【高二数学试题精选】圆的一般方程达标练习(有答案)
高二数学圆的方程练习-(附答案)
高二数学圆的方程练习【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是( )A.-3＜a ＜7B.-6＜a ＜4C.-7＜a ＜3D.-21＜a ＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) B.(3，-2)C.(4，1)D.(2 +2，2-3)4.若直线x+y=r 与圆x 2+y 2=r(r ＞0)相切，则实数r 的值等于( ) A.22B.1C.2D.25.直线x-y+4=0被圆x 2+y 2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x 2+y 2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .7.设集合m={(x,y)x 2+y 2≤25,N={(x,y)｜(x-a)2+y 2≤9}，若M ∪N=M ，则实数a 的取值范围是 .8.已知P(3，0)是圆x 2+y 2-8x-2y+12=0内一点则过点P 的最短弦所在直线方程是 ，过点P 的最长弦所在直线方程是 .三、解答题9.已知圆x 2+y 2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=22.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y 2=1的内部，则实数a 的取值范围是( )A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51 C.｜a ｜＜121D.｜a ｜＜1313.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞0 4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0)D.(5，-1)5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2+2=4的内部，则k 的范围是( )A.-51＜k ＜-1 B.-51＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分别是 .7.若方程a 2x 2+(2a+3)y 2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 . 三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，经过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素质优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x 2+y 2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( )A.6πB.4π C.3π D.2π 2.对于满足x 2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范围是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1)3.若实数x ，y 满足x 2+y 2=1,则12--y y 的最小值等于( )A.41 B.43C.23 D.24.过点P(1，2)的直线l 将圆x 2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米 二、填空题6.若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是 .7.若集合A={(x 、y)｜y=-｜x ｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y 2=a 2}满足A ∩B= ，则实数a 的取值范围是 .8.过点M(3，0)作直线l 与圆x 2+y 2=16交于A 、B 两点，当θ= 时，使△AOB 的面积最大，最大值为 (O 为原点).三、解答题9.令圆x 2+y 2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M ，有｜PM ｜=｜PO ｜,求使｜PM ｜最小的P 点坐标.10.已知圆C ：(x+4)2+y 2=4和点A(-23，0)，圆D 的圆心在y 轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D 与y 轴交于点M 、N ，求证：∠MAN 为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与｜MQ ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 与m 所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级1.B2.D3.D4.D5.B6.(- 2a ,0), 2a7.-18.(- 103，101)9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素质优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arccot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(1+4x 2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45. 当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y 2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x 2+(y ±2a )2=(2a )2轨迹是分别以CO ，CD 为直径的两个圆.。
圆方程测试题及答案
圆方程测试题及答案一、选择题1. 已知圆的一般方程为 \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \)，其中 \( g \)、\( f \) 和 \( c \) 是常数。
若圆心坐标为 \( (-g, -f) \)，那么 \( c \) 的值应该是：A. \( g^2 + f^2 \)B. \( -g^2 - f^2 \)C. \( 1 \)D. \( 0 \)答案：A2. 圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 \) 的半径是多少？A. 3B. 5C. 10D. 20答案：B二、填空题1. 圆的标准方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( (a,b) \) 是圆心坐标，\( r \) 是半径。
