高中数学人教A版选修1-1学业分层测评7 椭圆的简单几何性质 Word版含解析
高中数学人教A版选修1-1学业分层测评8 椭圆方程及性质的应用 Word版含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2＜a ＜2 B ．a ＜－2或a ＞ 2 C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部， ∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( )A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1， 得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0. ∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．(2016·重庆高二检测)过椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点F 作垂直于长轴的弦，则此弦长为( )A.34 B ．3 C ．2 3D.833【解析】 因为F (±1,0)，所以过椭圆的焦点F 且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫±1，±32，所以弦长为3. 【答案】 B4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，－172 【解析】联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y ，得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.【答案】 C5．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →＝( ) 【导学号：26160041】A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13【解析】 椭圆右焦点为(1,0)， 设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1， 得3x 2－4x ＝0.∴A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，∴OA →·OB →＝－13. 【答案】 B 二、填空题6．直线l 过定点A (－3,0)，则过点A 的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．【解析】 ∵A (－3,0)为椭圆长轴一个顶点，∴当过点A 作椭圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A 作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.【答案】 1或27．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，则|PM →|的最小值是________． 【解析】 易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM →·AM →＝0， ∴AM→⊥PM →. ∴|PM →|2＝|A P →|2－|AM →|2＝|A P →|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|A P →|min ＝2，∴|PM →|min＝ 3. 【答案】38．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y ＝2(x －1)，将其与x 25＋y 24＝1联立，消去y ，得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋22·⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 设原点到直线的距离为d ，则d ＝|2|12＋22＝25. 所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×553×25＝53.【答案】 53 三、解答题9．已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：y ＝4x ＋12，若椭圆上存在两点P 、Q 关于直线l 对称，求直线PQ 的方程．【解】 法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则k PQ ＝－14.设PQ 所在直线方程为y ＝－x4＋b . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 4＋b ，x 24＋y 23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)＞0. 解得b 2＜134，x 1＋x 2＝8b 13，设PQ 中点为M (x 0，y 0)，则有 x 0＝x 1＋x 22＝4b 13，y 0＝－14·4b 13＋b ＝12b 13.∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋12上，∴12b 13＝4·4b 13＋12，∴b ＝－138. 直线PQ 的方程为y ＝－14x －138，即2x ＋8y ＋13＝0.法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， M (x 0，y 0)是PQ 的中点．则有⎩⎨⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴3x 04y 0＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k PQ .∵k PQ ＝－14，∴y 0＝3x 0. 代入直线y ＝4x ＋12， 得x 0＝－12，y 0＝－32，则直线PQ 的方程为y ＋32＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x ＋8y ＋13＝0.10．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．【解】 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4，又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43. (2)直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1， 所以|AB |＝2|x 1－x 2|， 即43＝2|x 1－x 2|.所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝89，即4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2＝89， 解得b 2＝12或b 2＝－14(舍去)，又b ＞0，∴b ＝22.[能力提升]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，A (－a,0)，B (0，b )为椭圆的两个顶点，若点F 到AB 的距离为b7，则椭圆的离心率为( )A.7－77 B.7－277 C.12D.45【解析】 直线AB 的方程是x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.因为点F 的坐标为(－c,0)，所以|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，化简，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，两端同除以a 2，得8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝54舍去. 【答案】 C2．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若F A →＝3F B →，则|A F →|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3【解析】 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1，∴右焦点F (1,0)． 由F A →＝3F B →，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1.解得n 2＝1， ∴|A F →|＝(2－1)2＋n 2＝1＋1＝ 2.【答案】 A3．若直线y ＝kx ＋1与曲线x ＝1－4y 2有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．【解析】 由x ＝1－4y 2，得x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，又∵直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故问题转化为过定点(0,1)的直线与椭圆在y 轴右侧的部分有两个公共点，当直线与椭圆(右侧部分)相切时，k ＝－32，则相交时k ＜－32.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－324．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，A F →＝2F B →.(1)求椭圆C 的离心率；【导学号：26160042】(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的标准方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1<0，y 2>0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )， 其中c ＝a 2－b 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2因为A F →＝2F B →，所以－y 1＝2y 2， 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2， 得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154.由c a ＝23，得b ＝53a ，所以54a ＝154，所以a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.第一章 章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解 若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0， 解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。
人教A版选修1-1教案：椭圆的简单几何性质2(含答案)
§2.1.2橢圓的簡單幾何性質2
【學情分析】：
學生對於解析幾何部分“利用方程來解決曲線公共點的問題”有一定的認識，對橢圓的性質比較熟悉的情況下，進一步提高學生的運算水準。
【三維目標】：
1、知識與技能：
①進一步掌握“利用方程組求解來解決曲線公共點”的方法、步驟。
②理解求公共點的過程中△對於公共點的個數的影響。
③進一步提高學生的運算能力，培養學生的總結能力。
2、過程與方法：
通過學生研究直線與橢圓的交點問題，掌握“數形結合”的方法。
3、情感態度與價值觀：
通過“數形結合法”的學習，培養學生辨證看待問題。
【教學重點】：
知識與技能③
【教學難點】：
知識與技能①②
【課前準備】：
課件。
数学人教A版选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质
反思感悟 判断直线与椭圆个数的方法
（1）联立方程组
（2）消去一个未知数
（3）判断
∆<0， ∆=0， ∆>0
这是求解直线与二次曲线有关问题的通法.
