2015高一春.第二讲两角和差
高一知识梳理两角和与差公式
两角和与差的公式 第一部分： 两角和与差的余弦公式 1、实例引入（1）2160cos =︒、2245cos =︒ ，而︒-︒=︒456015，那么等式︒-︒=︒45cos 60cos 15cos 是否成立？（2）对于任意角α、β，βα-的余弦如何用α和β的三角比来表示？2、公式推导设α、β是两个任意角.在直角坐标系的单位圆中作出两角α、β，射线OA 、OB 分别为其终边，与单位圆相交于A 、B 两点，其坐标分别为)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB .方法一、将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转β-角，分别转到A O '和B O '的位置，则))sin(),(cos(βαβα--'A ，)0,1(B '.根据两点间距离公式，有)sin sin cos (cos 22)sin (sin )cos (cos ||22βαβαβαβα+-=-+-=AB )cos(22)(sin ]1)[cos(||222βαβαβα--=-+--=''B A因为AOB ∆绕O 旋转β-角得到B O A ''∆，所以||||B A AB ''=从而βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-也可以将角的终边OA 、OB 都绕O 旋转α-角，则同理可得αβαβαβsin sin cos cos )cos(+=-，一方面由诱导公式可知)cos()cos(βααβ-=-，所以得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.另一O xy A )sin ,(cos αα)sin ,(cos ββB )0,1(B '))sin(),(cos(βαβα--'A Oxy方面，由于α、β表示任意角，所以用α替换β，β替换α公式仍成立.从而得到βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.这个公式叫做两角差的余弦公式, 它对任意角α和β都成立.在两角差的余弦公式中，用β-代替β.可得到两角和的余弦公式：βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+.3、强调特征（帮助学生记忆）两角和与差的余弦公式在结构上的特征为：1、公式左边是复角的余弦，右边是单角的余弦之积以及正弦之积的和与差；2、左右两边的加减号互异. 4、例题解析例1、利用两角和与差的余弦公式，求︒15cos 、︒75cos 的值.训练、化简：)60sin(sin )60cos(cos αααα-︒--︒例2、求︒︒+︒︒40cos 10cos 50cos 80cos 的值.训练 已知三角形ABC ，求证：B A B A C cos cos sin sin cos -=小结（1）本节课使用数形结合的数学思想方法，借助单位圆推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.（2）能够应用所学公式进行求值运算和化简，以及简单 三角恒等式证明.思考题：求证下列恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-证明三角恒等式：（1）ααπsin )2cos(=-；（2）ααπcos )2sin(=-.进一步得到ααπcot )2tan(=-、ααπtan )2cot(=-，即ααπsin )2cos(=- ααπcos )2sin(=- ααπcot )2tan(=- ααπtan )2cot(=-用α-替换上述各式中的α，则可得到如下各式ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=+ ααπcot )2tan(-=+ ααπtan )2cot(-=+将上述两组公式称为第五、六组诱导公式.第二部分：两角和与差的正弦公式公式推导讨论，进行推导.))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα--=+-=+βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(+=-+-= ))2cos(())(2cos()sin(βαπβαπβα+-=--=-βαβαβαπβαπsin cos cos sin sin )2sin(cos )2cos(-=---=称βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-为两角和与差的正弦公式，它们对任意角α、β成立.[说明]其中使用了第五组诱导公式.3、强调特征（帮助学生记忆）两角和与差的正弦公式在结构上的特征为（1）公式左边是复角的余弦，右边是单角的正余弦交叉相乘的和与差； （2）左右两边的加减号相同.4、例题解析 例1、 求)3cos()12cos()6cos()125cos(απαππαπα--+++的值.例2、已知53cos -=ϕ，),2(ππϕ∈，求)6sin(πϕ+.例3、已知：53cos sin =+βα，54sin cos =-βα，求)sin(βα-例4、求证：αββαβα22cos cos )sin()sin(-=-+例5、已知32sin =α，43cos -=β，判断βα-是第几象限角.四、小结（1）通过化归和变量替换的的数学思想推导了两角和与差的正弦公式. （2）能够应用两角和与差的正弦公式解决求值、化简、证明等三角问题.第三部分：两角和与差的正切公式（1）两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ ① βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- ②其中，①式可在②式中用β-替换β而得.（2）两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+， βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-正弦公式可以通过诱导公式，将)sin(βα+转化为cos[()]2παβ-+，继而应用余弦公式推得.问题：如何用αtan 以及βtan 表示)tan(βα+？2、公式推导学生思考、独立完成.βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+分子、分母分别除以βαcos cos （0cos cos ≠⋅βα），并化简得βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ③思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由.3、强调特征（帮助学生记忆）（1）等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.4、例题解析 例1、 已知31tan =α，2tan -=β，求下列三角比的值：例2、运用两角和的正切公式，求︒-︒+75tan 175tan 1的值.例3、化简)3tan(tan 3)3tan(tan απααπα-+-+例4、已知αtan 、βtan 是方程03522=-+x x 的两个根，求)tan(βα+ 及)tan(βα-.。