如果圆心坐标为 \( (3, 4) \)，半径为 5，则该圆的方程为________________。
答案：\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)2. 圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 与直线 \( y = x \) 相切，求切点坐标。
答案：切点坐标为 \( (±\sqrt{2}, ±\sqrt{2}) \)。
三、解答题1. 已知圆 \( C \) 的圆心在 \( (1, 1) \)，半径为 2，求圆 \( C \) 的方程。
解答：根据圆的标准方程，圆 \( C \) 的方程为 \( (x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 \)。
2. 已知圆 \( x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0 \) 与直线 \( 2x + y- 3 = 0 \) 相切，求圆心到直线的距离。
解答：首先，将圆的方程化为标准形式，得到 \( (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4 \)。
圆心坐标为 \( (-1, 2) \)。
利用点到直线距离公式\( \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，将圆心坐标代入直线方程，得到距离 \( d = \frac{|2(-1) + 1(2) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \)。
高二数学圆的一般方程练习题
高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。
2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。
3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。
4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。
5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。
二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。
解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。
2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。
解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。
圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。
将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。
点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。
3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。
高二上学期数学练习题(2)(圆与方程--园的一般方程)有详细答案
高二上学期数学练习题（2）（圆与方程）班级 姓名 学号一．选择填空题1. 若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16 2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 3. 若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0 D ．－2或04. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)5. 圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32 C ．±32D ．不存在 6. 当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( ) A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上 B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上 C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上 D ．这些圆的圆心不在同一条直线上 7. 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为A ．52 B ．10 2 C ．15 2 D ．202 ( )9. 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π10. 若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 A ． 5 B ．5 C ．2 5D ．10 ( )11. 已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 12. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( )A ．8B ．4C ．2 2D ．4 2二．填空题13.圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为_________14.设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是_________ 15.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，16.若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是________三．解答题17.判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．18.已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．19.