9.2一阶线性微分方程
sinu e x Cx (C 0) 通 解
arcsin( Cx ) ) (C 0)R ) 由此又得到 y y xxarcsin( Cx (C
注意 : y 0 也是原方程的一个解 , 所以可以有C 0
例2 解方程( y 2 3 x 2 )dx 2 xydy 0.
y P ( x ) y Q( x ) C ( x ) e
P(x)dx C (x) Q(x) e
P ( x ) dx
Q( x )
P(x)dx C(x) Q(x) e dx C
ye
P(x)dx
P(x)dx . ( Q(x). e dx C )
e
ln y
y( e y dy C ) y( e y C)
( ye e
y
ln y
dy C )
dy y 的通解. 练习 求微分方程 3 dx x y 解 对于未知函数y，它不是线性方程，但是方程可改
写为
dx 1 2 dx x y 3 1 2 x y , (7) x y ，即 dy y dy y y
将 y x 1 e代入，得C 0;
1 x 所求特解为 y e . x
练习
求通解
dy 1 x y dx x
dy 1 1 y 2 dx x x
解 化为标准形式
1 p( x ) x
1 q( x ) 2 x
利用公式求解
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx (C1 q( x )e dx )
yCe
P ( x ) dx
(线性齐次方程的通解)
2. 用常数变易法试解 线性非齐次方程:
y P ( x ) y Q ( x ).
想法: 试将齐次 方程 y P ( x ) y 0 的通解
yCe
P ( x ) dx
中的常数 C 改为 x 的函数 C ( x ), 期待y C ( x ) e 为 y P ( x ) y Q( x ) 的通解.
y
Q( y ) e P ( y )d y d y C ，得
例4. 解方程 解: 方法2. 令x+y=u， 则 y=u-x，
代入原方程，得 分离变量，得 两端积分，得
u ln u 1 =x C , y ln x y 1 =C ,
将u=x+y代入，得 Nhomakorabeae ln x
sinx ln x e dx C x
1 ( sin xdx C ) x
1 ( cos x C ). x
x x y y e 0, 例2 求解初值问题 y x 1 e .
x x 1 e 1 e 解 方程变形为y y . , P ( x ) , Q( x ) x x x x
1 1 du dx. f ( u) u x
u g( x ) 的可分离变量的方程!
例1
dy y y tan dx x x
这个方程的特 点是什么 ? 求解方法
可分离变 这是什麽 量方程！ 方程？
dy y g( ) dx x
齐次方程
y 令 u x
dy du u x dx dx
例4. 解方程 解: 方法 若将y看作是x的函数，显然它关于y不是 一. 线性的，但若将其改写为
dx P( y ) x Q( y ) dy
则它关于x是一阶非齐次线性方程.
代入公式 x =e
xe
y
P ( y )d y
y = Ce y 1 . y e d y +C
方程关于 y 及 y 不是一阶线性的 , 但把 y 看作自变量， dx 1 y x ye 把 x 看作未知函数, 方程可化为 dy y
这是关于x, x的一阶线性方程 . 由通解公式得
xe
1 dy y
1 dy y y ye e dy C
dy 2 例3 求 ( x y ) 的通解. dx
dy du 解 令 x y u, 1 代入原方程 dx dx du 1 u2 解得 arctanu x C , dx
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为 y tan( x C ) x .
1 dx 1 1 1 x e (C1 2 e dx ) (C1 2 x dx ) x x x 1 1 C 1 (C 2 x dx ) ln x x x x x 1 dx x
例3 解方程 xdy ydx y 2e y dy.
解
dy y 解出y, 得 dx x y 2 e y
2
du 3(1 u ) x dx 2u
2
分离变量得
2udu 3 dx 2 x 1 u
两边积分得 ln( 1 u2 ) 3 ln x lnC1
x (1 u ) C
3 2
y 再用 代替 u，便得方程的通解 x
x( x y ) C
2 2
练习 求解微分方程
y y ( x y cos )dx x cos dy 0. x x
对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是 一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性 非齐次方程
dx P( y ) x Q( y ) dy
(8)
的通解公式为
x e P ( y )dy [ Q( y )e P ( y )dy dy C ]
(9)
1 P( y ) , Q( y ) y 2 方程(7)中， 代入(9)式，即得 y 所求上述方程的通解为
Ce
P(x)dx
e
P(x)dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P(x)dx Q(x) e dx
1 sin x 的通解. 例1 求方程 y y x x 解： P ( x ) 1 , Q ( x ) sin x , x x
ye
1 dx x
dx sin x 1 x e dx C x
通解为 y e
1 dx x
dx ex 1 x dx C x e
x 1 e ln x ln x x e e dx C ( e x x dx C ) 1 x (e C ); x
解
y 令u ， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx x cos u( udx xdu) 0,
dx cos udu , x
微分方程的解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
求解微分方程常用的方法之一是通过变量代换将给 定的微分方程化成可求解的形式。
y 2 3( ) 2 2 dy 3 x y 解 将方程改写成 x . y dx 2 xy 2( ) x y dy du 令u , 则 u x ; x dx dx
代入上式得 将该方程整理化简
du 3 u u x dx 2u
2
du 3(1 u ) x dx 2u
P ( x ) dx
反试:
试将 y C(x) e
P(x)dx
代入
y P(x)y Q(x)确定C(x):
y C (x) e
P(x)dx
P(x) C(x) e
P(x)dx
,
P(x)dx y P(x)y Q(x) C (x) e Q(x)
或
x =Ce y y 1 .
