六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 (1)整数与整除(无解析)
沪教版六年级上数学第一章整数与整除复习学案
整数与整除（1.1-1.3）1.1整除的意义一、梳理概念1、整数的概念：（1）和统称为自然数，最小的自然数是，自然数的个数是无限的（2）、和统称为整数，零既不是正整数，也不是负整数2、整除的概念（1）整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数，余数为0，则称能被整除，能整除（2）整除和除尽的区别被除数商整除都是整数，除数不等于0商是整数，余数为0除尽不一定是整数，除数不等于0商是整数或有限小数，没有余数二、拓展提高1、植树节全班同学分成四个小组植树，每个小组种的树的棵树相同，小明统计时说：全班共植树274棵，小明统计的数字对吗？为什么？2、一个三位数，十位上是最小的自然数，百位上是最小的正整数，三个数位上数字之和是4，求这个三位数3、观察下列一组自然数：7，10，13，16……的排列规律，试写出第n个自然数4、计算：105+110+115+120+…+195+2001.2因数和倍数一、梳理概念1、因数和倍数的意义：在正整数范围内，如果数a能被数b整除，就叫做的倍数，就叫做的因数，这两者是互相依存的。
2、因数的关系应用：（1）求一个正整数的所有因数（2）一个正整数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是3、倍数的有关应用：（1）求一个正整数的倍数的方法及在规定范围内找出一个数的倍数（2）一个正整数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身二、拓展提高1、如果一个数既是30的倍数，又是120的因数，那么下列说法中正确的是（）A.这样的数只有1个B.这样的数有3个C.这样的数有无数多个D.这样的数不存在2、能被48整除的数一定是下面（）的倍数A.18B.24C.36D.962、一个数的最大因数与最小因数的差为17，求出这个数的所有因数4、某中学组织夏令营，六年级共有24人参加，老师需要把他们分成人数相等的几个小组（每小组不少于2人也不多于20人），有几种分发？1.3能被2、5整除的数一、概念梳理1、能被2、5整除的数的特征：（1）能被2整除的数的特征：个位数字是的数都能被2整除（2）能被5整除的数的特征：个位数字是的数都能被5整除（3）能同时被2、5整除的数的特征：个位数字是2、奇数和偶数：按照能否被2整除，整数可以分为奇数和偶数两类被2整除的数叫做；被2整除的数叫做二、拓展提高1、从0、3、5、7这四个数字中，任选三个数字组成一个能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数有哪几个？3、用0、3、6这三个数字排成一个三位数：（1）使这个数有因数2，有几种不同的排法（2）使这个数能被5整除，有几种不同的排法（3）使这个数是3的倍数，有几种不同的排法4、试探究能被3整除的整数有什么特征？并解答下面的问题：已知A是一个正整数，它是15的倍数，并且它的各个位数上的数字只有0和8两种，问A最小是多少？。
沪教版(五四制)六年级数学上册 第一章 整除定义、因数、倍数讲义(无答案)
整除定义、因数、倍数【知识定位】理解整数和整除的意义，掌握整除、因数、倍数的概念，会运用整除进行相关的应用和计算。
【知识梳理】知识梳理1：什么叫整除？1、整数a 除以整数b ，如果所得的商为整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，或b能整除用数学式子表示即是： a b c ÷= (其中a,b,c 均为整数)思考：现在有30个苹果让你去取，但是不能一次取完，也不能一个一个拿，必须每次拿的个数相同，且最后一次正好拿完？能做到吗？有几种办法？通过学习今天的内容你就有办法快速解决这个问题.2、上一节课我们思考过一道兴趣题，“小杰想画一个面积是12的长方形，且这个长方形的长和宽都是整数，你能告诉他符合条件的长方形有几种长和宽吗？”最后我们总结有6种条件符合：①11212⨯=；②2612⨯=；③3412⨯=；④12112⨯=；⑤6212⨯=； ⑥ 3412⨯=显然，像式子11212⨯=中，12能被1和12整除就称1和12是12的因数；反过来，12是1和12的倍数.那么，式子中12的因数还有2，3，4，6像整除的概念总结一样，可得，因数与倍数的关系.知识梳理2：因数和倍数的概念：整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称为约数）.注：为了研究的方便，在研究因数和倍数时，我们所说的数专指不是零的自然数.（因为零乘任何数为零，零除以任何为零，研究起来没有意义）例题精讲：【试题来源】【题目】你觉得下面的算式中的数字之间能用倍数和因数来描述吗？请你来说一说.①1620320⨯= ②199⨯= ③4416⨯= ④2173÷=⑤ 200.612÷= ⑥A B C ⨯= (A 、B 、C 都是非零的自然数)【试题来源】【题目】 找出15的因数和倍数.你会发现什么？【试题来源】【题目】一个数既是96的因数，又是6的倍数，它不能被8整除，那么这个数是多少？请说明理由.【试题来源】【题目】1、65是_ _的倍数；50以内13的倍数是 .2、327至少减去7，就既有因数 ，又是 的倍数.3、12能被3整除，则12是 的倍数；3是 的因数.【试题来源】【题目】1、数a 能被数b 整除，已知数a 是最大的两位数，b 小于20大于8，那么b 的值可能是 .2、有两个正整数，它们的和是18，积是65，它们的差是 .3、既是正整数a 的因数，又是它的倍数的数是___________.【试题来源】【题目】（1）3721⨯=，（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）和（ ）的倍数.（2）72的最大因数是（），最小倍数是（），最小因数是（）.（3）一个数（0除外），它的最大因数和最小倍数都是（）.【试题来源】【题目】判断正误（1）6是因数，30是倍数.（）÷=，所以8是0.8和10的倍数，0.8和10是8的因数. ( )（2）因为80.810（3）一个数的因数一定小于这个数.（）（4）甲数比乙数大，甲数的因数的个数比乙数多. （)【试题来源】【题目】（1）30的最大因数和最小倍数的和是（），它们的积是（），它们的差是（）.（2）我是60的因数，还是12的最小倍数，我是（）；我的最大因数和最小倍数都是73，我是（）；我只有两个因数，我的2倍在30和35之间，我是（）.【试题来源】【题目】思考：12的因数有1、2、3、4、6、12共6个，5的因数有1和5共2个，那12×5即60的因数的个数有（）个.课后练习：【试题来源】【题目】下列说法正确的是（）【选项】A .1没有因数，也没有倍数； B .一个整数的因数的个数有限；C .一个整数的倍数的个数有限；D .6的因数只有2和3.【试题来源】【题目】在80以内，24的因数和倍数分别有（）【选项】A . 2，3，4，6，8，12；48，72 ；B . 2，3，4，6，8，12，48，72；C . 1，2，3，4，6，8，12，24，48，72；D.1，2，3，4，6，8，12，24; 24，48，72.【试题来源】【题目】100以内(不包括100)5的倍数有（）个【选项】A .10 ；B.18 ；C.19 ；D.20 .【试题来源】【题目】一个数既是30的倍数，又是120的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A.这样的数只有一个；B.这样的数有限个；C.这样的数有无数多个；D.这样的数不存在.【试题来源】【题目】正整数a既是甲的倍数，又是乙的因数，下列说法中，正确的是（）【选项】A .甲乙两数大小相等；B .甲小于乙；C .甲是乙的因数；D .乙是甲的因数.【试题来源】【题目】1、50以内7的倍数有.2、三个连续的偶数中，最大的是a，最小是.这个三数的和是48，那么这a的值为.3、对于任意整数m，有没有最大或最小的因数，如果有，它们各是什么数？【试题来源】【题目】1、一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是（）2、一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是（）3、一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，这个自然数是（）【试题来源】【题目】+的和的所有因数有（）个；a-b的差的所1、如果a的最大因数是17，b的最小倍数是1，则a b⨯的积的所有因数有（）个有因数有（）个；a b2、比6小的自然数中，其中2是( )的因数，又是( )的倍数【试题来源】【题目】一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少?【试题来源】【题目】幼儿园里有一些小朋友，王老师拿了32颗糖平均分给他们，正好分完。
