《两点间的距离》教学设计(优质课)
两点间的距离公式教案
两点间的距离公式教案【教案】教学目标：1.了解两点间距离的概念；2.掌握两点间距离公式的推导与应用；3.培养学生运用公式解决实际问题的能力。
教学重点：1.两点间距离公式的推导；2.两点间距离公式的应用。
教学难点：1.运用两点间距离公式解决实际问题；2.让学生理解公式的推导过程。
教学准备：1.教师准备悬挂式黑板和彩色粉笔；2.学生准备纸张和笔。
教学过程：Step 1: 引入新知1.教师可以通过两个同学之间的距离引入新知。
例如，让两名同学站在教室的两个不同角落，然后询问他们之间的距离是多少？为什么？2.引导学生思考和讨论两点间距离的概念和重要性。
Step 2: 推导两点间距离公式1.教师在黑板上写下两点的坐标，并标记为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)。
2.引导学生思考如何计算两点间的距离，可以让学生想一想利用勾股定理是否可以解决这个问题。
3.提示学生使用勾股定理计算两点间的直线距离。
4.根据勾股定理，直线距离的平方等于两点之间的水平距离和垂直距离的平方之和。
即：d²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²。
5.教师可以解释勾股定理与两点间距离的关系，并引导学生将公式推导出来。
Step 3: 例题演练1.教师选择一些简单的例题进行讲解和演示，让学生理解并掌握两点间距离公式的运用。
2.学生可以互相出题，并在课堂上互相解答，以检验学生掌握程度。
Step 4: 实际问题应用1.教师提供一些实际问题，引导学生运用两点间距离公式解决问题，如：两个城市之间的直线距离、物体下落的距离等。
2.学生分组合作，解决实际问题，并向全班展示解题过程和答案。
Step 5: 总结反思1.教师与学生共同总结两点间距离公式的推导过程和应用方法。
2.教师引导学生思考如何运用所学知识解决更复杂的问题。
教学延伸：1.学生可以尝试将两点间距离公式推广到三维空间，探讨更复杂的问题。
2.学生可以进一步研究其他距离公式的推导和应用，如曲线上两点间的距离公式。
四年级数学上册《两点间的距离》教案、教学设计
在教学过程中，教师将引导学生：
1.通过观察、实践、探讨等途径，发现并理解两点间的距离概念。
2.掌握运用工具进行实际测量的方法，培养学生动手操作能力和实际应用能力。
3.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
4.通过问题导入、案例分析等教学方法，激发学生的探究欲望，培养学生的创新思维。
2.你能想到哪些方法来测量两点间的距离？
3.在计算两点间的距离时，需要注意哪些问题？
4.结合实际生活，举例说明两点间距离的计算方法的应用。
在讨论过程中，教师要密切关注各小组的讨论情况，及时给予指导和帮助。讨论结束后，每组选派一名代表进行汇报，分享本组的研究成果。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，教师设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。练习题可以分为基础题和提高题，涵盖以下几个方面：
2.学生在测量和计算距离时的方法和技巧，以及他们在实际操作中可能遇到的困难。
3.学生在解决与距离相关的问题时，能否运用所学知识进行推理和分析。
4.学生在情感根据以上学情分析，教师在教学过程中应采取针对性的教学方法，注重启发式教学，激发学生的兴趣和探究欲望，帮助他们克服学习难点，提高数学素养。同时，关注学生的情感需求，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在愉快的氛围中掌握知识，发展能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握两点间的距离计算方法，能够熟练运用到实际问题中。
2.学会在平面直角坐标系中准确地找到两点，并能进行实际距离的测量。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
教学开始时，可以通过一个与学生生活相关的问题情境导入新课，例如：“小明的家和小华的家相距多远？”引导学生思考如何用数学方法解决这个问题。
《空间两点间的距离公式》教学设计(优质课)
《空间两点间的距离公式》教学设计（优质课）一、课题：《空间两点间的距离公式》二、课型：新授课三、教材分析：空间两点间的距离公式是数学中重要的知识点，本课以《高中数学》第六册为教学内容，其中包括空间两点间的距离公式的推导过程和实际应用。
