第四讲概率分布
107 109 111 113 115 117 119 121 123 125 127 129 131 133
3
第一节 正态分布
（一）正态分布的概念
正态分布的图形也称正态曲线，是呈对称的钟形 曲线，它是一条两端低，中间高的有对称轴的曲线 ，最早由德国数学家 Gauss在描述误差分布时所发现 。如频数分布图5-1所示，当样本量不断增大时，分 组就会越来越多，组距就会越来越小，图中的直方 逐渐变窄，整个图形将逐渐形成一条高峰位于中央 ，两侧逐渐降低且左右对称接近光滑的曲线，近似 于数学上的正态分布曲线。可以想象，当样本量增 加至总体数量时，变量的频率分布曲线即为正态分 布曲线，变量的分布称为正态分布。正态分布也称 Gauss分布、“钟形”分布。
1.500 1.672 z2 0.58 0.298
26
0 .4
0 .3 5
0 .3
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0 -4
(z2 ) ( z1 ) 0.2810 0.0571 0.2239
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
27
第一节 正态分布——正态分布的应用
确定医学参考值范围 做质量控制图 许多统计方法的理论基础
28
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
医学参考值范围是指特定的“正常”人群（排除 了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定 人群）的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物 含量等数据中大多数个体的取值所在的范围。 习惯上取该人群95％的个体某项医学指标的取值 范围为该指标的医学参考值范围。
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 90
100
不同， 相同
110
120
130
140
150
8
图 不同均数的正态分布
9
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 90
100
110120130来自140150160
相同， 不同
10
图 不同标准差的正态分布
24
例：已知120名9岁男孩肺活量均数标准差下：
X 1.672 L, S 0.298L
欲估计该市肺活量介于1.200~1.500 L范围
内的9岁男孩的比例 。
25
当分布不是标准正态分布，但已知，和
X 时，先按式
z
X
查表求得曲线下某区间的面积。
求得z值，再
1.200 1.672 z1 1.58 0.298
6
第一节 正态分布
μ 为总体均数，决定曲线在横轴上的位置，又 称位置参数， μ 增大，曲线沿横轴右移；反 之， μ 减小，曲线沿横轴左移。 σ 为总体标准差，决定曲线的形状，又称形 态参数，当μ 恒定时， σ 越大表示数据越分 散，则曲线越矮胖， σ 越小表示数据越集中， 则曲线越高瘦。
7
0.08
35
P( X k ) C (1 )
k n k
n k
n! C k!(n k )!
k n
P( X 4) C (0.7) (0.3)
4 5 4
1
36
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
n次试验中刚好发生阳性数为k的概率P(x=k) n次试验中至多发生阳性数为k的概率P (x≤k)
13
第一节 正态分布
用μ 和 σ 两个参数就可以描述一个正态分布， 习惯上用N（ μ ， σ 2）表示均数为μ ，标准 差为σ 的正态分布。 例如，某年某市城区5岁女孩的身高X服从均数为 110.15cm，标准差为5.86cm的正态分布，可记为 X～N（110.15，5.862）。 正态分布在医学科研中应用很广，因为有很多医 学现象是服从正态分布或近似正态分布的。比如 同性别、同年龄儿童的身高，同性别健康成人的 红细胞数、血红蛋白含量、脉搏数等。
21
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
22
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
23
第一节 正态分布——标准正态分布
标准正态分布曲线下 (-1.96, 1.96)区间面积占总面积(或总观察例数) 的95%。 (-2.58, 2.58)区间面积占总面积(或总观察例数) 的99%。
34
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
（一）二项分布的概念
【例5-2】 用某药治疗慢性支气管炎，若该药的 有效率为70%，用该药试治5例慢性支气管炎患者， 问4例有效的概率是多少？ 特点：对立性、独立性、重复性 贝努力试验：在相同条件下进行大量重复、独立 的试验，其结果是相互对立的两个结果。 具备这三点，n次中有k次有效（或无效）的概率 分布就是二项分布 记为B（k,n,π）
二项分布的图形的形状与二个参数n和π有关， 当 0.5 时，图形对称；当 0.5时，图形呈偏态， 随着当样本量n的增大，图形逐渐趋于对称。
图5-5
π 为0.5，n为5、10、30时二项分布的概率分布图
40
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
图5-6
π =0.3，n为5、10、30时二项分布的概率分布图
29
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
例如：某市欲制定学龄前儿童血铅的参考值范围
观察对象定为： ①年龄为3~6岁，在本市居住1年以上；
②无肝、肾等器质性病变；
③无铅接触史；
④无特殊的饮食习惯；
⑤测定前3天未进食含铅高的食物。
30
第一节 正态分布——制定医学参考值范围
4
第一节 正态分布
正态曲线是一条高峰位于中央，两侧逐渐下降 并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟 型曲线。
5
第一节 正态分布
正态分布曲线的密度函数
1 f (X ) e 2
( X ) 2 2 2
,
X
此函数式中有四个常数: 为圆周率 e 为自然对数的底，2.71828 与 是两个不确定的常数
11
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
、 变化
12
第一节 正态分布
（二）正态分布的特征
关于均数对称。 曲线在均数处最高，在μ ±σ 处有拐点，表现 为钟形曲线。 曲线下面积之和为1。 曲线有两个参数， μ 和σ 。 曲线下面积分布有一定规律。