自A(4,0)引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．20.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆的半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程．21.点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B、C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．高二上学期数学练习题（2）（圆与方程）参考答案班级 姓名 学号一．选择填空题1. 若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则D ，E ，F 分别为( )A ．4,8，－4B ．－4,8,4C ．8，－4,16D ．4，－8,16 [答案] B[解析] 圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋4)2＝16，展开得x 2＋y 2－4x ＋8y ＋4＝0， 比较系数知D ，E ，F 分别是－4,8,4.2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0[答案] C [解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C ．3. 若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或0[答案] C [解析] 化已知园的方程为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 4. 若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[答案] D [解析]依题意：()()()222212150a a a a +----<，整理可得：430a ->，解得a ＞34.5. 圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上有两个点P 和Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝( )A ．2B ．－32 C ．±32D ．不存在 [答案] A[解析] 由题意得直线kx －y ＋4＝0经过圆心C (－12，3)，所以－k2－3＋4＝0，解得k ＝2.故选A ．6. 当a 取不同的实数时，由方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay －1＝0可以得到不同的圆，则( ) A ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 上 B ．这些圆的圆心都在直线y ＝－x 上 C ．这些圆的圆心都在直线y ＝x 或y ＝－x 上 D ．这些圆的圆心不在同一条直线上[答案] A [解析] 圆的方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝2a 2＋1，圆心为(－a ，－a )，在直线y ＝x 上． 7. 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) [答案]D A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，因为此圆心在第三象限，所以a <0，b >0.直线方程x ＋ay＋b ＝0可化为y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．8. 在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为A ．52 B ．10 2 C ．15 2 D ．202 ( )[答案] B[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为过点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.9. 已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( ) A ．π B ．4π C ．8πD ．9π[答案] B[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )，则由|P A |＝2|PB |可得： (x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]， 即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径长的圆，故面积为π×22＝4π.10. 若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为 A ． 5 B ．5 C ．2 5D ．10 ( )[答案] B[解析] 由题意，得直线l 过已知园的圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1， 所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 11. 已知两圆的方程是x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析 将圆x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，化为标准方程得(x －3)2＋(y －4)2＝16.，其圆心为2(3,4)C ，半径24r =，又园x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)O ，半径11r =，112OO r r =+∴两圆的圆心距1OO =(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r 1＋r 2＝5，所以112OO r r =+∴两圆外切．答案 C12. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．8 B ．4 C ．2 2 D ．4 2 解析：已知园的一般方程x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝2. 圆心(－2,2)在直线x －y ＋4＝0上．∴被截得的弦长为直径2 2. 答案：C二．填空题13.圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为_________ [答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析]依题意所求园的半径为r ==，∴所求园的标准方程为：()()22234x y ++-=，去括号整理可得所求园的一般方程为：x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0。