四、教学目标与要求： 1. 知识目标：能够正确理解、掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用；2. 技能目标：能够运用空间两点间的距离公式解决实际问题；3. 情感态度目标：通过本节课的学习，使学生养成独立思考、勤奋学习的习惯，努力提高自己的数学水平。
五、教学重难点： 1. 教学重点：掌握空间两点间的距离公式的推导过程及实际应用； 2. 教学难点：解决实际问题时，如何正确运用空间两点间的距离公式。
六、教学准备： 1. 教学用书：《高中数学》第六册； 2. 教学辅助材料：彩色粉笔、白板笔、尺子； 3. 教学器材：投影仪、电脑等。
七、教学方法：任务型教学法八、教学过程：（一）导入： 1. 以游戏的形式，引入“空间两点间的距离公式”的概念，让学生能够体会到空间距离的含义； 2. 指出空间两点间的距离公式的重要性，引起学生的兴趣，为下文的学习做好铺垫。
（二）讲授： 1. 讲解空间两点间的距离公式的推导过程； 2. 举例说明空间两点间的距离公式的实际应用。
（三）操作： 1. 将空间两点间的距离公式在黑板上写出，让学生熟悉公式； 2. 结合实际例题，让学生练习计算空间两点间的距离。
（四）巩固： 1. 挑选部分学生来答题，检查学生掌握空间两点间的距离公式的程度； 2. 引导学生结合实际问题，利用空间两点间的距离公式解决问题。
（五）总结： 1. 总结本节课的学习内容； 2. 提醒学生要经常复习，加深印象，以便更好地理解和掌握空间两点间的距离公式。
【参考教案】《两点间的距离》(数学人教A版高中必修)
《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能：（1）通过推导，了解两点间的距离的求法；（2）理解两点间距离的几何意义；（3）利用两点间的距离公式解决实际问题.法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点：通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点：灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法：启发讲授式与问题探究式．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：引入如何判定两条直线平行？垂直？1.在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？结合问题情境展开思考利用问题引入，激发学生学习兴趣环节二：思考1 在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？学生思考作答通过思考引出本节所学新知。
新课讲解|P 1P 2|=|x 1－x 2|思考2 在y 轴上，已知点P 1(0，y 1)和P 2(0，y 2)，那么点P 1和P 2的距离为多少？ |P 1P 2|=|y 1－y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0，0)和y 轴上一点P 2(0，y 0)，那么点P 1和P 2的距离为多少？221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中，已知点P 1(2，－1)和P 2(－3，2)，如何计算点P 1和P 2的距离？22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地，已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论？22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7 特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？ 22||OP x y =+知识探究（二）：距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则y 2－y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2－x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？ 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅，如何求21||x x -？2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B ， 在x 轴上求一点P ，使|P A |=|PB |，并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(－1，0)，B(1，0)，C(1/2，3/2)，试判断三角学生思考作答。