16
第一节 正态分布
Z变换
Z
X
17
第一节 正态分布——标准正态分布
若X服从正态分布 N(μ ，σ 2)，经此变换后， 则Z就服从均数为0，标准差为1的正态分布，这 种正态分布称为标准正态分布，用 N（0，1）表示，这种变换称为标准化变换， 又称Z变换。
18
0.4
0.35
0.3
（三）二项分布的应用
二项分布是伯努利概率模型，必须满足其试验条 件：对立性、独立性、重复性
42
k (a)
k-0.5 k k+0.5
k-0.5
k k+0.5
(b)
(c)
二项分布连续性校正和正态近似示意图
43
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
【例5-3】 某地区流行某种传染病，人们受感染的概率 为20%，在该地区某单位共有30人，问：(1) 该单位被 传染人数的平均值、标准差；(2) 现对该单位每人注射 一种能预防该传染病的疫苗，注射后至多有1人被传染， 试推断该疫苗是否真的有效。 ① 平均数 6；标准差 2.19 ②假设该疫苗无效，人们受感染的概率为0.20，不被感 染的概率为0.80，30人中至多有1人被传染的概率也就 是至少29人不被感染的概率为：
0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
第一节 正态分布——标准正态分布
为了方便应用，统计学家按标准正态分布的累积 概率分布函数(z)编制了附表2，标准正态分布 曲线下的面积，由表可查出曲线下-∞到z 区间 的面积。 因为正态分布两边对称，所以只给出了Z取负值 的情况。 标准正态曲线下面积用Ф （z）表示。
中医药统计学与软件应用
曹治清
成都中医药大学管理学院 数学与统计教研室 czq9771@
第4讲 概率分布
正态分布
二项分布和泊松分布
三大分布
医学参考值范围的制定
2
25 20 15 10 5 0 109 113 117 121 125 129 133
10 8 6 4 2 0 105 109 113 117 121 125 129 133
二项分布的正态近似 由统计学中的中心极限 定理（大样本的统计量服从正态分布）
41
第二节 二项分布和泊松分布—二项分布
当 n 时，二项分布近似于正态分布，二项分 布 X ~ B(k , n, ) 的极限分布就是正态分布 X ~ N (n , n (1 )) 这样，对于二项分布概率的计算，当n较大时， 就可以用正态分布的计算来替代，使得计算更 简化。
《概率分布》课件
06
概率分布的参数估计与假 设检验
参数估计方法
极大似然估计法
通过最大化样本数据的似然函数来估计参数，具有无偏性和一致 性。
最小二乘法
通过最小化误差的平方和来估计参数，适用于线性回归模型。
贝叶斯估计法
基于贝叶斯定理，通过先验信息和样本数据来估计参数，考虑了 参数的不确定性。
假设检验原理
零假设与对立假设
二项分布在统计学、可靠性工程、遗传学等领域有广泛应 用。
泊松分布
01
泊松分布描述了在单位时间内随机事件发生的次数 的概率分布情况。
02
泊松分布的概率函数为P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! ，其中λ是随机事件发生的平均速率。
03
泊松分布在物理学、工程学、保险学等领域有广泛 应用。
相关系数
相关系数是协方差的归一化形式，用于衡量两个随机变量的线性相关程度，取值范围为 -1到1。
大数定律与中心极限定理
大数定律
大数定律是指在大量重复实验中，某一 事件发生的频率趋于稳定，并收敛于理 论概率。
VS
中心极限定理
中心极限定理表明，无论独立随机变量的 分布是什么，它们的和的分布趋近于正态 分布。
自然现象模拟
自然现象模拟是概率分布应用的另一个领域。在自然科学中，许多自然现象都可 以通过概率分布进行描述和模拟，例如天气变化、地震和疾病传播等。
概率分布在自然现象模拟中主要用于描述自然现象的概率规律，进行模拟和预测 。例如，通过概率分布可以模拟地震发生的概率和强度，预测流行病的传播趋势 等。
人工智能算法
数学期望值是概率分布的中心 位置，表示随机变量的平均值
。
方差
方差是用来描述概率分布的离 散程度的数值。
统计学概率和分布PPT课件
• 为什么会这么说呢，让我们看掷两个 骰子的试验。
§4.2 概率的运算
• 如所关心的是两骰子点数之和，则 下表包含了所有36种可能试验结果 的搭配和相应的点数和。
两骰子
第一个的点数
点数和 1 2 3 4 5 6
• 在掷10次骰子中有一半或以上的次数 得到5或6的概率又是多少呢？
• 读者很快就可能很快会得到答案。但 再复杂一些，也许就不简单了。
§4.2 概率的运算
• 我们需要了解怎样从简单的情况计算 稍微复杂情况时的概率。
• 需要读者回忆一下上中学时学过的集 合概念，比如两个集合的交和并，互 余（互补）等概念。
§4.2 概率的运算: 3.概率的乘法
• 但是由于一个人抽中，其他人就不 可能抽中，
• 所以，这三个事件不独立。刚才的 乘法规则不成立；
• 这 P会(A得时2∩到A，错3)误＝P(的0A；1(∩1如/A3)错32)=误＝1/9照。P搬(A乘1∩法A2规) 则＝
§4.2 概率的运算: 3.概率的乘法
• 但是如果两个事件可能同时发生 时这样做就不对了。
§4.2 概率的运算: 2.概率的加法
• 假定掷骰子时，一个事件A为“得到 偶数点”（有3种可能：2、4、6点）， 另一个事件B为“得到大于或等于3点” （有4种可能：3、4、5、6点）；
• 这样，事件A的概率显然等于3/6=1/2， 即 P(A)=1/2 。 而 事 件 B 的 概 率 为 P(B)=4/6=2/3。
事件： 两骰子点数和
集合： 相应的试验结果（两个数字分别 表示第一和第二个骰子的点数）
集合中元素 的个数
人教版高数选修2-3第4讲：随机变量及其概率分布(学生版)
