陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学理试题

陕西省西工大附中2013届高三上学期第五次适应性训练数学理试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2log (34)1A x R x =∈+>，103x B x Rx ⎧+⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭， 则A B = A ．(3,)+∞ B ．2(1,)3--C ．2(,3)3-D ．(,1)-∞-2. 设x R ∈，i 是虚数单位，则“3x =-”是“复数2(23)(1)z x x x i =+-+-为纯虚数” 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是4. 已知()()0,2,0,1A B -，动点M 满足2M A M B =，则动点M 的轨迹所包围的图形的面积等于A ．πB ．4πC ．8πD ．9π5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做调查，为此将他们编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人数为A ．10B ．14C ．15D ．166．如图，正方形A B C D 的边长为1，延长B A 至E ，使1A E =，连接,E C E D ，则sin C ED ∠=A10B10C10D157．已知正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12,AB CC ==E 为1C C 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为A ．2B ．C．18．将甲、乙、丙等六人分配到高中三个年级，每个年级2人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为A ．18B ．15C ．12D ．99．在长为12cm 的线段A B 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为 A ．16B ．13C ．23D ．4510．对任意两个非零的平面向量α和β，定义2αβαββ⊗=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b ⊗ ，b a ⊗ 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b ⊗=A ．52B ．32C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11. 观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…，则20135的末四位数字为 .12．设,x y 满足约束条件004312x y x y a≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，若11y z x +=+的最小值为14，则a 的值为__________.13. 已知0x >，则31(2)x x++的展开式中常数项等于 .14．若椭圆中心为坐标原点，焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为,A B ，直线A B 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分.) A.（不等式选做题）不等式3642x x ---<的解集为 ．B.(几何证明选做题)如图，直线P C 与圆O 相切于点C ， 割线P A B 经过圆心O ，弦C D ⊥A B 于点E ， 4P C =，8P B =，则C E = .C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆4c o s ρθ=的圆心到直线s i n ()24πρθ+=的距离为 .三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分12分)在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （1）求角C 的大小； （2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个．从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的2个小球上的最大数字，求： （1）取出的2个小球上的数字不相同的概率； （2）随机变量ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P A B C D -的底面是平行四边形，P A ⊥平面A B C D ,AC AB ⊥,AB PA =,点E 是P D 的中点．P（1）求证：P B A C ⊥；（2）求二面角E A C B --的大小． 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正数，且11a =，2211n n n n a a a a ++-=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n nb a=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.20．（本小题共13分）若双曲线2222:1(0,0)x y E a b ab-=>>的离心率等于，焦点到渐近线的距离为1，直线1y kx =-与双曲线E 的右支交于,A B 两点. （1）求k 的取值范围；（2）若AB =点C 是双曲线E 左支上一点，满足()O C m O A O B =+，求C 点坐标.21．（本小题满分14分）设函数2()2xk f x e x x =--.（1）若0k =，求()f x 的最小值；（2）若当0x ≥时()1f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围.数学（理科）试题参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. A 2．C 3．D 4．B 5. C 6. B 7．D 8．D 9．C 10． B第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11.3125 12. 1 13. 20 14.22154xy+=15.A. {}|03x x << B.512 C.2三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分) 解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,A C C C C >=≠=从而又所以 又0,C π<<故4C π=（2）由（1）知3.4B A π=-于是cos()cos()4A B A A ππ-+=--cos 2sin()6A A A π=+=+3110,,46612A A ππππ<<∴<+<,,623A A πππ+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．故cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==17．（本小题满分12分）解：(1) 记“取出的2个小球上的数字不相同”为事件A ， 则211322264()5C C C P A C==(2)由题意，ξ可能的取值为：1，2，3．22261(1)15C P C ξ===， 2112222651(2)153C C CP C ξ+====，2112242693(3)155C C C P Cξ+====所以随机变量ξ的分布列为因此ξ的数学期望为11338123153515E ξ=⨯+⨯+⨯=.18．（本小题满分12分） 解：（1）证明： P A ⊥平面A B C D ，P A A C ∴⊥A C AB ⊥ ,AC PAB ∴⊥平面,P B A C ∴⊥（2）取A D 的中点F ,连结E F ，则E F ∥P A ,PA ⊥ 平面A B C D ,EF ∴⊥平面A B C D .取A C 的中点O ,连结O F ,则O F ∥A B ，A B A C ⊥ O F ∴⊥A C , 连结O E , 则,OE AC EOF ⊥∴∠是二面角D AC E --的平面角， 又11,,,45.22E F P A O F A B E F O F E F O F E O F ==∴=⊥∴∠=且∴二面角B AC E --大小为13519．（本小题满分12分）解：（1）由已知得：11()(1)0n n n n a a a a +++--=∵{}n a 各项均为正数，∴11n n a a +-=∴数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列, ∴n a n =. (2)由（1）可知 21n b n= 当2n ≥时21111(1)1nn n n n<=---222111123n T n∴=++++1111111(1)()()222231n n n≤+-+-++-=-<-20．（本小题共13分）解：（1）由1c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2211a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故双曲线E 的方程为221x y -=设()()1122,,,A x y B x y ，由2211y kx x y =-⎧⎨-=⎩得()221220k x kx -+-=又已知直线与双曲线右支交于,A B 两点，由()()222122122102810201201k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪⎪⎨+=>⎪-⎪⎪=>⎪-⎩解得1k <<（2） AB===得 422855250k k -+=∴257k =或254k =又1k << ∴2k =那么12221k x x k +==-，()121228y y k x x +=+-=设()33,C x y ，由已知()O C m O A O B =+，得∴331212(,)(,),8)x y m x x y y m =++=因C 是双曲线E 左支上一点，所以22806410m m m ⎧-=⎨<⎩ 得14m =-，故C 点的坐标为(2)-21．（本小题满分14分）解：（1）0k =时，()x f x e x =-，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调减小，在(0,)+∞上单调增加 故()f x 的最小值为(0)1f =（2）'()1x f x e kx =--，()xf x e k ''=-ⅰ.当1k ≤时，()0 (0)f x x ''≥≥，所以()f x '在[)0,+∞上递增，而(0)0f '=，所以'()0 (0)f x x ≥≥，所以()f x 在[)0,+∞上递增， 而(0)1f =，于是当0x ≥时，()1f x ≥ . ⅱ.当1k >时，由()0f x ''=得ln x k =当(0,ln )x k ∈时，()0f x ''<，所以()f x '在(0,ln )k 上递减，而(0)0f '=，于是当(0,ln )x k ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,ln )k 上递减， 而(0)1f =，所以当(0,ln )x k ∈时，()1f x <. 综上得k 的取值范围为(,1]-∞.。