江西省宜春市2023届高三高考模拟文科数学试题一、单选题1．（2023·江西宜春·统考模拟预测）设全集U =R ，{1A x x =<-或}2x ≥，{}2,1,0,1,2B =--，则()U B A ⋂=ð（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-2．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知复数z 满足()1i 2z +=-，则z 等于（ ）A ．1i--B ．1i-C ．1i+D ．1i-+3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）非零向量a r ，b r ，c r 满足()a cb ⊥-r r r ，a r 与b r 的夹角为π3，2b =r ，则c r 在a r 上的投影为（ ）A ．－1B．C ．1D4．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知实数,x y 满足约束条件0,30,1,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则23x yz -+=的最大值是（ ）A ．3B ．13CD ．1275．（2023·江西宜春·统考模拟预测）从棱长为2的正方体内随机取一点，则取到的点到中心的距离不小于1的概率为（ ）A ．π6B ．π4C ．π16-D ．π14-6．（2023·江西宜春·统考模拟预测）若30.04,ln1.04,log 1.04a b c ===则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．b<c<a7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数，公式和定理，若正整数,m n 只有1为公约数，则称,m n 互质，对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()()32,76ϕϕ==，()96ϕ=.记n S 为数列(){}3nϕ的前n 项和，则10S =（ ）A ．9312-B ．931-C ．10312-D ．1031-8．（2023·江西宜春·统考模拟预测）函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象(04)ω<<关于直线π6x =对称，将()f x 的图象向左平移π4个单位长度后与函数()y g x =图象重合，下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 图象关于直线π6x =对称B ．函数()g x 图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．函数()g x 最小正周期为π29．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在Rt ABC V 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（ ）ABC ．32π81D ．4π8110．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点，点A ，B 分别在两条渐近线上，且满足22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r ，20OA BF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B ．2CD11．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知数列{}n a 满足1321223n n a a a a n+++++=L ，若数列()21n n n a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1λ>B ．1λ≥C ．58λ≥D ．58λ>12．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()()()ln 1,ln (0)1m xf x xg x x m x m =+-=+>+，且()()120f x g x ==，则()2111em xx -+的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e二、填空题13．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知)114d πa x x -=+⎰，则到点(),0M a 的距离为2的点的坐标可以是___________.（写出一个满足条件的点就可以）14．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知点()()1,1,1,1A B ---，若圆22()(24)1x a y a -+-+=上存在点M 满足3MA MB ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值的范围是___________.15．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30--7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45-7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是___________________16．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH P 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE ④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）三、解答题17．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos a b c B +=.(1)求证：2C B =；(2)求3cos a bb B+的最小值.18．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,90,224AB CD DAB CD AB AD ∠====o ，点E ，F 分别是边,BC CD 的中点，现将CEF △沿EF 边折起，使点C 到达点P 的位置（如图2所示），且2BP =.(1)求证：平面APE ⊥平面ABD ；(2)求点B 到平面ADP 的距离.19．（2023·江西宜春·统考模拟预测）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号t12345竞拍人数y （万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy bt a =+，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）[)1,2[)2,3[)3,4[)4,5[)5,6[]6,7频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均数x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布()2,N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及方差2s 估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：()()()121ˆ 1.3niii nii x x y y bx x ==--=≈-∑∑，若()0,1Y N :，则( 1.11)0.8660<=P Y ，( 1.12)0.8686P Y <=.20．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()ln 2f x x x =--.(1)求函数的最小值；(2)若方程()f x a =有两个不同的实数根1x ，2x 且12x x <，证明：1223x x +>.21．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心，6为半径的圆与以2F 为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的右焦点2F 的直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且122k k =-，直线1l 交椭圆C 于,M N 两点，直线2l 交椭圆C 于,G H 两点，线段,MN GH 的中点分别为,R S ，直线RS 与椭圆C 交于,P Q 两点，,A B 是椭圆C 的左､右顶点，记PQA △与PQB △的面积分别为12,S S ，证明：12S S 为定值.22．（2023·江西宜春·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程11222122t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程cos 2sin 10m ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）已知函数()244f x x x =++-.(1)求不等式24410x x ++-≥的解集；(2)若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：11192a b b c c a m++≥+++.参考答案：1．D【分析】先计算得到U A ð，进而求出交集.【详解】{}12U A x x =-≤<ð，故(){}1,0,1U B A =-I ð故选：D 2．A【分析】利用复数的除法运算和共轭复数的定义求解.【详解】由题可得2(1i)1i 1iz -==--=-++，所以1i z =--，故选:A.3．C【分析】根据投影公式计算出正确答案.【详解】由于()a c b ⊥-r r r，所以()0,a c a b a c a a b b c ⋅-=⋅-⋅=⋅=⋅r r r r r r r r r r r ，由于a r 与b r 的夹角为π3，所以πcos 3a c a b a b a ⋅=⋅=⋅⋅=r r r r r r r，c r 在a r 上的投影为1a a c a a⋅==rr r r r .故选：C 4．B【分析】画出可行域，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界位置，由此求得23x y z -+=的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线20x y -+=到可行域边界点()1,1B 的位置，此时z 取得最大值为1max 12111,3z z --⨯+=-==，.故选：B.5．C【分析】根据几何概型概率问题的计算公式求得正确答案.【详解】点到中心距离小于等于1的几何体是以中心为球心，1为半径的球体.所以，取到的点到中心的距离不小于1的概率为334π1π31126⨯-=-.故选：C 6．A【分析】构造函数()()ln 1f x x x =+-，利用导数判断函数单调性，再结合对数的性质即可判断大小关系.【详解】因为0.04a =，ln1.04b =，3log 1.04c =，当()0,1x ∈时，设()()ln 1f x x x =+-，则()11011xf x x x -'=-=<++，所以()f x 在()0,1上单调递减且()00f =，所以()()()0.04ln 10.040.0400f f =+-<=，即()0.04ln 10.04>+，所以a b >；又因为3e >，所以ln 3ln e 1>=，3ln1.04log 1.03ln1.04ln 3=<，即b c >，所以c b a <<.故选：A.7．D【分析】根据题意分析可得()1323nn ϕ-=⋅，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】由题意可知：若正整数3nm ≤与3n不互质，则m 为3的倍数，共有1333n n -=个，故()1133332n n n n ϕ---=⋅=，∵()()113233233n n n n ϕϕ+-⋅==⋅，即数列(){}3n ϕ是以首项()32ϕ=，公比3q =的等比数列，故()1010102133113S -==--.故选：D.8．C【分析】由对称性求得ω，由图象平移变换求得()g x ，然后结合正弦函数的对称性，单调性，周期判断各选项．【详解】由已知ππππ662k ω+=+，62k ω=+，Z k ∈，又04ω<<，∴2ω=，ππ2π()sin[2()sin(2463g x x x =++=+，π2ππ2ππ,Z 632k k ⨯+=≠+∈，A 错；π2ππ2()π,Z 633k k ⨯-+=≠∈，B 错；π(0,3x ∈时，2π2π4ππ3π2(,)(,)33322x +∈⊆，C 正确；()g x 的最小正周期是2ππ2T ==，D 错．故选：C ．9．C【分析】根据旋转体的概念得出该旋转体是两个共底面的圆锥的组合体，作出轴截面，得出内切球于心O 位于对称轴AB 上，由平行线性质求得球半径r 后可得球体积．【详解】由题意该几何体是两个共底面的圆锥的组合体，如图是其轴截面，由对称性知其内切球球心O 在AB 上，O 到,CA CB 的距离,OE OF 相等为球的半径，设其为r ，因为C 是直角，所以OECF 是正方形，即CF CE r ==，由//OF CA 得OF BF CA BC =，即212r r -=，解得23r =，球体积为3344232ππ(π33381V r ==⨯=．故选：C ．10．C【分析】先求出AB 所在的直线方程，分别与两条渐近线联立方程组，求出,A B 两点的坐标，再根据22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r，求出,a c 之间的关系，从而可得双曲线的离心率【详解】由题意：OA b k a = ，20OA BF =u u u r u u u u r Q g ,2OA BF ∴⊥ ,2BF ak b ∴=-所以直线2BF 的方程为：()ay x c b=-- ①直线OA 的方程为：by x a =②直线OB 的方程为：by x a=-③联立①②可得：2a x cab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，即2(,)a ab A c c 联立①③可得22222a c x a babcy a b ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即22222(,a c abc B a b a b ---又22133OA OF OB =+u u u r u u u u r u u u r Q 22222221(,)(,0)(,)33a ab a c abcc c c a b a b-∴=+--可得222222233()3()a a c c c a b ab abcc a b ⎧=+⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，化简可得223a c = ，即2e 3=，e ∴= 故选：C 11．C【分析】根据1321223n n a a a a n+++++=L 求得 n a ,再因为对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立，()max n S λ>，求出实数λ的取值范围.【详解】1321223n n a a a a n+++++=L ①,31212231n n a a a a n -++++=-L ②,由①-②可得，当 2n ≥ 时,2n na n=,当211,2n a ==,当2n ≥,()()()122211222111n n n n n n n a n n n n +⎛⎫++==- ⎪ ⎪++⨯⨯+⨯⎝⎭,当1,n =()2318n n n a +=+，所以()()2312131111311228223221282212n n n n S n n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ,对任意*N n ∈不等式n S λ<恒成立,所以 ()max n S λ>,()21332528882221181n n S n +⎛⎫=+<+=⎪ ⎪-⨯+⎝⎭⨯.所以58λ≥.故选:C.12．A【分析】根据题意表示出()()21121ln 1e ,x x x x m ++==从而推导出21e 1,xx =+将问题转化为()21111e em m x x m--+=，利用导数求得函数的最值.【详解】()()()()()ln 10,ln 10,1ln 1,11m mf x x x m x x x x =+-=+-==++++()ln0,e ,x xg x x m x m=+==由题意知，()()21121ln 1e ,x x x x m ++==即()()2221121ln 1e e ln e ,x x xx x x m ++===因为0m >，所以21e 1,11xx >+>，设()ln ,1p x x x x =>，则()1ln 0p x x '=+>，()()211e ,xp x p m +==所以211e x x +=，所以()22121111e e e e x m m m x x x m---+==，1(),0e m m t m m -=>，则11(),em mt m --'=当01m <<时，()0;t m '>当1m >时，()0;t m '<所以()t m 在()0,1时单调递增，在()1,+∞时单调递减，所以max ()(1)1,t m t ==故选：A.13．