2019年人教版初中八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边”2优质课教案
八年级数学上册 12.2三角形全等的判定第4课时斜边直角边课件课件11-14
◆文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
B
◆几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,AC源自B′BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
典例精析
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
画图思路
N
A
A′
B
C
M
B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
A
N
A′
B
C
M B′
C′
（4）连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直角三角形全 等，但是“边边”指的是斜边和一直 角边，而“角”指的是直角.
根据国家电影专资办数据，2019年上半年，中国电影市场有所下滑
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
应用“HL”的前提条件是在 直角三角形中.
D
C
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
AB=BA,
这是应用“HL”判定A方法
B
AC=BD .
的书写格式.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
利用全等证明两条线段相等，这 是常见的思路.
这种双向流动的趋势正在影响着全球电影产业格局。在这一趋势下，好莱坞等成熟电影工业更加重视中国等新兴电影市场所爆发出的巨大市场潜力，而中国、印度、韩国等新兴电影工业也因国内市场的蓬勃而变得更 有底气，将目光投向了海外市场。
人教版八年级数学上册12.2第4课时“斜边、直角边”
2.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
D
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ A ）
A．1 B．2 C．3
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；
A （
）
E （
）
别为C、D,AD=BC.
C
AB=CD,
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
我们知道，证明三角形全等不存
在SSA定理.
D
F
讲授新课
一 直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
B
CB′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两
个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形 全等吗？为什么？
动脑想一想
B
如图，已知AC=DF，BC=EF，
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？ ∴∠BEC=∠BDC=90 °.
D
CE=BD, BC=CB .
B
C
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD
平分EF.
AB=CD,
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
B
AF=CE.
F
【精品】人教版八年级数学上册 学案：12.2 第4课时 “斜边、直角边”
第4课时 “斜边、直角边”学习目标：掌握三角形全等的判定HL 学习方法：自我学习，小组合作学习 一、自主学习 （一）复习小测1、如图，在□ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于E,CF ⊥BD 于F ，求证BE=DF.（二）阅读书本，并思考下列几个问题.1、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，求作Rt △C B A ''',使∠C '=90°， AB C B ='',AB B A ='',那么C B A Rt ABC Rt '''△与△全等吗？ 得出判定直角三角形全等的方法：的两个直角三角形全等.2、如图，已知AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC=BD.求证BC=AD.二、研学释疑1、如图，BE,CD 是△ABC 的高，要证明△BCD ≌△CBE,还需增加一个条件 ，理由是 ，或增加一个条件 ，理由是 .2、要将图中的∠MON 平分，小明设计了如下方案：在射线OM,ON 上分别取OA=OB,过点A 作DA ⊥OM 交ON 于D,过点B 作EB ⊥ON 交过点O,C 作射线OC,即为∠MON三、实践探究1、在C B A Rt ABC Rt '''△与△中，∠C=∠C '=90°，下列条件中能判定两三角形全等的有（ ）①C A AC ''=,∠A=∠A '； ②C A AC ''=，B A AB ''=； ③C A AC ''=，C B BC ''= ； ④B A AB ''=,∠A=∠A '. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2、如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC,FD=CD. 求证：（1）△BFD ≌△ACD ；（2）BE ⊥AC.四、拓展延伸如图，在△ABC 中，已知D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB,垂足非别是E ，F ，DE=DF ，求证AB=AC.五、小结。
人教版数学八年级上册12.2第4课时斜边、直角边优秀教学案例
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，让他们在小组内进行讨论，共同探究斜边和直角边的关系，并解决一些实际问题。
2.分享与交流：让学生分享自己的小组讨论成果，促进学生之间的交流和思维碰撞。
（四）反思与评价
1.引导学生自我反思：让学生回顾自己的学习过程，思考自己在探究斜边和直角边关系时的优点和不足。
2.同伴评价：鼓励学生互相评价，互相学习，共同提高。
3.教师评价：教师对学生的学习过程和成果进行评价，给予肯定和鼓励，并提出改进建议。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一个实际问题：展示一个建筑物的高度需要测量，但是直接测量有困难，引导学生思考如何使用斜边和直角边的关系来解决问题。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生对数学学科的实用性和价值的认识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.以实际问题引入：通过展示一个实际问题，如测量一个物体的高度，引导学生思考如何使用斜边和直角边的关系来解决问题。
2.利用多媒体展示：利用多媒体课件展示斜边和直角边的实际应用场景，如建筑设计、物理实验等，让学生感受到数学与现实的联系。
在教学过程中，我将注重启发式教学，通过引导学生观察、思考和讨论，让学生主动发现斜边和直角边的关系，并能够运用这一关系解决实际问题。同时，我还会运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
希望通过本节课的教学，学生能够更好地理解斜边和直角边的关系，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。同时，我也将不断反思和总结教学过程，不断提高自己的教学水平，为学生提供更好的教学服务。
人教版八年级上数学课件12.2第4课时“斜边、直角边”
求证：△EBC≌△DCB.