数学《两点间的距离》教案
数学《两点间的距离》教案一、教学目标：1. 知识与技能：掌握两点间的距离的计算方法，能够熟练运用两点间的距离求解各种实际问题。
2. 过程与方法：掌握寻找两点间的距离的方法，培养学生思维能力、观察能力和分析问题的能力。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣和热爱，培养学生良好的数学思想和数学素养。
二、教学重难点：1. 两点间距离的概念和计算方法。
2. 实际问题的转化和求解。
三、教学过程：1. 导入新课——引出两点间的距离的概念。
通过展示一张地图，询问学生若要从一个地方走到另一个地方，我们在规划路线时需要了解哪些数据。
引导学生思考到两处地点之间的距离数据是不可或缺的。
教师引导学生，两个点之间的距离叫作“两点间距离”。
2. 讲授两点间的距离的计算方法。
（1）首先确定两点在坐标系中的坐标。
（2）应用勾股定理（勾股定理即直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方）求出斜边的长度，就是两点间的距离。
3. 讲解两点间的距离的实际问题的求解。
（1）给出一些实际问题，让学生运用两点间的距离的概念和计算方法解决。
例如：一架飞机在腾空时，速度最快是多少？答案：约290km/h。
它需要超过这个速度才能腾空。
（2）组织学生进行练习。
例如：⑴一个直角三角形的两个直角边的长度分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
答案：5cm。
⑵如图，在平面直角坐标系中，A（3，5），B（5，6）.求AB的长度。
答案：解题过程如下：两点间的距离：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]=√[(5-3)²+(6-5)²]=√4+1=√54. 拓展应用。
通过展示实际生活中的问题，让学生了解两点之间距离在生活中的应用，如万年历、地图测量等等。
四、教学反思：本课是一堂基础知识的课，主要是介绍了两点间距离的概念、计算方法及应用，但是内容较为简单。
在教学中，我在开头引导学生自己思考两点间距离在日常生活中的应用，引起了学生的好奇心和兴趣，促进学生的主动学习。
冀教版四年级数学上册 两点之间的距离(优质教案)【新版】
两点之间的距离教学目标：1．在看图讲故事、看图回答问题和测量活动中，感受在两点间的所有连线中线段最短。
2．知道两点间的距离，会测量两点间的距离。
3．感受生活中处处有数学，增强学习数学的兴趣。
教学重点：理解并能应用两点之间的连线中线段最短，会测量两点间的距离。
教学难点：理解并能应用两点之间的连线中线段最短。
教学过程：一、看图讲故事。
1．观察情景图，鼓励学生用自己的语言讲故事。
2．在讲故事的基础上，让学生说一说发生了什么数学问题，了解小狗走的路（直线）比主人走的路近。
二、看图回答问题。
1．先观察情景图，了解、交流图中的信息。
（1）从小明家到学校有几条路？学生讨论，实际数一数，了解小明家到学校有3条路。
（2）你估计小明去学校走哪条路？为什么？答案不唯一，只要学生说的有道理要给予肯定。
但要使学生明白，走中间的直路比较近。
三、测量。
量一量，从A到B的三条线中，哪条最短？1．先让同学估计一下，从A到B的三条线中，哪条最短，大约有多长，然后再实际测量。
2．交流测量结果，使学生在亲自动手测量中体会、了解“两点之间的所有连线中线段最短”。
最后指出：两点之间线段的长度，叫做两点间的距离。
四、练一练。
1．（1）乘火车，从北京到广州的路程是2313千米。
（2）乘汽车，从北京到广州的路程是2529千米。
（3）乘飞机，从北京到广州的航程是1966千米。
问：为什么乘坐三种交通工具所行的路（航）程不同？组织学生读题，了解题中的信息，然后针对问题进行讨论。
2．观察图中大连与上海间的铁路线和水运线。
哪条线长？为什么？观察线路图，找出铁路线和水路线，再讨论。
大连到上海的铁路线弯度大，水运线比较直，所以铁路线长，水路线短。
3．在A、B两点间画出三条线，并分别测量这三条线的长度。
让学生自己画，测量出长度后，再交流。
熟记“两点之间的所有连线中线段最短”。
两点之间的距离：数学教案
两点之间的距离：数学教案一、教学目标1. 了解两点间的距离的概念；2. 掌握计算两点之间的距离的方法；3. 夯实学生的几何概念和计算能力。
二、教学重点1. 两点间距离的概念；2. 利用勾股定理及其变形计算两点间距离。
三、教学难点1. 利用勾股定理及其变形计算两点间距离；2. 将问题有效地转化为勾股定理及其变形的形式。