课堂小结
方程
y2
x2
2 1
2
a
b
x2
y2
1
a 2 b2
图形
(, )
(, )
(−, )
o
对称性
顶点
离心率
A1(-5,0)、A2 (5,0)、B1(0,-4)和B2 (0,4)
四个顶点坐标分别是______________________________．
反思感悟 确定椭圆几何性质的基本步骤
(1)化标准,把椭圆方程化成标准情势;
(2)定位置,根据标准方程中2, 2对应分母的大小来确定焦点位置;
(3)求参数,写出, 的值,并求出c的值;
x2 y2
(1)
1
9
4
x2 y2
x2 y2
(2)
1或
1
148 37
13 52
x2 y2
y2 x2
(3)
1或
1
100 64
100 64
x2 y2
( 4)
1
18 9
反思感悟
根据椭圆的性质求椭圆方程
1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的情势;
椭圆还有许多精彩的几何性质,等待同学们去探究.
当椭圆方程换成
高二数学人教A版选修1-1学案第二章2-12-1-2第1课时椭圆的简单几何性质Word版含答案
公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式关以基础工程量的计公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式公路桥梁锥坡的计算方法和计算公式锥坡浆砌片石计算公式锥坡计算采用正交公式，外锥-内锥V=π/12*m*n*(H3-H03)t片石厚度H：锥坡高度H0：内锥高度=H-(α0+β0)/t/2 m、n为两个方向的坡度α0=(1+m2)0.5/mβ0=(1+n2)0.5/n关以基础工程量的计算与难点(造价专业可以用到)大开挖土方1、开挖土方计算规则(1)、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。
(2)、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。
槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。
排水沟的体积应纳入总土方量内。
当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。
2、开挖土方计算方法(1)、清单规则：①、计算挖土方底面积：方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。
外墙外边线到垫层外边线的面积计算(按外墙外边线外放图形分块计算或者按"外放图形的中心线×外放长度"计算。
)方法二、分块计算垫层外边线的面积(同分块计算建筑面积)。
②、计算挖土方的体积：土方体积=挖土方的底面积*挖土深度。
(2)、定额规则：①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。
V=1/6×H×(S上+4×S中+S下)计算土方体积(其中，S上为上底面积，S 中为中截面面积，S下为下底面面积)。
如下图S下=底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积(包括工作面、排水沟、放坡等)。
用同样的方法计算S中和S下3、挖土方计算的难点⑴、计算挖土方上中下底面积时候需要计算"各自边线到外墙外边线图"部分的中心线，中心线计算起来比较麻烦(同平整场地)。
⑵、中截面面积不好计算。
⑶、重叠地方不好处理(同平整场地)。
高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》
学习目标：1.理解椭圆的第二定义,掌握椭圆的准线方程及准线的几何 意义,进一步理解离心率e 的几何意义.2.进一步全面地理解椭圆的几何性质及其简单应用,加深对两种定义的等价性的理解. 一、巩固练习：1、回忆椭圆的简单几何性质：2、求满足下列椭圆的标准方程： （1）32,8==e c ； （2）过点36),0,3(=e二、自学课本112110-P ,记下重点，并积极思考。
三、自我检测： 1、课本103P 7。
2、求下列椭圆的焦点坐标和准线方程：（1）13610022=+y x ； （2）8222=+y x 。
四、提问答疑：五、例题分析：1、椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于25，那么P 到右焦点的距离是 。
2、已知椭圆12222=+by a x (a >b >0)上一点P 的横坐标为0x ，两焦点为1F 、2F ，离心率为e ，求||1PF ，||2PF 的长。
六、课外作业：1、椭圆1162522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离等于3，求它到相应准线的距离。
2、点P 与定点)0,2(F 的距离和它到定直线8=x 的距离的比是2:1，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
3、已知地球运行的轨道是长半轴长km a 81050.1⨯=，离心率0192.0=e 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最短距离。
4、点P 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为3:2，求点P 的轨迹方程。
5、在椭圆192522=+y x 上有一点P ，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的3倍，则P 的坐标为 。
★6、方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 的曲线是（ ） A.椭圆 B.线段 C.抛物线 D.无法确定★7、设)3,2(-P ，F 为椭圆1162522=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上运动，当||35||MF PM +取得最小值时，求M 点的坐标。
人教A版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质》说课课件
一、教材分析
1、教材地位与作用：
“椭圆的简单几何性质”是人教A版高中课程标 准实验教科书《数学选修1-1》第二章第2.1.2节的内 容。本节课是在学习了椭圆的定义及其标准方程的基 础上，第一次系统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单 几何性质，为后面研究双曲线、抛物线的几何性质奠 定了基础；从《高中数学课程标准》和近年来《普通 高等学校招生全国统一考试数学（文科）考试大纲》 看，该课的知识要求是掌握内容，是高中数学的重要 内容，也是高考重点与热点内容。该内容分两个课时 教学，本节课是第一课时，主要内容是：探究椭圆的 简单几何性质及应用。