二角和差公式
二角和差公式
二角和差公式是数学中一种重要的公式，它反映了一类数字序列在和、差及积之间的关系，在现代数学中有着广泛的应用。
二角和差公式是由18世纪法国数学家艾萨克·德布莱尔提出的，也被称为
De Moivre-Binet公式，它反映的是多项式的和与差的关系，也就是等比数列的和
与它的首项和公比的函数。
一般地说，它可以用来计算等比数列的和、差及积。
根据它的定义，具体计算方法是：假定等比数列a1,a2... an中，第一项为a1，有公比q，则该数列的前n项和、公差和以及前n项积保持一定的关系，即：
Sn=a1 * (1-q^n) / (1-q) （两角和公式）
之后，De Moivre-Binet公式进一步发展壮大，它已被用于描述复数、矩阵及更为复杂的函数，从而在物理学、科学计算以及工程中被广泛应用和研究，在许多新的计算上，它也可以省去重大的计算步骤。
此外，还有一些其他的应用，例如对于算法的求解。
因此，我们可以说，在数学应用中，二角和差公式是十分有价值的，它在各个领域均有着广泛的应用。
因此，以De Moivre-Binet公式为基础，数学家们继续进行研究以不断丰富数学，以及现
代社会的发展。
第二讲 两角和差公式-教师用卷
第二讲 两角和差公式一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知α,β∈(0,π2)，且tanβ=cosα1+sinα，则sin (α+2β)=A. 1B. √32C. √22D. 12【答案】A 解：因为tan β=sinβcosβ=cos α1+sin α，则cosαcosβ=sinβ+sinαsinβ， 则cosαcosβ−sinαsinβ=sinβ，则，由α,β∈(0,π2)，得，则，所以sin (α+2β)=1.2. 已知α,β∈(0,2π)，且满足sinα−cosα=12,cosβ−sinβ=12，则sin(α+β)=A. 1B. −√22或1 C. −34或1D. 1或−1【答案】C解：由sinα−cosα=12，sin 2α+cos 2α=1可得8sin 2α−4sinα−3=0，8cos 2α+4cosα−3=0， 同理可得8cos 2β−4cosβ−3=0，8sin 2β+4sinβ−3=0．若sinα=cosβ，则α+β=π2或α+β=5π2，此时sin(α+β)=1．若sinα≠cosβ，则sinα，cosβ是方程8x 2−4x −3=0的两个实根，所以sinαcosβ=−38，同时cosα，sinβ是方程8x 2+4x −3=0的两个实根，所以cosαsinβ=−38，故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=−34． 3. 设tanα=12，cos(π+β)=−45(β∈(0,π))，则tan(2α−β)的值为( )A. −724B. −524C. 524 D. 724 【答案】D【解析】解：∵tanα=12,tan2α=2tanα1−tan 2α=11−(12)2=43,cos(π+β)=−cosβ=−45，β∈(0,π)， ∴cosβ=45,sinβ=35,tanβ=34， ∴tan(2α−β)=tan2α−tanβ1+tan2αtanβ=724．故选：D ．4. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，若存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34，则cos(x 1−x 2)=( )A. −√74 B. √74C. 34D. −34【答案】C【解析】解：由图象知函数的周期T =2×(13π12−7π12)=2×6π12=π，即2πω=π，得ω=2，f(7π12+13π122)=f(10π12)=sin(2×10π12+φ)=−1，即5π3+φ=2kπ+3π2，即φ=2kπ−π6，k ∈Z ，当k =0时，φ=−π6，即f(x)=sin(2x −π6)，∵存在0≤x 1<x 2≤π，满足f(x 1)=f(x 2)=34，∴−π6≤2x 1−π6≤11π6，则θ1=2x 1−π6，θ2=2x 2−π6关于π2对称，即2x 1−π6+2x 2−π62=π2，得x 2=2π3−x 1，且sin(2x 1−π6)=34则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)，设2x 1−π6=α，则2x 1=π6+α，即sinα=34 则cos(x 1−x 2)=cos(2x 1−2π3)=cos(π6+α−2π3)=cos(α−π2)=sinα=34 5. 若α,β∈(3π4,π)，sin (α+β)=−35,sin (β−π4)=1213，则cos (α+π4)的值等于( ) A. −1665B. −513C. 5665D. −5665【答案】D解：∵α,β∈(3π4,π)∴∴α+β∈(3π2,2π)∵sin(α+β)=−35∴cos(α+β)=45∵β−π4∈(π2,3π4)sin(β−π4)=1213∴cos(β−π4)=−513∴cos(α+π4)=cos [(α+β)−(β−π4)]=cos(α+β)cos(β−π4)+sin(α+β)sin(β−π4)=45×(−513)−35×1213=−5665故选D ．6. 已知实数a,b 均不为零，asinα+bcosαacosα−bsinα=tanβ,且β−α=π6,则ba 等于A. √33B. √3C. −√3D. −√33【答案】A解：由β−α=π6得，tanβ=tan(α+π6)=tanα+√331−√33tanα，∵asinα+bcosαacosα−bsinα=tanβ，∴tanα+ba1−batanα=tanα+√331−√33tanα，则b a=√33，7. 已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10∘)=1，则α的值为( ) A. 20∘ B. 40∘ C. 50∘ D. 70∘【答案】B解：由cosα(1+√3tan10∘)=1可得cos α·√3sin 10∘+cos 10∘cos 10∘=1，即cosα2sin40∘cos10∘=1， 所以cosα=cos10∘2sin40∘=sin80∘2sin40∘=2sin40∘cos40∘2sin40∘=cos40∘，又α为锐角，故α=40°， 8. 