著名机构数学教案讲义六年级秋季班1整数和整除(学生)
第1课时整数与整除课时目标1. 理解和掌握自然数、整数、整除、因数、倍数等概念；2. 理解和掌握整除的条件，会区分整除和除尽；3. 在整除中，能够说明谁是谁的倍数，谁是谁的因数；4. 理解和掌握求一个整数的所有因数的方法，理解整数的最小和最大的因数；5. 理解和掌握求一个整数在一定范围内的倍数，理解整数的最小的倍数.知识精要1. 整数：正整数、零、负整数，统称为整数.零和正整数统成为自然数.正整数整数零自然数负整数2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注：（1）整除的条件：(3整1零)①除数、被除数都是整数；②被除数除以除数，商是整数而且余数为零.（2）凡是整除一定能除尽，但除尽的不一定能整除；3. 因数与倍数：如果数a能被数b整除，那么a就叫做b的倍数，b叫做a的因数(也称为约数).注：（1）因数、倍数是互相依存的.不能说a是倍数、b是因数！（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身.（3）一个正整数的倍数的个数是无限的，没有最大的倍数，最小的倍数是它本身.（4）1只有一个因数1，除1以外的整数，至少有2个因数.（5）一个整数既是它本身的约数又是它本身的倍数.（6）1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数.（7）0是任何一个不为0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数.4. 能被2、5整除的数：（1）能被2整除的数的特征是个位上的数字是0、2、4、6、8；（2）能被5整除的数的特征是个位上的数字是5或0；（3）能同时被2、5整除的数的特征是个位上的数字是0.（4）能被3整除的数的特征是各个数位上的数字相加的和是3的倍数.5. 奇数和偶数：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数.6. 素数、合数与分解素因数：（1）正整数按照因数的个数分类可以分为素数、合数、1.（2）素数(质数)：只有1和它本身两个因数；合数：至少要有3个因数.注：（1）最小的素数是2；最小的合数是4；（2）1 既不是素数也不是合数；7. 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来叫分解素因数.分解素因数常用的方法有：树枝分解法、短除法、口算法等.热身练习一、整数1、下列说法中，错误的是：( )A. 最小的整数是0B. 最大的正整数不存在C. 最大的负整数是－1D. 最大的自然数不存在2、最小的正整数是，最大的负整数是.3、把下列各数填入相应的横线上：－3，18，－143，0，5，100.负整数：；正整数：；整数：.二、整除4、下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是：( )A. 4和12B. 24和5C. 35和8D. 91和75、除式9÷1.5=6表示( )A. 9能被1.5整除B. 1.5能整除9C. 9能被1.5除尽D. 以上说法都不确切6、28能被a整除，a一定是( )A. 4或7B. 2、4或7C.2、4、7、14或28D. 1、2、4、7、14或287、18÷9=2，我们就说能被整除或能整除.8、能整除14的数是.三、因数和倍数9、6的因数有( )A.8个B. 6个C. 4个D. 2个10、6的倍数有( )A.1个B. 2个C. 3个D. 无数个11、已知14能整除a，那么a是( )A.1和14B. 2和14C. 14的因数D. 14的倍数12、下列说法错误的是( )A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身C. 12在100以内的倍数共有10个D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16四、能被2、5整除的数13、末位数字是的数一定能被2整除.14、能同时被2、5整除的数，它的个位上的数必是.15、能被5整除的最大的两位数是，最小的两位数是.16、奇数与偶数的积必定是.17、两个连续自然数的和是.18、写出100以内能同时被2、3、5整除的数.五、素数、合数与分解素因数：19、在正整数1到20中，奇数有个，偶数有个，素数有个，合数有个.20、在1、2、9这三个数中，既是素数又是偶数，既是合数又是奇数，既不是素数也不是合数.21、老师将259本新书平均分给六(2)班全体同学，你认为六(2)班有同学位.精解名题例1 下列算式中，被除数能被除数整除的是( )A. 25÷4B. 25÷0.5C. 2.5÷5D. 5÷5例2 12÷4=3，下列说法不正确的是( )A. 12是4的倍数B. 4是12的因数C. 4是12的约数D.12是倍数例3下面哪些数能被2整除？哪些能被5整除？哪些能同时被2和5整除？35、85、60、108、321、1234、2010能被2整除：能被5整除：能同时被2和5整除：例4 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？13、24、37、10、9、123、88、0、345奇数：偶数：例5 两个2位数的积是216，这两个数的和是多少？例6 除式21÷5=4……1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加 ，这时候商为 .5 5 5 5 1+？线段图解例7 1到100之间，因数个数是奇数的自然数有哪些？巩固练习一、填空题1、24的因数有 .2、若□27□能同时被2和5整除，那么这个四位数最大是 .3、在20的所有因数中，最大的是 ，最小的是 .4、一堆苹果，2个2个数、3个3个数和5个5个数都剩下一个，这堆苹果最少有 个.二、选择题5、下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是： ( )A. 14和7B. 2.5和5C. 9和18D. 0.4和86、能同时被2、5整除的最大两位数加上1后是： ( )A. 91B. 89C. 11D. 97、一个正方形的边长是奇数，它的周长是： ( )A.偶数B. 奇数C.无法确定D.我承认我不知道8、有两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是 ( )A. 11B. 9C.12D. 8三、解答题9、将下列各数分别填入相应的集合圈内：－5、0、21、81、43、215、－9、－8.1、1.整数正整数负整数10、写出63的所有因数.11、已知：A=2×3×5，B=3×3×5，则A和B相同的因数有哪些？12、用0、3、4、5四个数字，按下列要求排成没有重复数字的四位数，并请指出满足条件的这些四位数中最大的四位数.