线性代数期中试题
线代期中(A类)试卷及答案 (2)
一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， （1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二． 计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
线性代数期中考试试卷
线性代数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 设矩阵A是一个3阶方阵，如果A的行列式值为0，则下列哪个结论是正确的？A) A是可逆的B) A的秩小于3C) A的迹等于0D) A的逆矩阵存在2. 对于向量组的线性相关性，以下哪个说法是错误的？A) 非零向量组线性相关，则至少存在一个向量可以由其他向量线性表示B) 零向量与任何向量线性相关C) 一组向量线性无关，则它们不能表示为其他向量的线性组合D) 两个向量线性无关，它们可以构成一个平面3. 如果一个向量空间的基由n个向量构成，则该向量空间的维数是：A) 0B) nC) 1D) 24. 以下哪个矩阵不是正交矩阵？A) 单位矩阵B) 反射矩阵C) 对称矩阵D) 旋转矩阵5. 线性变换的核是变换的零向量，以下哪个说法是正确的？A) 核是变换的像B) 核是变换的值域C) 核是变换的零空间D) 核是变换的基二、填空题（每空1分，共10分）6. 若矩阵B是矩阵A的转置，则称矩阵B是矩阵A的_________。
7. 向量空间V中，若向量v满足Av=0，其中A是矩阵，则称v是A的_________。
8. 一个向量空间的基的向量个数称为该向量空间的_________。
9. 若矩阵A的秩等于其行数，则称矩阵A是_________的。
10. 线性变换的像空间是变换的_________。
三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明如果矩阵A和矩阵B可交换，则它们的迹相等。
12. 给定两个向量v1和v2，证明它们线性无关的充分必要条件是它们构成的矩阵的行列式不为零。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 已知矩阵A和向量b，求解线性方程组Ax=b。
14. 给定一个线性变换T: R^3 → R^2，其矩阵表示为T，求T的核和像，并证明核和像的直和等于R^3。
五、附加题（10分）15. 讨论矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3阶方阵A的特征值和特征向量的计算方法。
大学线性代数试卷-XX..线代期中(A类)答案
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一． 计算题（共50分）1．（6分）设211,()3323A f x x x -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦,计算()f A . 解（1）()2113321f A A A E --⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦。
2. （6分）计算4阶行列式0000a b aa ab A b a a a b a =.解()()11100221000100a b aa b a a b a a b b bA a b a b a a bb a b a a ba---=+=+----()200aa b b a a b bb a a ba---=+----()()()22224.a b a a b b b b a b aa--=+-=---3. （6分）设,A B 都是n 阶矩阵，且2A AB E -=，求3BA AB A -+的秩.解 由2A AB E -=即()A A B E -=可知矩阵,A A B -均为可逆矩阵，且1A A B -=-，因此()()A A B A B A E -=-=， 故AB BA =，从而()()()33R BA AB A R A R A n -+===.厦门大学《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿4. （6分）计算行列式11222211n n nna b a b a b c d c d c d .解 ()()()11112222n n n n D a d c b a d c b a d c b =---5.（6分）设A 是m 阶可逆矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，问O A C B O ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是否为可逆矩阵？若可逆，求其逆矩阵.解 由A 是m 阶可逆矩阵和B 是n 阶可逆矩阵可知0,0A B ≠≠,因此()()110mnmnO AB OC A B B OOA==-=-≠，故C 是可逆矩阵.设1XY C ZW -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由 1O A X Y AZAW E O CC B O Z W BX BY O E -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦可得,,,AZ E AW O BX O BY E ====，解得 11,,,Z A W O X O Y B --====，因此111.O B C AO ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦6.（20XXXX 分）求111211132373a a A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩. 