四、教学方法1. 示范法：先以简单相近的两点为例子，让学生跟着计算，掌握计算方法，在通过多练习掌握解决问题的方法；2. 体验法：让学生自己测量两点间的距离，体验点与点之间的距离，了解概念；3. 讨论法：在学生了解了前两种方法后，将更复杂的问题放在小组内讨论，解决问题时借鉴彼此想法，在彼此的过程中，深刻地理解计算方法。
五、教学过程1. 引言在日常生活中，我们经常会涉及到空间中点与点之间的距离问题，例如测两地的路程、规划小区的长度和宽度等，这些问题都是通过计算点与点之间的距离来解决的。
而学习两点之间的距离，不仅可以解决实际问题，也是对几何知识的巩固和延伸，下面，我们就来探究两点之间距离的计算方法吧！2. 概念讲解两点之间的距离是指在空间中从一个点到另一个点的直线距离，通常用d表示。
3. 勾股定理如果我们要计算两个点的距离，要确定两点间的直线距离，而对于直角三角形，勾股定理则能帮助我们确定三角形的三边，从而得到两点间的距离。
勾股定理可以得到如下表述：在任意直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方减去另一直角边的平方。
即：$c^2=a^2+b^2$其中，a、b是两个直角边，c是斜边。
4. 案例演示我们现在尝试使用勾股定理的方法，计算两点间的距离。
案例1：已知A(3,4)和B(6,1)两点，求它们之间的距离。
步骤1：根据坐标确定两点间的水平、垂直坐标差值。
AB两点在水平方向上的坐标差值为3-6=-3，垂直方向上的坐标差值为4-1=3。
步骤2：利用坐标差值，计算AB二点间距离。
根据勾股定理，$d=\sqrt{(3-6)^2+(4-1)^2} =\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}$AB两点的距离是 $\sqrt{18}$。
两点间的距离教案
两点间的距离教案一、教学目标知识与技能：1. 理解两点间的距离的概念。
2. 学会使用直尺和圆规测量两点间的距离。
3. 掌握两点间的距离的计算方法。
过程与方法：1. 通过实际操作，培养学生的观察能力和动手能力。
2. 引导学生运用数学知识解决实际问题。
情感态度与价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生的合作意识和团队精神。
二、教学重点与难点重点：1. 两点间的距离的概念。
2. 使用直尺和圆规测量两点间的距离。
难点：1. 两点间的距离的计算方法。
三、教学准备教师准备：1. 教学PPT或黑板。
2. 直尺、圆规等测量工具。
3. 练习题。
学生准备：1. 笔记本。
2. 练习本。
四、教学过程1. 导入：利用PPT或黑板，展示一些实际问题，如道路规划、测量地形等，引导学生思考如何计算两点间的距离。
2. 讲解：讲解两点间的距离的概念，以及如何使用直尺和圆规测量两点间的距离。
3. 演示：教师进行实际操作，演示如何使用直尺和圆规测量两点间的距离，并解释计算方法。
4. 练习：学生分组进行练习，互相测量两点间的距离，并计算结果。
五、作业布置1. 请学生运用所学的两点间的距离的知识，解决一些实际问题。
2. 完成练习题，巩固所学知识。
3. 准备下一节课的内容。
六、教学拓展1. 利用信息技术工具，如计算器、电脑软件等，帮助计算两点间的距离。
2. 探讨其他计算两点间距离的方法，如使用三角板、全站仪等。
七、课堂小结2. 教师强调重点知识点和易错点。
八、课后反思1. 教师反思教学效果，包括学生的参与度、理解程度和作业完成情况。
2. 针对教学中的问题，调整教学策略和方法。
九、教学评价1. 学生评价：了解学生对两点间的距离的概念、测量方法和计算方法的掌握程度。
2. 同行评价：教师之间相互听课，评价教学方法和效果。
3. 教学反思：教师根据评价结果，反思教学过程中的优点和不足，不断改进教学。
十、课程资源1. 网络资源：有关两点间距离的论文、案例、教学视频等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。
；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。
（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。
（三）教学方法
启发引导式
教学环节教学内容师生互动设计意图
复习引入复习数轴上两点的距离公式. 设问一：
同学们能否用以前所学知
识解决以下问题：
已知两点P1 (x1，y1)，P2(x2，
y
2
)求|P1P2|
设置情境导入
新课
概念形成过P1、P2分别向x轴和y轴作垂
线，垂足分别为N1(0，y)，M2(x2，
0)直线P1N1与P2M2相交于点Q.