已知α−β=π6，tan α−tan β=3，则cos(α+β)的值为( )A. 12+√33 B. 12−√33C. 13+√32D. 13−√32【答案】D解：tanα−tanβ=3，且α−β=π6，则：sinαcosα−sinβcosβ=sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ=sin(α−β)cosαcosβ=12cosαcosβ=3，整理得：cosαcosβ=16，则：cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=√32，整理得：sinαsinβ=√32−16， 所以：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=16−√32+16=13−√32，二、解答题（本大题共2小题，共24.0分）9. 若tan(α+β)=2tanα，求证：3sinβ=sin(2α+β)． 【答案】证明：由tan(α+β)=2tanα，得sin(α+β)cos(α+β)=2sinαcosα，即sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)(∗)另一方面，要证3sinβ=sin(2α+β)，即证3sin[(α+β)−α]=sin[(α+β)+α]，即证3sin(α+β)cosα−3cos(α+β)sinα=sin((α+β)cosα+cos(α+β)sinα, 化简，得sin(α+β)cosα=2sinαcos(α+β)∵上式与(∗)式相同．所以，命题成立．10. 如图所示，已知点A(1,0)，D(−1,0)，点B ，C 在单位圆O 上，且∠BOC =π3． (1)若点B(35,45)，求cos∠AOC 的值；(2)设∠AOB =x(0<x <2π3)，四边形ABCD 的周长为y ，将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大值．【答案】解：(1)∵B(35,45)，∴cos∠AOB =35，sin∠AOB =45，∴cos∠AOC =cos(∠AOB +∠BOC)=cos∠AOBcos∠BOC −sin∠AOBsin∠BOC =35×12−45×√32=3−4√310； (2) 等腰三角形AOB 中，求得|AB|=2|OB|sin x 2=2sin x2，等腰三角形COD 中，求得|CD|=2|OC|sin 2π3−x 2=2sin(π3−x2)，∴y =|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=3+2sin x2+2sin(π3−x2)=3+2(sin x2+√32cos x 2−12sin x 2)=3+2(12sin x 2+√32cos x 2)=3+2sin(x 2+π3)，由0<x <2π3得，π3<x 2+π3<2π3，当x2+π3=π2，即x =π3时，y 取得最大值5．【解析】本题考查了三角函数的定义与三角恒等变换的应用问题，也考查了等腰三角形与三角函数最值的应用问题，是较难题．(1)由三角函数的定义，写出cos∠AOB 与sin∠AOB 的值，再计算cos∠AOC =cos(∠AOB +∠BOC)的值；(2)根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y 的解析式，化简为y =3+2sin(x 2+π3)，求出y的最大值即可．。
第二讲：两角和与差及二倍角公式
第二讲：两角和与差及二倍角公式（一） 主要知识：1.两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2.降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．3.三角函数求值问题的基本类型：（1）给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；（2）给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； （3）给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角． 4.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．5.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法：1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2.三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 4.应注意的几点:()1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.()2注意拆角、凑角技巧，如()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-等.()3注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角.()4要时时注意角的范围的讨论.5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）典型例题：例1．()1（07江西文）若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于.A 3- .B 13-.C 3()2(06重庆)3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭例2．（07四川）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，02πβα<<<，(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β例3．求值： ()1cos 20cos 40cos 60cos80︒︒︒︒()2（06江苏）cot 20cos10tan702cos40︒︒︒-︒ 2 例4．已知1sin sin αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求值：()1()cos αβ-；()2（选作）()tan αβ+例5．已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+例6．