解 1111121102211320223730433a a a a a A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦, 当1a =时，111111000023023000046000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时()2R A =. 当1a ≠时，11112102102200104330031a a A a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 因为131a a ++和不同时为零，因此()3R A =.综合有2,1()31a R A a =⎧=⎨≠⎩.7（20XXXX 分）设1315011,130424210a A b a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，线性方程组AX b =有解，求常数a 的值.解 []213151315011011,130400112421000422a a A b a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,显然1a =或2a =时方程组有解. 当1a ≠且2a ≠时[]131513151315011011011,0021001100213002100110002aa a Ab a a a -⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦.所以3a =-时方程组有解.故1,2,3a =-时方程组有解.二. （20XXXX 分）计算112312231233123(0,1,2,,)n n n i n na a a a a a a a A a a a a i n a a a a λλλλλ++=+≠=+.解 1123121310000n na a a a A λλλλλλλ+-=--1111123232323++++000=000n n nna a a a a a a λλλλλλλλλλ+11111232323=++++n n n a a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭312123123=1++++.n n n aa a a λλλλλλλλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭三.（15分）已知矩阵10202-1010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦和010110011B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.若矩阵X 和Y 满足：2,()X XY E A X Y B E +=+=，求Y .解 由2X XY E +=即()X X Y E +=可得1X Y X -+=，故1Y X X -=-. 由()A X Y B E +=可得1AX B E -=，故X BA =,即01010202111002-1121011010031X BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦.由[]021*********,121010010101031001001302X E --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦行可知1514101302X --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 因此1513220333Y X X ---⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.四. （20XX 分）设1102,2,211a αβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若3T T X X αββγβ=+，求此方程组的通解.解 由于[]11221,2,242112T a a a a αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，[]102120,2,104202T a a a βγ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，故方程组3T T X X αββγβ=+为14132822612223a a X a a a -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.对增广矩阵作初等行变换，有1413141328226022133122230000a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→+--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦，当1a ≠-时，上式可化为14131413101328226021302131222300000000a a a a a a a --+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为()132313,23x a x x x ⎧++=-⎨-=⎩ 此时线性方程组的通解为()123133,.2x a c c x c x c =-+-⎧⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎩其中为任意常数当1a =-时，上式可化为14131423282260000122230000a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦.线性方程组有无穷多解，与此线性方程组的同解的线性方程组为 123423x x x +-=，此时线性方程组的通解为112211232423,.x c c x c c c x c =-++⎧⎪=⎨⎪=⎩其中,为任意常数五.(5分) 设A 为反对称矩阵()T A A =-， （I ）证明对任意n 维列向量α恒有0T A αα=.（II ）证明对任意非零常数c ，矩阵A cE +恒可逆，其中E 为n 阶单位矩阵. 证明 (I)因为T A αα是一个数，故()TT T T T T A A A A αααααααα===-，故0T A αα=.(II)(反证法)如果矩阵A cE +是不可逆的，则齐次线性方程组()0A cE x +=有非零解，设其为η，则,0A c ηηη=-≠，左乘T η，得T T A c ηηηη=-.因为η是非零向量，c 为非零常数，故0T T A c ηηηη=-≠， 与结论（I ）矛盾，故矩阵A cE +是可逆的.。