A
E
F
C
AB=CD, 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
斜边和一条直角边对应相等
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
C
BF=DE
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
FG=EG BD平分EF
【拓展】如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm
，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A
点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置
（1） AD=BC
（ HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3） ∠ DAB= ∠ CBA （AAS ） D
（4）
∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ）
A
C B
【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，
垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
（ （2）
（） 1）一个（ 锐）角和这个角的对边对应相等.（AAS
）
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
（（1）先（）画∠M2C）′ N=9一0° 个锐角和这个角的邻边对应相等.（ × ）
证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
人教版八年级数学上册12.2 第4课时 “斜边、直角边” (2)
第4课时 “斜边、直角边”学习目标：掌握三角形全等的 判定HL学习方法：自我学习，小组合作学习一、自主学习（一）复习小测1、如图，在□ABCD 中，BD 是对角线，AE⊥BD于E,CF⊥BD于F ，求证BE=DF.（二）阅读书本，并思考下列几个问题.1、如图，已知Rt △ABC ，∠C=90°，求作Rt △C B A ''',使∠C '=90°，AB C B ='',AB B A ='',那么C B A Rt ABC Rt '''△与△全等吗？得出判定直角三角形全等的 方法：的 两个直角三角形全等.2、如图，已知AC ⊥BC,BD ⊥AD,AC=BD.求证BC=AD. C B ABA CD二、研学释疑1、如图，BE,CD 是△ABC 的 高，要证明△BCD ≌△CBE,还需增加一个条件 ，理由是 ，或增加一个条件 ，理由是 .2、要将图中的 ∠MON 平分，小明设计了如下方案：在射线OM,ON 上分别取OA=OB,过点A 作DA ⊥OM 交ON 于D,过点B 作EB ⊥ON 交OM 于E,AD,EB 交于C,过点O,C 作射线OC,即为∠MON 的 平分线，试说明这样做的 理由.三、实践探究1、在C B A Rt ABC Rt '''△与△中，∠C=∠C '=90°，下列条件中能判定两三角形全等的 有（ ）①C A AC ''=,∠A=∠A '； ②C A AC ''=，B A AB ''=； ③C A AC ''=，C B BC ''= ； ④B A AB ''=,∠A=∠A '.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 CO E D B N M A2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC,FD=CD.求证：（1）△BFD≌△ACD；（2）BE⊥AC.四、拓展延伸如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB,垂足非别是E，F，DE=DF，求证AB=AC.五、小结:F EDC BA。
人教版数学初二上册(八年级)12.2.4-“斜边、直角边”课件
∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
变式1
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，
垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式2
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
这醉人春芬春去芳去春的春又季又回节回，，新愿新桃你桃换生换旧活旧符像符。春。在天在那一那桃样桃花阳花盛光盛开，开的心的地情地方像方，桃，在在 54、勿海不以内要恶存为小知它而已的为，结之天束，涯而勿若哭以比，善邻应小。当而为Tu不它es为的da。开y,始TJuu而elys笑d1a。4y,,72J.01u24ly0.2J10u42l,y022700.21T04uJ.2eu0slyd2a02y20,0TJ:u2ue8lys2d10a4:2y,,82J20u02l:y02781/:413,402/220002:20087:/3104/2020 花这一这醉样醉人美人芬丽芬芳，芳的感的季谢季节你节，的，愿阅愿你读你生。生活活像像春春天天一一样样阳阳光光，，心心情情像像桃桃 65、莫天愁生生前命我路的才无成必知长有已，用，需。天要下吃8时谁饭2人，8分不还8识需时君要28。吃分苦81时4，-2J吃8u分l亏-28。0时7T.21u84e分.s2d10a42y-0J, uJlu-l2y0174.1,42.022002J0uly 20Tuesday, July 14, 20207/14/2020
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm， 可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12-2第4课时斜边及一直角边证全等(HL)课件
第4课时 斜边及一直角边证全 等（HL）
基础过关全练
知识点6 用“斜边、直角边(HL)”判定两个三角形全等 1.(教材变式·P42例5)如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,要 根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需要添∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠BED=90°,
在Rt△BCD和Rt△BED中,
BD BC
BD, BE,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=DE,
∴AD+DE=AD+DC=AC=8 cm.