时，椭圆的形状又如何变化？
离心率刻画椭圆扁平程度的归纳总结：
(1).a,c的数值接近程度可以刻画椭圆的扁平程度。
(圆2)的.离离心心率率的，定用义e：表椭示圆，的即焦e=距ac与且长0轴<e长<1的, e比越ac大称接为近椭1， 椭圆越扁平；相反，e越小接近0，椭圆越圆。
(3).当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形 变为圆，它的方程为 x2+y2=a2.
Bby122(0,b1)(a b 0)
且 b y b ； 的左边是平方和的形式，
②椭圆位于直线
右边A是1 常数1。o
A2 x
x= a 和y= b 所围
成的矩形内。
（2）方程中x2和y2的系数
不相等。
B2(0,-b)
4、离心率的探究
从图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么
教学重难点
★教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究 过程
★教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性 质的基本方法和离心率定义的给出过程。
本节课是围绕着探究椭圆的简单几何性质进 行的。因此，依教材的地位与作用及教学目标， 将之确定为本节课的重点；又因为学生第一次系 统地按照椭圆方程来研究椭圆的简单几何性质， 学生感到困难，且如何定义离心率，学生感到棘 手，所以我将之确定为本节课的难点。
2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.1.2椭圆的简单几何性质 Word版含答案
►根底梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比拟.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0 ,所以0<e<1．(2)e越小,椭圆越圆；e越大,椭圆越扁．(3)当e＝0时,即c＝0 ,a＝b时,两焦点重合,椭圆方程变成x2＋y2＝a2 ,成为一个圆．(4)当e＝1时,即a＝c ,b＝0时,椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m,假设直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．(1)Δ＞0 ,直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0 ,直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0 ,直线与椭圆无公共点．,►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为(D )A ．(－1 ,0) ,(1 ,0)B ．(－6 ,0) ,(6 ,0)C ．(0 ,－6) ,(0 ,6)D ．(－6 ,0)(6 ,0)2．离心率为32,焦点在x 轴上 ,且过点(2 ,0)的椭圆标准方程为(A )A.x24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1 3．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为22．解析：∵x 216＋y 28＝1中 ,a 2＝16 ,b 2＝8 ,∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长 ,短轴长 ,离心率依次是(B )A ．5 ,3 ,45B ．10 ,6 ,45C ．5 ,3 ,35D ．10 ,6 ,352．椭圆的焦点在x 轴上 ,离心率为12,且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径 ,那么椭圆的标准方程是(A )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 解析：圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2 ,又因为e ＝c a ＝12,c ＝1 ,所以a 2＝4 ,b 2＝3 ,应选A.3．在一椭圆中以焦点F 1 ,F 2为直径两端点的圆 ,恰好过短轴的两顶点 ,那么此椭圆的离心率e 等于________．解析：由题可知b ＝c ,∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2 ,a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.答案：224．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0 ,4) ,离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3 ,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解析：(1)将(0 ,4)代入C 的方程得16b2＝1 ,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35 ,得a 2－b 2a 2＝925 ,即1－16a 2＝925 ,∴a ＝5 ,∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3 ,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程 ,得x 225＋(x －3 )225＝1 ,即x 2－3x －8＝0 ,解得x 1＝3－412 ,x 2＝3＋412 ,∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32 ,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65 ,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －65. 5．如下图F 1 ,F 2分别为椭圆的左、右焦点 ,椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标 ,其纵坐标等于短半轴长的23,求椭圆的离心率．解析：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ,b ,c .