《线性代数》期中考试试卷
《线性代数》期中练习一、选择题（只有一个正确答案，每小题3分） 1. 行列式D = 0的必要条件是（ ）(A) D 中有两行（列）元素对应成比例；(B) D 中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0； (C) D 中有一行元素全为0；(D) D 中任意一行各元素都可用行列式的性质化为0.2. 若,0333231232221131211≠==m a a a a a a a a a D 则3332313123222121131211111254254254a a a a a a a a a a a a D ---==( ) (A) –40m (B) 40m (C) –8m (D) 20m 3. 设A ,B 均为n 阶方阵，则必有（ ）.(A) |A+B | = |A |+|B | (B) AB = BA (C) |AB | = |BA | (D) (A+B ) –1 = A –1 +B –1 4. 设A , B 均为n 阶非零矩阵，且AB = 0, 则R(A )，R(B )满足( ).(A) 必有一个等于0； (B) 都小于n; (C) 一个小于n ，一个等于n; (D) 都等于n.5. 设A , B 均为n 阶可逆矩阵，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100'2B A =( ).(A) (–2)n |A ||B –1| (B) –2|A '||B | (C) –2|A ||B –1| (D) (–2)2n |A ||B –1|6. 设A , B , C 为n 阶方阵，AB = BA ，AC = CA ，则( )不一定成立.(A) ABC = BCA (B) ABC = CBA (C) ABC = BAC (D) CBA = CAB 7. 设向量组(I)为 α1=(a 11, a 12, a 13)，α2=(a 21, a 22, a 23)，α3=(a 31, a 32, a 33)，向量组(II)为β1=(a 11, a 12,a 13, a 14), β2=(a 21, a 22, a 23, a 24)，β3=(a 31, a 32, a 33, a 34), 则( )(A) (I)组线性相关⇒(II)组线性相关； (B) (I)组线 性无关⇒(II)组线性无关； (C) (II)组线性无关⇒(I)组线性无关； (D) (I)组线性无关⇔(II)组线性无关. 8. 已知β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( ).(A) α1，α2，α3线性相关； (B) α1，α2，α3线性无关； (C) α1可用β，α2，α3线性表示； (D) β可用α1，α2线性表示.9. 若向量β可由向量组A : α1, α2, … αm 线性表示, 那么向量组B : α1, α2, … αm , β的秩( )(A) 大于A 的秩 (B) 小于A 的秩 (C) 等于A 的秩 (D) 与A 的秩无关 10. 设C m ⨯n = A m ⨯s B s ⨯n , 则( ).(A) C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示； (B) C 的列向量组可由B 的列向量组线性表示； (C) A 的行向量组可由C 的行向量组线性表示； (D) B 的行向量组可由C 的行向量组线性表示. 二、填空题（每小题3分）1. 设xxxx x x x f 412412102132)(=，则x 3项的系数为_____________.2. n 阶行列式ab b a a b a b a 0000000000000000 =________________________.3. 方程02781941321111132=x xx 的全部根是___________________.4. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且R (A )=2，则a =____________.5. 设A 为3阶方阵，且|A |=4，则|A *-6A -1|=______________.6. 设3阶方阵A , B 满足A 2B -A -B =E , 其中E 为三阶单位矩阵，若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102020101A ，则|B |=_________________.7. A 是4⨯3矩阵，R (A )=3, ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=301120201B , 则R (AB ) =____________.8. 设α1=(1, 0, 3, 5), α2=(1, 2, 1, 3), α3=(1, 1, 2, 6), α4=(1, λ, 1, 2)线性相关, 则λ=___________.9. 