3-1、3-2数学期望
常见分布的数学期望和方差
E( X
2)
n k0
k 2Ckn
pkqnk
n
np
k 1
k
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
p k 1q n k
n np (k
k 1
1) (k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
n k 1
(k
(n 1)! 1)!(n
k )!
pk1q nk
np[(n 1) p 1]，
EX 2 4 ，试求 a 和 b（ a b ）．
解 DX EX 2 (EX )2 3 ；
ab 2
(b a)2 12
EX 1， DX 3
；
a b 2， b a 6 ；
a 2， b 4 .
因此 X 在区间[2,4] 上均匀分布．
21
第21页
例3 假设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都在区间(0,1) 上 均匀分布，试求随机变量 Z X Y 的数学期望．
0.90 .
12
第12页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
1. 均匀分布 X ~ U (a, b) .
1
f
(
x)
b
a
,
a xb
0 , 其它
b1
E( X ) xf ( x)dx x dx
a ba
1 b2 a2 a b .
ba 2
2
13
第13页
二、常见持续型分布旳数学盼望和方差
望 与
指数 分布
f
(
x)
e x
0,
,
x0 else
( 0)
p
npab 2 1源自pqnpq(b a)2 12 1
数学期望
5000 1000 100 10 0 2 105 10 105 100 105 1000 105 p0
每张彩票平均能得到奖金
1
2
E( X ) 10000 105 5000 105 0 p0
0.5(元),
每张彩票平均可赚 2 0.5 0.3 1.2(元),
因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为
17:39
分析:
设这个人一次购物得奖金X元，X的分布 列为：
X 500 100
10
20
p 1 105 10 105 102 105 103 105 0
17:39
X的数学期望为：
( X ) 500 1/105 100 10 /105 10 102 /105 2103 /105 0 0 0.045（元）
设头等奖1个， 奖金 1万元, 二等奖2个，奖金各 5 千元；三等奖 10个， 奖金各1千元； 四等奖 100个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各 10 元。每张彩票的成本费为 0.3 元， 请计算彩 票发行单位的创收利润。
分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则
X 10000 p 1 105
（1）A得200·(1/2) 法郎，B得200·(1/2) 法郎；
（2）A得200·(2/3) 法郎，B得200·(1/3) 法郎。
17:39
既然前两种分法都 不合理，那么第（3） 种更合理的办法又该 怎样分呢？
17:39
假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:
AABiblioteka ABBABB
A胜B负 A胜B负
A胜B负 B胜A负
而
B
1
只能获得赌金的4
.
因此, A 能“期望”得到的数
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巧用数学期望解决等车时间期望问题
【中图法分类号】O211
数学期望是概率论中最重要的数字特征之一，数学期望的应用是概率论课堂教学的一个重点.现实生活中对一些具体问题的求解，不仅能巩固学生的基础知识还能开阔学生的思维，提高学生综合运用数学知识的能力，加强学生对数学期望定义的理解和掌握[1-3].
日常生活中，我们经常遇到如下等车时间问题.
问题1：某公交车站每隔10分钟有一班车通过，求乘客在任意时刻到达车站需要等车时间的数学期望.
分析：设乘客等车的时间为随机变量X，由题意可知X～U[0，10]，故乘客等车时间的数学期望为5分钟.
问题2：公共汽车站于每小时的第10分钟、30分钟、55分钟发车，假设某乘客不知道发车时间，并且在每小时内的任意时刻到达车站，求该乘客等候时间的数学期望.
解：设该乘客到达车站的时刻为随机变量X（单位：分钟），由题意可知X～0，60.其概率密度函数为：
【。
数学期望的性质与条件期望
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
3-2随机变量函数的数学期望
1 , Y = 0 , − 1 ,
X >0; X = 0; X < 0.
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E[ g ( X )] = ∫ g ( x) f ( x)dx.
−∞
+∞
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§3.2 随机变量函数的数学期望
二维情形 若 ( X , Y )为二维离散随机变量， Z = g ( X , Y ) , 则 且
E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) p ( xi , y j )
X >0; X = 0; X < 0.
求 E (Y ) . 解：易知 X 的概率密度为
1, f ( x) = 3 0 ,
−1 ≤ x ≤ 2 ; 其它.