求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=；例7．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值（四）巩固练习：1.（05重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ.A 23-.B 21- .C 212.（05江西文）已知tan32α=，则cos α= .A 54.C 154 .D 35- 4. 若α为锐角，且1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos α=.A .C .D5.（05江苏）1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.B 13- .C 13 .D 796.（07陕西）已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为 .A 15- .C 15 .D 357.（07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ⋅8.（07浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ9.（06福建）已知3(,),sin 25παπα∈=则tan(4πα+=.B 7 .C 7- .D 7-10. (06湖北)已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=.B .C 53 .D 53-11.（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+=.A .C 12 .D12.（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒=13. 在ABC △中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则14. 已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=15.（06安徽文）已知40,sin 25παα<<=求值：()12sin sin 2cos cos 2αααα++；()25tan(4πα-16.（06天津文）已知5tan cot ,(,242ππααα+=∈求cos 2α和sin(2)4πα+的值17. 化简1tan151tan15+︒-︒等于.B .C 3 .D 118.（06萍乡模拟）tan tan tan6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B3.C.D319.已知1tan7α=，1tan3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+=.B54π.C4π或54π.Dπ20.(05全国Ⅲ文)22sin2cos1cos2cos2αααα⋅=+.A tanα；.B tan2α；.C1；.D1221.222cos12tan()sin()44αππαα--+22.(04全国)已知α为锐角，且21tan=α，求ααααα2cos2sinsincos2sin-的值23.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot3αα+=-（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求225sin8sin cos11cos822222αααπα++-⎛⎫-⎪⎝⎭的值24.（05福建文）已知51cossin,02=+<<-xxxπ.（Ⅰ）求xx cossin-的值；（Ⅱ）求xxxtan1sin22sin2-+的值25.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3sin5α=，β为第一象限的角，5cos13β=．求tan(2)αβ-的值．26.（05杭州二模）已知关于x的一元二次方程2(23)(2)0mx m x m+-+-=的两个实数根分别为tanα和tan.β（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求tan()αβ+ 27.（选作）已知：22tan 2tan 1θϕ=+，求证：cos 212cos 2ϕθ=+。
两角和差PPT课件
得 O 得 得 P4
P1 x
简记为：
此公式有何特点
左边 是两角和的余弦 右边 是两个单角的余弦积 减去两个单角的正弦积 此公式的适用范围
练习：求下列各式的值
1）cos75o 2）cos105o =cos45ocos30o-sin45osin30o 2)cos105o=cos(45o +60o) =cos45ocos60o-sin45osin60o
解：1)cos75o=cos(45o +30o)
cos105o=cos(180o-75o)=o
3）cos32o cos28o –sin32o sin28o
解：原式= cos(32o +28o)=cos60o= 4）cos215o –sin215o
解：原式= cos15o cos15o –sin15o sin15o =cos(15o+15o)=cos30o=
问题：
如何用角 和 的正弦或余弦表示 的余弦 角
即：用 中的几个表示
找到方法： 利用三角函数的定义和单位圆
三角函数的定义： 设角
P(x,y)是角
始边与x轴非负半轴重合 y 终边上任意一点 • P(x,y)
o x
单位圆：
圆心在原点，半径等于1个单位的圆
若点P在单位圆上，则
y
P3
P2
P1
O x
P4
y N2 • P (x2, y2) 2
变用
变形式：
思考题：利用单位圆证明
作业： P38 3.（2）（3） 5.（1）（2）
y
P2 P3
P1
O P4 x
M1 • P1 (x1, y1) P1Q=M1M2=|x2-x1|
2015高考数学(文)一轮总复习课件：3.3 两角和、差及二倍角公式
点评： 三角恒等式可分为无条件三角恒等式与条件恒等式两类，其证明思路 与代数恒等式类似，证明的实质是进行恒等变换消去等式两端的差异， 达到形式上的统一，具体的方法有切割化弦、拆角、常数代换、公式 变形等. 规律总结：1. 证明恒等式的方法： （1）从左到右；（2）从右到左；（3）把两边化到同一式子. 原则上是 化繁为简，必要时也可用分析法. 2. 三角恒等式证明的切入点： （1）看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化；（2）看函 数：统一函数，向结果中的函数转化.