若矩阵A =(α1, α2, α3, α4)经初等行变换变为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00005100302102001，那么向量组α1, α2, α3, α4的一个最大线性无关组为______________, 其余向量由此最大无关组线性表示的关系式为________________________.10. 设3阶矩阵A = (α, γ 1, γ 2), B = (β, γ 1, γ 2), 且|A |=3, |B |=5, 则|A+B | =_________.三、(6分)计算行列式1111111111111111--+---+---x x x x .四、（8分）用克莱姆法则解方程组.52453⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++z y x z y x z y x五、（10分）设n 阶方阵A 和B 满足条件A+B = AB ,(1) 证明A - E , A +E 都为可逆矩阵，其中E 为n 阶单位方阵；(2) 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B , 求矩阵A .六、（8分）求向量组α1 = (1,0,2,1) , α2 = (1,2,0,1) , α3 = (2,1,3,0) , α4 = (2,5, -1,4) , α5 = (1,-1, 3, -1) 的一个最大线性无关组，并把其余向量用这个最大线性无关组线性表出.七、（8分）设向量组(I): α1, α2, …, αm ；(II): β1, β2, …, βm; (III): γ1, γ2, … , γm的秩分别为s1, s2, s3. 如果γi=αi-βi, (i=1,2,… , m), 证明s1≤s2+s3, s2≤s1+s3, s3≤s2+s1.。
线性代数期中考试试题+答案
线性代数期中考试试题+答案.⼀、填空题（共30分，每填对⼀空得3分）1、函数23u xy z =在点(1,1,1)P 处沿⽅向(1,2,3)有最⼤⽅向导数，最⼤⽅向导数等于．2、设arctan x y z x y -=+，则 z x ?=?22y x y+， 22z x ?=?()2222xyx y -+．.3、函数(,)z z x y =由⽅程230zx y z e ++-=确定；则 z x ?=?21z x e -， z y ?=?231z y e -．4、微分⽅程d 2d y xy x=的通解为2x y ce =；0d ()d yx y x xx -=>的通解为 ln y x x cx =+．.5、设函数(,)f x y 连续，(,)(,)d d Df x y xy f u v u v =+??，其中D 由直线0y =，1x =和y x =所围，则(,)d d Df u v u v =??14，(,)f x y =14xy +．⼆、单项选择题（共20分，每题4分）=+，则点=的全微分d d dz f x yO(D) ．(0,0)(A) 不是(,)f x y的连续点；(B) 不是(,)f x y的极值点；(C) 是(,)f x y的极⼤值点；(D) 是(,)f x y的极⼩值点．..2、设函数(,)f x y =，则 (B) ．(A) (0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (B) (0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (C) (0,0)x f '和(0,0)y f '都存在； (D) (0,0)x f '和(0,0)y f '都不存在．.3、设积分域D ：221x y +≤，221sin()d d DI x y x y =+??，332sin()d d DI x y x y =+??，443sin()d d DI x y x y =+??，则 (B) ． (A) 123I I I >>； (B) 132I I I >>； (C) 213I I I >>； (D) 231I I I >>．.4、设函数()f u 连续，D ={}22(,)2x y x y y +≤，则()d d D．(A)11d ()d x f xy y -??； (B) 2002d ()d y f xy x ??；(C) 2sin 20d (sin cos )d f r r πθθθθ??； (D)2sin 2d (sin cos )d r f r r πθθθθ??．.5、函数(,)f x y 在点(0,0)O 处可微的⼀个充分条件是 (D) ． (A) (,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=；(B) 0(,0)(0,0)lim 0x f x f x →-=, 0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=；(C) 0lim (,0)(0,0)x x x f x f →''= 且 0lim (0,)(0,0)y y y f y f →''=；(D) (,)(0,0)(,)(0,0)0x y f x y f →-=．.三、（10分）求微分⽅程 2(34)xy y x e ''-=+ 通解．解特征⽅程 210λ-=，特征根 121,1λλ=-=；------2分对应的齐次⽅程的通解 12x xy c e c e -=+ -----5分设原⽅程的特解* 2()xy ax b e =+并代⼊原⽅程，解得: *2xy xe = -----9分原⽅程的通解: 212xxxy c e c e xe -=++ -----10分四、（10分）求曲线L：2226x y zx y z++=++=在点(1,2,1)P-处的切线和法平⾯⽅程．解对x求导，得2220 10x yy zzy z''++=?''在点(1,2,1)P-处，211y zy z''-+=-''+=-，得0y'=，1z'=-------6分切线⽅程：121101x y z-+-==------8分法平⾯⽅程：0x z-=-----10分..