随机变量及其概率分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解随机变量的概念.2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.3.能熟练应用两点分布.4.能熟练运用超几何分布.1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做______________，通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验.(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.(3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.(4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.2.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,,,,n x x x L 且()i P X x ==,1,2,3,,i p i n =L ①，则称①为随机变量X 的概率分布列.3.随机变量概率分布的性质(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.(2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1，必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,,,.n x x x L X 取每一个值i x (i =1，2，…，n )的概率为(),i i P X x p ==○1_______________○2________________________.不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布其中0<p <1，q =1-p ，则称随机变量X 服从参数为p 的两点分布.(1两点分布又称0-1分布.(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.5.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布.类型一.随机变量及其概率分布例1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y =x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ；④1天内的温度.η其中是离散型随机变量的是( ) A.①② B.③④ C ①③ D.②④例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X ； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ；练习1：写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X .练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用ξ表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量ξ的概率分布.类型二.随机概率分布的性质例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.类型三.两点分布例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则(0)P ξ=等于( )A.0B.12C.13D.23练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩正面向上正面向下；.如果正面向上的概率为p ；试写出随机变量X 的概率分布表.类型四.随机变量的概率分布性质的应用例5：设随机变量ξ的概率分布为()5kp ξ==ak (k =1，2，3，4，5). (1)求常数a 的值； (2)求3();5P ξ≥(3)求17().1010P ξ<<练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X 的概率分布表.类型五.超几何分布例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的分布表.练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？1.抛掷2颗骰子,如果将所得点数之和记为,ξ那么ξ=4表示的随机试验结果是( ) A .2颗都是4点 B .1颗是1点,另1颗是3点C .2颗都是2点D .1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点2.随机变量1ξ是1个无线寻呼台1min 内接到的寻呼次数;随机变量2ξ是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变量3ξ是测量1名学生身高所得的数值(精确到1cm );随机变量4ξ是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标,那么这4个随机变量中,离散型随机变量的个数是( )A .1B .2C .3D .4３.命题p :离散型随机变量只能取有限个值;命题q :只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量;命题r :连续型随机变量可以取某一区间内的一切值;命题s :可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量,这四个命题中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4４.已知随机变量ξ的分布列为1(),2k P k k ξ===1,2,3,,,(24)n P ξ<≤L 则=( ) A.316B.14C.116 D.516５.下列变量中，不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数 C.标准大气压下，水沸腾时的温度 D.某人早晨在车站等出租车的时间 6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3 个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.12164320C C C B.22164320C C C C.21316416320C C C C ⋅+ D.以上均不对 7.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C 的是( )A.(2)P ξ=B.(2)P ξ≤C.(4)P ξ=D.(4)P ξ≤8.如果随机变量ξ的分布列(),1,10k P k k ξ===2,3,4,那么15()22P ξ≤≤=______.__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是( ) A.ξ取每个可能值的概率都是非负实数 B.ξ取所有可能值的概率之和为1C.ξ取在某一范围内的值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.ξ取在某一范围内的值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2.