4-2 第二节 幅相特性曲线

对于Ⅰ型系统，当w → 0时，幅相特性曲线
有一条平行于虚轴的渐进线，该直线与实轴
的交点坐标u ，可以用下式确定。
ua
=
u0
=
lim
w→0
Re
⎡⎣G
(
jw)⎤⎦
例 1： G (s) = K ⎡⎣S (TS +1)⎤⎦
G(
jw)
=
(
K
jw) (1 +
jTw)
( ) =
−
1
KT + T 2w2
−
j
w
K 1+ T 2w2
出幅角超前输入幅角（导前）。
6、二阶振荡环节
G(s)
=
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
wn——无阻尼自然频率 ξ ——阻尼比
G
(
jw)
=
(
jw)2
+
wn 2
2ξ wn (
jw)
+
wn 2
=
1
⎛⎜1 − ⎝
w2 wn 2
⎞ ⎟
+
⎠
j
2ξ w
wn
⎡ = ⎢1
⎢ ⎣
⎛ ⎜1
−
⎝
w2 wn2
⎞2 ⎟ ⎠
（3）曲线的中间形状取决于分子的一阶、
二阶微分环节的个数及G ( jw)中各因子的系
数。 一般标准传递函数的典型幅相特性曲线
如下图。
而对于非标准的传递函数则只能按照基 本定义进行分析。
例 1：绘制G (s) = K 的幅相特性曲线。
TS −1
G( jw) =
K =− K jTw −1 1+ T 2w2
+ a1s + a0 + b1s + b0
式中
Tai > 0
Tbi > 0
λ ——系统的型号
λ = 0， 对应 0 型系统。
λ = 1， 对应Ⅰ型系统。
λ = 2， 对应Ⅱ型系统。
K ——系统的增益，K > 0；
( ( )()( ) ) G
(
jw)
=
(
K 1+ jTan w
jw)λ 1+ jTbn
+
8ξ
2
⎠
w wn 2
⎤ ⎥ ⎦ w=wr
=0
得：wr = wn 1− 2ξ 2
（谐振频率）
( ) Amax = M r = 1 2ξ 1− ξ 2 （谐振峰值）
可见只有1− 2ξ 2 > 0，即ξ < 0.707才存在
极限值。wr，Amax 对应于极坐标图上距原点最 远点的w， A。
7、延时环节
+
v2
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞2 ⎟⎠
又：w从0 → ∞时,u ≥ 0,v ≤ 0。
所以：该环节幅相特性曲线为以⎛⎜⎝
1 2
，0 ⎞⎟⎠
为圆
心，半径为1 / 2的位于第四象限的半圆。
5、一阶微分环节（导前
环节）
G(s) = TS +1 G ( jw) = 1+ jTw ∠G ( jw) = arctgTw 当w从0 → ∞时,∠G ( jw)从0 → 90 ，输
曲线− 1
与惯性环节幅相特性曲线
TS + 1 s= jw
1
关于原点对称，可以理解为向右平
TS + 1 s= jw
移一个单位。（如上右图）
2、描点法（最基本、最简单的方法。）
给出不同的w值，求得对应的u (w)、v(w) 或 A(w)、Φ(w)值，描在复平面上，连接这些
点，即得到幅相特性曲线。
通常为了大致分析曲线的变化趋势和分
ϕ (w) = −90 。即特性曲线与负虚轴交点所对
应的频率为系统的自由振荡频率 wn 。
此外： A(w) =
1
⎛⎜1 − ⎝
w2 wn 2
⎞2 ⎟ ⎠
+
4ξ
2
⎛ ⎜ ⎝
w wn
⎞2 ⎟ ⎠
幅频特性曲线如下图，求其极值，有
⎡⎛ ⎢2⎜1
−
⎣⎝
w2 wn 2
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
−2
w wn 2
⎞ ⎟
所以：ua
=
u0
=
lim
w→0
⎛ ⎜⎝
− KT 1+ T 2w2
⎞ ⎟⎠
=
−KT
幅相特性曲线和渐进线如下图。
（2）w → ∞时；
⎧0
A(w)
=
G(
jw)
w→∞
=
⎪⎨常数 ⎩⎪∞
m > n⎫ m = n⎪⎬ m < n⎭⎪
一般可控系统的m > n，所以通常可控系
统的 A(w) = 0。 幅角：Φ(∞) = −(m − n) ⋅90