五、（10分）计算⼆重积分 2(3)d d DI x y x y =+??，其中D ：221x y +≤．22(96)d d (9)d d DDI x y xy x y x y x y =++=+（奇偶性+对称性）-------2分2222221(9)(9)d d 5()d d 2D Dx y x y x y x y x y ??=+++=+ （轮换对称性） -------4分213055d d 2r r πθπ==?------10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯26x y z +-=的最近点、最远点．解点(,,)x y z 到平⾯的距离26x y z +--，---2分设 2222(,,,)(26)(21)L x y z x y z x y z λλ=+--+++-------2分.令 2224(26)402(26)202(26)20210xyz L x y z x L x y z y L x y z z L x y z λλλλ'=+--+=??'=+--+=??'=-+--+=??'=++-=? ------6分解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P -- -----10分.六、（10分）在曲⾯S ：22221x y z ++=上求距离平⾯∏：26x y z +-=的最近点、最远点．解令 0000(,,)P x y z S ∈, 椭球⾯S 过0P 切平⾯⽅程1000:2 1.x x y y z z ∏++=令12//∏∏，有:0002211x y z ==-， (1)⼜： 22221x y z ++=， (2)解得最近点1111(,,)222P -，最远点2111(,,)222P --.定理设0000(,,)P x y z S ∈，⽽S 为实⼆次曲⾯22222 2 A x B xy C x z Dy E y z F z +++++2 2 20,G x H y I z J ++++=若 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + G,Bx 0 + Dy 0 + Ez 0 + H, Cx 0 + Ey 0 + Fz 0 + I ,不全为零, P 0 称为S 的寻常点. 则⼆次曲⾯S 在0000(,,)P x y z 处的切平⾯⽅程为:()()()00000000 A x x B x y xy C x z x z Dy y E y z y z +++++++()()()0000 0.F z z G x x H y y I z z J ++++++++=.七、（10分）设函数()f u 在(0,)+∞内⼆阶连续可微，(1)0f =，(1)1f '=，且z f =满⾜22220z zx y+=，求()f u ．解u =，则()z xf u x u'=，222232()()z y x f u f u x u u ?'''=+?； ()z y f u y u'=，222232()()z x y f u f u y u u ?'''=+?. --4分.代⼊原⽅程并化简，得 1()()0f u f u u'''+=，即()()(())0u f u f u u f u '''''+==， ------5分从⽽ 1()u f u c '=。
线性代数期中测试题
－24
b a L b
的值为多少？ 的值为多少？ (a + ( n − 1)b )(a − b )
n −1
M
M
M
M
b b b L a n× n 5． 如果非齐次线性方程组 Ax = b （ b ≠ 0 ）中方程个数少于未知数个数，那 中方程个数少于未知数个数， ．
么 (a) Ax = b 必有无穷多解； 必有无穷多解； (b) Ax = 0 必有非零解； 必有非零解； (c) Ax = 0 仅有零解； 仅有零解； (d) Ax = b 一定无解。 一定无解。 因为秩(A)< 未知数个数 请说明理由 (b) 因为秩
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5
答案
6
1．已知 a = [1 , 1 , 3] , b = [2, 0 , 2] , 则 (ba ) ．
T T T
2008
2 2 6 = 8 2007 0 0 0 2 2 6
2
=?
−1
=?
3．设 3 阶方阵的列分块矩阵 A = [a1 , a 2 , a 3 ] ，且 det A = 3 ，若三阶方 ． 阵 B = [ a1 ,−2a 2 ,3a 3 ] ，则 A + B =?
a b b L b b a b L b 4．n 阶行列式 D = b b a L b ．
的值为多少？ 的值为多少？
（3）有无穷多解 ）
2 A=λ 4
λ
−1 5
−1
1 = 0 且 R( A) = R([A, b])
2019-2020线性代数期中试卷 (1)
= 9.
(10分)
2301
3
六. (10分) 设
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
,
3 6 −9 7 9
求矩阵A的秩, 并求A的一个最高阶非零子式.
解: 对矩阵A作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
A
=
2 1 4
−1 1 −6
−1 −2 2
1 1 −2
2 4 4
∼
1 0 0
解: 对增广矩阵B = (A, b)作初等行变换将其化为行阶梯形矩阵:
B
=
1+λ 1
1 1+λ
1 1
0 3
∼
1 0
1 λ
1+λ −λ
λ 3−λ
(3分)
1 1 1+λ λ
0 0 −λ(3 + λ) (1 − λ)(3 + λ)
(1) 当λ ̸= 0且λ ̸= 3时, R(A) = R(B) = 3, 方程组有唯一解; (2分)
C. A, B中至少有一个不可逆; D. A + B = O.
4. 设A∗为n阶方阵A的伴随矩阵, 则下列说法不正确的是(C ).