22(2)4x y -+=上的任意一点都可以【分析】根据定积分的几何意义先求出a ，再写出到点(),0M a 的距离为2的点表示一个圆.【详解】由于11d x -⎰表示以()0,0为圆心，1为半径且在第一、二象限的圆弧与坐标轴围成的面积，其面积是半径为1的圆的面积的一半，即为π2.所以)111144π4d d 202ππ2πa x x x x --==⨯+=+=⎰⎰,到点()2,0M 的距离为2的点是圆22(2)4x y -+=上的点.故答案为：22(2)4x y -+=上的任意一点.14．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设(,)M x y ，由数量积的坐标表示求得M 点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得a 的范围．【详解】设(,)M x y ，则(1,1),(1,1)MA x y MB x y =----=---u u u r u u u r，2(1)(1)(1)3MA MB x x y ⋅=---+--=u u u r u u u r，即22(1)4x y ++=，M 在以(0,1)-为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆22()(24)1x a y a -+-+=有公共点，所以2121-≤≤+，解得1205a ≤≤．故答案为：12[0,]5．15．112【分析】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，他们能搭乘同一班公交车，则4560x ……，4560y ……．试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为A ，由此能求出结果．【详解】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为6时x +分、6时y +分，则3060x ……，4575y ……，则试验包含的所有区域是{(,)|3060x y x Ω=……，4575}y ……，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为4550{(,)|4550x A x y y ⎧=⎨⎩…………或50555055x y ⎧⎨⎩…………或5560}5560x y ⎧⎨⎩…………，则他们能搭乘同一班公交车的概率5531303012P ⨯⨯==⨯．故答案为：11216．①④【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.【详解】对①：当H 为DE 的中点时，取EA 中点为M ，连接,MH MB ，因为,H M 分别为,ED EA 的中点，故可得MH //AD ，12MH AD =，根据已知条件可知：BG //1,2AD BG AD =，故MH //,BG MH BG =，故四边形HMBG 为平行四边形，则H G //MB ，又MB ⊂平面,ABE HG ⊄平面ABE ，故H G //面ABE ，故①正确；对②：因为ED ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，故,DE DA DE DC ⊥⊥，又四边形ABCD 为矩形，故DA DC ⊥，则,,DE DA DC 两两垂直，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：则()()()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,0,0,2,1,2,0A C B E G ，设()0,0,H m ，[]0,2m ∈，若GH AC ⊥，则()()1,2,2,2,020GH AC m ⋅=--⋅-=-≠u u u r u u u r，不满足题意，故②错误；对③：()1,2,GH m =--u u u r，()2,2,2BE =--u u u r ，()()()()1222262GH BE m m ⋅=-⨯-+-⨯-+=+u u u r u u u r，GH ==u u u r，BE =u u u r []0,2m ∈，,cos GH =u u u r u=[]0,2m ∈，令2325m y m +=+，设32t m =+，[]2,4t ∈，23t m -=，则29492453ty t t t==-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，当[]2,4t ∈时，根据对勾函数的性质得4949454,42t t ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦，则236,549y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当25y =时，cos ,GH BE u u u r u u u r有最小值，最小值为，故③错误；对④：由题可得CF ⊥平面ABCD ，又面ABCD 为正方形，∴,,AB BC CF AB BC CF C ⊥⊥⋂=，∴AB ⊥平面BCF ，则AB ，BC ，CF 两两垂直，∴AF 为三棱锥A BCF -的外接球的直径，又22222212219AF AB BC CF =++=++=，∴三棱锥A BCF -的外接球表面积为9π，故④正确.故答案为：①④.17．(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明.（2）将问题转化32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=24cos cos B B =+，根据第一问解得π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后结合不等式求解.【详解】（1）在ABC V 中，2cos a b c B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B C B +=，又()πA B C =-+，因为()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅,所以sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=,所以()sin sin C B B -=,又sin 0B >,所以0πC B C <-<<，且πB C B C +-=<,所以B C B =-，故2C B =.（2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，所以π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos ,2a b c B C B +==，所以32cos 2cos cos a b c B b b B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅24cos cos B B=+≥当且仅当24cos cos B B =即cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即当且仅当π4B =时等号成立，所以当π4B =时，3cos a bb B +的最小值为18．(1)证明见解析【分析】（1）连接,BD BF ，由等腰三角形的性质和勾股定理，证明PE EF ⊥，PE BE ⊥，可证得PE ⊥平面ABD ，即可证得平面APE ⊥平面ABD .（2）取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由勾股定理求,,PD PA PO ，又B PAD P ABD V V --=，利用体积法求点B 到平面ADP 的距离.【详解】（1）证明：由题意，连接,BD BF ，因为224CD AB AD ===，//AB CD ，90,DAB F ∠=o 是边CD 的中点，所以2BF CF ==，则BC =又E 是边BC 的中点，则EF BC ⊥，在折起中PE EF ⊥.又222224BE PE BP +=+==，所以PE BE ⊥，又BE EF E =I ，BE ⊂平面ABD ，EF ⊂平面ABD ，故PE ⊥平面ABD ，又PE ⊂平面APE ，所以平面APE ⊥平面ABD .（2）由（1）中取AD 的中点O ，连接,,OE DE PO ，由（1）可知，PE ⊥平面ABD ，所以,,PE DE PE AE PE OE ⊥⊥⊥，而()132OE AB DC =+=，112OD AD ==，所以DE =同理AE =所以PD PA PO ======所以PAD V 是等腰三角形，所以1122PAD S AD PO =⋅=⨯=V 又B PAD P ABD V V --=，即1133PAD ABD S h S PE ⋅=⋅V V ，所以ABD PADS PE h S ⋅==VV =，即点B 到平面ADP19．(1)0.41.7ˆ12=+yt ，预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人(2)（i ） 3.5x =，2 1.7s =；（ii ）预测竞拍的最低成交价为4.943万元【分析】（1）由已知公式求得线性回归方程，6t =代入回归方程可得预测值；（2）（i ）由均值与方差公式计算出均值与方差；（ii ）由预测值求得报价在最低成交价以上人数占总人数比例，然后由正态分布的性质求得预测竞拍的最低成交价．【详解】（1）11(12345)3,(1.7 2.1 2.5 2.8 3.4) 2.555t y =++++==++++=，55211149162555, 1.7 4.27.511.21741.6,ii i i i tt y ===++++==++++=∑∑，241.653 2.5ˆˆ0.41, 2.50.413 1.275553ba -⨯⨯∴===-⨯=-⨯，y 关于t 的线性回归方程0.41.7ˆ12=+y t 2023年5月份对应6t =，所以0.416 1.27 3.73ˆ=⨯+=y所以预测2023年5月份参与竞拍的人数为3.73万人.（2）（i ）由题意可得：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯22(5.5 3.5)0.1(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯+-⨯=（ii ）2023年5月份实际发放车牌数是5000，设预测竞拍的最低成交价为a 万元，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为5000100%13.40%37300⨯≈根据假设报价X 可视为服从正态分布()22,, 3.5, 1.7, 1.3===≈N μσμσσ，令 3.51.3--==X X Y μσ，由于( 1.11)0.8660<=P Y ，1( 1.11)0.1340P Y ∴-<=，3.5() 1.110.86601.3a P Y a P Y -⎛⎫∴<=<== ⎪⎝⎭，所以 3.5 1.111.3a -=得 4.943=a ，所以预测竞拍的最低成交价为4.943万元．20．(1)1-(2)证明见解析【分析】(1)利用导数法求函数最值的步骤解求解；(2)根据题意构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而利用函数的最值得出()()212f x f x >-，再结合（1）中函数的单调性即可得证.【详解】（1）由题意可知：函数()ln 2f x x x =--的定义域为：()0,∞+.则()11f x x'=-，令()0f x '=，解得1x =.当()0,1x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增.所以1x =为极小值点，且()()min 11f x f ==-.所以函数()f x 的最小值为1-.（2）根据题意可知：()()12f x f x =，根据（1）设101x <<，21x >，构造函数()()()2F x f x f x =--，()0,1x ∈.()()()()()221202x F x f x f x x x -'''=+-=<-，所以()F x 在()0,1上单调递减.则有()()10F x F <=，也即()()1120f x f x -->.因为()()12f x f x =，所以()()2120f x f x -->，也即()()212f x f x >-因为121x ->，21x >，由（1）可知()f x 在()1,+∞上单调递增，所以212x x >-，也即122x x +>.由已知21x >，所以1223x x +>.21．(1)2211612x y +=；(2)证明见解析．【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得,a c ，再计算出b 后得椭圆方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点,R S 的坐标，当直线PQ 斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，代入整理得12,k k 是一个一元二次方程的根，由韦达定理得12k k ，从而得出,m n 关系，得出直线PQ 过定点E ，再确定直线PQ 斜率不存在时也过这个定点E ，然后结合该定点得出三角形面积比．【详解】（1）依题意得12622c a a⎧=⎪⎨⎪+=⎩，则4,2,a c =⎧⎨=⎩则22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=；（2）直线()11:2l y k x =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由122(2)11612y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616480k x k x k +-+-=，所以2112211634k x x k +=+，211221164834k x x k -=+，且0∆>，则中点211221186,3434k k R k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可算222222286,3434k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭①当直线斜率存在时，设直线:PQ y mx n =+，点,R S 在直线PQ 上，点,R S 坐标代入整理得()()21122284630,84630,m n k k n m n k k n ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩易知12,k k 为方程()284630m n k k n +++=的两个根，则123284n k k m n==-+，所以1611n m =-，所以直线16:11PQ y mx m =-，则直线恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，由对称性可知12k k =-，由122k k =-，不妨设12k k ==，所以221222128816343411k k k k ==++，直线16:11PQ x =过16,011⎛⎫⎪⎝⎭，根据①②可知，直线PQ 恒过点16,011E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为PQA △的面积11212S AE y y =⋅-，PQB △的面积21212S BE y y =⋅-，所以121641511167411AE S S BE +===-.【点睛】方法点睛：椭圆中的直线过定点问题的解决方法：斜率存在时，设出直线方程为y mx n =+，根据已知条件确定,m n 的关系后，由直线方程得出定点坐标．本题中，动直线PQ 是由点,R S 确定的，因此可由已知直线12,l l 确定,R S 的坐标，再把坐标代入所设直线方程，发现12,k k 是一个一元二次的两根，这样可由韦达定理求得,m n 的关系，得出结论．22．(1)()22441x y x -=≥(2)4m <<【分析】（1）在曲线C 的参数方程中消去参数t ，可得出曲线C 的普通方程，利用基本不等式求出x 的取值范围，即可得解；（2）求出直线l 的普通方程，分析可知直线l 与双曲线2214y x -=的右支有两个交点，将直线l 与双曲线2214y x -=方程联立，利用直线与双曲线的位置关系可得出关于m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）因为112122t t x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭()222222221422,2441122,2t t t t x x y x y ⎧=++⎪⎪-=≥⎨⎪=+-⎪⎩则则曲线的普通方程为()22441x y x -=≥（2）cos 2sin 10m ρθρθ+-=则210mx y +-=由得()22210,1,14mx y y x x +-=⎧⎪⎨-=≥⎪⎩得()22162170m x mx -+-=有两个不等正根()22222160,Δ468160,20,1617016m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪⎪->-⎩则4m <<23．(1)[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）利用零点分段法分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即m 的值，再利用柯西不等式证明即可.【详解】（1）不等式24410x x ++-≥，所以224410x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩，解得103x ≤-，或2424410x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩，解得24x ≤<，或424410x x x ≥⎧⎨++-≥⎩，解得4x ≥，所以原不等式解集为[)10,2,3∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.（2）()244242f x x x x x x =++-=++-++()2406x x ≥+--+=，当且仅当2x =-时取得，即min ()6f x =，所以6a b c m ++==，因为()1112a b c a b b c a c ⎛⎫++⨯++ ⎪+++⎝⎭()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()()()111a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥=++++⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦2≥()21119=++=，当且仅当12a b c ===时取等号，所以()1119922a b b c c a a b c m ++≥=+++++成立.。