那么焦点为F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,M 点的坐标为(c ,23b ) ,那么△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2 ,即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ,整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2 ,所以3b ＝2a ,所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59 ,∴e ＝53.1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为(D )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距 2．(2021·广东四校联考)椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0) ,那么此椭圆的离心率为(B ) A.13 B.33C.22 D.123．假设椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13,那么m 的值为(B )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．椭圆的中|心在坐标原点 ,焦点在x 轴上 ,且长轴长为12 ,离心率为13,那么椭圆的方程是(D )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有(A )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴解析：将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.那么c 2＝(a 2－b 2)k ,∴e 2＝ (a 2－b 2 )k a 2k ＝c 2a 2.6．点P 是以F 1 ,F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点 ,且PF 1→·PF 2→＝0 ,tan ∠PF 1F 2＝12,那么该椭圆的离心率等于(D ) A.13 B.12 C.23 D.537．椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4 ,其中一个焦点的坐标为( 3 ,0) ,那么椭圆的离心率为________．答案：328．椭圆的短轴长等于2 ,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5 ,那么此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．答案：x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点 ,假设∠F 1PF 2＝60° ,那么椭圆的离心率为________．解析：假设点P 在第二象限 ,那么由题意可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c b 2a ,又∠F 1PF 2＝60° ,所以2cb 2a ＝tan60°＝3 ,化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0 ,即3e 2＋2e －3＝0 ,e ∈(0 ,1) ,解得e ＝33,故填33. 答案：3310．椭圆的对称轴为坐标轴 ,离心率e ＝23,短轴长为8 5 ,求椭圆的方程．解析：∵2b ＝85 ,∴b ＝4 5.又c a ＝23,由a 2－c 2＝b 2 , 得a 2＝144 ,b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12,且椭圆经过点N (2 ,－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1 ,2)为中点的弦所在直线的方程． 解析：(1)由椭圆经过点N (2 ,－3) , 得22a 2＋ (－3 )2b 2＝1 又e ＝c a ＝12,解得a 2＝16 ,b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内 ,设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)是以M 为中点的弦的两个端点 ,那么x 2116＋y 2112＝1 ,x 2216＋y 2212＝1.相减得 (x 2－x 1 ) (x 2＋x 1 )16＋ (y 2－y 1 ) (y 2＋y 1 )12＝0.整理得k AB ＝－12· (x 1＋x 2 )16· (y 1＋y 2 )＝38,那么所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1) ,即3x －8y ＋19＝0 12．(2021·惠州调研)椭圆的一个顶点为A (0 ,－1) ,焦点在x 轴上 ,假设右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ,当|AM |＝|AN |时 ,求m 的取值范围．解析：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1 ,那么右焦点F 的坐标为(a 2－1 ,0) ,由题意得|a 2－1＋22|2＝3 ,解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ,y p )、M (x M ,y M )、N (x N ,y N ) ,其中P 为弦MN 的中点 , 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1 得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0 , 即m 2＜3k 2＋1 ① ,x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1 ,∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1,从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk,又|AM |＝|AN | ,∴AP ⊥MN ,因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k,即2m ＝3k 2＋1 ② ,把②式代入①式得m 2＜2m ,解得0＜m ＜2 ,由②式得k 2＝2m －13＞0 ,解得m ＞12,综上所述 ,求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验（高|考）1．