自主测评
判断下列命题是否正确. 例1、 （1）两角和与差的正切公式对 α ，β是任意的. （2）存在实数 α ，β使等式 sin（α ＋β）＝sin α ＋sin β 成立. （3）两角和的余弦公式为 cos（α ＋β）＝cos α cos β＋sin α sin β. （4）若 α ＋β＝45°，则 tan α ＋tan β＝1－tan α tan β.
cos ∴原式＝－
·cos α α 2 ＝cosα .（10 分）
－cos
易错警示： 本题在求解过程中，要注意讨论角的范围，此处经常出现因不 讨论范围，导致出现增解的情况。
规律总结： 三角函数式化简的要求： （1）能求出值的应求出值；（2）尽量使三角函数种数最少；
（3）尽量使项数最少；（4）尽量使分母不含三角函数；（5）
题型3 ·三角恒等式的证明
例 4、 （2013·唐山月考）已知 sin（2α ＋β ）＝2sin β，求证：tan（α ＋ β）＝3tan α .
思路点拨： 分析角的差异进行变角：2α＋β＝（α＋β）＋α；β＝ （α＋β）－α. 规范解答： ∵sin（2α ＋β ）＝2sin β，
∴sin [（α ＋β ）＋α ]＝2sin [（α ＋β）－α ]， （3 分） ∴sin（α ＋β）cos α ＋cos（α ＋β）sin α ＝2sin（α ＋β）cos α －2cos（α ＋β）sin α ， （6 分） ∴3cos（α ＋β ）sin α ＝sin（α ＋β）cos α ， ∴tan（α ＋β ）＝3tan α .（10 分）
5.两角和与差、二倍角公式
5.两角和与差、二倍角公式一、相关概念及知识点 1.两角和与差的三角函数()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ()βαβαβαs in c o sc o s s in s in -=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =22222cos sin12sin 2cos 11tan cos22tan tan2αααααααα-=-=--==以下公式不作要求 3. 半角公式2cos 12sin αα-±=2c o s 12c o s αα+±=t a n 2α=ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+4. 万能公式：22tan 2sin 1tan 2ααα=+ 221t a n 2c o s 1t a n 2ααα-=+22t a n 2t a n 1t a n 2ααα=-5. 积化和差：()()[]βαβαβα-++=sin sin 21c o s sin ()()[]βαβαβα--+=s in s in 21s in c o s ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=c o s c o s 21s in s in 6. 和差化积：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-2s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x重要结论：1．sin α±cos α)4πα±．sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ±±=±=3．a sin α＋b cos α（α＋φ（α－φ1），． 4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝2sin 2α． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α.8．21cos sin 22αα-=. 9．21cos cos 22αα+= .10.αααααcos3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.1tan tan().1tan 4απαα±=± 二、重点难点两角和与差、二倍角公式三、课前预习1、下列各式中，值为12的是 （ ） A 、1515sin cosB 、221212cossin ππ- C 、22251225tan .tan .-D2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件 3、若02πβα<<<且45513cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ） A 、6365 B 、6365- C 、3365 D 、5665或1365-4、已知,αβ为锐角且cos αβ==，则αβ+的值等于＿＿＿＿。
江苏省无锡市2015年高考数学两角和差和二倍角公式在解题中的应用
江苏省无锡市2015年高考数学 两角和差和二倍角公式在解题中的应用化简配角在解题中的应用1、已知角βα,均为锐角，且,31)tan(,53cos -=-=βαα=βtan 则 A ．31 B ．139 C ．913D ．3【答案】D 【解析】试题分析：: 由于βα,均为锐角，3cos 5α=，则4sin 5α=，4tan 3α=，tan[()]ααβ--=tan tan(-)1tan tan()ααβααβ-+-4133=341133+=-⨯考点：凑角求值 2、若π1sin +123α=（），则7πcos +12α=（） ． 【答案】13-【解析】试题分析：7πππ1cos +cos ++12122123πααα=（）（+）=-sin(）=-考点：诱导公式3、己知 ,sin 3cos 5a R a a ∈+=，则tan 2a=_________． 【答案】43- 【解析】试题分析：由sin 3cos 5a a +=sin α53cos α，代入22sin cos 1αα+=整理得，25cos3520αα-+=，解得cos α5或cos α25，当cos α=55时，sin α=255，所以tan α=2，所以tan 2α=22tan 1tan αα-=43-； 当cos α=255时，sin α=-55，所以tan α=12-，所以tan 2α=22tan 1tan αα-=43-，综上所述，tan 2α的值为43-． 