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§3.2 随机变量函数的数学期望
于是
1 1 P (Y = −1) = P ( X < 0) = ∫ dx = ; −1 3 3 P(Y = 0) = P( X = 0) = 0 ; 21 2 P(Y = 1) = P( X > 0) = ∫0 dx = . 3 3 从而 1 2 1 E (Y ) = (−1) × + 0 × 0 + 1 × = . 3 3 3
（1） 设二维离散随机变量 ( X , Y )的联合概率函数为 p ( xi , y j ) , i = 1 ,2⋯ j = 1 ,2⋯ 则随机变量函数 g ( X , Y ) 的数学期望为
3.1-数学期望
2） 有限项和不受次序变动影响, 其数学期望总是存在的.
3）数学期望是一个数, 失去了随机性.
设X 是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),在数轴上取很 密的分点x1< x2 < …< xn+1, 则X落在小区间(xi, xi+1)的概率是
4
E(X
)
4
3 4
4
81 64
应用举例1---等待问题
按规定,某车站每天8:00 9:00 , 9:00 10:00
都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的， 且两者到站的时间相互独立,其规律为
8 : 10 到站时刻
9 : 10
8 : 30 9 : 30
8 : 50 9 : 50
概率
1
Y g( X ) E(Y ) E g( X ) g( xi ) p i i 1
例9 设二维随机变量(X,Y) 在半圆域：
G ( x, y) | x2 y2 1, y 0
上服从均匀分布, 求E(X), E(Y), E(X2Y).
解 由题意可知 (X, Y)的概率密度为
y
1
-1 0
(1
k0
p)nk
n
(n)!
k
k0 k !(n k)!
pk (1
p)nk
n
np
(n 1)!
pk1(1 p)(n1)(k1)
k1 (k 1)!(n k)!
lk1 n1
np
Cl n1
pl
(1
p)(n1)l
l0
np
特别地， 若Y ~ B (1, p ), 则 E(Y) = p.
分赌本问题
分赌本问题分赌本问题又称为分点问题，在概率论中是一个极其著名的问题，在历史上它对概率论这门学科的形成和发展曾起过非常重要的作用。
1654年法国有个叫De Mere 的赌徒向法国天才的数学家帕斯卡（Bvlaise Pascal ）提出了如下的分赌本问题：甲、乙两个赌徒下了赌注后，就按某种方式赌了起来，规定：甲、乙谁胜一局就得一分，且谁先得到某个确定的分数就赢得所有的赌本。
但是在谁也没有得到确定的分数之前，赌博因故中止了，如果甲需再得分才赢得所有赌注，乙需再得m 分才赢得所有赌注，那么如何分这些赌注呢？n 帕斯卡为解决这一问题，就与当时享有很高声誉的法国数学家费尔马（Pierre de Fermat ）建立了联系。
当时，荷兰年轻的物理学家惠更斯（C.Huygans 1629—1695）知道了这事后，也赶到巴黎参加他们的讨论。
这样，使得当时世界上很多有名的数学家对概率论产生了浓厚的兴趣，从而使得概率论这门学科得到了迅速的发展。
后来人们把帕斯卡与费尔马建立联系的日子（1654年7月29日）作为概率论的生日，公认帕斯卡与费尔马为概率论的奠基人。
如何解决分赌注问题呢？帕斯卡提出了一个重要的思想：赌徒分得赌注的比例应该等于从这以后继续赌下去他们能获胜的概率。
算例如下：甲乙两位赌徒相约，用掷硬币进行赌博，谁先赢三次就得全部赌本100法郎。
当甲赢了二次，乙只赢一次时，他们就不愿再赌下去了，问赌本应如何分配呢？这个问题引起了不少人的兴趣，有人建议按已赢次数的比例来分赌本，即甲得全部赌本的32，乙得余下的31。
有人提出异议，认为这完全没有考虑每个赌徒必须再赢的局数，这样不符合事先约定的规则。
1654年帕斯卡提出如下的解决办法：在甲赢得二次而乙只赢得一次时，最多只需再玩二次即可结束这场赌博，而再玩二次可能出现的结果有如下四种，并且这四种情况出现的概率相等：其中前三种结果都使得甲赢得100法郎，其相应的概率为4，而甲得0法郎的概率为41，故甲赢得的数学期望为7541043100=×+×法郎；而乙赢得的数学期望为2541100430=×+×法郎。
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定义 设X是连续型随机变量,X~f(x),若 xf ( x )dx 绝对收敛,则称该积分为X的数学期望,记为:
EX=
xf ( x )dx
否则称X的数学期望不存在. 例 若X服从[a,b]区间上的均匀分布,求EX. 1 x [ a, b] 解 X ~ f ( x) b a 0 其它
则随机变量函数Y=g(X)的可能值及取得这些值的概率可 以列表如下： Y P[Y=g(xi)] g(x1) P(x1) g(x2) P(x2) …… …… g(xn) …… P(xn) ……
定理 设X是离散随机变量,随机变量函数Y=g(X)的数 学期望E(g(X))存在,则 E(Y)=E[g(X)]= g ( xi ) p( xi )
例 检验两批灯泡的质量,从中分别随机抽样5只, 测得使 用寿命(单位：小时)如下: A: 2000 1500 1000 500 1000; B: 1500 1500 1000 1000 1000; 试比较这两批灯泡质量的好坏.