(2021·全国大纲卷)假设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1 ,F 2离心率为33,过F 2的直线l 交C 与A ,B 两点 ,假设△AF 1B 的周长为4 3 ,那么椭圆C 的方程为(A) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：∵△AF 1B 的周长为43 ,∴4a ＝43 ,∴a ＝3 ,∵e ＝c a ＝33 ,∴c ＝1 ,b ＝2 ,∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(2021·江西卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1 ,F 2 ,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点 ,F 1B 与y 轴相交于点D ,假设AD ⊥F 1B ,那么椭圆C 的离心率等于________．解析：由题意 ,F 1(－c ,0) ,F 2(c ,0) ,其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第|一象限 ,由AB ⊥x 轴 ,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a ,A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －b 2a .由于AB //y 轴 ,|F 1O |＝|OF 2| ,∴点D 为线段BF 1的中点 ,那么D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 b 22a ,由于AD ⊥F 1B ,知F 1B →·DA →＝0 ,那么⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c －3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0 ,即2ac ＝3b 2 ,∴2ac ＝3(a 2－c 2) ,又e ＝ca ,且e ∈(0 ,1) ,∴3e 2＋2e －3＝0 ,解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 答案：333．(2021·安徽卷)设F 1 ,F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点 ,过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点 ,|AF 1|＝3|BF 1|.(1)假设|AB |＝4 ,△ABF 2的周长为16 ,求|AF 2|；(2)假设cos ∠AF 2B ＝35,求椭圆E 的离心率．解析：(1)由|AF 1|＝3|F 1B | ,|AB |＝4 , 得|AF 1|＝3 ,|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16 ,|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8 , 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ,那么k ＞0且|AF 1|＝3k ,|AB |＝4k , 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ,|BF 2|＝2a －k , 在△ABF 2中 ,由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ,即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k ) ,化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0 ,而a ＋k ＞0 ,故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1| ,|BF 2|＝5k ,因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2 ,可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形 ,∴c ＝22a ,e ＝22.4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)设F 1 ,F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左 ,右焦点 ,M是C 上一点且MF 2与x 轴垂直 ,直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)假设直线MN 的斜率为34,求C 的离心率；(2)假设直线MN 在y 轴上的截距为2 ,且|MN |＝5|F 1N | ,求a ,b .解析：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c b 2a由k MN ＝34 ,得b 22ac ＝34,那么2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ,解得c a ＝12 ,ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意 ,原点O 为F 1F 2的中点 ,MF 2//y 轴 ,所以直线MF 1与y 轴的交点D (0 ,2)是线段MF 1的中点 ,故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |.设N (x 1 ,y 1) ,由题意知y 1＜0 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧2 (－c －x 1 )＝c －2y 1＝2 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c y 1＝－1.代入C 的方程 ,得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9 (a 2－4a )4a 2＋14a＝1.解得a ＝7 ,b 2＝4a ＝28 ,即b ＝27. ∴a ＝7 ,b ＝27.。