A. 若|A| ̸= 0, 则|A∗| ̸= 0;
B. 若|A| = 10, 则|A∗| = 10n−1;
C. 若R(A) = n − 2, 则A∗ ̸= O;
D. AA∗ = |A|E (其中E 为n阶单位矩阵).
A = EA = (A∗)−1A∗A = (A∗)−10 = 0,
从而与A ̸= 0矛盾. (4分)
(2) 由(1) A ̸= 0, 在A∗A = A E 两侧同时求行列式, A∗ A = A n, 从而 A∗ = A n−1. (3分)
2017-2018线性代数期中考试
2017-20181 线性代数一、填空题（每小题4分，共20分）1．四阶行列式中含有441221a a a 的项为__________；2．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ； 3． 设 1112131111121321222321212223313233313132333403434a a a a a a a a a a M a a a a a a a a a a a --=≠--=--，则 _________； 4．设A 为3阶方阵，且4A =，则*126A A --=_______________；5．已知()()()T T T123=1,-2,-1,1=2,0,,0=-4,5,2t ααα-，，0,，且3α能由12, αα线性表示，则t =______________；二、选择题（每小题4分，共20分）1.设n 阶方阵A 满足220A A E --=，则必有（ ）A. 2A E =B. A E =-C. A 不可逆D. A E -可逆 2.行列式01221≠--k k 的充分不必要条件是（）（A ）-1k ≠（B ）3k ≠（C ）3k -1k ≠≠且（D ）3k -1k ≠≠或3.设A , B 均为n 阶方阵，则下列正确的是（ ）A. B A B A +=+B. BA AB =C. BA AB =D. 111)(---+=+B A B A4. 两个n 阶初等矩阵的乘积一定为 （ ）（A ）初等矩阵；（B ） 单位矩阵；（C ） 可逆阵；（D ） 不可逆阵。
5.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出)D s ααα,,,21 中有一部分线性无关期中考试试题 学期 学年三．（13分）（1计算行列式D=ab b b ba b b b b a b bb b a（2）计算行列式D= y y x x-+-+1111111111111111四．（10分）设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=4321,6063324208421221b A ，求矩阵A 及矩阵),(b A B =的秩。
x09线性代数期中考试卷及答案详解
(C) B 2 − A 2 = ( B + A)( B − A)
(C) A + B = A + B
(D)
A⋅B = A ⋅ B
) (D) A1,A2 都不一定可逆
⎛ A1 7. 设分块矩阵 A = ⎜ ⎜A ⎝ 3
O⎞ ⎟ ，其中的子块 A1, A2 为方阵，O 为零矩阵，若 A 可逆，则 ( A2 ⎟ ⎠
n
设
⎛1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎟ ，则 A = 1 ， B = 1 ，而 A + B = 0 ， A − B = 4 ⎜ 1⎟ ⎟, B=⎜ − 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7. (C)； 解：由于 A = 8. (B)； 解：用初等矩阵去左乘一个矩阵 A，相当于对 A 作相应的初等行变换，故选项(C)(D)不正确；由于题设初等矩阵是由 E 作 初等行变换 r2 ↔ r3 得到的，因此选项(B)正确。 9. (B)； 解：显然 P 是可逆矩阵，根据矩阵秩的性质，有 R ( PA) = R ( A) = 2 ，选项(B)正确。 10. (C) 解：对于非齐次线性方程组 Ax=b，①有解的充要条件 R( A) = R( A, b) ，[等价命题为：无解的充要条件 R( A) ≠ R( A, b) ]； ②有唯一解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) = A 的列数(即未知量的个数)； ③有无穷多解的充要条件是 R ( A) = R ( A, b) < A 的列数。 故选项(C)正确。
线性代数期中测验
线性代数期中测验一、 选择题1.设行列式==1111034222,1111304zy x zy x 则行列式（ ） A.32 B.1C.2D.38 2.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）3.设3阶方阵A 的行列式为2，则12A -=( ) A.-1 B.14-C.14D.1 4.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.85.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ6.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ）A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为07．设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，则|2A *|=（ ）A.-8 B.-4C.4 D.8 8.设3阶方阵A=[α1，α2，α3]，其中αi (i=1,2,3)为A 的列向量，若|B |=|[α1+2α2，α2，α3]|=6，则|A |=（ ）A.-12 B.-6 C.6 D.129.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有A. α1，α2，α3，α4线性无关B. α1，α2，α3，α4线性相关C. α1可由α2，α3，α4线性表示D. α1不可由α2，α3，α4线性表示10．若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则R (A )=（ ）A ．2 B. 3 C ．4 D ．511.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 ( )A. α1, α2,β线性无关B. β不能由α1, α2线性表示C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一12.设A 为3阶实对称矩阵,A 的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为( )A.0B.1C.2D.313．设α1，α2，α3，α4，α5是四维向量，则( )A ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性无关B ．αl ，α2，α3，α4，α5一定线性相关C ．α5一定可以由α1，α2，α3，α4线性表出D ．α1一定可以由α2，α3，α4，α5线性表出二、 填空题1.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.2.设方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.3.行列式111123149=___________.4．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，k 为正整数，则A k = ． 5．设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则矩阵A =__________． 6．设同阶方阵A ，B 的行列式分别为-3，5，则det （AB ）=_________.7．三元方程x 1+x 2+x 3=0的结构解是________.8.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为________________. 9.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则|A |=__________________.10.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.三、 解答题1.求行列式D=.0120101221010210的值2.计算行列式D =333222c c b b a a c b a cb a +++的值。
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学院_______________ 班级__________ 学号___________ 姓名____________