第二节 幅相特性曲线（乃奎斯特曲线）
若系统的传递函数为：
G(s)
=
A(s) B(s)
=
an s n bm s m
+ an−1sn−1 + + bm−1sm−1 +
+ a1s + a0 + b1s + b0
式中m ≥ n，a和b均为实常数。
这时总可以将其分解为一系列的典型因
子相乘。即系统可分解为一些环节串联而成。
1 + jTan−1 w w 1 + jTbn−1 w
上述标准形式传递函数，其幅相特性曲
线具有以下规律；
（1）w = 0时；
G
(
jw)
=
(
K
jw)λ
G(
jw)
=
K wλ
∠G ( jw) = −λ ⋅90
λ 系统类型 起点幅值 起点幅角
00
K
0
1Ⅰ
∞
−90
2Ⅱ
∞ −180
曲线的起点可见完全是由K 和λ 决定。
G ( s) = e−τs
G ( jw) = e− jτw 可见； G ( jw) = 1
∠G ( jw) = −τ w
其幅相特性曲线为单位圆。
二、一般传递函数的幅相特性曲线 对于一般的传递函数，其幅相特性曲线
的绘制方法有解析法和描点法。 1、解析法
若G ( jw) = u (w) + jv(w)，设法消去u (w)， v(w)中的参变量w，就可以得出u (w)，v(w)的
这些环节主要有以下几种典型因子形式：
K
，S
，1 S
，TS
+
1， 1 TS +
， 1S
2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
，
⎛ ⎜ ⎝
S2
+
wn 2
2ξ wnS
+
wn 2
⎞⎟−1，e−τ s ⎠
一、典型环节幅相特性曲线
1、比例环节（K ）
G(s) = K
G ( jw) = K w从0 → ∞时，G ( jw) = K （K 为常数）
−
KTw j 1+ T 2w2
当w → 0时；
G ( jw) = −K
∠G ( jw) = −180
当w → ∞时；
G( jw) = 0
∠G ( jw) = −90
注意：对于难以直接求得起始点和终点
的幅角时，往往把G ( jw)写为u (w) + jv(w)的
形式进行判断，这样不易出错。
析曲线在起点（w = 0）和终点（w → ∞）附
近的形状，需要对频率传递函数进行一般规
律的讨论。
设系统的传递函数为
( ) G
s
=
an s n bm s m
+ +
an−1sn−1 + bm−1sm−1 +
( )( ) = K Tan s +1 Tan−1s +1 ( )( ) sλ Tbn s +1 Tbn−1s +1
2、积分环节
G(s) = 1
S
G ( jw) = 1 = 1 e− j90
jw w w从0 → ∞时，乃氏曲线为负虚轴。 3、微分环节
G(s) = S G ( jw) = jw = we j90
w从0 → ∞时，乃氏曲线 为正虚轴。
4、惯性环节
G(s) = 1
TS +1
G ( jw) = 1
1+ jTw
+
4ξ
2
⎛ ⎜ ⎝
w wn
⎞2 ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
−
⋅e
jarc
⎛ ⎜⎜⎝1−
w2 wn2
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
当w从0 → ∞时, 该环节幅值和幅角如下
表所示，其幅相特性曲线如下图所示。
w 0 wn
∞
A(w) 1 1 (2ξ ) 0
Φ(w) 0° -90° -180°
可见不论ξ 值如何，当 w = wn 时，均有
( ) u = u2 v2 1+ u2 v2
= u2 u2 + v2
⇒ u2 − u + v2 = 0
⇒
⎛ ⎜⎝
u
−
1 2
⎞2 ⎟⎠
+
v2
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞2 ⎟⎠
当w从0 → ∞时,u ≥ 0,v ≥ 0。
所以幅相特性曲线为：
或者，由G (s) = TS = − 1 +1，而