（1）能被2整除，但不能被5整除；（2）能被5整除，但不能被2整除；（3）既能被2整除，又能被5整除；自我测试1、已知m能整除31，那么m是( )A. 62B. 13C. 1和31D. 932、37÷4=9.25表示( )A. 37能被4整除B. 4整除37C. 37能被4除尽D. 37不能被4除尽3、下列说法正确的是( )A. 一个数的因数总比这个数小B. 9是2的倍数C. 一个整数的倍数有无数多个D. 一个整数的倍数中最大的倍数是它本身4、下列各数中，不能同时被2、5整除的是( )A. 7550B.2100C. 725D. 90005、下列说法中，正确的是( )A. 12是倍数，3是约数B. 能被2除尽的数都是偶数C. 任何奇数加上1后，一定是偶数D. 偶数除以2所得的结果一定是奇数6、下列各组数中，第1个数不能被第2个数整除的是( )A. 1.5和0.5B.15和5C. 4和4D. 10和27、下列说法错误的是( )A. 数a能被数b整除，则数b一定能除尽数aB. 数a能被数b除尽，则数a一定能被数b整除C. 一个大于1的整数，至少能被两个数整除D. 在10以内只能被2个数整除的最大数是78、如果n是一个正整数，且n能整除8，那么n= .9、100以内能同时被3和7整除的最大奇数是，最大偶数是.10、如果一个长方形的长和宽都是整数厘米，并且这个长方形的面积是24平方厘米，想一想，这个长方形的周长是多少？课后作业1.最小的自然数是，最小的正整数是.2.一个自然数的最小因数是，最大的约数是，最小的倍数是.3.一个数的最小倍数是49，这个数的因数有.4.四位数256□能同时被2，5整除，那么□应该是.5，.100以内能同时被3和5整除的最大数是，最小数是.6.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正）（1）最小的自然数是1. （）（2）如果整数a能被整数b（b≠0）除尽，那么就可以说a能被b整除. ( ) （3）最小的整数是0. （）（4）非负整数是自然数. （）（5）如果a能被b整除，那么a是b的倍数，b是a的因数. （）7. 下列说法中正确的个数是( )（1）一个正整数的倍数一定比这个数的任何因数都大；（2）一个正整数的倍数一定能被它的因数整除（3）一个正整数的因数至少有两个（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8. 一个奇数要变成偶数，下面各方法中除（）外都可以（A）加上1 （B）减去3 （C）乘以2 （D）除以29. 一个数既是100的因数，又是10的倍数，它不能被4整除，那么这个数是什么？。
市北资优六年级分册 第01章 1.5 公倍数与最小公倍数+刘成林
1.5 公倍数与最小公倍数思考在上海火车站，地铁1号线每隔三分钟发车，轨道交通3号线每隔4分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，那么至少再过多少时间它们又同时发车？分析 问题转化为求3和4的最小公倍数．3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，14，27，……4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，……3和4的倍数有：12，24，……，其中最小的是12．如果a 1，a 2，…，a n 和m 都是正整数，且1a m ，2a m ，…，n a m ，那么m 叫做a 1，a 2，…，a n 的公倍数．公倍数中最小的数叫做a 1，a 2，…，a n 的最小公倍数，记作[a 1，a 2，…，a n ] ．如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4，8，12]=24．例1 求18和30的最小公倍数．解 方法一：18的倍数有18，36，54，72，90，…30的倍数有30，60，90，120，150，…所以18和30的最小公倍数为90．方法二：把18和30分解质因数18233=⨯⨯ 30235=⨯⨯只要取出所有公有的质因数（1个2和1个3），再取各自剩余的质因数（3和5），将这些数连乘，所得的积90是它们的最小公因数．方法三：用短除法来计算∴ 18和30的最小公倍数为233590⨯⨯⨯=．例2 求18和30的最小公倍数．解∴ 18和30的最小公倍数为223560⨯⨯⨯= ．，，，531593018321，2，11，6，32，12，310，12，15532练习1.51．求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．2．用分解质因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．3．张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知的最小公倍数是60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？练习1.5答案1．180；83 1602．6；3603．4或20．提示：4是x 的约数，60是x 的整数倍，因此x 只可能是4，12，20，60．显然60x ≠．因为4是y 的因数，3是y 的因数，因此y 是12的整数倍，因此12x ≠．由此4x =或20．1.5 《公倍数与最小公倍数》练习练习1.51．15的最大因数是（ ），最小倍数是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．152．在1427=⨯中，2和7都是14的（ ）A ．素数B ．倍数C ．素因数3．有一个数，它既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．1444．一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，这筐苹果最少应有（ ）A ．120个B ．90个C ．60个D ．30个5．甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，已知甲数是18，那么乙数应是（ ）A ．16B ．82C ．48D ．646．幼儿园大班有36个小朋友，中班有48个小朋友，小班有54个小朋友．按班分组，三个班的各组人数一样多，问每组最多有（ ）个小朋友．A ．2B ．4C ．6D ．87．下面算式中，被除数能被除数整除的有（ ）A ．265 5.2÷=B ．3575÷=C ．0.90.33÷=8．自然数中，所有17的倍数（ ）A ．都是偶数B ．有偶数有奇数C ．都是奇数9．有一个素数，是由两个数字组成的两位数，两个数字之和是8，两个数字之差是2，那么这个素数是几？10．一块砖底面长22厘米，宽10厘米，要铺成一个正方形地面（不要折断，只能铺整砖）至少要多少块砖？11．三个连续奇数的和是15，这三个奇数的最小公倍数是多少？12．从运动场的一端到另一端全长10米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？13．在一根长木棍上，有三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成十等分，第二种刻度线将木棍分成十二等分，第三种刻度线将木棍分成十五等分．如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？1.5《公倍数与最小公倍数》练习答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．C 7．B 8．B9．53 提示：这两个数字中较大的为5，较小的为3，所以这个素数是53．÷=，10．55块提示：22与10的最小公倍数为110，即正方形的边长最小为110厘米．又110225⨯=（块）．1101011÷=，因此至少要51155⨯⨯=．11．105 提示：由题意知，中间这个奇数为5，则这三个数为3，5，7，它们的最小公倍数为357105÷+= 12．6面提示：4与5的最小公倍数是20，即每隔20米有一面小红旗不用移动，因此共有1002016（面）小红旗不用移动．13．28段提示：10、12、15的最小公倍数是60，不妨设木棍的长度为60，若十等分，则每段长度为++=（条）刻度线．因6；若十二等分，则每段长度为5；若十五等分，则每段长度为4．木棍上有9111434÷-=（条）；因为5与4的为6与5的最小公倍数为30，因此十等分与十二等分重复的刻度线有603011÷-=（条）．以上重复的刻度线之间最小公倍数为20，因此十二等分与十五等分重复的刻度线有602012---=（条），即木棍总共被锯成28段．并不重复，因此刻度线共有3414227。