2009—2010学年第二学期《线性代数B 》期中试卷
一
填空题（每小题3分）
阶方阵，且2=A ，则行列式=--*A A 31
________________.
2 设A 为3阶方阵,且*A A
T
-=，其中*A 为A 的伴随矩阵，则=A
________________. 3
)n n αα221>元（是，设齐次线性方程组
=Ax 的基础解系，则
=)A (R ________________.
4 设方阵B ,t A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=11
3
34
221
为三阶非零矩阵，且,O AB =则=t _____________. 5 向量组
m
ααα，，， 21线性无关，向量
β不能由它们线性表示，则向量组
β
αααm ，，，， 21的秩为_____________.
6 设
b Ax = 为四元非齐次线性方程组，3=)A (R ,且21ηη，为它的两个不同
解，则该方程组的通解为____________.
二、单项选择题（每小题3分）
1
A 为n 阶方阵，则
0=A 的必要条件是（ ）.
（A ）A 中有两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中必有一行（列）元素全为零； （C ）A 中各行（列）元素之和为零； （D ）齐次线性方程组
0=Ax 有非零解 .
（共6页 第1页）
2 若向量组γβα，，线性无关，σβα，，线性相关，则（ ）. （A ）α必可由 σγβ，，线性表示；
（B ）
β必可由σγα，，线性表示；
（C ）σ必可由γβα，，线性表示； （D ）γ必可由σαβ，，线性表示.
,a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡=333231
232221
1312113
设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+++=13131211
33333231
23232221
222a a a a a a a a a a a a B
,P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00
1
100
010
1,P ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=12
010001
2则=B （ ）. （A ）
;AP P 21(B) ;P AP 21(C)
;P AP 12 (D) .AP P 12
4 设n m A ⨯为矩阵，设m n B ⨯为矩阵，则（ ）.
（A ）当n m >时，必有0≠AB ;（B ）当n m >时，必有0=AB ; （C ）当m n
>时，必有0≠AB ;（D ）当m n >时，必有0=AB .
5 向量组321ααα，，是齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，
则该方程组的基础解系还可表示为（ ）. （A ）；，，133221
αααααα--- (B)与321ααα，，等秩的向量组；
（c ）；，，321211αααααα+++（D ）与321ααα，，等价的向量组. 6 若n m
A ⨯为矩阵，0=Ax 为b Ax =所对应的齐次线性方程组，则下面结论
正确的是（ ）. （A ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解； （B ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 仅有零解； （C ）若
0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解；
（共6页 第2页）
（D ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解.
三、解答题（每小题9分）
1.求
3
3221111
110011001
b b b b b b D ------=
的值.
2. 设3阶方阵B A 、满足E B A B A =--2
，且⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=10
2
020101A ，求B .
（共6页 第3页）
3. 设4321αααα，，，为4维非零列向量组，
()4321ααααA ，，，=，
A *A 为的伴随矩阵，已知线性方程组 0=Ax 的通解为(),,,,k T
0101-其中 k
为任意常数，求线性方程组 0=x *A 的一个基础解系.
4 设矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----=p p A 2
1
3
1075162312311，问当 p 为何值时，矩阵A 的列向量组线性相关，在此时求A )A (R 及的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无关组的向量用极大无关组线性表示.
（共6页 第4页）
5. 问 a ,b 为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--=--b ax x x x x x x x x 3
213
2132122331
2有唯一解？无解？有无
穷多解？并求出有无穷多解时的通解.
6. 设P A 、均为3阶方阵，且,AP P T ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=00
010
001
若()321αααP ，，=，()3221ααααQ ，，+=，求.AQ Q T
（共6页 第5页）
四 证明题（10分）
设⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
232221131211
a a a a a a
a a a A 为实对称矩阵，且可逆，矩阵,la ka la ka la ka B ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=33322322131200
（1）证明
A 的伴随矩阵*A 为实对称矩阵，且可逆；
（2）计算.B *A （共6页 第6页）。