作 业
P410--411 3(2);4(7)
第二节
一阶微分方程
二、齐次方程
dy y f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 形式 形如 dx x
解法(固定的程序) dy du y u x ; 作变量代换 u , 即 y xu, dx dx x 将上式代入原方程得
du u x f ( u), dx
代入得到 du g ( u) u
dx
x
变量代换，化为可分离变量
dy y y y tan 令u dx x x x
dy du 则 u x , 代入得到 dx dx
分离变量 两端积分
C1
du u x u tan u dx dx cot u du x ln | sinu | ln | x | C 1
练习
求 y cos(x y ) 的通解
令 x y u
方程化为
解
1 y u
u 1 cosu
分离变量，两边积分
du 1 cos u dx
通解
du 2 sin2
u 2
dx
x y cot xC 2
三、线性方程
一阶线性微分方程(形式如下的微分方程):
x
1 dy e y
1 dy y 2 e y dy
C
e
ln y
y 2 e ln y dy C
2 y 2 1 y y y dy C y 2 C .
通解公式:
ye
P(x)dx
P(x)dx ( Q(x) e dx C )
公式的证明(实际解的过程)： 1. 解线性齐次方程 (使用分离变量法)
合集下载
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
高等数学(微积分)课件--§92一阶微分方程
2
两边积分, 得 1 ln 1 2u 3 ln x ln C 2 1 y 3 或 ln 1 2( ) ln x ln C . 2 x
21
课堂练习
1 求下列齐次方程的通解: x x x y y (2) (1 2e ) 2e (1 )dy 0 y x dx du 解令 u, x yu, u y , y dy dy du u 代入原方程 ， 得 (1 2e )( u y ) 2e u (1 u) 0, dy u 1 2e 1 即 du dy , u y u 2e 两边积分， 得 ln u 2e u ln y ln C
解
分离变量
dy e dx, 2x y 7e
2x
2 ln y ln(7 e 2 x ) C 1
y e
c 2x
dy e2 x dx, 两端积分 2x y 7e
7e
C 7e
2x
4
例题讲解
例 3 求解微分方程
4 xdx 3 ydy 3x 2 ydy 2 xy 2 dx的通解
dy x y 解： dx 2 xy
2
2
dy ( y x) 1 dx 2( y x)
2
y 令u , y ux x
18
例题讲解(续)
dy dux du 1 u 2 ux dx dx dx 2u dx 2u 1 1 du ( )du 2 x 1 u 1 u 1 u ~ ln x ln(1 u ) ln(1 u ) ln c
dy 2 2 例如 2 x y y dy 2 x dx , dx
4 5
9.2一阶微分方程
∫
′
=+=而()()yPxyQx
′
+=()()Pxdxd
ye
dx
∫
∴()(())PxdxeyPxy
∫
′
=+()()PxdxQxe
∫
=【微积分9-2-23】()Qxe=两边同时积分有()()()PxdxPxdxyeQxedxC
∫∫
=+∫所以非齐次方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC???
121
11
1
P
dPPP
P
dPP
?
=?
+【微积分
9-2-18】1
22
21
P
dPP
P
+1
2,
P
u
P
=则为令方程化21
1
u
Puuu
u
?
′
+=?
+分离变量得2
2
211
()2
dP
12
uu
xuu
u
?
′
+=
?化简得22
12
duu
x
dxu
=
?分离变量有1
()
2
dx
udu
ux
?=两边积分有2
111
lnlnln
22
uuxC?=+2【微积分
9-2-17】222
1,uueCxCC?==
?=
==
=∫∫
∫∫∫∫
′
=+=而()()yPxyQx
′
+=()()Pxdxd
ye
dx
∫
∴()(())PxdxeyPxy
∫
′
=+()()PxdxQxe
∫
=【微积分9-2-23】()Qxe=两边同时积分有()()()PxdxPxdxyeQxedxC
∫∫
=+∫所以非齐次方程的通解为()()()PxdxPxdxyeQxedxC???