陕西省渭南市2023届高三下学期文科数学一模试题含解析
渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）（答案在最后）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名､学校､班级､准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,1,2,4A =-，{}220B x x x =-≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2-B.{}1,2C.{}1,4D.{}1,4-2.设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（） A.2i B.2C.2i - D.2-3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（） A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 4.已知1x >，则41y x x =+-取得最小值时x 的值为（） A.3B.2C.4D.55.若实数,x y 满足约束条件2240x y x y y +>⎧⎪+⎨⎪⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.126.已知函数()3sin2cos2,f x x x x R =-∈，则正确的是（） A.()22f x -B.()f x 在区间()0,π上有1个零点C.()f x 的最小正周期为2πD.23x π=为()f x 图象的一条对称轴 7.《卖油翁》中写道：“（油）自钱孔入，而钱不湿”，其技艺让人叹为观止，已知铜钱是直径为15mm 的圆，中间有边长为5mm 的正方形孔，若随机向铜钱滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中而钱不湿的概率为（）A.916B.14C.419π- D.49π8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图1，这是一个青花瓷圆盘.该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径3R =，小圆半径2r =，点P 在大圆上，过点P 作小圆的切线，切点分别是,E F ，则PE PF ⋅=（）A.49B.59C.4D.5 9.已知函数()f x 满足：①定义域为R ，②()1f x +为偶函数，③()2f x +为奇函数，④对任意的[]12,0,1x x ∈，且12x x ≠，都有()()()()12120x x f x f x -->，则7211,,333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是（） A.7211333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B.7112333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C.1172333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D.1127333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A.69 B.66 C.579 D.30611.已知以圆22:(1)4C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆在第一象限交于A 点，B 点是抛物线22:8C x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为（）A.1B.2C.1-D.812.已知直线(,0)y ax b a R b =+∈>是曲线()xf x e =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +等于（）A.2e +B.3C.1e +D.2二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区外来务工人员数 50004000350030002500留在当地的人数占比80% 90% 80% 80% 84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的经验回归方程为0.8135ˆˆyx a =+.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为__________万元.（参考数据：取0.81353629.29⨯=）14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，焦点到C 的一条渐近线的距离为1，则C 的渐近线方程为__________.15.宝塔山是延安的标志，是革命圣地的象征，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，在宝塔山的山坡A 处测得15CAD ∠=，从A 处沿山坡直线往上前进85m 到达B 处，在山坡B 处测得30,45CBD BCD ∠∠==，则宝塔CD 的高约为__________m .(2 1.41≈，6 2.45≈，结果取整数）16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体ABCD 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过A ，B ，C 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 前n 项和n T . 18.（12分）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）： 记样本均值为x ，样本标准差为s . （1）求,x s ；（2）将质量在区间(),x s x s -+内的零件定为一等品. （i ）估计这台机器生产的零件的一等品率；（ii ）从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P . 19.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 为11A C 的中点，2AB BC ==，1C F AB ⊥（1）求证：AB BC ⊥；（2）若1C F ∥平面ABE ，且12C F =，求点A 到平面BCE 的距离.20.（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F ； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F 到圆心E 的距离为4，按上述方法折纸.（1）以点F ､E 所在的直线为x 轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（2）若过点()1,0Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在定点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()()ln af x x x a R x=--∈有两个极值点()1212,x x x x <. （1）求实数a 的取值范围，并求()f x 的单调区间； （2）证明：()2ln2f x >.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标xOy 中，曲线C 的参数方程为223131t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数，t ∈R ），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AOB △的面积. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于x 的不等式123x x t +-+-≥有解. （1）求实数t 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，已知a ，b ，c 为正数，且23abc M =，求()22a b c ++的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（文科）参考答案一､选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BCCACADBCAAD二､填空题（每小题5分，共20分）13.818.614.3y x =15.4416.61-3π-2分，第二空3分） 三､解答题17.解：（1）∵13a =∴131S =∴()31221n S n n n=+-⨯=+ ∴22n S n n =+当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=- 又13a =适合上式，因此41n a n =- （2）()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-⋅+-+⎝⎭11111114377114143129n nT n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 18.（1）()1110.59.99.410.710.09.610.810.19.79.3100101010x =+++++++++=⨯= 22222221(10.510)(9.910)(9.410)(10.710)(10.010)(9.610)10s ⎡=-+-+-+-+-+-⎣ 22221(10.810)(10.110)(9.710)(9.310) 2.50.2510⎤+-+-+-+-=⨯=⎦，所以0.5s =. （2）①()(),9.5,10.5x s x s -+=，质量在区间()9.5,10.5内的零件定为一等品，样本中一等品有：9.9,10.0,9.6,10.1,9.7共5件，用样本估计总体，这台机器生产的零件的一等品率为51102= ②从5件一等品中，抽取2件，有：()()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7,10.0,9.6，()()()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,10.1,9.6,9.7,10.1,9.710种情况，如下：抽取两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的情况为：()()()()9.9,10.0,9.9,9.6,9.9,10.1,9.9,9.7，()()()10.0,10.1,10.0,9.7,9.6,9.7共7种，这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率710P =. 19.（1）证明：1CC ⊥平面,ABC AB ⊂平面1,ABC CC AB ∴⊥，又1111,AB C F CC C F C ⊥⋂=，且11,CC C F ⊂平面11BCC B ，AB ∴⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11,BCC B AB BC ∴⊥.（2）过F 做FM AC ∥交AB 于M ，连接EM ，11,EC AC FM EC ∴∥∥1C F ∥平面1,ABE C F ⊂平面1EMFC ，平面1EMFC ⋂平面,ABE EM = 1,C F EM ∴∥∴四边形1EMFC 是平行四边形，11,2FM EC AC FM ∴==∴是ABC 的中位线. 221111,3,2CF BC CC C F CF ∴===-= 232,2 3.EBCEB EC BC S ∴===∴== 设A 到平面EBC 的距离为d ，则13333A BEC dV d -==， 1123223323A BEC E ABC V V --==⨯⨯⨯=又2d ∴=，即A 到平面EBC 的距离为2.20.解：（1）如图，以FE 所在的直线为x 轴，FE 的中点O 为原点建立平面直角坐标系设(),M x y 为椭圆上一点，由题意可知，64MF ME AE EF +==>= 所以M 点轨迹是以F ，E 为焦点，长轴长24a =的椭圆 因为24c =，26a =，所以2c =，3a =，则2225b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22195x y +=（2）解：由已知：直线l 过()1,0Q ，设l 的方程为1x my =+，联立两个方程得221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()225910400m y my ++-=， ()22100160590m m ∆=++>得m ∈R ，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1221059m y y m -+=+，1224059y y m -=+（*）， ()()1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t ⋅=⋅=--+-+- 1212121211TM TN y y y y k k x t x t my t my t⋅=⋅=⋅--+-+- ()()()1222121211y y m y y m t y y t =+-++-，将（*）代入上式，可得上式()()222405991t m t -=-+-，要使TM TN k k ⋅为定值，则有290t -=， 又∵0t >，∴3t =，此时109TM TN k k ⋅=-， ∴存在点()3,0T ，使得直线TM 与TN 斜率之积为定值109-，此时3t =21.（1）解：()f x 的定义域为()()220,,,0x x af x x x∞-+='+>， 令()2g x x x a =-+，其对称轴为12x =， 由题意知12,x x 是方程()0g x =的两个不相等的实根，则()Δ14000a g a =->⎧⎨=>⎩，所以104a <<，即实数a 的取值范围是10,4⎛⎫⎪⎝⎭. 当()10,x x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为增函数； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()12,x x 上为减函数； 当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()2,x ∞+上为增函数.. （2）证明：由（1）知22221,1,2x a x x ⎛⎫∈=-+⎪⎝⎭， ()222222222ln 21ln x x f x x x x x x -+=--=--，令()121ln 12h x x x x ⎛⎫=--<<⎪⎝⎭，则()12120x h x x x -=-=>'，所以()h x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()11ln ln222h x h ⎛⎫>=-= ⎪⎝⎭，从而()2ln2f x >.22.（1）由223123tx t y ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪⎩得x t y =，代入2231y t =+ 整理得22230x y +-=，即(2233x y +-=，故曲线C 的普通方程为(()22330x y y +-=≠.（2）直线l 的普通方程为330x -+=，此时直线过圆心(3，AB 即为直径3O 到直线的距离32d =，13333222OAB S =⨯=△23.（1）因为()()12123x x x x +--+--=≤，当且仅当2x ≥等号成立 所以12x x +--的最大值为3.因为不等式()3f x t -≥有解，所以33t -≤，解得06t ≤≤， 所以实数t 的最大值6M =. （2）由（1）知，123abc =因为()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时，等号成立），()()22322233422322343412336ab c ab ab c ab ab c abc +=++⋅⋅==⨯=≥，当且仅当22ab c =，即6a b ==23c =时，等号成立，所以()22a b c ++的最小值为36.。