袋中有完全相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A.25B.10C.7D.63.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A.恰有1个是坏的的概率B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率D.至多有2个是坏的的概率4.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是()A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品5.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于()A．1 B．1±22C．1－22D．1＋22６.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为,ξ那么5ξ=表示的随机试验的结果是() A.2枚都是5点 B.1枚是1点，另一枚是4点C.1枚是2点，另一枚是3点D.1权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点7.设随机变量ξ的分布列2()(),3kP k mξ==⋅k=1,2,3,则m的值为______.8.从有3个果球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________.能力提升1.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率________.2.一个筒中放有标号分别为0，1，2，…，9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为X.(1)写出X的概率分布；(2)分别求“25(,)32X∈”；“X>7”，“3.5≤X≤6”的概率.3.（2014陕西卷节选）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：5000.5设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列.4.（2014福建卷节选）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列．5.(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．6.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．。
高考一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率
第四讲 随机事件的概率知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 随机事件和确定事件(1)在条件S 下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S 下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件． 知识点二 概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率f n (A)__来估计概率P(A)．知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义符号表示 包含 关系 若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B) __B ⊇A__ __(或A ⊆B)__ 相等 关系 若B ⊇A ，且__A ⊇B__，则称事件A 与事件B 相等 __A ＝B__ 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生或事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) __A ∪B__ __(或A ＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生且事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) __A∩B __ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B 为__不可能__事件，则称事件A 与事件B 互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然事件__，则称事件A 与事件B 互为对立事件__A∩B＝∅，__ __且A ∪B ＝Ω__重要结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( × )(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．( √ ) 题组二 走进教材2．(P 121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D ． 3．(P 133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__56__．[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56．题组三 走向高考4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B ．5．(2020·新课标Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )A ．15B ．25C ．12D ．45[解析] O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有 C 35＝10种，即OAB ，OAC ，OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD 十种， 其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P ＝210＝15，故选A ．