(完整版)高二数学圆专项训练
高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1.【AB 】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.【A 】圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2.【B 】圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)b 1=2b =圆的方程为。
3.【A 】圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.3.【B 】已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________． 【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.二、与圆有关的轨迹问题1.【A 】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程； 【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.22(2)1x y +-=∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.2.【B 】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3.【A 】已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ．解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。
2.4.2 圆的一般方程 练习册答案
2.4.2 圆的一般方程1.B [解析] 圆心为B (-1,1),则半径r=|AB|=√(1+1)2+(2-1)2=√5,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x 2+y 2+2x-2y-3=0.故选B .2.A [解析] 设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将A (1,-1),B (1,4),C (4,-2)三点的坐标分别代入,得{1+1+D -E +F =0,1+16+D +4E +F =0,16+4+4D -2E +F =0,解得{D =-7,E =-3,F =2,故圆的方程为x 2+y 2-7x-3y+2=0,故选A . 3.C [解析] 由x 2+y 2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C (1,-2),r=√11.故选C .4.D [解析] ∵方程x 2+y 2+ax-2ay+2a 2+3a=0表示的是半径为r (r>0)的圆,∴a 2+(-2a )2-4(2a 2+3a )>0,解得-4<a<0,故圆心(-a 2,a)位于第四象限,故选D . 5.D [解析] 因为圆C 的方程为x 2+y 2+mx+2my+(m-2)=0,所以圆C 的半径r=√m 2+(2m )2-4(m -2)2=√5m 2-4m+82=√5(m -25)2+3652≥12×6√55=3√55,所以圆C 的最小周长为2π×3√55=6√5π5.故选D .6.D [解析] 因为M 1(-3,0),M 2(3,0),动点M (x ,y ),所以|MM 1|=√(x +3)2+y 2,|MM 2|=√(x -3)2+y 2.又因为|MM 1|=2|MM 2|,所以√(x +3)2+y 2=2√(x -3)2+y 2,整理得x 2+y 2-10x+9=0,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2-10x+9=0.故选D .7.D [解析] ∵圆x 2+y 2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴直线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),∴-a-3b+3=0,即a+3b=3,又a>0,b>0,∴1a +3b =13×(1a +3b )(a+3b )=13(10+3b a +3a b )≥163,当且仅当3b a =3a b ,即a=b 时取等号.故选D .8.AC [解析] 由圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0,得圆M 的标准方程为(x-4)2+(y+3)2=52,故圆心为(4,-3),半径为5,故A,C 正确.在x 2+y 2-8x+6y=0中,令x=0,得y=0或y=-6,令y=0,得x=0或x=8,所以y 轴被圆M 截得的弦长为6,x 轴被圆M 截得的弦长为8,故B,D 不正确.故选AC .9.BCD [解析] 由x 2+y 2-6x+2y+1=0可得(x-3)2+(y+1)2=9,则方程x 2+y 2-6x+2y+1=0表示以C (3,-1)为圆心,3为半径的圆.对于A 选项,设点P (x ,y )为圆C 上的点,则x 2+y 2表示点P 到原点O 的距离的平方,因为(0-3)2+(0+1)2>9,所以原点O 在圆C 外,所以|OP|min =|OC|-3=√32+(-1)2-3=√10-3,所以x 2+y 2的最小值为(√10-3)2=19-6√10,故A 错误;对于B 选项,设y x+1=k ,则kx-y+k=0,由题意知直线kx-y+k=0与圆C 有公共点,则√k 2+1≤3,即7k 2+8k-8≤0,解得-4-6√27≤k ≤-4+6√27,所以y x+1的最大值为6√2-47,故B 正确;对于C 选项,设x+2y=t ,即x+2y-t=0,由题意知直线x+2y-t=0与圆C 有公共点,所以√5≤3,解得1-3√5≤t ≤1+3√5,故x+2y 的最小值为1-3√5,故C 正确;对于D 选项,因为(x-3)2+(y+1)2=9,所以√(x -3)2+(y +1)2+√x 2+(y -3)2=3+√x 2+(y -3)2,√x 2+(y -3)2表示圆C 上的点P 到点M (0,3)的距离,因为(0-3)2+(3+1)2>9,所以点M 在圆C 外,所以|MP|min =|MC|-3=√(0-3)2+(3+1)2-3=5-3=2,所以√(x -3)2+(y +1)2+√x 2+(y -3)2的最小值为3+2=5,故D 正确.