4.如图,在△ABC中,过点A向BC作垂线,垂足为E,D为CA延长 线上一点,过点D作DF∥AE交BC于点F,交AB于点P,若DF= BE,BA=DC.请判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
∴∠ABC+∠DEB=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ABC+∠A=90°,∴∠A=∠DEB,
ACB EBD,
在△ABC和△EDB中, A DEB,
AB ED,
∴△ABC≌△EDB(AAS),∴BD=BC.
(2)由(1)知△ABC≌△EDB,∴AC=BE,BC=BD=6 cm, ∵E是BC的中点,∴BE= 1 BC=3 cm,∴AC=3 cm.
2
素养探究全练
12.(几何直观)如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分 ∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点P. (1)求∠APC的度数. (2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长.
解析 (1)∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°, ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB, ∴∠PAC+∠PCA= 1 (∠BAC+∠ACB)=60°,
八年级数学上册 12.2三角形全等的判定第4课时斜边直角边课件课件2_6-10
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
D A 当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，
则CH 的长为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.如图，在△ABC 中，已知BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD =CE .求证：△EBC ≌△DCB .
A B C
E D 证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，
∴∠BEC =∠BDC =90 °.
在Rt △EBC 和Rt △DCB 中，
CE=BD ,
BC=CB .
∴Rt △EBC ≌Rt △DCB (HL).3.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与
△ADC （填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等HL。
人教版八年级数学上册1第4课时“斜边、直角边”教学课件
A．1 B．2 C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与 △ADC 全等（填“全等”或“不全等”），根H据L
（用简写法）.
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：
△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
应用“HL”的前提条件是在 直角三角形中.
D
C
∴∠C与∠D都是直角.
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
AB=BA,
这是应用“HL”判定A方
B
AC=BD .
法 的书写格式.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD.
利用全等证明两条线段相等，这 是常见的思路.
变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明△ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相
应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） AD=BC
（ HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3） ∠DAB= ∠CBA （ AAS ）
D
（4）∠DBA= ∠CAB （ AAS ）
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和
∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
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让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．
巩固练习
学练优课后练习．
小结与作业
小结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ高
你有什么收获?
你还有什么疑问？
布置作业
(学生独立探究，动手作图)
提问：
（1）△ABC就是所求作的三角形吗？
（2）画好后，把Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗?
（3）发现了什么结论？
（全等）．
结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”）．
注意两点：一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件
比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件．
激发学生挑战新问题的积极性．
培养学生的分析、作图能力．
画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点．
让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件．
4．
结合图形，先分析已知条件和求证．
从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)……
小组展示自己的成果：
AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．
从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．
教学重点
掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．
教学难点
熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．
教学过程（师生活动）
设计理念
创设情境，引入新课
提问：1.判定两个三角形全等的条件有哪些?
结论：SSS、SAS、AAS、ASA
设置情景：根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?
2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了
提问：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗?
(学生不能作肯定回答，只能作某种猜测)
现在不要求马上给出结论．看看，通过动手探究，你是否能得出结论．直角三角形我们用Rt△表示．
思考：
任意画出一个Rt△ABC，使／C＝90°，再画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝BC，A'B'＝AB，把画好的Rt△A'B'C'剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等．(课件出示题目，师生一起看题)
第4课时“斜边、直角边”
教学目标
知识与技能
1、已知斜边和直角边会作直角三角形；
2、熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等
过程与方法
经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力．
情感态度价值观
通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发探究的积极性．
今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件．
复习旧知，可更快更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件．
探究新知
提问：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了?
(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答)
1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了．