高三文科数学模拟考试(含答案解析)
伊川县实验高中2014-2015学年期中模拟考试高三年级数学（文）试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M ＝{x ｜2x ＋x －6＜0}，N ＝{x ｜1≤x ≤3}，则M ∩N 等于（ ）A ．[2，3]B ．[1，2]C ．（2，3]D ．[1，2） 2．复数z ＝32ii－＋＋的共轭复数是（ ） A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋i D ．－1－i 3．直线xcos140°＋ysin40°＝0的倾斜角是（ ）A ．40°B ．50°C ．130°D ．140°4若sin cos sin cos αααα＋－＝12，则tan2α＝（ ）A ．34－B ．34C ．43－D ．435．阅读右图的程序框图．若输入m ＝4，n ＝6，则输出a 、i 分别等于（ ）A ．12，2B ．12，3C ．24，3D ．24，2 6．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面， 则下列命题中成立的是（ ） A ．若c ∥α，c ∥β，则α∥β B ．若b ⊂α，c ∥α，则b ∥cC ．b ⊂α，且c 是a 在α内的射影，若b ⊥c ，则a ⊥bD ．当b ⊥α，b ⊥β时，则α⊥β7．设f （x ）是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈（0，1）时，f （x ）＝12log (1)x －，则函数f （x ）在（1，2）上（ ）A ．是增函数，且f （x ）＜0B ．是增函数，且f （x ）＞0C ．是减函数，且f （x ）＜0D ．是减函数，且f （x ）＞0 8．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）则该几何体的体积（单位：m 3）为（ ）A ．72 B ．92 C ．73 D ．94 9．向量a ＝（x ，2），b ＝（4，y ），若a ⊥b ，则39y x＋的最小值为（ ）A ．2 D ．210．点P 在曲线y ＝3x －x ＋2上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A ．[0，2π] B ．[0，2π）∪[4π3，π） C ．[4π3，π) D ．（2π，4π3]11．设点P 是双曲线2221x a b2y －＝（a ＞0，b ＞0）与圆222x a b 2＋y ＝＋在第一象限的交点，其中F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且｜PF 1｜＝2｜PF 2｜，则双曲线的离心率为（ ）A 12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边．已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c - ＝ac －bc ，则sin b Bc的值为（ ）A ．2 B ．12 C ．3 D ．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在等比数列{n a }中，如果5a 和9a 是一元二次方程2x ＋7x ＋9＝0的两个根，则4a 7a 10a 的值为_________．14. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =2b =,sin cos B B +=则角A的大小为 _ .15、设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于一点P ，若12F PF ∆为等腰三角形，则该椭圆的离心率是________．P16．若点 P （x ，y为坐标原点，则OA OP ⋅的最大值_______三、解答题（本大题共6小题。
四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(解析版)
遂宁市高中2023届零诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}{1,2A =-，()}{20B x x x =->，那么A B ⋃等于（）A.{0x x <或}2x >B.{0x x <或}2x ≥C.{1x x <-或}2x ≥ D.{10x x -<<或}2x ≥【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.【详解】()20x x ->，解得0x <或2x >，所以{|0B x x =<或}2x >，所以A B ⋃={0x x <或}2x ≥.故选：B2.已知复数(2i)(1i)z =+-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.i -B.3i- C.1- D.3-【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算求解得3i z =-，再求虚部即可.【详解】解：因为2(2i)(1i)22i i i 3i z =+-=-+-=-，所以，z 的虚部为1-.故选：C3.设m ，n 为实数，则“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.20.2m n >和2211log log m n>，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数2log y x =为()0+∞，上的单调递增函数，又2211log log m n >，所以110m n>>，所以0m n <<，又函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，所以0.20.2m n >，所以“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的充分条件，因为函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，又0.20.2m n >，所以m n <，当m 为负数时，1m没有对数值，所以“2211log log m n >”不是“0.20.2m n >”的必要条件，所以“2211log log m n>”是“0.2m n >”的充分不必要条件，A 正确，故选：A .4.若{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则31a a -等于（）A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，进而建立方程组求解得2d =，再计算31a a -即可.【详解】解：根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4614a a +=，735S =所以46171281472135a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以3124a a d -==.故选：D5.已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=，则tan 2β等于（）A.18B.17C.47-D.18-【答案】D 【解析】【分析】由2()()βαβαβ=+--，然后根据正切的和差公式求解即可．【详解】解：tan()3αβ+= ，tan()5αβ-=，tan 2tan[()()]βαβαβ∴=+--tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ+--=++-3511358-==-+⨯．故选：D ．6.若实数x ，y 满足32122x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立322x y x =⎧⎨=-⎩，解得()3,4A由z x y =+，得y x z =-+，z 为直线y x z =-+的纵截距.由图可知，当直线y x z =-+过点()3,4A 时，直线的纵截距z 最大，且max 347z =+=.故选：B.7.{}n a 为公比大于1的正项等比数列，且3a 和26a a 是方程2540x x -+=的两根，若正实数x ，y 满足4x y a +=，则12x y+的最小值为（）A.1B.32+C.2D.3+【答案】B 【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到2635a a a a =，结合韦达定理2365a a a +=，2364a a a =，得到233540a a -+=，求出31a =或4，结合公比1q >，求出2q =，得到432a a q ==，利用基本不等式“1”的妙用求出12x y+的最小值.【详解】由题意得：2365a a a +=，2364a a a =，因为{}n a 为公比大于1的正项等比数列，所以2635a a a a =，故3355a a a +=，2354a a =，由2354a a =得5234a a =，将其代入3355a a a +=得：233540a a -+=，解得：31a =或4，设公比为q ，则1q >，当31a =时，52344a a ==，所以2534a q a ==，因为1q >，解得：2q =当34a =时，523414a a ==，所以253116a q a ==，因为1q >，不合题意，舍去；所以432a a q ==，即2x y +=，()1211212131232222xx y x y x y y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎭⎝，当且仅当2y x xy=，即2,4x y ==-时，等号成立，故选：B8.已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x=+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()A.10x y +-=B.320x y --=C.330x y --=D.20x y --=【答案】C 【解析】【分析】根据()()0f x f x +-=判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x ＜0时的解析式，求出f (x )在x ＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解．【详解】已知()f x 满足()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数，当0x >时，0x -<，因此()()()2211f x x f x f x x x x -=-+=-⇒=-，则x ＞0时，()()332121f x xx-'=--=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线斜率()321131k f '==+=，又()211101f =-=，∴曲线()y f x =在点()1,(1)f ，即(1，0)处的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()cos 2()g x x xf x =-，对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，若12log 7.1a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.9(2)b g =， 1.1(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.a b c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】由题知函数()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，进而根据0.91.1222log 7.133<<<<结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()cos 2()cos 2g x x x f x x xf x g x -=----=-=，即函数()g x 为偶函数，因为对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()()1222log 7.1log 7.1log 7.1a g g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，因为0.91.1222log 7.133<<<<，所以，()()()0.91.122log7.13g g g <<，即b a c <<.故选：A10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A.若sin sin A B >，则A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C.若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 可以是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角,A B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角,,A B C 的关系，再借助内角和为π计算即可得到.D.通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后判断即可.【详解】A.因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A B >.故选项A 正确.B.因为ABC 为锐角三角形，所以2A B C ππ+=->，即2A B π>-，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.故选项B 正确.C .由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-,则C A B =-或C A B π+-=（舍），则A B C A π=+=-,即2A π=，则ABC 一定为直角三角形.故选项C 正确.D .()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦- ()tan tan tan tan tan 1A B C A B ∴+=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ∴++=-+=>又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角,所以ABC 为锐角三角形.故选项D 错误.故选：D.11.在ABC 中，3AC =，5BC =，D 为线段BC 的中点，12AD BC =，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则2AE CB ⋅=（）A.73B.4C.7D.6-【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得ABC 为直角三角形，2A π=，进而得216AB =，再根据AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥得22722AE CB C D B A AB AC =-⋅==⋅ .【详解】解：因为在ABC 中，D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，即2AD AB AC =+ ，因为3AC =，5BC =，12AD BC =，所以22242cos AD AB AC AC AB A =++ ，即2166cos AB AB A =+，因为BC AC AB=-，所以2222cos BC AC AB AC AB A =+- ，即2166cos AB AB A =-，所以，22166cos 6cos AB AB A AB AB A =+=-，即12cos 0AB A = ，所以cos 0A =，因为()0,A π∈，所以2A π=，即ABC 为直角三角形，所以22216AB BC AC=-=因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，所以AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥，所以()()22222AE CB CB C A AD DE AD A B B ACD ⋅⋅=⋅=⋅-=+ ()()221697AB AC AB AC AB AC =+-=-=-= 故选：C12.