故选BCD .10.(-54,-1) [解析] 由题意得{1+1-1-2-k >0,1+4+4k >0,解得-54<k<-1,故k 的取值范围为(-54,-1). 11.(-2,2) [解析] 方程x 2+y 2-kx+2y+k 2-2=0可化为(x -k 2)2+(y+1)2=3-34k 2,若方程表示圆,则3-34k 2>0,解得-2<k<2,故实数k 的取值范围为(-2,2).12.(x-2)2+(y-4)2=4 [解析] 由题得圆M 的标准方程为x 2+(y+2)2=4,∴圆心为M (0,-2),半径r=2.设圆心M 关于直线l :x+3y-4=0的对称点为M'(x ,y ),则{y+2x -0=3,x+02+3×y -22-4=0,解得{x =2,y =4,即M'(2,4),∴圆M 关于直线l 对称的圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=4. 13.解: (1)若方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 4+9=0表示圆,则[-2(t+3)]2+4(1-4t 2)2-4 (16t 4+9)>0,即-7t 2+6t+1>0,解得-17<t<1. (2)圆的圆心为(--2(t+3)2,-2(1-4t 2)2),即(t+3,4t 2-1),半径为√-7t 2+6t +1.(3)圆的半径r=√-7t 2+6t +1=√-7(t -37)2+167,所以当t=37 时,r 取得最大值4√77,此时圆的标准方程为(x -247)2+(y +1349)2=167.14.解:(1)直线AB 的斜率为3-13+1=12,则直线AB 的方程为y-1=12(x+1),即x-2y+3=0.|AB|=√(-1-3)2+(1-3)2=2√5,点C 到直线AB 的距离d=√12+(-2)=√5, 故S △ABC =12|AB|·d=12×2√5×√5=5.(2)O ,A ,B ,C 四点在同一个圆上,理由如下:设△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,由已知可得{-D +E +F +2=0,3D +3E +F +18=0,2D +F +4=0,解得{D =-2,E =-4,F =0,所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-2x-4y=0.因为02+02-2×0-4×0=0,所以坐标原点O 在△ABC 的外接圆上,因此,O ,A ,B ,C 四点在同一个圆上.15.2√2+√3 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),O 为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2),由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=12,可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×cos ∠AOB=12,则∠AOB=60°,所以三角形OAB 为等边三角形,|AB|=1.11√2+22√2的几何意义为A ,B 两点到直线x+y-2=0的距离|AA 1|与|BB 1|之和,记线段AB ,A 1B 1的中点分别是C ,C 1,O 到直线x+y-2=0的距离为|OO 1|,则|AA 1|+|BB 1|=2|CC 1|,且|CC 1|≤|OC|+|OO 1|=√32+√2,所以|AA 1|+|BB 1|≤2√2+√3,所以11√2+22√2的最大值为2√2+√3.16.解: (1)方程x 2+y 2+2kx+(4k+10)y+6k 2+21k+19=0可变形为(x+k )2+(y+2k+5)2=-k 2-k+6,若该方程表示一个圆,则-k 2-k+6>0,解得-3<k<2,∴r=√-k 2-k +6=√-(k +12)2+254∈(0,52]. (2)由(1)知C (-k ,-2k-5),令{x =-k ,y =-2k -5,消去k 可得y=2x-5,又-3<k<2,∴-2<x<3,故圆心C 的轨迹方程为y=2x-5(-2<x<3).(3)当k=-2时,圆C 的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.设M (x 0,y 0),∵M 为线段AB 的中点,端点A 的坐标为(0,4),∴B (2x 0,2y 0-4),又端点B 在圆C 上运动,∴(2x 0-2)2+(2y 0-3)2=4,即(x 0-1)2+(y 0-32)2=1,∴线段AB 的中点M 的轨迹方程为(x-1)2+(y -32)2=1.。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
(完整版)高二数学圆专项训练
高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1.【AB 】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.【A 】圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2.【B 】圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)b 1=2b =圆的方程为。
3.【A 】圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.3.【B 】已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________． 【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.二、与圆有关的轨迹问题1.【A 】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程； 【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.22(2)1x y +-=∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.2.【B 】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3.【A 】已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ．解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。