考点突破·互动探究考点一 随机事件的关系——自主练透例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( C ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③(3)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)对于选项A ，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B ，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C ，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D ，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C ．(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C ．(3)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．名师点拨(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．〔变式训练1〕(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( B ) A ．至多有2件次品 B ．至多有1件次品 C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品[解析] ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．考点二 随机事件的概率——多维探究 角度1 频率与概率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50． 故所求概率为502 000＝0.025．(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372．故所求概率估计为1－3722 000＝0.814．(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 角度2 统计与概率例3 (2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 09● 9A ．45B ．25C ．910D ．710[解析] 记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5， 令90＞442＋x 5，解得x ＜8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45．故选A ．名师点拨概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．〔变式训练2〕(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A ，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为( B )A ．15B ．16C ．13D ．14(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析] (1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或C 23A 22＝6(种))，A 城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P ＝16．(2)①从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2．②从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3．③与①同理．可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 考点三 互斥事件、对立事件的概率——师生共研例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ．求：①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是( C )A ．2个都是正品B ．恰有1个是正品C ．至少有1个正品D ．至多有1个正品[解析] (1)①P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120．②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000．故1张奖券的中奖概率为611 000．③P(A ∪B )＝1－P(A ＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000．(2)从5个产品中任取2个的取法有C 25＝10种，其中2个都是正品的取法有C 23＝3种，故2个都是正品的概率P 1＝310；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P 2＝1－P 1＝1－310＝710．恰有1个正品的取法有C 13·C 12＝6种，故恰有1个正品的概率P 3＝610＝35．至少有1个正品的概率P 4＝P 1＋P 3＝310＋610＝910．名师点拨求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．[解析](1)2021年某省新高考将实行“3 ＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名师讲坛·素养提升用正难则反的思想求对立事件的概率例5 (1)(2020·浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__45__．(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析](1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的球都相邻”，记为事件A．因5个不同编号的小球排列有A55＝120种排法，“相同颜色的球都相邻”的排法有A22A22A33＝24种排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－24120＝45．(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．名师点拨“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．〔变式训练4〕某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝ 20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝1 5，P(A2)＝10100＝110．P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710．。