已知向量,a b的夹角为60°，22a b == ，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112112x nx x nx a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A.)3e ,∞⎡+⎣ B.[)e,+∞ C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得1a b ⋅=，于是由数量积的应用可得22a b -= ，对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，则将1221121n 1n 2x x x x a b x x ->-- 转化为1221121n 1n 2x x x x x x ->-，即21211n 2ln 2x x x x --<，则构造函数()ln 2x f x x-=得函数在(),m +∞上单调递减，求导判断()f x 单调性，即可得m 的取值范围.【详解】解：已知向量,a b 的夹角为60°，22a b == ，则1cos 602112a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=所以22a b -== 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221121n 1n 2x x x x x x ->-，则1221121n 1n 22x x x x x x -<-所以2121211n 1n 22x x x x x x -<-，即21211n 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()23ln 0xf x x'-==，解得3e x =，所以()30,ex ∈，()0f x ¢>，()f x 在()30,e x ∈上单调递增；()3e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()3e ,x ∞∈+上单调递减，所以3e m ≥.故选：A .第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上．2．试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b 垂直，则实数m 等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.【详解】向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b垂直，则22(0,4)(1,)40a b m m m m m ⋅=-⋅+=-=，解得0m =或4m =，故答案为：0或4.14.2353π8lg +2lg 2sin 22+-=__【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数、三角函数等知识确定正确答案.【详解】原式()()232352lg lg 212=++--252lg 415lg105162⎛⎫=+⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：615.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[0,4)【解析】【分析】由题意，命题的否定为真命题，分别讨论0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】因为命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，所以命题的否定：2,10x R ax ax ∀∈-+>为真命题，当0a =时，10>恒成立，符合题意，当0a ≠时，由题意得：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<.综上实数a 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4)16.正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__①函数()f x 的图像关于直线x π=②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π；③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．【答案】②③【解析】【分析】根据(0)(2)f f π≠判断①；根据导数的几何意义求切线方程判断②；根据导数求解函数的单调性判断③；结合函数的单调性判断④.【详解】解：对于①，由题知(0)0f =，1(2)2sin 22cos 2f πππππ=⋅-=，显然(0)(2)f f π≠，故函数()f x 的图像不关于直线x π=对称，故①错误；对于②，1()sin cos f x x x x =⋅-，2cos sin ()cos cos x x x f x x x+'=-，所以2cos sin ()cos 0cos f ππππππ+'=-=，1()sin cos f πππππ=⋅-=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线方程为y π=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π，故正确；对于③，因为()2322cos 1cos sin cos sin cos ()cos cos x x x xx x x x f x x x-++-'==2221sin 2sin cos sin sin 2cos cos x x x x x x x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，令()1sin 22g x x x =+，则()cos 210g x x =+≥'恒成立，所以，()1sin 22g x x x =+在R 上单调递增，因为()00g =，所以，(),0x ∈-∞时，()0g x <；()0,x ∈+∞时，()0g x >，因为函数()f x 的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭所以，当95,,1682x ππππ⎡⎤⎛∈⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭时，()0g x >，()0f x '>，所以，函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于④，函数的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()()()()1sin cos f x x x f x x -=-⋅--=--，故函数()f x 为奇函数；由③知，当02x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，函数()f x 为增函数，所以，当x 从0趋近于2π时，函数值()f x 趋近于+∞，故函数()f x 无最大值，当x 从π趋近于2π时，函数值()f x 趋近于-∞，故函数()f x 无最小值，故④错误.所以，正确的结论有：②③故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合}{32A x x =-<≤，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(){}3,12A B =- （2）(](),42,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据题意得{|1B x x =<或2}x ≥，再求交集运算即可；（2）由题知|1{B x x a =≥+或}x a <，A B Ü，再根据集合关系求解即可.【小问1详解】解：当1a =时，()g x ==由题意201x x -≥-，解得1x <或2x ≥，所以{|1B x x =<或2}x ≥，又{}|32A x x =-<≤，所以(){}3,12A B =- .【小问2详解】解：由题意(1)0x a x a -+≥-，即()[(1)]00x a x a x a --+≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x a ≥+或x a <，所以|1{B x x a =≥+或}x a <，因为p 是q 的充分不必要条件，所以，集合A 是集合B 的真子集，所以2a >或13a +≤-，解得2a >或4a ≤-故实数a 的取值范围(](),42,-∞-+∞ ．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足3520a a +=，48a =，数列{}n b 的通项公式为212n n b +=（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n p q a b =，求数列12(1)n n p q n n ⎧⎫+-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）12n n a -=（2）21nn n ++【解析】【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)可得22n n p q -=，利用裂项相消法和组合求和法求数列21(1)n n ++的前n 项和T n .【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，由3520a a +=，48a =，可得2333208a a q a q ⎧+=⎨=⎩，即得22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），故4414822n n n n a a q ---==⨯=，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=；【小问2详解】若n n p q a b =，则12122n n p q -+=，故121n n p q -=+，即22n n p q -=，即1111222(1)(1)1n n p q n n n n n n +-=+=-++++所以1111112222231n T n n =-++-+++-++11111(12222311n nT n n n n n =-+-++-+=+++ .19.已知函数323()2a f x x x axb +=-++（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1(,1)2.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再分类讨论求解不等式即可作答.（2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答.【小问1详解】函数323()2a f x x x ax b +=-++定义域R ，求导得()()()233313a f x x a x a x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭'，若3a >，当13a x <<时，()0f x '<，当1x <或3a x >时，()0f x ¢>，即()f x 在(1,)3a上单调递减，在(,1)-∞和(,)3a+∞上单调递增；若3a =，恒有()0f x '≥．即()f x 在R 上单调递增；若3a <，当13ax <<时，()0f x '<；当3a x <或1x >时，()0f x '>，即()f x 在(,1)3a 上单调递减，在(,3a-∞和(1,)+∞上单调递增，所以当3a <时，函数()f x 的递减区间是(,1)3a，递增区间是(,)3a -∞和(1,)+∞；当3a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当3a >时，函数()f x 的递减区间是(1,)3a ，递增区间是(,1)-∞和(,)3a +∞.【小问2详解】当1a =时，32()2f x x x x b =-++，令23259()()(53)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-，因函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，则函数()y g x =图象与x 轴有三个交点，而2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--，由()0g x '>，解得1x <或2x >，由()0g x '<，解得12x <<，因此函数()y g x =在(,1),(2)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是得()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-，()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-，依题意，1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<，所以实数b 的取值范围为1(,1)2．20.已知函数21()cos sin sin()32f x x x x π=+⋅+-（1）求函数()f x 的对称中心及()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，1()2f C =，22225b c a =-，求sin A 的值．【答案】（1）对称中心为1(,Z 2124k k -∈ππ；单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3（2）2114【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得()11sin 2264f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换求解即可；（2）结合（1）得1sin(262C π+=，进而得3C π=，再根据余弦定理和已知条件得3b a =，c =，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】解：函数2311()sin (cos sin )cos 222f x x x x x =++-()22211cos sin 1cos cos cos 22x x x x x x x =+-+=+111112cos2)sin 2224264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．由26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈故所求对称中心为1,,Z 2124k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈令0k =，有36x ππ-≤≤，令1k =，有2736x ππ≤≤又[]0,x π∈，所以所求的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3【小问2详解】解：因为1()2f C =，所以111sin(2)2642C ++=π，即1sin(262C π+=又在ABC 中(0,)C π∈，132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以5266C ππ+=，即3C π=，由余弦定理知，2222cos a b c ab C ab +-==，又22225b c a =-所以22230b ab a --=，解得3b a =，c =，由正弦定理知，sin sin a c A C=，所以sin sin 14a C A c ===21.已知函数()ln f x x x =+，()e x g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）令42e ()4e 11x x x τ=+---，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ>成立；（3）若不等式()()()0R g x af x a +≥∈在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析；（3）[)e -+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数()g x 的最小值，利用基本不等式求()x τ的最大值，由此证明()()g x x τ>；（3）由已知可得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，设e x x μ=，则ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，利用导数求函数ln y μμ-=的最大值，可求a 的取值范围．