在直角△ABC中，|P1P2|2= |P1Q|2
+ |QP2|2，为了计算其长度，过点
P
1
向x轴作垂线，垂足为M1 (x1，
0)过点P2向y轴作垂线，垂足为
在教学过程中，可以提出
问题让学生自己思考，教
师提示，根据勾股定理，
不难得到.
通过提问思考
教师引导，使
学生体会两点
间距离公式形
成的过程.
N 2 (0，y 2)，于是有|P 1Q |2 = |M 2M 1|2
= |x 2 – x 1|2，
|QP 2|2 = |N 1N 2|2 = |y 2 – y 1|2. 由此得到两点间的距离公式
22
122121||()()
PP x x y y =-+- 应用举例
例1 已知点A (–1，2)，(2,7)
B 在x 轴上求一点，使|PA | = |PB |，并求|PA |的值.
解：设所求点P (x ，0)，于是有
2222
(1)(02)(2)(07)x x ++-=-+-∴x 2
+ 2x + 5 = x 2
– 4x + 11 解得x = 1
∴所求点P (1，0)且
22||(11)(02)22
PA =++-=
同步练习，书本112页第1、2题.
教师讲解思路，学生上台板书. 教师提问：还有其它的解
法，由学生思考，再讨论提出
解法二：由已知得，线段
AB 的中点为127(,)22
M +
，
直线AB 的斜率为
22722731
()||
32227
72
(12)(02)22
3
k x PA -+=
=⋅---=++-=线段AB 的垂直平分线的方程是
2731
()2227
y x +-
=⋅--
在上述式子中，令y = 0，解得x = 1.
所以所求点P 的坐标为(1，0).因此
通过例题讲解，使学生掌握两点间的距离公式及其应用.
22
||(12)(02)22 PA=++-=
例2 证明平行四边形四条边的
平方和等于两条对角线的平方和.
分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.
证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因为|AB|2 = a2，|CD|2 = a2，
|AD|2 = b2 + c2 = |BC|2
|AC|2 = (a + b)2 + c2，
|BD|2 = (b–a)2 + c2
所以，|AB|2 + |CD|2 + |AD|2 + |BC|2 =
2 (a2 + b2 + c2)
|AC|2– |BD|2 = 2(a2 + b2 + c2)所以，此题让学生讨论解决，再
由学生归纳出解决上述问
题的基本步骤：
第一步：建立直角坐标系，
用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运
算.
第三步：把代数结果“翻
译”成几何关系.
思考：同学们是否还有其
它的解决办法？
还可用综合几何的方法证
明这道题.
让学生深刻体
会数形之间的
关系和转化，
并从中归纳出
应用代数问题
解决几何问题
的基本步骤.
|AB |2 + |CD |2 + |AD |2 + |BC |2
= |AC |2 + |BD |2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 归纳总结
主要讲述了两点间距离公式的推
导，以及应用，要懂得用代数的
方法解决几何问题，建立直角坐
标系的重要性. 师生共同总结 让学生更进一
步体会知识形
成过程
课后作业
布置作业
见习案3.3的第二课时.
由学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得：
22(3)(06)10x -+-= 解得：x = 11
或x = –5.
所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3).
AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨
--=⎩ 解2
5x y =⎧⎨=⎩
得
P (2，5).
（2）C 关于l 对称点324
(,
)55
C '
由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126
(,)77
P 时“=”成立， ∴1126
(,
)77
P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度.
【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2
1,
10
QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以
02
1022
a b ++++= 所以2
10
210
22
b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以
Q ′(–3，–1)
因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2
2(3)5
k --=
=-- l 1：21(2)5
y x -=-即2x – 5y + 1 = 0
（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′| = 29 所以沿这光线从P 到Q 的长度为29. 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.。