《两点间的距离》教学设计(优质课)

两点间的距离

（一）教学目标

1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点

重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法

启发引导式

识解决以下问题：

2

备选例题

例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得：

10 解得：x = 11

或x = –5.

所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).

例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得：

（1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3).

AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=??

--=? 解2

5x y =??=?

得

P (2，5).

（2）C 关于l 对称点324

(,

)55

C '

由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126

(,)77

P 时“=”成立， ∴1126

(,

)77

P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度.

【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2

1,

10

QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以

02

1022

a b ++++= 所以2

10

210

22

b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以

Q ′(–3，–1)

因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2

2(3)5

k --=

=-- l 1：21(2)5

y x -=-即2x – 5y + 1 = 0

（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′

所以沿这光线从P 到Q

入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.