【小问1详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)1f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率为2，故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】因为()e x g x x =，当2x ≥时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以2min ()(2)2e g x g ==，又4422e e ()4e 14e (1)11x x x x x τ⎡⎤=+--=--+⎢⎥--⎣⎦，因为[)2,x ∞∈+，所以11x -≥，4e 01x >-，所以()224e 2e x τ≤-，当且仅当4e 11x x -=-，即[)2e 12,x =+∈+∞时取等号，即当2e 1x =+时，[]2max ()2e x τ=，由于()g x 的最小值等于()x τ的最大值，且不是在同一点取得，故有()()g x x τ>成立【小问3详解】由不等式()()0g x af x +≥在()1,+∞上恒成立，即不等式e (ln )0x x a x x ++≥在()1,+∞上恒成立，得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，令e x x μ=，由(2)e x x μ=在()1,+∞上单调递增，所以e μ>，则ln 0a μμ+≥在(e,)+∞上恒成立，ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，令()(e)ln μϕμμμ-=>，则21ln (0(ln )μϕμμ-'=<()ϕμ∴在(e,)+∞递减，()(e)eϕμϕ<=-所以实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程］22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求与直线MN 平行且过原点的直线l 的极坐标方程及MN 的值．【答案】（1）221x y +=；220x y x +-=（2）5()6R πθρ=∈【解析】【分析】（1）求曲线1C 的普通方程只需把,x y 平方即可，求曲线2C 的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简即可.（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN 的方程，再根据平行求出直线l 的方程，进而可求直线l 的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出MN 的值．【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），可得2222cos sin 1x y αα+=+=，即曲线1C 的普通方程为221x y +=；曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭⇒2sin cos ρθρθ+⇒22x y x +=+.故曲线2C的直角坐标方程为220x y x +--=.【小问2详解】由（1）得22221100x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨+--=⎪⎩即直线MN的方程为10x +-=，则与直线MN 平行且过原点的直线l 的方程为33y x =-，其倾斜角为56π所以直线l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈；设曲线221:1C x y +=的圆心(0,0)到直线MN 的距离为d ，则12d =，故MN ==．故：MN =.［选修4—5：不等式选讲］23.已知函数()()2R f x x x a x a =-+∈（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若()2f x x <+对于任意的13,42x Î恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{12xx <<∣或1}x >（2）5,26⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；（2）根据题意1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立，再求对应的最值即可得答案.【小问1详解】解：当1a =时，不等式()1f x >，即2|1|1x x x -+>，所以12(1)1x x x x ≥⎧⎨-+>⎩或12(1)1x x x x <⎧⎨-+>⎩，即得21210x x x ≥⎧⎨-->⎩或212310x x x <⎧⎨-+<⎩，解得112x <<或1x >，所以不等式()1f x >的解集为1{|12x x <<或1}x >【小问2详解】解：因为()2f x x <+对任意的13,42x Î恒成立，所以，||1x x a -<对任意的13,42x Î恒成立，即1||x a x -<，即11x a x x x-<<+，故只要1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立即可，因为12x x +≥=，13,42x Î，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，所以min 1()2x x+=，令1()g x x x=-，13,42x Î，因为函数1,y x y x==-在13,42x Î上单调递增，所以()g x 在13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增，从而max 35()()26g x g ==，所以，526a <<，即实数a 的取值范围是5,26⎛⎫⎪⎝⎭第21页/共21页。
高三数学文科模拟考试 (含答案)
高三数学文科模拟考试 (含答案)高三模拟考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考生作答时，请将答案涂在答题卡上，不要在试题卷和草稿纸上作答。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：请使用2B铅笔在答题卡上涂黑所选答案对应的标号。
第Ⅰ卷共12小题。
1.设集合A={x∈Z|x+1<4}，集合B={2,3,4}，则A∩B的值为A.{2,4}。
B.{2,3}。
C.{3}。
D.空集2.已知x>y，且x+y=2，则下列不等式成立的是A.x1.D.y<-113.已知向量a=(x-1,2)，b=(x,1)，且a∥b，则x的值为A.-1.B.0.C.1.D.24.若___(π/2-θ)=2，则tan2θ的值为A.-3.B.3.C.-3/3.D.3/35.某单位规定，每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费。
某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米。
A.13.B.14.C.15.D.166.已知命题p：“存在实数x使得e^x=1”，命题q：“对于任意实数a和b，如果a-1=b-2，则a-b=-1”，下列命题为真的是A.p。
B.非q。
C.p或q。
D.p且q7.函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当-1≤x≤1时，f(x)=|x|。
若函数y=f(x)的图象与函数y=log_a(x)（a>0且a≠1）的图象有且仅有4个交点，则a的取值集合为A.(4,5)。
B.(4,6)。
C.{5}。
D.{6}8.已知函数f(x)=sin(θx)+3cos(θx)（θ>0），函数y=f(x)的最高点与相邻最低点的距离是17.若将y=f(x)的图象向右平移1个单位得到y=g(x)的图象，则函数y=g(x)图象的一条对称轴方程是A.x=1.B.x=2.C.x=5.D.x=6删除了格式错误的部分，对每段话进行了简单的改写，使其更流畅易懂。
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析
湖南省高三下学期模拟考试(文科)数学试卷-附含答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,|1A B x N x =-=∈<，则A B ⋃=（ ） A ．{}0B ．{}1,0-C ．{1,-0，1}D ．(),1-∞2．设m 、n 是两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β且m ⊥n ，则α⊥βD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β3．已知角α的终边经过点()sin150,cos30A ，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．在中国传统佳节元宵节中赏花灯是常见的活动.某单位拟举办庆祝元宵的活动，购买了A ，B ，C 三种类型的花灯，其中A 种花灯4个，B 种花灯5个，C 种花灯1个，现从中随机抽取4个花灯，则A ，B ，C 三种花灯各至少被抽取一个的情况种数为（ ） A ．30B ．70C ．40D ．845．已知函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数，则函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为（ ） A ．27-B ．25-C ．23-D ．21-6．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作.222:1(0)y C x b b-=>的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若P 为C 右支上的一点，F 为C 的左焦点，则PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩（0a >且1a ≠）．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,11,4⋃二、多选题9．某中学为了解高三男生的体能情况，通过随机抽样，获得了200名男生的100米体能测试成绩（单位：秒），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ） A ．直方图中a 的值为0.38B ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为54D ．由直方图估计本校高三男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒10．已知狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的值域为[]0,1B ．()f x 定义域为RC ．()()1f x f x +=D ．()f x 是奇函数11．已知拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，以,A B 为切点的抛物线的两条切线的交点为P ，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．当l 与M 相切时，则l 的斜率是C ．点P 在定直线上D ．以AB 为直径的圆与直线1y =-相切12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,M N 分别为1,BB AB 的中点.下列说法正确的是（ ）A ．点M 到平面1ANDB ．正方体1111ABCD A BCD - C ．面1AND 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得圆的面积为34πD ．以顶点A三、填空题13．已知角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则化简()()()()sin 3sin sin 2cos 4παπααπαπ+---+--得___________. 14．若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为________.15．若函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增，则4a b +的最小值是__________． 16．定义x 是与实数x 的距离最近的整数（当x 为两相邻整数的算术平均值时，则x 取较大整数），如451,2,22,2.5333====‖‖‖‖，令函数()K x x =，数列{}n a 的通项公式为n a =其前n 项和为n S ，则4S =__________；2023S =__________.四、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin sin 1sin sin sin sin A b BB C b A c B+=++(1)求角C ；(2)CD 是ACB ∠的角平分线，若CD =，ABC的面积为c 的值. 18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,(1)n S a n n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭的公差为13的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a ++⋅⋅⋅+< 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是斜边PA的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点(1)求证：平面DFM ⊥平面PBC ；(2)若直线MF 与平面ABCD EDM 与平面DMF 夹角的余弦值． 20．国家发改委和住建部等六部门发布通知提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升.现阶段我国生活垃圾有填埋､焚烧､堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式.根据国家统计局公布的数据，对2013-2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y （单位：座）进行统计，得到如下表格：(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y 与变量x 之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；(2)求出y 关于x 的经验回归方程，并预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用（2）所求的经验回归方程预测吗？请简要说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑ 参考数据：88882211112292,204,730348,12041i iii i i i i i y x y x y ========∑∑∑∑257385.84=≈ 21．已知函数()f x ax =(1)当1a =-时，则证明：当1x ≥x .(2)当0a =时，则对任意的1x ≥都有()22x m mf x x -≥-成立，求m 的取值范围.22．已知函数()()ln 1f x x ax =+-在12x =-处的切线的斜率为1．(1)求a 的值及()f x 的最大值． (2)证明：()1111ln 123n n++++>+()*N n ∈ (3)若()()e xg x b x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．参考答案与解析1．C【分析】首先简化集合B ，然后根据并集的定义得结果. 【详解】B={x ∈N|x ＜1}={0}A ∪B={-1，0，1}∪{0}={-1，0，1}． 故选C ．【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 2．B【分析】A. 利用空间直线的位置关系判断；B.利用线面垂直的性质定理判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用平面与平面的位置关系判断.故选：B 3．C【分析】根据三角函数的定义直接求得答案.【详解】由题意可知12A ⎛ ⎝⎭则tan 2α=故选：C. 4．B【解析】由题可得,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种，列式计算即可. 【详解】由题意可知,,A B C 三种花灯各至少被抽取一个的情况共有两种：A 种花灯选2个，B 种花灯选1个，C 种花灯选1个； A 种花灯选1个，B 种花灯选2个，C 种花灯选1个.