市北资优六年级分册 第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖
1．3 素数、合数与分解素因数自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001所以，3 333 334 111 111是合数．例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．练习1．3（1）1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案练习13．1（1）1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、433． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？6 = 2 × 32 × 36 2 × 2 × 728 = 2 × 2 × 74 × 72860 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 52 ×3 × 2 × 56 × 1060××××从上面的例子可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．例4 把48，35，60分解素因数解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 332 62 1 22 2 42 4 875 3 535 = 5 × 7560 = 2 × 2 × 3 × 53 1 52 3 02 6 0用短除法分解素因数的步骤如下：1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：1212k a aa k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是质数；12,,k a a a 是正整数．例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且22221234511p p p p =+++，试求这四个质数．分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．解：显然有12p =，代入得222234507p p p =++，因为250752923=＜，所以419p ≤若419p =，则2223146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．若417p =，则2223218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：22x +、24x +、26x +、28x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．当3x =时，2211x +=，2413x +=，2615x +=，2817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2227x +=，2429x +=，2631x +=，2833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2251x +=，2453x +=，2655x +=，2857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．练习1．3（2）1．分解素因数：45，88，126．2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？练习1．3（2）1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×72． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625249 525125625+++=（个）．4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，25．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。
上海市六年级数学第一章数整除教案
上海市六年级数学第一章数整除教案一、教学内容本节课选自上海市六年级数学教材第一章“数的整除”第一节，内容包括整除的概念、整除的性质、倍数与约数的辨识，以及最大公约数和最小公倍数的求解方法。
二、教学目标1. 理解整除的概念，掌握整除的性质，能够辨识倍数与约数。
2. 学会求解两个数的最大公约数和最小公倍数。
3. 能够运用整除知识解决实际问题，提高数学思维能力。
三、教学难点与重点重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。
难点：最大公约数和最小公倍数的求解方法。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2. 学具：练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入通过一个实践情景，让学生感受整除的意义：假设有18个苹果，要平均分给同学们，如何分配才能使每个人得到的苹果数量相同？2. 新课导入（1）讲解整除的概念，引导学生理解整除的含义。
（2）介绍整除的性质，如：若a能整除b，则a能整除b的任何倍数。
3. 例题讲解（1）求解18的约数，引导学生发现约数的性质。
（2）求解18和24的最大公约数和最小公倍数。
4. 随堂练习（1）找出30的所有约数。
（2）求出12和18的最大公约数和最小公倍数。
六、板书设计1. 板书数的整除2. 内容：（1）整除的概念、性质（2）倍数与约数的辨识方法（3）最大公约数和最小公倍数的求解方法七、作业设计1. 作业题目：（1）找出40的所有约数。
（2）求出15和20的最大公约数和最小公倍数。
2. 答案：（1）1、2、4、5、8、10、20、40（2）最大公约数：5，最小公倍数：60八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整除的概念和性质掌握较好，但在求解最大公约数和最小公倍数时，部分学生存在困难，需要在课后加强练习。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何求解三个或更多数的最大公约数和最小公倍数，激发学生深入学习的兴趣。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定2. 例题讲解的深度和广度3. 随堂练习的设计与实施4. 作业设计的针对性和答案的准确性5. 课后反思及拓展延伸的深度详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定重点：整除的概念、性质、倍数与约数的辨识方法。
六年级秋季班-第1讲：整数和整除-教师版