2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.1.2 椭圆的简单几何性质 Word版含解
2.1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.若椭圆=1(a>)的长轴长为6,则它的焦距为()A.4B.3C.2D.1=1(a>)的长轴长为6,则2a=6,即a=3,由于b2=5,则c2=a2-b2=4,即c=2,则它的焦距为2c=4,故选A.2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.2x2+3y2=m(m>0)⇒=1,所以c2=,故e2=,解得e=.3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为(-,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是()A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1一个焦点为(-,0),∴焦点在x轴上且c=.∵长轴长是短轴长的2倍,∴2a=2·2b,即a=2b,∴(2b)2-b2=3.∴b2=1,a2=4,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.4.已知椭圆+x2=1(a>1)的离心率e=,P为椭圆上的一个动点,若定点B(-1,0),则|PB|的最大值为()A. B.2 C. D.3,解得a2=5,所以椭圆的标准方程为+x2=1.设椭圆上点的坐标为P(x,y),且-1≤x≤1,-≤y≤,则y2=5(1-x2),故|PB|==,当x=时满足条件,所以|PB|max=.5.曲线=1与曲线=1(k<9)的()A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等k<9,所以两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆,且c2=25-9=(25-k)-(9-k)=16,所以两个椭圆的焦距相等,但长轴长、短轴长、离心率不一定相等.6.设F1,F2是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A. B. C. D.|PF2|=|F1F2|,所以2=2c,所以3a=4c,所以e=.7.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为.,当椭圆上点在短轴端点时,三角形的面积取最大值,即有bc=2,∴a2=b2+c2≥2bc=4(其中b>0,c>0),∴a≥2,当且仅当b=c=时取“=”.∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.8.椭圆的一个焦点将长轴长分成3∶2两部分,则这个椭圆的离心率为.(a+c)∶(a-c)=3∶2,所以a=5c,故离心率为e=.9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距,且离心率为;(2)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-4).将方程4x2+9y2=36化为=1,可得椭圆焦距为2c=2,又因为离心率e=,即,所以a=5,从而b2=a2-c2=25-5=20.若椭圆焦点在x轴上,则其方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,则其方程为=1.(2)依题意2a=2·2b,即a=2b.若椭圆焦点在x轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1;若椭圆焦点在y轴上,设其方程为=1(a>b>0),则有解得所以椭圆方程为=1.10.已知椭圆=1,试问在椭圆上是否存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等?c2=4-3=1,所以c=1,故F(1,0).假设在椭圆上存在点M,使得点M到椭圆的右焦点F与到直线x=4的距离相等.设M(x,y)(-2≤x≤2),则=|x-4|,两边平方得y2=-6x+15.又由=1,得y2=3,代入y2=-6x+15,得x2-8x+16=0,于是x=4.但由于-2≤x≤2,所以符合条件的点M不存在.能力提升1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)=1,∵焦点在y轴上,∴>2,解得k<1,又k>0,∴0<k<1.故选A.2.某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点A距地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球半径为k千米,则飞船运行轨道的短轴长为() A.2 B.C.mnD.2mna-c=m+k,a+c=n+k,故(a-c)·(a+c)=(m+k)(n+k).即a2-c2=b2=(m+k)(n+k),所以b=,所以椭圆的短轴长为2.3.已知点P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,点M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点,则当|OM|取最小值时,椭圆的离心率为()A. B. C. D.P(2,1)在椭圆=1(a>b>0)上,可得=1,M(a,b)为平面上一点,O为坐标原点, 则当|OM|=≥=3,当且仅当a2=2b2,可得a=,b=,c=,可得e=.故选C.4.已知以坐标原点为中心的椭圆,一个焦点的坐标为F(2,0),给出下列四个条件:①短半轴长为2;②长半轴长为2;③离心率为;④一个顶点坐标为(2,0).其中可求得椭圆方程为=1的条件有(填序号).a=2,b=2,c=2即可,而椭圆的顶点坐标为(0,±2),(±2,0),故①②③可求得椭圆方程为=1.5.若分别过椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条互相垂直的直线l1,l2的交点在椭圆上,则此椭圆的离心率的取值范围是.M,令|MF1|=d1,|MF2|=d2.由椭圆的定义,可得d1+d2=2a.∵MF1⊥MF2,∴=4c2.∵(d1+d2)2=+2d1d2≤2(),当且仅当d1=d2=a时等号成立,即4a2≤2(4c2),∴a≤c,∴,即e≥.又e<1,∴≤e<1.6.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.