故不同的抽取方法有211121451451304070C C C C C C +=+=(种).故选：B. 5．D【分析】先由奇函数的性质求a ，再由导数的几何意义求切线的斜率.【详解】因为函数()32233f x x ax x =-++是定义在R 上的奇函数所以()()f x f x -=-，即()()()3232233233x a x x x ax x -+-+=----所以3232233233x ax x x ax x -+--= 所以0a =所以()323f x x x =-+，故()263f x x '=-+所以()221f '=-所以函数()f x 的图像在点()()2,2f --处的切线的斜率为21-. 故选：D. 6．C【分析】根据双曲线的离心率求得双曲线C 的方程，求得双曲线右焦点到渐近线的距离，结合双曲线的定义求得所求的最小值.【详解】由题意可知1,ca e c a====2224,2b c a b =-=∴= 双曲线方程为22:14y C x -=，一条渐近线方程为20x y -=焦点)2F 到渐近线20x y -=的距离为2==d 22PF a PF =+，2PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为2d =所以PF 与P 到C 的一条渐近线的距离之和的最小值为224a +=. 故选：C 7．C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴根据三角函数的图象可知零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∈N *．要求ω最大，则周期最小，∴()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∴ω＝2k ﹣1；当9ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，则由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ． 8．C【分析】根据原点对称的性质，求出当40x -≤<时函数关于原点对称的函数，条件转化为函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合的方法，再结合对数函数的性质进行求解即可【详解】当40x -≤<时，则函数|3|y x =+关于原点对称的函数为|3|y x -=-+，即|3|,(04)y x x =--+≤≤ 若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价于函数()log a f x x =与|3|,(04)y x x =--+≤≤只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若1a >时，则()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点，满足条件； 当4x =时，则|43|1y =--+=-若01a <<时，则要使()log a f x x =与函数|3|,(04)y x x =--+≤≤有唯一的交点则要满足(4)1f <-，即1log 41log a a a -<-=解得故114a <<； 综上a 的取值范围是()1,11,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：C 9．BC【分析】A ：根据频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1，进行求解判断即可； B ：根据众数的定义，结合频率直方图进行判断即可； C ：根据直方图，结合题意进行判断即可；D ：根据中位数的定义，结合结合频率直方图进行判断即可. 【详解】A ：因为频率直方图中，所有小矩形的面积之和为1所以(0.080.160.30.520.30.120.080.04)0.510.4a a ++++++++⨯=⇒= 因此本选项说法不正确；B ：分布在[)13.5,14小组的矩形面积最大，因此众数出现在这个小组内，因此估计众数为13.51413.752+=，因此本选项说法正确； C ：高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的小组有：频率之和为：(0.080.160.3)0.50.27++⨯=因此估计估计本校高三男生100米体能测试成绩不大于13秒的人数为0.2720054⨯=，所以本选项说法正确；D ：设中位数为b ，因此有(0.080.160.30.4)0.50.52(13.5)0.513.56b b +++⨯+-=⇒≈ 所以本选项说法不正确 故选：BC 10．BC【分析】根据函数的解析式逐个判定即可. 【详解】对A, ()f x 的值域为{}0,1,故A 错误. 对B, ()f x 定义域为R .故B 正确.对C,当x 是有理数时1x +也为有理数,当x 是无理数时1x +也为无理数故()()1f x f x +=成立.故C 正确. 对D, 因为()01f =,故D 错误. 故选：BC【点睛】本题主要考查了新定义函数性质的判定,属于基础题. 11．ACD【分析】根据题意求出p 的值，判断A ；根据直线和圆相切求出直线的斜率，判断B ；设直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，求出以,A B 为切点的抛物线的两条切线的方程，结合根与系数的关系求得点P 坐标，判断C ；求出弦AB 的长以及弦AB 的中点到抛物线准线的距离，即可判断D.【详解】对于A ，由题意拋物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2 即F 与圆上的点(0,1)-的距离为2，则||1,2OF p =∴=，A 正确；对于B ，过点(0,1)F 的动直线l 与M 相切时，则斜率必存在，设l 的方程为1y kx =+1=，解得k =B 错误；对于C ，设1122,,(()A x y B x y ),，由24x y =可得12y x '=联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩ 消掉x 得2440x kx --= 216(1)0k ∆=+>所以12124,4x x k x x +==-设在点,A B 的切线斜率分别为12,k k ，则1212,22x x k k == 所以抛物线在点A 点的切线方程为111()2x y y x x -=-，即21124x x y x =-①同理可得在点B 的切线方程为 22224x x y x =-②由①②可得1222P x x x k +==，将122P x x x +=代入①得1214p x xy ==-所以P 点坐标为(21)k -，，即点P 在定直线1y =-上，C 正确；对于D ，由题意知12||42AB x x p k =++=+ AB 的中点的横坐标为124222x x kk +== 可得AB 的中点到抛物线准线1y =-的距离为121||2k AB +=则以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，故D 正确 故选：ACD 12．BCD【分析】A 选项由等体积法11M AND D AMN V V --=求得点M 到平面1AND 的距离即可；B 选项由外接球的直径为体对角线即可判断；C 选项由面1AND 经过外接球球心求得其外接圆圆心，即可求解；D 选项将球面与正方体的表面相交所得的曲线分为两类，按照弧长公式计算即可.【详解】1111211112,2242228AND ANM AD S S =⨯⨯==⨯⨯=，设M 到平面1AND 的距离为d ，由11M AND D AMN V V --=，即1111133AND ANM d S D A S ⨯⨯=⨯⨯，解得4d =，故A 错误；正方体1111ABCD A B C D -=外接球的体积为343π⨯=⎝⎭故B 正确；易得面1AND 经过正方体1111ABCD A B C D -其圆的面积为34π，故C 正确； 如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B ､面ABCD 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C ､面11CC D D 和面1111D C B A 上.在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上因为1A E ==，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 的长为6π=，而这样的弧共有三条. 在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，则小圆的圆心为B ，半径为1BF A E ==所以弧FG 2π=，这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长33=D 正确. 故选：BCD. 13．34-##0.75-【分析】根据任意角三角函数的概念，可得3tan 4α=-，再利用诱导公式对原式化简，可得原式等于tan α，由此即可求出结果.【详解】因为角α终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-又()()()()()()()()sin 2sin sin 3sin sin 2cos 4sin 2cos 4ππαπαπαπααπαπαπαπ⎡⎤⎡⎤++-++--⎣⎦⎣⎦=-+---++()()sin sin sin sin tan sin cos sin cos πααααααααα+-===--所以()()()()sin 3sin 3sin 2cos 44παπααπαπ+--=--+--.故答案为：34-14．40【分析】由1()(2)n a x x x x +-的展开式中的各项系数的和为2，令x =1，求得1a =，写出51(2)x x-的展开式的通项，分别乘以x ，1x再令x 的指数为0求得r 值，则展开式中的常数项可求． 【详解】解：由1()(2)n a x x xx+-的展开式中的各项系数的和为2 令1x =，得5(1)12a +=，得1a =． ∴5111()(2)()(2)n a x x x x xxxx+-=+-51(2)x x-的通项55521551(2)()(1)2,0,1,2,3,4,5r r r r r r r r T C x C x x r ---+=-=-⋅⋅⋅=．∴511()(2)x x x x+-的展开式中的通项有5625(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅和5425(1)2r r r r C x ---⋅⋅⋅．令420r -=，得2r =，则展开式中的常数项为2325(1)280C -⋅⋅=； 令620r -=，得3r =，则展开式中的常数项为3235(1)240C -⋅⋅=- 所以该展开式的常数项为80-40=40. 故答案为：40． 15．-4【分析】对函数求导可得：22()x bx af x x++'=，函数()f x 在区间[1,2]上单调递增等价于()f x '在区间[1,2]上大于等于零恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，利用二次函数的图像讨论出a ，b 的关系，再结合线性规划即可得到4a b +的最小值． 【详解】 函数21()ln 22f x a x x bx =++在区间[1,2]上单调递增 ∴22()20a x bx af x x b x x ++'=++=≥在区间[1,2]上恒成立，即220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴：x b =-当1b -≤，即1b ≥-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：1(1)210b h a b ≥-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)14(1)3a b +=+⨯-=-当2b -≥，即2b ≤-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：2(2)440b h a b ≤-⎧⎨=++≥⎩ 由线性规划可得：min (4)44(2)4a b +=+⨯-=-当12b <-<，即21b -<<-时，则220x bx a ++≥在区间[1,2]上恒成立等价于：221()0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩ 则244a b b b +≥+，由于24b b +在21b -<<-上的范围为(4,3)--，则443a b -<+<-综上所述4a b +的最小值是-4.【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题． 16． 3400345【分析】根据数列新定义可知数列n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn，且满足第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=，即可求解. 【详解】因为()()123411111,1,,,2122a a a a K K ======== 所以41111322S =+++=；根据()K x x =以此类推，将n a =()11111111111111,1,(,,,),(,,,,,),,(,,,)2222333333n nn第n 组有2n 个数，且每组中所有数之和为122n n⨯=设2023a =1n +组中则(22)20232n n+≤，可得(1)2023n n +≤解得44n ≤ 所以(20231140032444345452023S K=+=⨯+⨯=故答案为：3 40034517．(1)3C π=；(2)c =【分析】（1）先由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，化简整理得222a b c ab +-=，再由余弦定理求得cos C ，即可求解；（2）先由面积求得8ab =，再由角平分线得AD b BD a=，结合平面向量得a bCD CA CB a b a b =+++，平方整理求得6a b +=，再由（1）中222a b c ab +-=即可求出c 的值.【详解】（1）由正弦定理得21a b b c ba cb+=++，即1a b b c a c +=++，整理得()()()()a a c b b c a c b c +++=++ 化简得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，则3C π=；（2）由面积公式得11sin 22ab C ab ==，解得8ab =，又CD 是ACB ∠的角平分线，则1sin261sin 26ACD BCDCA CD SCA AD SCB BD CB CD ππ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 即AD b BD a =，则()b b a b CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB a b a b a b a b=+=+=+-=+++++ 所以()()()2222222222a b a ab b CD CA CB CA CA CB CB a b a b a b a b a b ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪++⎝⎭+++，即()()()2222222162132a b ab a b ab a b a b a b =+⋅⋅++++ 整理得()2221633a b a b =+，又8ab =，解得6a b +=，则()222220a b a b ab +=+-= 由（1）知22220812c a b ab =+-=-=，则c =.18．(1)2n a n =；(2)证明见解析.【分析】（1）利用题意建立等式求出n S ，然后利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出通项即可；（2）先将2221111123n+++⋅⋅⋅+放大为11111223(1)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯-，然后裂项求和即可. 【详解】（1）因为11a =，所以11122S =⨯ 又因为(1)n S n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是公差为13的等差数列，所以11(1)(1)23n S n n n =+-+ 所以1(1)(21)6n S n n n =++.当2n ≥时，则21,1n n n a S S n n -=-==时，则11a =也满足上式.