计算得: 平均寿命分别为: A:1200, B:1200, 数学期望
观察得: A中使用寿命偏离较大,B中使用寿命偏离较小, 所以,B产品质量较好.
设X表示旅客每赌一次输钱的金额，则其数学期 望为：
E X 10 0.01 5 2 0.0026 2 (0.0234 2 0.0277) 1 (0.0421 0.0624) 0.5 2 0.0935 2 0.2494 2.5 0.3741 1.04
不 同 颜 色 数 字 排 列
4 4 2
4 3 3
4 4 1 1
4 2 2 2
4 3 1 1 1
3 3 3 1
2 2 2 2 2
4 3 2 1
4 2 2 1 1
3 3 2 2
3 3 2 1 1
3 2 2 2 1
输 ＋ ＋ ＋ ＋ 赢 10 5 5 2 金 额 (元)
10 取法总数 C20 184756
C ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － － 2 2 1 1 0.5 0.5 2 2.5
摸到球色数字排列x1(442)的取法数 C5 C4 C4 C3C4 180
2 4 4 1 2
数字排列种类
组合种数
概率P(xi)
输赢金额
X1(442) X2(433) X3(4411) X4(4222) X5(43111) X6(3331) X7(22222) X8(4321) X9(42211) X10(3322) X11(33211) X12(32221)
0r R 其它
EX
R
0
rf r dr
2r 2 r 2 dr 2 R R
R
0
2 R 2 r dr 2 R R 3 3
2
3
例4 设随机变量X服从柯西分布：
1 f ( x) , x 2 (1 x )
求数学期望E(X)
i
例1 设随机变量X的概率分布为
X -2 -1 0 1 2 3 P(xi) 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10
求随机变量函数Y=g(X)=X2数学期望 解 E Y
g ( x ) p( x ) x
i i i i
2 i
p( xi )
=(-2)2×0.10+(-1)2×0.20+02×0.25+12×0.20 +22×0.15+32×0.10=2.30
1 3 P{x1 k | x 2 1} 4 4
k
1 k
(k 0,1)
因此, 在x 2 1条件下, x1的平均值应为 3 1 1 E{x1 | x 2 1} 0 1 4 4 4
一种很迷惑游客的赌博游戏
在一个游客很多的旅游胜地，发现这样一类赌博 游戏：赌主拿着一个装有20个大小同样的玻璃球小袋， 玻璃球共有红、黄、蓝、白、黑5种颜色。每种颜色均 为4个球，让游客从袋中任意摸出10个球，如摸到红球 4个黄球4个白球2个，则数字排列为442（按从大到小 的顺序排列），以摸到各种球组成的数字定输赢。规 定如下表(其中“+”号表示赢，“-”号表示输)：
180 480 480 4320 5120 5120 7776 11520 17280 17280 46080 61920
0.001 0.0026 0.0026 0.0234 0.0277 0.0277 0.0421 0.0642 0.0935 0.0935 0.2494 0.3741
+10 +5 +5 +2 +2 +2 +1 +1 +0.5 +0.5 -2 -2.5
E (Y ) E( X )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
xf X ( x)dx
E (Y )
yfY ( y)dy
§3.2
随机变量函数的数学期望
1. X为离散随机变量情形 (1) 设离散随机变量X具有如下的概率分布： X P(xi) X1 P(x1) X2 P(x2) …… …… Xn P(xn) …… ……
第三章 随机变量的数字特征（约8学时）
基本要求：
1 2 3 4 5 6 理解数学期望、方差的定义 会求随机变量及函数的数学期望方差 掌握某些常用分布的数学期望与方差 理解原点矩与中心矩的概念 会求协方差与相关系数 理解切比雪夫不等式
通常求出随机变量的分布并不是一件容易的事, 而人们更 关心的是用一些数字来表示随机变量的特点, 这些与随机变量 有关的数字, 就是随机变量的数字特征. 最常用的数字特征为数 学期望, 方差和相关系数.