人教A版高中数学必修二412_圆的一般方程(有答案)
人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1. 圆x2+y2−4x+6y＝0的圆心坐标是()A.(2, 3)B.(−2, 3)C.(−2, −3)D.(2, −3)2. 方程x2+y2+2ax−by+c＝0表示圆心为C(2, 2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A.−2, 4, 4B.−2，−4, 4C.2，−4, 4D.2，−4，−43. 已知圆C过点M(1, 1)，N(5, 1)，且圆心在直线y＝x−2上，则圆C的方程为()A.x2+y2−6x−2y+6＝0B.x2+y2+6x−2y+6＝0C.x2+y2+6x+2y+6＝0D.x2+y2−2x−6y+6＝04. 设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不确定5. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为()A.−2或2B.或C.2或0D.−2或06. 圆x2+y2−2y−1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是()A.(x−1)2+y2＝2B.(x+1)2+y2＝2C.(x−1)2+y2＝4D.(x+1)2+y2＝4二、填空题圆心是(−3, 4)，经过点M(5, 1)的圆的一般方程为________.设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________.三、解答题判断方程x2+y2−4mx+2my+20m−20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.参考答案与试题解析人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1.【答案】D【考点】圆的一般方程圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】试题分析：由圆x2+y2−4x+6y=0的方程；代入圆心坐标公式(−D2,−E2)，可得；(2,−3)【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】−a=2方程x2+y2+2ax−by+c=0可化为(x+a)2+(y−b2)2=a2+b24−c，所以b2=2，解得a=−2,b=4,c=4，选A．|a2+b24−c=4【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的切线方程【解析】3设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，由已知有{(1−a)2+(1−b)2=r2(5−a)2+(1−b)2=y2b=a−2，解得{a=b=1，所以圆的标准方程为2(x−3)2+(y−1)2=4，即x2+y2−6x−2y+6=0，选A．【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】试题分析：将原点坐标(0,0)代入圆的方程得：(a−1)2>0________，（因为0<a<1，所以原点在圆外，故选B．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】平行向量的性质指数式、对数式的综合比较三角函数的最值【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于α的方程．求出方程的解得到α的值即可．【解答】把圆的方程化为标准式为：(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)则圆心到直线x−y+a=0的距离d=2()2=√22即|a−1|=1，化简得a−1=1或a−1=−1．解得：a=2或a=0所以α的值为0或2.故选C．6.【答案】A【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】圆x 2+y 2−2y −1=0的标准方程为x 2+(y −1)2=2，所以圆心为(0,1)，半径为√2，圆心关于直线y =3的对称点是(1,0)，所以圆x 2+y 2−2y −1=0关于直线:y =对称的圆的方程是(x −1)2+y 2=2，选A ．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】加加加2+y 2+6x −8y −48=0【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】圆的半径y =√(−3−5)2+(4−1)2=√73…圆的标准方程为(x +3)2+(y −4)2=73整理得x 2+y 2+6x −8y −48=0【解答】此题暂无解答【答案】x 2+y 2−4x +2y +1=0【考点】轨迹方程圆的一般方程椭圆的定义【解析】I 2f 】设PA 的中点M 的坐标为(x,y )P (x 1y 1)，圆x 2+y 2−4x +2y −11=0的圆心为A 坐标为(2,−1)，由已知有{x 1+22=x y 1−22=y ，则{x 1=2x −2y 1=2y +2，又P 点在圆上，所以x 12+y 12−4x 1+2y 1−11=0，所以(2x −2)2+(2y +2)2−4(2x −2)+2(2y +2)−11=0，即x 2+y 2−4x +2y +1=0【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】见解析【考点】圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】试题分析：将原方程化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，讨论5(m −2)2，再求出圆心坐标和半径．试题解析：原方程可化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，因此，当m=2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m,−m)，半径为I=√5|m−2|【解答】此题暂无解答。
高二数学圆与方程（有练习,有答案,有讲解,有例题）
⾼⼆数学圆与⽅程（有练习,有答案,有讲解,有例题）【典型例题】例1. 已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x－3y＋3 = 0上，并且使AB C的⾯积等于21，求点A的坐标。