整数和整除是六年级数学上学期第一章第一节内容，主要对整数的分类和整除的概念进行讲解，重点是整除的概念理解，难点是整除条件的归纳总结．通过这节课的学习一方面为我们后期学习公因数和公倍数提供依据，另一方面也为下学期学习有理数奠定基础．1、整数的意义和分类（1）自然数：零和正整数统称为自然数；（2）整数：正整数、零、负整数，统称为整数．2、整除的意义整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b 能整除a．整数和整除内容分析知识结构模块一：整数和整除的意义知识精讲例题解析【例1】在12、5.352、0、0.2、30、12.4、9.5、1这些数中，整数是_________，自然数是__________．【难度】★【答案】12，0，30，1；12，0，30，1．【解析】自然数：零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数．【总结】本题主要考查自然数和整数的概念．【例2】关于1836÷=，下列说法正确的是（）A．18能整除3 B．3能被整除18C．18能被3整除D．3不能整除18【难度】★【答案】C【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【例3】下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是________．○13和0.3；○212和4；○35和15；○40.2和0.4；○51.4和14；○65和0.1．【难度】★★【答案】③【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题依旧考查整除的概念．【例4】下列说法中，正确个数是（）○1整数包括负数、整数；○21是最小的自然数；○3a除以b，商为整数，且余数为0，则a能被b整除；○4有最大的自然数，而没有最小的自然数；○5最大的正整数和最大的负整数都不存在．A．0个B．1个C．2个D．3个【难度】★★【答案】A【解析】①错，整数包括正整数、负整数和0；②错，0是最小的自然数；③错，要求a和b也要为整数；④错，没有最大的自然数，有最小的自然数为0．⑤错，没有最大的正整数，有最大的负整数为-1．【总结】本题主要考查整数的分类问题，注意0的特殊性．【例5】下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是____________．○17和11；○29和2538；○32和5；○415和5；○513和91；○62和0.4；○70.3和6；○81.5和2.5．【难度】★★【答案】②③⑤⑥⑦【解析】a能除尽b是指ab 所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念区分开．【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分．师生总结1、整除与除尽有什么相同点？2、整除与除尽有什么不同点？【例6】有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【难度】★★【答案】一组、三组、五组、十五组均可．不能平均分成4个小组，因为4不能整除15．【解析】因为5==，所以可分为一组、三组、五组或者十五组．⨯15⨯3151【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例7】一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个．小马虎的统计对吗？为什么？【难度】★★★【答案】不对，因为4不能整除342．【解析】2÷，余数不为0．......342=854【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用．【例8】在1~600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【难度】★★★【答案】300，400，200【解析】在1~600这600个数中，能被2整数的数有2，4，6，8，．．．．．．600，共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3，6，9，12，．．．．．．600，共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个；既能被2整除，又能被3整除的数有6，12，18，．．．．．．600，共有100个．能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个．【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变．模块二：因数和倍数知识精讲1、因数和倍数整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）．注：一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身．例题解析【例9】在9、12、15、30、45、66有因数2的是_________，是3的倍数的是_________．【难度】★【答案】12、30、66；12、15、30、45、66．【解析】有因数2的是：12、30、66；是3的倍数的有：9、12、15、30、45、66．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例10】既是23的倍数，又是23的因数的数是______．【难度】★【答案】23．【解析】23的因数有1、23，其中是23的倍数为23．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念．【例11】下列说法中不正确的是（）A．1是任何整数的因数，任何整数都是1的倍数B．偶数的因数不一定是偶数C．奇数的因数一定是奇数D．一个数的最大因数一定小于它的最小倍数【难度】★★【答案】D【解析】D答案中一个数的最大因数都是等于它的最小倍数的，故D是不正确的．【总结】本题主要考查因数和倍数的定义，注意1的特殊性．【例12】一个正整数所有的因数是1、2、3、6，那么这个数是______．【难度】★★ 【答案】6【解析】因为一个正整数最小的因数为1，最大的因数为它本身，故这个数是6． 【总结】本题主要考查正整数的因数的特征．【例13】既是3的倍数，又是30的因数的数是________________．（写出所有符合条件的数）【难度】★★【答案】3、6、15、30．【解析】6510315230130⨯=⨯=⨯=⨯=，所以30的因数为1、2、3、5、6、10、15、30．其中3的倍数为3、6、15、30．【总结】本题可以将30的因数一一列出，然后判断其实不是3的倍数，反过来也可以．【例14】一个数即是10的倍数，又是100的因数，且不能被4整除，这个数是______．【难度】★★ 【答案】10、50．【解析】10的倍数为：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100，其中又是100的因数，且不能被4整除的是10、50．【总结】本题也可一一列举出即是10的倍数，又是100的因数的数，然后再判断哪些不能被4整除．【例15】已知一个三位数abc ，若两位数bc 能被4整除，那么这个三位数就能被4整除．这句话对吗？如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例．【难度】★★★ 【答案】正确．【解析】三位数abc 可以表示为()c b a ++10100，两位数bc 可以表示为c b +10，因为两位数bc 能被4整除，∴c b +10能被4整除．而()()()410254104100410100÷++=÷++÷=÷++c b a c b a c b a ，没有余数，所以这个三位数就能被4整除．【解析】本题主要考查整除的概念，注意合理的运算方法的选择以及对于三位数的表示．模块三：能被2、5整除的数知识精讲1、能被2整除的数能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．