所以=b2,所以-c2+b2=c2,解得.因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2.即,所以,即椭圆离心率的取值范围是.7.(选做题)(2019全国卷Ⅱ高考)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,故C的离心率e=-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当|y|·2c=16,=-1,=1,即c|y|=16, ①x2+y2=c2, ②=1.③由②③及a2=b2+c2得y2=,又由①知y2=,故b=4.由②③得x2=(c2-b2),所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥4.当b=4,a≥4时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为[4,+∞).莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教A版选修1-1教案：2.1.2椭圆的简单几何性质1(含答案)
§2.1.2椭圆的简单几何性质1
【学情分析】：
学生对于椭圆及其标准方程都有了一定的认识，本节课通过学生对椭圆图形的直观观察，探索发现应该关注椭圆的哪些性质，以及其性质在代数方面上的反映。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
②掌握标准方程中a,b,c的几何意义
③通过对椭圆的研究，加强学生对学习“圆锥曲线”的方法（用代数来研究几何）的理解。
2、过程与方法：
通过学生对椭圆的图形的研究，加深对“数形结合法”的理解
3、情感态度与价值观：
通过“数形结合法”的学习，培养学生辨证看待问题。
【教学重点】：
知识与技能①②③
【教学难点】：
知识与技能③
【课前准备】：
课件学案。
高考调研新课标A数学选修1-1目录
目录
新课标A版·数学·选修1-1
3．3 导数在研究函数中的应用 3．3.1 函数的单调性与导数 课时作业(二十八) （word） 课时作业(二十九) （word） 3．3.2 函数的极值与导数 课时作业(三十) （word） 3．3.3 函数的最大(小) 值与导数 课时作业(三十一) （word）
2．3 抛物线习题课 课时作业(十九) （word） 专题研究一 曲线与方程 课时作业(二十) （word） 专题研究二 最值与范围(重点班选讲) （word） 课时作业(二十一) 数学·选修1-1
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( ) O→P·F→P＝x0(x0＋1)＋y20＝x20＋x0＋y20＝x20＋x0＋3
x20 1－
＝1(x0＋2)2
44
＋2，
当 x0＝2 时，O→P·F→P取得最大值为 6.
故选 C.
【答案】 C
3．椭圆的焦点在 y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比
是 1∶4，短轴长为 8，则椭圆的标准方程是________.
椭圆上一点，且 MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．
图 2－1－3
【解】 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a，b，c.因
为 MF2⊥F1F2，所以△MF1F2 为直角三角形．
又∠MF1F2＝30°， 3
所以|MF1|＝2|MF2|，|F1F2|＝ |MF1|. 2
而由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a，
3 离心率 e＝ ，焦点到椭圆上点的最短距离为 2－ 3，求椭圆的方
2
程．
【解】 因为椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－
c＝2－
3.又 e＝c＝
3 ，
a2
∴a＝2，c＝ 3，b2＝1，
∴椭圆的方程为y2＋x2＝1. 4
10.如图 2－1－3 所示，F1，F2 分别为椭圆的左，右焦点，M 为
c 2－m 1
e＝ ＝
＝.
a 22
2－m 1
3
故 ＝ ，∴m＝ .
24
2
【答案】 B
3．中心在原点，焦点在 x 轴，若长轴长为 18，且两个焦点恰
好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
x2 y2 A. ＋ ＝1
81 72
x2 y2 B. ＋ ＝1
81 9
x2 y2 C. ＋ ＝1
81 45
x2 y2 D. ＋ ＝1
【解】 (1)由|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|BF1|＝1. 因为△ABF2 的周长为 16，所以由椭圆定义可得 4a＝16，|AF1| ＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|BF1|＝k，则 k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得
学业分层测评
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1． 椭 圆 25x2＋ 9y2＝ 225 的 长 轴 长 、 短 轴 长 、 离 心 率 依 次 是
( )
A．5,3，4 B．10,6，4
5
5
C．5,3，3 5
D．10,6，3 5
x2 y2 【解析】 椭圆方程可化为 ＋ ＝1.
而 a＋k>0，故 a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得 F1A⊥F2A，
故△AF1F2 为等腰直角三角形．
2
c2
从而 c＝ a，所以椭圆 E 的离心率 e＝ ＝ .
2
a2
4．(2014·安徽高考)设
F1，F2
分别是椭圆
E： ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
的 左 、 右 焦 点 ， 过 点 F1 的 直 线 交 椭 圆 E 于 A， B 两 点 ， |AF1|＝ 3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为 16，求|AF2|； 3
(2)若 cos∠AF2B＝ ，求椭圆 E 的离心率． 5
【导学号：26160037】
a－c 1
3
【解析】 由题意得 ＝ ，解得 c＝ a.又短轴长为 2b，则
a＋c 4
5
( ) 2b＝8，即
b＝4，故
b2＝a2－c2＝a2－
3 a
2＝16，则
a2＝25.故椭圆的
5
y2 x2 标准方程为 ＋ ＝1.