第4章概率分布22年课件
P(Xx)CM xCN n xM x1,2, ,l CN n
4 - 28
统计学
STATISTICS (第四版)
超几何分布
(例题分析)
【例4-4】假定有10支股票，其中有3支购买后可以获利，另 外7支购买后将会亏损。如果你打算从10支股票中选择4支购 买，但你并不知道哪3支是获利的，哪7支是亏损的。求
泊松分布
(期望值和方差)
1. 期望值
2.
E(X)=
P(X) 0.6
= 0.5
0.4
0.2
0.0
X
012345
2. 方差
3.
D(X)=
P(X) 0.6 0.4 0.2 0.0
02
= 6
X 4 6 8 10
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统计学
STATISTICS (第四版)
泊松分布
(例题分析)
【例4-3】假定某航空公司预订票处平均每小时接 到42次订票电话，那么10分钟内恰好接到6次电话 的概率是多少？
计算泊松分布的概率
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统计学
STATISTICS (第四版)
超几何分布
(hypergeometric distribution)
1. 采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功 的概率也互不相等
2. 总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于 N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从 超几何概率分布
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统计学
STATISTICS (第四版)
超几何分布
(用Excel计算概率)
第1步：在Excel表格界面，直接点击【fx】(插入函数)命令 第2步：在【选择类别】中点击【统计】，并在【选择函数】
概率分布和概率分布律
概率分布和概率分布律【原创版】目录一、概率分布的定义和意义二、概率分布律的概念和性质三、概率分布律的类型和应用四、总结正文一、概率分布的定义和意义概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律。
在概率论中，随机变量是描述随机现象的重要工具，而概率分布则是用来描述随机变量取值的可能性。
事件的概率表示了一次试验中某一个结果发生的可能性大小。
若要全面了解试验，则必须知道试验的全部可能结果及各种可能结果发生的概率，即随机试验的概率分布。
概率分布的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
在理论上，概率分布是概率论的一个重要研究对象，可以深入研究随机现象的内在规律；在实际应用中，概率分布可以用于风险评估、数据分析、可靠性分析等领域。
二、概率分布律的概念和性质概率分布律是指随机变量取某个值的概率。
具体来说，假设随机变量X 的概率分布为 F(x)，那么 F(x) 表示 X 取值小于等于 x 的概率。
概率分布律具有以下性质：1.0 ≤ F(x) ≤ 1，即概率分布律的取值范围在 0 到 1 之间。
2.F(-∞) = 0，即随机变量取负无穷大的概率为 0。
3.F(+∞) = 1，即随机变量取正无穷大的概率为 1。
4.F(x) 是单调递增的，即随着 x 的增加，F(x) 的值也递增。
5.F(x) 是右连续的，即对于任意一个 x，有 F(x+) = F(x)。
三、概率分布律的类型和应用概率分布律可以分为离散型和连续型两种。
离散型概率分布律是指随机变量取有限个或可数无限个值的概率分布律，如伯努利分布、二项分布等；连续型概率分布律是指随机变量取值在一个区间内的概率分布律，如正态分布、指数分布等。
概率分布律在实际应用中有广泛的应用，例如在风险评估中，可以通过概率分布律来估计某一风险发生的可能性；在数据分析中，可以通过概率分布律来分析数据的分布特征；在可靠性分析中，可以通过概率分布律来评估产品的寿命等。
四、总结概率分布是描述随机变量取值的概率规律，是概率论的一个重要研究对象。
统计学中的概率分布
统计学中的概率分布统计学是一门研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
它在各个领域都有广泛的应用，从市场调查到医学研究，从金融分析到环境科学。
而概率分布则是统计学中的重要概念之一，它描述了随机变量的取值可能性。
一、概率分布的基本概念概率分布是指随机变量的所有可能取值及其相应的概率。
随机变量是一个变量，其取值由随机事件决定。
例如，掷硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个二元随机变量。
在概率分布中，有两种基本类型：离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布用于描述离散随机变量，即取有限或可数个数值的随机变量。
常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布和泊松分布。
伯努利分布用于描述只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果。
二项分布则用于描述多次独立重复的伯努利试验的结果。
泊松分布则用于描述在给定时间或空间单位内发生的事件的次数。
连续概率分布则用于描述连续随机变量，即可以取任意实数值的随机变量。
最常见的连续概率分布是正态分布，也称为高斯分布。
正态分布在自然界和人类行为中广泛存在，例如身高、体重等。
除了正态分布，还有指数分布、均匀分布和伽马分布等。
二、概率分布的特征概率分布有一些重要的特征，包括期望值、方差和标准差。
期望值是随机变量的平均值，它描述了随机变量的中心位置。
方差衡量了随机变量取值的离散程度，而标准差是方差的平方根。
概率分布还有一个重要的特征是分位数。
分位数是指将概率分布分成几个部分的点。
最常见的分位数是中位数，它将概率分布分成两个相等的部分。
其他常见的分位数包括四分位数和百分位数。
三、概率分布的应用概率分布在统计学中有广泛的应用。
首先，它可以用于描述和分析数据。
通过将数据与适当的概率分布进行比较，可以确定数据是否符合某种分布模型。