121
11
1
P
dPPP
P
dPP
?
=?
+【微积分
9-2-18】1
22
21
P
dPP
P
+1
2,
P
u
P
=则为令方程化21
1
u
Puuu
u
?
′
+=?
+分离变量得2
2
211
()2
dP
12
uu
xuu
u
?
′
+=
?化简得22
12
duu
x
dxu
=
?分离变量有1
()
2
dx
udu
ux
?=两边积分有2
111
lnlnln
22
uuxC?=+2【微积分
9-2-17】222
1,uueCxCC?==
?=
==
=∫∫
∫∫∫∫
922一阶线性微分方程
例3.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下 降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比, 比例系数为k(k>0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时 间t的关系.
解：由牛顿第二定律： m dv m g kv ， v(0) 0 dt
dv
k
v
g, 通解： v
mg
k t
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
si
n x
x
eln
xdx
C
1 x
si
n
xdx
C
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
Ce m
dt m
k
由 v(0) 0 得 C m g ， k
特解为
v
mg
(1
k t
em)
k
续解：
dx
v
ch9-2-1-2一阶微分方程103 共34页
(x)
代入公式，
y(1x)Q(x)(x)dx C 其中 C， C1
因此，计算中绝对值符号可省略。
2019/7/10
9
例 9求微分 xyy 方 co x 程 s 的通解
解 方程变形为 y1 ycosx xx
则 P(x) 1，Q(x) cosx，
x
x
所以通解为
dx
当Q(x)0 时称，为一阶线性非齐次方程 .
2019/7/10
2
1. 解一阶线性齐次方程 dyP(x)y0
dx
分离变量，得 dy P(x)dx
y
两边积分
dy y
P(x)dx，
得 ln y P (x )d xln C
所以通解为 yCeP(x)dx
2019/7/10
分离变量得 两边积分
(11)dudx
u
x
(11)du dx
u
x
得u ln u C ln x ， 即ln x uuC ，
所以所给方程的通解为
lny y C．
2019/7/10
x
15
例 3求(x 方 2 y 2 )d 程 y 2 xd y x 0 满 y (0 ) 足 1 的特
§9.2 一阶微分方程
可分离变量的方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努里方程
2019/7/10
1
§9.2 一阶微分方程
二. 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x) 的方程，一 称阶 为线性， 方 dx
其中P(x)、Q(x) 是连续 Q(的 x) 称， 为自由项．
当Q(x)0 时d， yP(x)y0 称为一阶线性齐次方程 ;
代入公式，
y(1x)Q(x)(x)dx C 其中 C， C1
因此，计算中绝对值符号可省略。
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例 9求微分 xyy 方 co x 程 s 的通解
解 方程变形为 y1 ycosx xx
则 P(x) 1，Q(x) cosx，
x
x
所以通解为
dx
当Q(x)0 时称，为一阶线性非齐次方程 .
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2
1. 解一阶线性齐次方程 dyP(x)y0
dx
分离变量，得 dy P(x)dx
y
两边积分
dy y
P(x)dx，
得 ln y P (x )d xln C
所以通解为 yCeP(x)dx
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分离变量得 两边积分
(11)dudx
u
x
(11)du dx
u
x
得u ln u C ln x ， 即ln x uuC ，
所以所给方程的通解为
lny y C．
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x
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例 3求(x 方 2 y 2 )d 程 y 2 xd y x 0 满 y (0 ) 足 1 的特
§9.2 一阶微分方程
可分离变量的方程 一阶线性微分方程 齐次型方程 伯努里方程
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§9.2 一阶微分方程
二. 一阶线性微分方程
形如 dyP(x)yQ(x) 的方程，一 称阶 为线性， 方 dx
其中P(x)、Q(x) 是连续 Q(的 x) 称， 为自由项．
当Q(x)0 时d， yP(x)y0 称为一阶线性齐次方程 ;
高考数学中的一阶线性微分方程
高考数学中的一阶线性微分方程微积分是高中数学的一门重要的学科，其中涉及到微分及其应用。
在微分学中，微分方程是一类非常重要的数学工具，它可以帮助我们解决各种不同的问题。
在高考数学中，微分方程也是一个非常重要的考点，其中一阶线性微分方程更是高考数学的热点难点。
一阶线性微分方程是指形如：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数，$\frac{dy}{dx}$表示$y$对$x$的导数。
这个方程的解决方法非常重要，因为一阶线性微分方程是众多微分方程中比较简单的一种。
下面我们将详细介绍一阶线性微分方程的解法。
一、非齐次线性微分方程的解法对于形如$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$的非齐次线性微分方程，我们可以使用变量分离法来解决。
1. 求出齐次线性微分方程的通解首先我们要求出非齐次线性微分方程对应的齐次线性微分方程的通解，即$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$的通解。
设齐次线性微分方程的通解为$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$，其中$C$是待定系数，$e$为自然对数的底数。
下面我们来证明这个解法的正确性。
将$y_0=Ce^{-\int p(x)dx}$代入到$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$中，即可得到：$\frac{d(Ce^{-\int p(x)dx})}{dx}+p(x)(Ce^{-\int p(x)dx})=0$$\Rightarrow -Cp(x)e^{-\int p(x)dx}+C(e^{-\intp(x)dx})\frac{d}{dx}(e^{-\int p(x)dx})+p(x)Ce^{-\int p(x)dx}=0$ $\Rightarrow \frac{d}{dx}(Ce^{-\int p(x)dx})=0$根据微积分基本定理可知，如果$\frac{d}{dx}(Ce^{-\intp(x)dx})=0$，那么$Ce^{-\int p(x)dx}$就是一个常数，不妨设为$C_1$。
一阶微分方程
(91)5
的微,分 当 c 方 c 1 程 0 时 , 为齐次方程.