利用已知的幂级数展开式
1 mx m 1 , x 1, (1 x) 2 m 1
1 E X 0.4 2.5 2 (1 0.6)
练习: 甲乙两名射手在一次射击中得分(分别用x,h 表示)的分布律如下表所示, 试比较甲,乙两射手的技术.
x
P
1
0.4
2
0.1
所以 EX=
xf ( x)dx a
b
1 1 1 2 b ab x dx x 2 ba ba 2 a
例3 在§2.5例1中,求击中的点M与靶心O的距离X的 数学期望. 解 在§2.6例1中已经求得X的概率密度
2r 2 f (r ) R 0
X的数学期望
如果每天有100人次参赌，则赌主每天大约可得 104元。
2. 一维连续随机变量的数学期望
在实际应用中, 严格地讲是不存在连续型随机变量 的, 尤其是在经济学领域, 现在广泛采用计算机来存储 数据, 而计算机是无法存储一无限不循环小数的, 因此 实际上的值只能是有限多个. 而之所以还使用连续型随 机变量, 是因为它构成了很好的对非常密集的离散型随 机变量的近似. 我们也可以反过来用离散型随机变量来近似连续 型的随机变量.
i j
i j
E (Y ) y j p( xi , y j )
E( X )
E (Y )
x
i
j
i
p X ( xi )
j
y
pY ( y j )
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y), 反常积分是绝对收敛的则随机变量X及Y的数学期望分别 为：
E( X )
3. 二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望(了解) 定理 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,E[g(X,Y)]存在, (1)若(X,Y)为离散型随机向量,P(X=xi,Y=yj)=pij ,则
解 由题意得
1 x [0, ] X ~ f ( x ) 0 其它 1 2 E (sin X ) sin xf ( x)dx sin x dx 0 2 2 1 2 2 E ( X ) x f ( x)dx x dx 0 3 2 2 2 E ( X EX ) E ( X ) ( x ) f ( x)dx 2 2 2 21 1 3 ( x ) dx (x ) 0 0 2 3 2 12
2. X为连续随机变量情形 定理 设连续随机变量X的概率密度为f(x)，随机变量 函数Y=g(X)的数学期望存在，则
E(Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx
例2 设随机变量X服从[0,π]的均匀分布,求
E (sin X ), E ( X 2 ), E ( X EX ) 2
§3.1 数学期望
数学期望是任何一个随机变量的最重要的也被最广 泛使用的数学特征, 英文是expectation, 另一种叫法为均 值(mean or everage value) 它的实际意义就是平均值. 但属于一种更为严格意 义下的平均值.
1、一维离散随机变量的数学期望
定义：离散随机变量X的一切可能值xi与对应的概率 P（X=xi）的乘积的和叫做随机变量X的数学期望，记作 E（X）. 如果随机变量X只能取得有限个值x1,x2……,xn,而取 得这些值的概率分别是P(x1),p(x2),……,p(xn) 则X的数学期望 E(X)=x1p(x1)+x2p(x2)+… +xnp(xn) xi p ( xi )
i 1 n
注意 数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是 一种加权平均.
例1 设随机变量X服从“0-1”分布求数学期望E(x). 解: E(x)=0×q+1×p=p 例2 求§2.2例中取球次数的数学期望. 解: (1) 取球次数X的概率分布为 X的数学期望