2、奇数偶数的运算性质奇数±奇数= 偶数；奇数±偶数= 奇数；偶数±偶数= 偶数；奇数⨯奇数= 奇数；奇数⨯偶数= 偶数；偶数⨯偶数= 偶数．推广结论：（1）奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；任意有限个偶数的和为偶数；（2）若干个奇数的乘积为奇数，偶数与整数的乘积为偶数；（3）如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数；（4）如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数的奇偶性不同；（5）两个整数的和与差的奇偶性相同．3、能被5整除的数能被5整除的数的特征：个位上是0或5的整数．4、能同时被2、5整除的数能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．例题解析【例16】两个连续自然数的差是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．既不是奇数也不是偶数【难度】★【答案】A【解析】两个连续自然数的差为±1，为奇数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例17】9个连续自然数的积是______（“奇”或“偶”）数．【难度】★【答案】偶．【解析】9个连续的自然数中必定会有偶数，则乘积必定为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例18】已知一个三位数13x．（1）若这个三位数能被2整除，求x；（2）若这个三位数能被5整除，求x；（3）若这个三位数能同时被2和5整除，求x．【难度】★★【答案】（1）0，2，4，6，8；（2）0，5；（3）0．【解析】能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数；能被5整除的数的特征：个位上是0，5的整数；能同时被2和5整除的数的特征：个位上是0的整数．【总结】本题主要考查能被2、5整除的数的特点．【例19】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数中，偶数有（）个A．4 B．3 C．2 D．1【难度】★★【答案】C【解析】用0、1、2三个数字组成的数字不重复的三位数有120、102、210、201，其中偶数有120、102、210．【总结】一一列举符合题目条件的数字，考查偶数的概念．【例20】5个连续偶数的和为240，这五个偶数分别是几？【难度】★★【答案】44、46、48、50、52．【解析】这5个偶数的平均数为48，则中间的数字为48，则这5个连续的偶数为44、 46、48、50、52．【总结】本题主要考查利用平均数解决连续整数和的问题．【例21】12320152016+++⋅⋅⋅++的结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】1到2016个数字中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；则这2016个数字之和为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例22】用25、26、27、28、29这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？【难度】★★【答案】7．【解析】要使乘积为偶数，则乘数中至少有一个为偶数．则26与25、27、28、29相乘，可以得到偶数；28与25、26、27、29相乘，可以得到偶数．中间有重复的26与28相乘，则一共有4+4-1=7个偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例23】13个不同的的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？【难度】★★★【答案】其中偶数最多有13个；偶数最少有1个．【解析】当偶数有13个时，则其和为偶数，所以其中偶数最多有13个；偶数为0个时，则这13个数均为奇数，其和定为奇数，不可能为100；偶数为1个时，则有12个奇数，这13个数字之和为偶数，所以偶数最少有1个．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【例24】有五只杯口朝上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口朝下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下？为什么？【难度】★★★【答案】不能，理由见解析．【解析】对一只杯口朝上的杯子而言，需要“翻转”奇数次，才能使其杯口朝下，对于五只杯口朝上的杯子放在桌子上，则需要“翻转”的总次数为5个奇数的和，这个和定为奇数．而每次将其中四只杯子同时“翻转”，则每轮“翻转”的次数为4次（可以看做4个杯子各“翻转”1次），所以无论你“翻转”多少次，总次数都是4的倍数，定为偶数，不可能为奇数，则不能经过这样有限多次的“翻转”后，使五只杯子的杯口全部朝下．【总结】本题主要是将实际问题转化成奇、偶数的运算性质等问题．【例25】1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾有多少个零？【难度】★★★【答案】225．【解析】只要有因数5和因数2的两个整数相乘，末尾就会出现0．1到1000中5的倍数要少于2的倍数，其中5的倍数有10005200÷=个，÷=个，25 的倍数有10002540 125的倍数有10001258÷=个，625的倍数有1个，而1到100中5的倍数有20个，25的倍数有4个，因此在1011021039991000⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯的结果的末尾中含零的个数为：2004081204225+++--=个．【总结】两数相乘结果末尾为0，则要求整数的个位为2和个位为5的数相乘即可．【例26】在1，2，3，…，2015，2016中每个数前面任意添加“+”、“-”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由．【难度】★★★【答案】偶数，理由见解析．【解析】2016个数中有1008个奇数，这1008个奇数之和为偶数；2016个数中有1008个偶数，这1008个偶数之和为偶数；偶偶相加为偶数，则2016个数字之和为偶数．每个数前面任意添加“+”、“-”号，与1，2，3，…，2015，2016之和的奇偶性是一样的，所以结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．1、 能被3整除的数能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数．2、 能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【例27】要使三位数2□3能被3整除，那么□中可以填的数是_____________； 要使三位数2□3能被9整除，那么□中可以填的数是_____________．【难度】★【答案】1、4、7；4．【解析】能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．【总结】本题主要考查能被3和9整除的数的特点．【例28】 一个五位数497A B 能被3整除，且7B 能被2整除，这样的五位数有______个．【难度】★★【答案】16．【解析】7B 能被2整除，则B 为0、2、4、6、8；497A B 能被3整除，则B A ++20能被3整除．当B =0时，A 可为1、4、7；当B =2时，A 可为2、5、8；当B =4时， A 可为0、3、6、9；当B =6时，A 可为1、4、7；当B =8时，A 可为2、5、8；所以这样的五位数有16个．