【解析】直线B C⽅程为2x＋5y－22 = 0， |B C| = ，设点A坐标（3y－3，y），则可求A到B C的距离为，∵AB C⾯积为21，∴，∴，故点A坐标为（）或（）.例2. 已知直线l的⽅程为3x+4y－12=0，求直线l′的⽅程，使得：（1）l′与l平⾏，且过点（－1，3） ;（2）l′与l垂直，且l′与两轴围成的三⾓形⾯积为4.【解析】（1）由条件，可设l′的⽅程为 3x+4y+m=0，以x=－1，y=3代⼊，得－3+12+m=0，即得m=－9，∴直线l′的⽅程为 3x+4y－9=0;（2）由条件，可设l′的⽅程为4x－3y+n=0，令y=0，得，令x=0，得，于是由三⾓形⾯积，得n2=96，∴∴直线l′的⽅程是或例3. 过原点的两条直线把直线2x＋3y－12 = 0在坐标轴间的线段分成三等分，求这两条直线的夹⾓。
【解析】设直线2x＋3y－12 = 0与两坐标轴交于A，B两点，则A（0，4），B（6，0），设分点为C，D，设为所求⾓。
∵，∴，∴C（2，）.⼜，∴，∴D（4，），∴.∴，∴.例4. 圆x2＋y2＋x－6y＋c = 0与直线x＋2y－3 = 0相交于P，Q两点，求c为何值时，OP OQ（O为原点）.【解析】解⽅程组消x得5y2－20y＋12＋c = 0，，消y得5x2＋10x＋4c－27 = 0，，∵OP OQ，∴，∴，解得c = 3.例5. 已知直线y =－2x＋b与圆x2＋y2－4x＋2y－15 = 0相切，求b的值和切点的坐标.【解析】把y =－2x＋b代⼊x2＋y2－4x＋2y－15 = 0，整理得5x2－4（b＋2）x＋b2＋2b－15 = 0，令= 0得b =－7或b =13，∵⽅程有等根，，得x =－2或x = 6，代⼊y = －2x－7与y = －2x＋13得y =－3或y = 1，∴所求切点坐标为（－2，－3）或（6，1）.例6. 已知|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc+2＞a+b+c.【证明】设线段的⽅程为y=f （x）=（bc－1）x+2－b－c，其中|b|＜1，|c|＜1，|x|＜1，且－1＜b＜1.∵f（－1）=1－bc+2－b－c=（1－bc）+（1－b）+（1－c）＞0f（1）=bc－1+2－b－c=（1－b）（1－c）＞0∴线段y=（bc－1）x+2－b－c（－1＜x＜1＝在x轴上⽅，这就是说，当|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1时，恒有abc+2＞a+b+c.例7. 某校⼀年级为配合素质教育，利⽤⼀间教室作为学⽣绘画成果展览室，为节约经费，他们利⽤课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌⾯的倾斜⾓为（90°≤＜180°），镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m，b m，（a＞b）.问学⽣距离镜框下缘多远看画的效果最佳？【解析】建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的⼀点，在x轴的正半轴上找⼀点C（x，0）（x＞0），欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最⼤值.由三⾓函数的定义知：A、B两点坐标分别为（a cos，a sin）、（b cos，b sin），于是直线AC、BC的斜率分别为：k AC = t a n xCA=，于是t a n ACB=由于∠ACB为锐⾓，且x＞0，则t a n ACB≤，当且仅当=x，即x=时，等号成⽴，此时∠ACB取最⼤值，对应的点为C（，0），因此，学⽣距离镜框下缘cm处时，视⾓最⼤，即看画效果最佳.例8. 预算⽤2000元购买单件为50元的桌⼦和20元的椅⼦，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅⼦不少于桌⼦数，且不多于桌⼦数的1.5倍，问桌、椅各买多少才⾏？【解析】设桌椅分别买x，y张，把所给的条件表⽰成不等式组，即约束条件为由∴A点的坐标为（，）由∴B点的坐标为（25，）所以满⾜约束条件的可⾏域是以A（，），B（25，），O（0，0）为顶点的三⾓形区域（如上图）由图形直观可知，⽬标函数z=x+y在可⾏域内的最优解为（25，），但注意到x∈N，y∈N*，故取y=37.故有买桌⼦25张，椅⼦37张是最好选择.例9. 已知甲、⼄、丙三种⾷物的维⽣素A、B含量及成本如下表，若⽤甲、⼄、丙三种⾷物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合⾷物，并使混合⾷物内⾄少含有56000单位维⽣素A和甲⼄丙维⽣素A（单位/千克）600700400维⽣素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（Ⅰ）⽤x，y表⽰混合⾷物成本c元；（Ⅱ）确定x，y，z的值，使成本最低.【解析】（Ⅰ）由题，，⼜，所以，.（Ⅱ）由得，，所以，所以，当且仅当时等号成⽴.所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元.点评：本题为线性规划问题，⽤解析⼏何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域上使得最⼤的点. 不难发现，应在点M（50，20）处取得.例10. 如果实数满⾜，求的最⼤值、2x－y的最⼩值。
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圆的一般方程达标练习（有答案）
5 c 堂达标效果检测
1下列方程一定能表示圆的是( )
Ax2+2+2x+1=0 Bx2+2+2a-1=0
cx2+2+a)，半径为的圆
在c中原方程可化为(x+10)2+2=-21 0，它不表示任何曲线，故不能表示圆
在D中原方程可化为 (x+a)2+2=a2
①当a=0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；
②当a≠0时，方程表示以(-a，0)为圆心，半径为|a|的圆
2方程x2+2+4x-2+5=0表示圆的条是( )
A 1
B 1
c D 1
【解析】选D由42+(-2)2-4×5 0得 1
3圆x2+2-2x+4+3=0的圆心到直线x--1=0的距离为( )
A2 B c1 D
【解析】选D圆心为(1，-2)，到直线的距离为d= =
4方程x2+2+2ax+2b+a2+b2=0表示的图形是________
【解析】由题意配方得(x+a)2+(+b)2=0，所以方程表示点(-a，-b)
答案点
5点A(1，0)在圆x2+2-2ax+a2+3a-3=0上，则a的值为__________ 【解析】依题意得
所以所以a=-2
答案-2
6求过点A(0，5)，B(1，-2)，c(-3，-4)的圆的方程
【解析】设所求圆的方程为x2+2+Dx+E+F=0
将A，B，c三点坐标代入整理得。