解
分离变量,
dy adx y(N y)
即有
1 1 dyaN dx y Ny
两边积分, 得
ln y aNxlnClnCeaNx Ny
由于y 0, 整理得通解 Ny
y
CNC 1,
4
3
于是所求特解为
y 3NeeNNaaxx.
例4 某公 t年司 净W 资 (t)(单 产 :百 位 有 万 ),并且元 资产本身以 5%每 的年 速度连续 ,同时增该长 公司每 年要以30百万元的数额连续支付职工工资. (1)给出描述 W(净 t)的资 微产 分 ; 方程 (2)求解方 ,这 程时假设初始W 净 0; 资产为 (3)讨论 W 05在 0 ,600 ,700 三 0 种,W 情 (t)的 况 变 化特 . 点
当 W060百 0 万,元 公司时 将收支平衡, 净资产保持
在600百万元不变; 当 W 070百 0 万,公 元司 时净 将按指数不断增长.
二、齐次微分方程
1. 齐次微分方程
形如
d d x yf x y
(9 1)2
的一阶微分方程, 称为齐次微分方程, 简称齐次方程.
例如, ( x y y 2 ) d x ( x 2 2 x ) d y y 0 ,
解 (1) 利用平衡法, 即由
净资产增长速度= 资产本身增长速度 职工工资支付速度
得到方程 dW0.05W30 dt
(2) 分离变量, 得 dW 0.05dt W600
积分, 得 lW n 6 0 0 .0 0 t 5 lC n(C为正常数)
于是
W 600 C e0.0t5
或 W 6 0 A e 0 0 .0t5(A C )
一阶线性微分方程
第三节 一阶线性微 Q( x ) dx
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
关于未知函数 y 及 其导数 y 是一次的.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性齐次微分方程.
当Q( x ) 0, 称为一阶线性非齐次微分方程.
例如
dy y x2 , dx dy y 2 xy 3, dx dx x sin t t 2 , 线性的; dt dy cos y 1, 非线性的. dx
Q
解
0
x
x 3 y, y dx ( x y )
3 2
2
两边求导得 y y 3 x ,
dx dx
P
y f ( x)
o x x y e C 3 x 2e dx Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x 0 0, 得 C 6,
齐次方程通解 非齐次方程一个特解
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
ye
1 dx x
sin x 1 dx x e dx C x
e
ln x
sin x ln x e dx C x
dx (tan y ) x sin 2 y , dy
x e ln cos y [ sin 2 y e ln cos y dy C ]
2 sin y cos y cos y dy C cos y cos y [C 2 cos y].
Q( x ) e P ( x ) d x d x C 2. 公式中的不定积分不再加C . ye
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
所以
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
一阶线性微分方程.ppt
2
令 z y1(1) y2 ,
则 dz 2 y dy , dx dx
dz 2xz xex2 ,
z
e
2
xdx
[
xe
x2
e
2
xdx
dx
C
]
dx
所求通解为 y2 ex2 ( x2 C ). 2
2.
dy dx
1 x sin2 ( xy)
y; x
解 令 z xy, 则 dz y x dy ,
2.线性非齐次方程 令 y u( x)e P( x)dx ;
3.伯努利方程 令 y1n z;
思考题
求微分方程
y
cos
y
cos sin 2 y
y
x
sin
y
的通解.
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y,
dy
cos y
dx tan y x sin 2 y,
一阶线性微分方程的解法
1.
线性齐次方程
dy dx
P( x) y
0.
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
2.
线性非齐次方程
dy dx
P( x) y
Q( x).
讨论
dy y
Q( x) y
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:
1、dy dx
y cot x 5e cos x
,
y x
4；
2
2、 dy dx