【总结】先一一列举符合7B 能被2整除的数，然后一一列举数字，判断符不符合题意．知识精讲 模块四：能被3、9整除的数 例题解析【例29】从2、4、0、5、8这五个数字中选出3个数字组成一个三位数，使得这个三位数同时被2、3和5整除，那么这样的三位数有______个．【难度】★★★【答案】4．【解析】能同时被2和5整除的数末尾数为0，则有240、420、580、850、250、520、280、820、450、540、480、840，其中能够被3整除的有240、420、450、540、480、840．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特征．【例30】已知一个三位数abc，试证明：若a b c++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【答案】证明见解析．【解析】因为a b c=+（m为正整数），又abc=10010+ba9++能被9整除，则可得mc++a b c()()=++++，因为b999a b a b c++能被9整除，所以abc99+能被9整除，也a b ca9能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．随堂检测【习题1】下列说法正确的是（）A．一个数至少有两个因数B．个位上是3、6、9的整数都能被3整除C．一个数既是2的倍数又是5的倍数，那么这个数一定是10的倍数D．非负整数是正整数【难度】★【答案】C【解析】A答案错误，如1只有一个因数；B答案中考查能被3整除的数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数；C答案是正确的；D答案中0也属于非负整数．【总结】本题主要考查因数、倍数的概念以及整数分类的问题．【习题2】50以内的7的倍数有_______个．【难度】★【答案】7【解析】50以内的7的倍数有：7、14、21、27、35、42、49．【总结】从最小的倍数一一尝试即可得到答案．【习题3】一个数的最大因数与最小倍数的和是2014，这个数是______．【难度】★★【答案】1007．【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是1007．【总结】任何一个正整数的最大因数和最小倍数都是它本身．【习题4】下列说法不正确的个数有（）个（1）两个正整数的和或差的奇偶性相同；（2）甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能整除丙数；（3）任何正整数都能被0整除；（4）3m n÷=，则n一定能整除m；（5）三个连续自然数的乘积能被2整除．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】B【解析】（1）对；（2）错，考查整除的定义；（3）错，0能被任何正整数整除；（4）错，n 和m不一定为整数；（5）对，因为三个连续自然数中一定有偶数，则它们的积一定是偶数．【总结】本题主要考查整除的概念，注意整除的定义中的被除数、除数、商都必须是整数，且余数为零，另外还考差了奇、偶数运算性质的问题．【习题5】下列各算式中，满足整除的有______个，满足除尽的有______个．（1）135÷；÷；（4）02÷；（2）127÷；（3）20163（5）246÷；（8）8.82÷．÷；（7）2.8 1.4÷；（6）2.53【难度】★★【答案】（3）、（4）、（5）；（1）、（3）、（4）、（5）、（7）、（8）【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除和除尽的概念，注意除尽与整除的区别．【习题6】能整除18的数有________________．【难度】★★【答案】1、2、3、6、9、18．【解析】整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a．【总结】本题主要考查整除的概念．【习题7】一个两位数，其中个位上的数字比十位数字大2，且能被5整除，求所有符合条件的两位数：_______________．【难度】★★【答案】35．【解析】能被5整除的数尾数为0或5．0为个位数时，十位数字为负数，不合题意，舍去．所以个位上的数字只能为5，十位上的数字为3，则这个两位数为35．【总结】本题主要考查能被5整除是数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题8】四位数29A B能同时被3和5整除，写出所有满足条件的四位数__________．【难度】★★【答案】2190、2490、2790、2295、2595、2895．【解析】能被5整除的数的个位数为0或5，则B为0或5；当B=0时，A为1、4、7；当B=5时，A为2、5、8．所以满足条件的四位数为2190、2490、2790、2295、2595、2895．【总结】本题主要考查能被3、5同时整除的数的特点，可以一一举例得到最后的答案．【习题9】三个连续的自然数的和一定能被3整除吗？如果是，请证明；如果不是，请举出反例．【难度】★★★【答案】是，证明见解析【解析】设三个连续的自然数为11=11++-，此数一定能+n3+n-nn，，，则其和为nnn被3整除．【总结】三个连续的自然数的表示方法为1，．n，-n1+n【习题10】小明有12张卡片，其中3张卡片上面写着1，3张卡片上面写着3，3张卡片上面写着5，3张卡片上面写着7，小明从中选出5张卡片，它们上面的数字之和可能等于22吗？如果能，请说明如何选择卡片；如果不能，请说明理由．【难度】★★★【答案】不能．【解析】因为12张卡片上的数字都是奇数，5个奇数之和一定为奇数，不可能为偶数，22是偶数，所以不能．【解析】本题主要考查数字的奇偶性，偶数个奇数相加结果为偶数；奇数个奇数相加结果为奇数．课后作业【作业1】如果A表示一个正整数，它的最小因数是_______，最小倍数是_______．【难度】★【答案】1；A．【解析】一个正整数的最小因数为1，最小倍数为它本身．【总结】本题主要考查一个正整数的最小因数的和最大因数的特征．【作业2】731最少加上______，就是5的倍数．【难度】★【答案】4【解析】能被5整除的数的特点：个位数字为0或5，因此最少加上4即可．【总结】本题主要考查能被5整除的数的特征．【作业3】 三位数“15□”是8的倍数，那么“□”中能填的数字的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】B【解析】可以填2，四个答案一一验算．【总结】本题主要考查因数和倍数的概念，是8的倍数，则说明该数能被8整除．【作业4】 一个奇数要变成偶数，下列方法中可行的方法有______个（1）加上()12399100+++⋅⋅⋅++；（2）减去()1002327985⨯+⨯；（3）乘以2；（4）除以2．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★【答案】A【解析】（1）12399100=5050+++⋅⋅⋅++为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数； （2）1002327985=16996⨯+⨯为偶数，奇数加上偶数，结果为奇数；（3）奇数乘以2，为偶数；（4）奇数除以2余数为1．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业5】 三个连续的奇数的和是321，则这三个奇数为____________【难度】★★【答案】105、107、109【解析】这三个连续的奇数平均数为1073321=÷，则中间的数为107，其余两个数为 105和109．【总结】连续的奇数和偶数之和的问题均可以用平均数来解决．【作业6】小智买一大箱苹果，共有84个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有______种不同的拿法．（假设不能一次全拿出）【难度】★★【答案】11．