25 16
y2 x2 【答案】 ＋ ＝1
25 16
x2 y2
36 32
36 32
x2 y2
2
7．若椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则 k 的值为________．
k＋8 9
3
( ) 【解析】 若焦点在 x 轴上，则 9 ＝1－ 2 2＝5，k＝41；若
k＋8
39
5
焦点在 y 轴上，则k＋8＝5，∴k＝－3. 99
【答案】 41或－3 5
8．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为 F1(－4,0)，F2(4,0)， 点 P 在椭圆上，且△PF1F2 的最大面积是 12，则椭圆的短半轴长为 ________．
率 e 为( )
3－1 A.
2
5－1 B.
2
1＋ 5 C.
4
3＋1 D.
4
【解析】 由题意得 a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即 c2＋ac－a2＝0，
即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－1 ±
5 ，又 e>0，故所求的椭圆的离心率
2
为 5－1.故选 B. 2
【答案】 B
x2 y2
1
( ) 5．设 e 是椭圆 ＋ ＝1 的离心率，且 e∈ ，1 ，则实数 k 的
81 36
【解析】 因为
1 2a＝18,2c＝ ×2a＝6，所以
a＝9，c＝3，b2＝
3
x2 y2 81－9＝72.故所求方程为 ＋ ＝1.
81 72
【答案】 A
x2 y2 4．已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两顶点为 A(a,0)，B(0，b)，且
a2 b2
左焦点为 F，△FAB 是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心
9 25
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝6，
c4 离心率 e＝ ＝ .故选 B.
a5
【答案】 B
x2 y2
1
2．若焦点在 x 轴上的椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则 m 等于
2m
2
( )
3
A. 3
B.
2
82C.来自D.33【解析】 ∵椭圆焦点在 x 轴上，
∴0＜m＜2，a＝ 2，c＝ 2－m，
|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2 中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B， 即 (4k)2＝ (2a－ 3k)2＋ (2a－ k)2－ 6(2a－ 3k)·(2a－ k)， 化 简 可 得 (a
5
＋k)(a－3k)＝0，
【解析】 设 P 点到 x 轴的距离为 h，则
1 S△PF1F2＝ |F1F2|h，
2
当 P 点在 y 轴上时，h 最大，此时 S△PF1F2 最大， ∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即 b＝3. 【答案】 3
三、解答题
y2 x2
9．椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两焦点 a2 b2
F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，
3
【答案】 C
二、填空题
1 6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为 12，则
3
椭圆方程为________.
【导学号：26160036】
【解析】 由题意得Error!
解得Error!
x2 y2
y2 x2
∴椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1.
36 32
36 32
x2 y2
y2 x2
【答案】 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1
4a
2a
因此|MF1|＝ ，|MF2|＝ ，
3
3
所以 2c＝
3×4a，即c＝
3 ，
2 3 a3
3 即椭圆的离心率是 .
3
[能力提升]
1．(2016·长沙一模)已知 P 是椭圆上一定点，F1，F2 是椭圆的两
个焦点，若∠PF1F2＝60°，|PF2|＝ 3|PF1|，则椭圆的离心率为( )
3－1 A.
4k
2
取值范围是( )
A．(0,3)
16
( ) B. 3， 3
( ) C．(0,3)∪
16 ，＋∞
3
D．(0,2)
( ) 【解析】 当焦点在
x
轴上时，e2＝c2＝4－k∈ a2 4
1 ，1 4
，
解得 0＜k＜3.
当焦点在 y 轴上时，
( ) e2＝c2＝k－4∈ a2 k
1 ，1 4
，
16 解得 k＞ .综上可知选 C.
2
B. 3－1
C．2－ 3
3 D．1－
2
【 解析 】 由 题意 可 得 △PF1F2 是 直角 三 角 形， |F1F2|＝ 2c，
c 2c |PF1|＝c，|PF2|＝ 3c.点 P 在椭圆上，由椭圆的定义可得 e＝ ＝ ＝
a 2a
|F1F2|
2c
＝
＝ 3－1.
|PF1|＋|PF2| c＋ 3c
【答案】 B x2 y2
2．若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，点 P 43
为椭圆上的任意一点，则O→P·F→P的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
【解析】 由题意得 F(－1,0)，
设点 P(x0，y0)，
x20
( ) 则 y20＝3 1－ (－2≤x0≤2)， 4