这对于数据的进一步分析和解释至关重要。
其次，概率分布可以用于进行推断统计学。
通过样本数据，可以估计总体参数的值，并进行假设检验。
例如，可以使用正态分布来进行总体均值的推断。
第四节 概率的分布
（λt） −λt P{N ( t + s) − N (s) = n} = e n!
n
1− p EX = r p
1− p DX = r 2 p
• 4.泊松过程 泊松过程 在实际问题中，常常要观测到时刻t时某事 在实际问题中，常常要观测到时刻 时某事 件出现的次数， 件出现的次数，如： 1.在某路口到 时刻经过的汽车数目； 在某路口到t时刻经过的汽车数目 在某路口到 时刻经过的汽车数目； 2.在收银台到 时刻到达的顾客人数； 在收银台到t时刻到达的顾客人数 在收银台到 时刻到达的顾客人数； 3.某地区到 时刻某年龄段的死亡人数； 某地区到t时刻某年龄段的死亡人数 某地区到 时刻某年龄段的死亡人数； 4.保险公司到 时刻接到的索赔次数。 保险公司到t时刻接到的索赔次数 保险公司到 时刻接到的索赔次数。 以上均用{X(t)，t≥0}来描述随机变量，它 来描述随机变量， 以上均用 ， 来描述随机变量 是随时间的变化而改变的， 是随时间的变化而改变的，称之为随机过 程。
三、损失金额的分布
假设某企业的风险经理需要知道火灾风险造成厂房 损失的情况， 损失的情况，用重置成本法对其厂房的直接成本损 失价值进行评估，该厂房的重置成本为200万元，这 万元， 失价值进行评估，该厂房的重置成本为 万元 样该厂房的最大可能损失为200万元，根据以往每次 万元， 样该厂房的最大可能损失为 万元 火灾发生时损失的历史数据，把损失数额分段考虑。 火灾发生时损失的历史数据，把损失数额分段考虑。 例如2万元以下，2—10，10—40，等。这样就得到 例如 万元以下， ， ， 万元以下 损失程度的一种分布。如下表： 损失程度的一种分布。如下表：
• 例1.[在排队论中的应用 在排队论中的应用] 在排队论中的应用 以火车站售票处为例，从早上8：00开始， 以火车站售票处为例，从早上 ： 开始， 开始 次售票处连续售票，乘客以10人 小时的平 次售票处连续售票，乘客以 人/小时的平 均速率到达，则从9： 均速率到达，则从 ：00—10：00这一小时 ： 这一小时 内最多有5名乘客来此购票的概率是多少 名乘客来此购票的概率是多少？ 内最多有 名乘客来此购票的概率是多少？ 10点到 点无人购票呢？ 点到11点无人购票呢 点到 点无人购票呢？ 例2（事故的发生次数及保险公司接到的索 （ 赔数） 赔数） 这里考虑最简单的情况，设保险公司每次 这里考虑最简单的情况， 赔付都是1，接到索赔要求是4次 月 赔付都是 ，接到索赔要求是 次/月，则一 年中他要付出的平均金额是多少？ 年中他要付出的平均金额是多少？
常用概率分布.ppt
表4—1 抛掷一枚硬币发生正面朝上的 试验记录
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从表4-1可看出，随着实验次数的增多， 正面朝上这个事件发生的频率越来越稳定地接 近0.5，我们就把0.5作为这个事件的概率。
在一般情况下，随机事件的概率p是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时随机 事件A的频率作为该随机事件概率的近似值。
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二、概 率
（一）概率的统计定义 研究随机试验，仅知道可能发生哪些随机
事件是不够的，还需了解各种随机事件发生的 可能性大小，以揭示这些事件的内在的统计规 律性，从而指导实践。这就要求有一个能够刻 划事件发生可能性大小的数量指标，这指标应 该是事件本身所固有的，且不随人的主观意志 而改变，人们称之为概率（probability）。 事件A的概率记为P（A）。
P(x=xi)=pi i=1,2,… (4—3) 则称 （4—3）式为离散型随机变量x的概 率分布或分布。常用 分 布 列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
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x1 x2 … xn …. p1 p2 … pn … 显然离散型随机变量的概率分布具有pi≥0 和Σpi=1这两个基本性质。 三、连续型随机变量的概率分布
第一节 事件与概率
一、事 件 （一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人 们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起 来，大体上分为两大类：
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一类是可预言其结果的，即在保持条件不 变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定 的，必然发生（或必然不发生）。这类现象称 为必然ite phenomena）。
这样定义的概率称为 统计概率 （statistics probability），或者称后验概 率（posterior probability）。
4第四讲常用离散分布与连续分布函数
k}
C
k 3
(
2 5
)
k
(
3 5
)3
k
,
k 0,1,2,3.即 ：
第四讲 常用离散分布与连续的分布函数
P(X
0)
C
0 3
(
2 5
)0
(
3 5
)3
27 , 125
P(X
1)
C
1 3
(
2 5
)1
(
3 5
)2
54 , 125
P( X 2) 36 , P( X 3) 8 .
125
125
分 布 函 数 则 要 求 在( ,0),[0,1),[1,2),[2,3),[3, )中
通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是0.4.设X为 途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律和分布函数。
分析：三个岗遇到红灯相互独立，因此，本题是三次独立 试验每次事件A(遇到红灯）是否发生两种情况的概型。
解 ： 设X为3个 岗 遇 到 红灯 的 次 数 ，则X ~ B(3, 2). 5
其 概 率 函 数为 ：P{ X
k!
np
第四讲 常用离散分布与连续的分布函数
证 设 p ，则
n
Cnk
p k q nk
Ank k!
pk (1
p)nk
n(n
1)(n
k
1)
k
1
nk
前两大项合并处理共
x项
k!
n n
即原式 k n n 1 n k 11 nk
k!n n
n n
k
1
1
1
k
1 1
nk