【解析】12=⨯=⨯⨯==，则84的因数为1、2、3、4、⨯=⨯=8421614784⨯412824236、7、12、14、21、28、42、84，共有12个，因为不能一次全拿出，所以共有11中不同的拿法．【总结】将实际问题转化为寻找因数的方法来解决．【作业7】一个整数的最大因数与最小因数的差为27，写出这个整数的所有因数：_______________．【难度】★★【答案】1、2、4、7、14、28．【解析】一个整数的最大因数为它本身，最小因数为1，则这个数为28．=⨯28⨯⨯=，则28的因数有1、2、4、7、14、28．=17144282【总结】任何一个正整数的最大因数为它本身，最小因数为1．【作业8】122334************⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯的结果是______．（填奇数或偶数）【难度】★★【答案】偶数．【解析】连续的自然数乘积为偶数，表达式中有101个偶数相加，则其结果为偶数．【总结】本题主要考查奇、偶数的运算性质．【作业9】五位数538AB能够同时被2、3、5整除，求A + B的值．【难度】★★★【答案】2、5、8．【解析】能被2、5整除的数的特点是个位上数字为0，则B=0．能被3整除的数的特点是各个数位上的数字之和能被3整除，则A可为2、5、8．则A+B为2、5、8．【总结】本题主要考查能被2、3、5整除的数的特点．【作业10】油库中有7桶油，分别是汽油、柴油和机油，每桶油分别重12千克、13千克、16千克、17千克、22千克、27千克和32千克，已知柴油的总重量是机油的3倍，汽油只有一桶，请问7个桶分别装的是什么油？12千克：____油；13千克：____油；16千克：____油；17千克：____油；22千克：____油；27千克：____油；32千克：____油．【难度】★★★【答案】机油；柴油；机油；柴油；柴油；汽油；柴油．【解析】因为柴油的总重量是机油的3倍，所以他们的重量和一定为4的倍数．而7桶油的总重量是12+13+17+22+27+32=139（千克），而139÷4=34．．．．．．3，我们容易推出汽油的重量被4除余3，由此可见，汽油的重量是27千克．剩下的6桶共重139-27=112（千克），其中包括1份机油和3份柴油，因此机油的总重量为112÷4=28 （千克），柴油的总重量为112-28=84（千克），剩下的6个数字中只有12和16的和为28，则重量是12千克、16千克的这两只桶内装的是机油，其余4只桶内装的柴油．【总结】本题综合性较强，主要考查利用倍数的概念来解决实际问题．。
沪教版六年级上第1章第1节整数和整除教案与练习
第(一)课时1、 理解整数与整除的意义以及掌握相关的概念教学目标2、 会运用整数与整除进行相关的应用和计算重点难点 理解和掌握整除的概念。
同步教学内容今天我们就来学习六年级的第一章节，这是对以后课程的学习做一个好的铺垫，一定要跟上 老师的节奏哦。
【知识要点】1.整数正整数负整数2.整除：整数a 除以整数b (b 0),若除得的商是整数而余数为零，就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。
3. 整除的条件：(三整一零)(1)除数、被除数都是整数(2 )被除数除以除数，商是整数而且余数为零4. 数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3，4，5，…叫做正整数。
5. 0的含义是什么？(1) 零可以表示没有物体。
(2) 可以表示计量过程中某种量的基准数。
女口：零摄氏度，归零，从零开始。
6.最小的自然数是 0,没有最大的自然数。
注意：其实，整除是除尽的一种特殊形式。
8. a —b ，读作a 除以b ，或b 除a ; a 被b 除，或b 去除a 9. 本章中学习的整数，在没有特别说明是，都是指正整数。
课题名称 整数和整除的意义 课时进度 授课时间自然数【典型例题】 【例1] __ 最小的正整数是 【例2]【例3] 统称为自然数; 小于三的自然数有 _____________ 。
从下列书中选择适当的数填入相应的圈内 25, 13, 2.47,8.75,0,统称为整数; 29最小的自然数是【例4】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内25 5 5, 2.5 0.5 5, 26 5 5.2 35 7 525 3 8L L【例5】A.【例6]【例7]【例8] 【例9] 25223L L 1F 列算式中表示整除的算式是（0.8 0.4 2 B. 16 3 第一个数能被第二个数整除的是（ A.1.2 和 2B.2 和 125L L 1 F 面各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在A.27 和 3 ( C.12 和 24 (能整除12的数有哪些?【例10] 【例11]B.3.6 和 1.2 ( D.91 和 7 (既能被2整除又能被3整除的最小的整数是 4 和 46,不能被整除，17和51,C. 2 1 C.12 和 2能被72 和 36 17 和 34 20和5 0.5 和 5() ( )() ( ) 18和319 和 38 0.2 和 417和3()( )( )()在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除, 请在（ ）内打整除。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章数的整除
1.1整数和整除
练习1.1
1.在15、17、18、20和30五个数中，能被2整除的数是____________；能被3整除的数是____________；能被5整除的数是____________；能同时被2、3整除的数是____________；能同时被3、5整除的数是___________；能同时被2、5整除的数是_________；能同时被2、3、5整除的数是____________．
13口能被3整除.口处可有多少种不同的填法?
2.在口处填入适当的数字，使四位数6
3.写出全部用2、3、4、5四个数字组成的能被11整除的四位数．
4.一个六位数的各位数字备不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小数是_______．
5.一个能同时被2、3、5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是_________．
6.有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是___________．
7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少?
8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是__________．
1.2奇数与偶数
练习1.2
1.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？
2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.
3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？
4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？
5.博物馆有并列的5间展室，警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每走进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？
6.如图是一张8×8的正方形纸片.将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？。