考点：同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想 4、已知向量13(,)22=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值．【答案】（1）2π3θ=；（2）1538； 【解析】试题分析：（1）由向量共线的坐标表示得到关于θ的方程进而求解；（2）将向量模的关系式转化为数量积的关系式，用坐标表示数量积则可得到关于θ的方程，接下来可以用方程组求解sin θ，也可通过配角求解； 试题解析：（1） 因为//a b ，所以132sin 2cos 22θθ-⋅=，即sin 3θθ-=， 所以tan 3θ=- 又0πθ<<，所以2π3θ=． （2）因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又13(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos 3sin θθ⋅=-a b ， 13cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<， 又0πθ<<，π15cos()6θ-=所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+=-+-==1538． 考点：1．向量共线的坐标表示；2．向量的数量积；3．三角函数公式； 5．已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值；（2）写出()f x 的单调区间． 【答案】（1）,Z 8x k k ππ=+∈;（2）5[,],Z 88k k k ππππ++∈． 【解析】 试题分析：（1）将原函数利用倍角公式，化为一角一函数，进而求得其最大值及其对应的x 的值;（2）根据sin y x =的单调性及其运算性质，得到所求函数的单调性． 试题解析：（1）3(1cos 2)1cos 2()sin 222x x f x x +-=++sin 2cos22x x =++)24x π=++所以()f x 的最大值为2+,Z 8x k k ππ=+∈． 5分（2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388k x k ππππ-≤≤+； 所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88k k k ππππ-+∈； 由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588k x k ππππ+≤≤+所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88k k k ππππ++∈。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 两角和差公式
【必备知识】
【实战演练】
题型一：知值求值
例1、 已知3sin()35πα
-=，526ππα<<，求sin α；
练习1.1、已知54cos ,cos()135α
αβ=+=-，α、β均为锐角，求cos β.
练习1.2、已知παπβ<<<<20，()=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+βαβαβαcos ,912cos ,32)2sin(则
题型二：知值求角
例2、 若锐角αβ、满足sin α
=3tan 2β=，求αβ+的值；
练习2、已知11cos(2),sin(2)1442ππα
βαββα-=--=<<<<，求αβ+=__________.
题型四：正切两角和差变形公式的应用
例3、 求值：tan 26
+tan343tan 26tan34+⋅；
练习3.1、求值：(1+tan1
)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)(1tan 45)++⋅⋅⋅++
【重难点习题突破】
1、若sin sin 1αβ=，则cos()αβ+=__________________；
2、若(0,2πα
∈，且cos(64
πα+=-cos α=_________________________；
3、已知3sin sin(2)α
αβ=-，且()2k k Z πβπ≠+∈，求证：tan()2tan 0αββ-+=；
4、在
ABC 中，若两内角A ，B 满足cot cot 1A B ⋅>，则ABC 的形状是（ ） .A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 智商太高，懒得判断
5、已知5sin sin(2)β
αβ=+，求tan()cot αβα+的值；
6、已知关于x 的方程34(cos )sin sin cos 55x x α
αββ-+=--的解集为R ，求cos()αβ-的值；
7、 若方程2(23)(2)0(0)mx
m x m m +-+-=≠的两根分别为tan α、tan β，求tan()αβ+的取值范围；
8、 已知sin sin α
β+=，求cos cos αβ+的值的取值范围；
9、 已知α、β是某三角形的内角，且sin α
β，tan αβ，求α、β的值；
10、已知1cos cos 2α
β-=，1sin sin 3αβ-=-，分别求cos()αβ-、cos()αβ+的值；
11、若sin()sin()x y x y a +
-=，求22cos cos x y -的值；
12、已知1sin sin 4α
β+=，1cos cos 3αβ+=，求tan()αβ+的值；
13、已知1sin sin 2α
β+=，3cos cos 4
αβ+=，求sin()2cos()αβαβ+-+的值；。