所以{}n a 的通项公式是2n a n =；（2）当1n =时，则1112a =<，不等式成立； 当2n ≥时，则22212111111111111231223(1)n a a a n n n++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+⨯⨯- 11111111222231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)证明见解析【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得PD ⊥平面ABCD ，从而PD BC ⊥，又BC CD ⊥，由线面垂直的判定定理得BC ⊥平面PCD ，则BC DF ⊥，又DF ⊥PC ，得DF ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）取CD 的中点N ，则//NF PD ，112NF PD ==结合（1）得NF ⊥平面ABCD ，结合线面角的定义得FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角，求得MN ，MC ，建立空间直角坐标系，分别求出平面EDM 、DMF 的法向量，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为PAD 是斜边PA的长为PD DA ⊥ 2PD DA == 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD DA =，PD ⊂平面PAD ∴PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥又BC CD ⊥，PD CD D ⋂=和,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD 因为DF ⊂平面PCD ，∴BC DF ⊥∵PD DC =，F 是棱PC 的中点，∴DF ⊥PC又⋂=PC CB C ，,PC CB ⊂平面PBC ，∴DF ⊥平面PBC ． 又DF ⊂平面DFM ，∴平面DFM ⊥平面PBC ． （2）如图，取CD 的中点N ，连接MN ，NF则//NF PD 112NF PD == 由（1）知PD ⊥平面ABCD ，∴NF ⊥平面ABCD ∴FMN ∠是直线MF 与平面ABCD 所成角 ∴1tan FMN MN ∠==∴MN 23MC =以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系设平面EDM 的法向量为(),,m a b c =，平面DMF 的法向量为(),,n x y z = 则02023DE m a cDM m a b⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3a =-，则()3,1,3m =- 有02023DF n y zDM n x y ⎧=⋅=+⎪⎨=⋅=+⎪⎩，令3x =-，则()3,1,1n =--∴cos 19m n m n m n⋅⋅===⋅∴平面EDM 与平面DMF ． 20．(1)答案见解析(2)ˆ41.12101.46yx =+ 513 (3)答案见解析【分析】（1）根据相关系数的公式，即可代入求值，根据相关系数的大小即可作出判断 （2）利用最小二乘法即可计算求解（3）根据相关关系不是确定的函数关系，而受多因素影响，即可求解. 【详解】（1）1234567892292573,8282x y +++++++====相关系数()()88niii ix x y y x y x yr ---⋅==∑∑957312041817270.9820.585.84-⨯⨯=≈≈⨯因为y 与x 的相关系数0.98r =，接近1，所以y 与x 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.（2）()()()8118222118ˆ8n iii ii i niii i x x y y x y x ybx x xx====---⋅==--∑∑∑∑957312041817272241.12814220484-⨯⨯==≈-⨯ 5739ˆˆ41.12101.4622ay bx =-≈-⨯= 所以y 与x 的线性回归方程为ˆ41.12101.46yx =+ 又2022年对应的年份代码10x =，当10x =时，则41.1210101.46512.6513ˆ6y=⨯+=≈ 所以预测2022年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数为513.（3）对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，不能由（2）所求的线性回归方程预测，理由如下（说出一点即可）：①线性回归方程具有时效性，不能预测较远情况；②全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数有可能达到上限，一段时间内不再新建； ③受国家政策的影响，可能产生新的生活垃圾无害化处理方式. 21．(1)证明见解析. (2)[2,1]-【分析】（1）方法1：由分析法可证得结果. 方法2：换元法求()f x 的最大值即可证得结果.（2）设出不等号两边的函数，转化为对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立，对参数分类讨论，分别研究两个函数的单调性、最值即可. 【详解】（1）方法1：∵1x ≥ ∴2(1)0x -≥ ∴原命题得证. 方法2：对称轴1t =，()h t 在[1,)+∞上单调递减 ∴max ()(1)0h t h ==∴()0h t ≤，即：当1x ≥时，则()0f x ≤恒成立即：当1x ≥x .（2）当0a =时，则()f x =即：对任意的1x ≥都有22x m x -≥成立令22()g x x m =-， ()h x x = 即：对任意的1x ≥都有()()g x h x ≥成立 当1x =时，则211m m -≥-，故21m -≤≤. ①当20m -≤≤时，则()g x 在[1,)+∞上单调递增∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()1g x m ≥-()h x 在[1,)+∞上单调递减，∴max ()(1)1h x h m ==-，∴()1h x m ≤-此时2min max ()()20g x h x m m -=--≥∴min max ()()g x h x ≥即()()g x h x ≥，故20m -≤≤符合.②当01m <≤时，则由（1）知1x ∀≥x ≤恒成立∴1x ∀≥ mx x ≤∴1x ∀≥，0x ≤ 即：1x ∀≥ ()0≤h x又∵()g x 在[1,)+∞上单调递增，∴2min ()(1)1g x g m ==-，∴2()10g x m ≥-≥∴1x ∀≥ ()()g x h x ≥ ∴01m <≤符合. 综述：21m -≤≤【点睛】对于x D ∀∈，()()f x g x ≥恒成立求参数，可以先取特殊值确定参数的初步范围，再利用下面的两种方法.方法1：当x D ∈时，则min [()()]0f x g x -≥； 方法2：当x D ∈时，则min max ()()f x g x ≥. 求最值的方法：方法1：分离参数求最值；方法2：分类讨论研究函数的最值.22．(1)1a = max (0)f x =；(2)证明见解析；(3)[)0,∞+【分析】（1）由题意可得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，可求出a 的值，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，令()1N x k k *=∈，则有11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后利用累加法可证得结论； （3）由于()()00,0f g b ==，所以()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥，然后分0b =和0b >两种情况讨论即可.【详解】（1）函数的定义域为()()11,,1f x a x'-+∞=-+． 由已知得112f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，得11112a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得1a =． 此时()()()1ln 1,111x f x x x f x x x-'=+-=-=++． 当10x -<<时，则()0f x '>，当0x <时，则()0f x '<所以()f x 在(1,0)-上单调递增，()f x 在(0,)+∞单调递减所以()max ()00f x f ==；（2）由（1）得()ln 1x x +≤，当且仅当0x =时，则等号成立 令()1N x k k *=∈，则11ln 1k k ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭ 所以()()1ln 1ln 1,2,3,,k k k n k >+-=将上述n 个不等式依次相加，得()1111ln 123n n++++>+； （3）因为()()00,0f g b ==，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥①0b =时，则显然成立②0b >时，则由()()e x g x b x =-，得()()e 1x g x b '=-．当()1,0-时，则()()0,g x g x '<单减，当()0,x ∈+∞时，则()()0,g x g x '>单增所以()g x 在0x =处取得极小值，即最小值()()min ()00g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立综合①②可知实数b 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是先由()()00,0f g b ==，从而可得0b ≥，然后分情况讨论即可得答案，考查数转化思想，属于较难题.。
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高三年级第二次模拟考试数学试题（文科）
总分：100分 考试时间:100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若集合A=},21log |{2
1
≥x x 则=A C R （ ）
A ．),2
2(]0,(+∞⋃-∞ B.),22
(+∞
C. ),22[]0,(+∞⋃-∞
D. ),22[+∞2.函数f(x)=23x
x +的零点所在的一个区间是( )
A.（-2，-1）
B.（-1,0）
C.（0,1）
D.（1,2）
3.已知集合},lg |{x y R x M =∈= },1|{2+=∈=x y R y N 则集合M ∪N 等于（ ）
),0.(+∞A ),1.[+∞B Ｃ．),(+∞-∞ ]1,0.(D
４．函数()()
2log 31x
f x =+的值域为（ ）
A. ()0,+∞
B. )0,+∞⎡⎣
C. ()1,+∞
D. )1,+∞⎡
⎣ 5. 已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为
31
812343
y x x =-+-， 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
（A ）13万件 (B)11万件 (C) 9万件 (D)7万件
6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5
()2
f -=( )
(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)1
2
7. 下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ）”的是
( )
（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数
8.若a,b 是非零向量，且b a ⊥，||||b a ≠，则函数))(()(a b x b a x x f -+=是( )
（A ）一次函数且是奇函数 （B ）一次函数但不是奇函数
（C ）二次函数且是偶函数 （D ）二次函数但不是偶函数
9.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. １０．设0abc >，二次函数()2f x ax bx c =++的图象可能是( )
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．)
11. 已知函数f （x ）＝232,1,
,1,
x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ .
12.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________。
13.在ABC ∆中。
若1b =，3c =，23
c π
∠=
，则a= 。
14.若曲线2
y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则.____________,
==b a 15．函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ① 函数f x （）=2
x （x ∈R ）是单函数；
② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）； ③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共4小题,每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
17.已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
(II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
18.设()321f x x ax bx =+++的导数()f x '满足(1)2,(2),f a f b ''==-其中常数,a b R ∈. （Ⅰ）求曲线 在点()1,(1)f 处的切线方程。
（Ⅱ）设()().x
g x f x e -'=求函数()g x 的极值。
19.已知函数b ax x x f ++=2)(2的图像过点（1，3），且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立，函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称。
（1）求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)=g(x)-)(x f λ在（-1，1]上是减函数，求实数λ的取值范围。
文科答案
1-5：ABAAC 6-10:ACACD 11:2 12.),2
1
(+∞- 13:1 14: 1,1a b ==15:2,3 16.解
在ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得
cos ∠2222AD DC AC AD DC
+-=10036196121062+-=-⨯⨯, ∴∠ADC=120°, ∠ADB=60° 在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°,
∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B
=∠, ∴AB =3
10sin 10sin 60256sin sin 452
AD ADB B
⨯∠︒===︒
. 17.
18.解析：（Ⅰ）因
()321f x x ax bx =+++，故()232f x x ax b '=++，
令1x
=，得()132f a b '=++，由已知()12f a '=，解得3b =-
又令2x =，得()2124f a b '=++，由已知()2f b '=-，解得3
2
a =-
因此
()323312f x x x x =-
-+，从而()512
f =- 又因为
()123f a '==-，故曲线().y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()5312y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭
，即
6210x y +-=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()2333.x g
x x x e -=--，从而有()()239.x g x x x e -'=-+，令()0g x '=，解得
120,3x x ==。
当(),0x ∈-∞时，()0g x '<，故()g x 在(),0-∞为减函数，
当()0,3x ∈
时，()0g x '>，故()g x 在()0,3为增函数，
当()3,x ∈
+∞时，()0g x '<，故()g x 在()3,+∞为减函数，
从而函数()g
x 在10x =处取得极小值()03g =-，在23x =出取得极大值()3315g e -=.
19.解：(1)由于f(x)的图像过点（1，3），于是1+2a+b=3,又对称轴为x=-1,则有-a=-1,a=1,b=0,于是x x x f 2)(2+=.顶点
为（-1，-1），故g(x)的顶点为（1，1），开口下下，g(x)= .221)1(22+-=+-x x x
(2)F(x)=1,2)22()1(2
≠++--λλλx x
.当,1=λ时成立；当1>λ时，减区间是],1,1(),11[-⊇+∞-+λ
λ
满足则.1>λ；当1<λ时，减区间是],1,1(]11,
(-⊇-+-∞λ
λ
于是10<≤λ，综上，知.0≥λ。