理论力学--10动力学
动力学普遍定理综合应用(理论力学I,10学时)页PPT文档
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B
J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A
0
mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学课后答案-谢传峰、王琪-动力学部分
mar F mg Fe
将上式在切向量方向投影有
mg sin F cos mat ml e 因为 Fe mae ma, d d d d ，所以上式可写成 dt d dt d d mg sin ma cos ml d
由此求出：
FO
mv 2 (tan 2 1) 2 r cos
1-24 图示所示吊车下挂一重物 M，绳索长为 l ，初始时吊车与重物静止。若吊车从静止以均 加速度 a 沿水平滑道平移。试求重物 M 相对吊车的速度与摆角 的关系式。
a
a
M
8
F
et
2014-北航考研-永爱渣渣
解：由于要求重物相对吊车的速度，所以取吊车为动系，重物 M 为动点。根据质点相对运动 微分方程有
2014-北航考研-永爱渣渣
《动力学 I》第一章 运动学部分习题参考解答
1－ 3 解： 运动方程： y l tan ，其中 kt 。 将运动方程对时间求导并将 30 代入得
0
vy
l lk 4lk 2 2 3 cos cos
a y
2lk 2 sin 8 3lk 2 9 cos 3
v3 所以： av
证毕 o
a
an
x
1
2014-北航考研-永爱渣渣
1－10 解：设初始时,绳索 AB 的长度为 L ,时刻 t 时的长度 为 s ,则有关系式：
s L v0 t ，并且
s2 l 2 x2
vo
F
将上面两式对时间求导得：
FN
y
v 0 ， 2 ss 2 xx s
(完整版)理论力学_动力学课件
dpx
/
dt
F (e) x
dp y
/
dt
F (e) y
微 分 形
dpz
/
dt
F (e) z
式
px
p0 x
I
(e) x
py
p0 y
I
(e y
)
积 分 形
pz
p0 z
I
( z
e
)
式
12 动量矩定理 12.1 质点和质点系的动量矩
理论力学 （运动学）
教 材:《理论力学》 陈国平 罗高作 主编 武汉理工大学出版社
参考书: 《建筑力学》 钟光珞 张为民 编著 中国建材工业出版社
《建筑力学》 周国瑾等 编著 同济大学出版社
《理论力学》 范钦珊 主编 清华大学出版社
10 质点动力学
第10章 质点动力学的基本方程
§10-1 动力学的基本定律
画受力图
（2） 研究对象运动分析
（3） 列方程求解求知量
Fx
F
P sin
P g
a
Fy FN P cos 0
y
x
a
F
F
P(sin
a g ), FN
P cos
P
FN
F f FN
f min
a
g cos
tan
11 动量定理 §11-1 动量与冲量
§11-2 动量定理
1. 质点的动量定理
dp d(mv) ma F dt dt
理论力学-动量定理
dt
i
Fi e
d vC dt
aC
maC Fie
i
质心运动定理
maC Fie
i
质心运动定理——质点系的总质量与质心加速度的
乘积等于作用在质点系上外力的矢量和。
质心运动定理 在直角坐标系中的投影式为：
m&x&C
Fixe
m&y&C
i
Fiye
i
m&z&C
i
Fize
xC , yC ,zC——质心加速度在直角坐标轴上的投影
Fixe ,
dpy dt
i
Fiye ,
dpz dt
i
Fize
电动机的外壳和定 子的总质量为 m1 , 质 心C1与转子转轴 O1 重合 ；转子质量为 m2 ，质心 O2 与转轴 不重合 ，偏心距 O1O2 = e 。若转子以 等角速度ω旋转
求：电动机底座所受 的水平和铅垂约束力。
动量定理与动量守恒
i
Fiye
i
mzC
i
Fize
如果外力主矢在某一轴（例如 x 轴）上的投影为零，则有
FRex Fixe 0
i
aCx 0
vCx C2
质心速度在某一坐标轴（例如 x 轴）上的投影为常量。
如果质心初始为静止状态，即 vCx=0 ,则质心在 x 轴上的坐标
保持不变，即 xC C3 。
动量定理应用举例
mi aCiy FRey
i
m1 0 m2 ew 2sinwt Fy m1g m2 g
Fy m1g m2 g m2ew 2sinwt
解：4、分析电动机跳起的条件；
Fy m1g m2 g m2ew 2sinwt
理论力学(哈工大版)第十章：质点动力学
第六章 质点动力学6-1 惯性参考系中的质点动力学一.惯性参考系1.一般工程问题：2.人造卫星、洲际导弹问题：3.天体运动问题：二.牛顿定律1.第一定律（惯性定律）：2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）：3.第三定律（作用与反作用定律）：三.质点的运动微分方程 将动力学基本方程)(F a m =表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式（自：会使用微分形式）) )( ( 22方程为质点矢径形式的运动式中t r r F dtr d m == 2.直角坐标形式) )()()( ( 222222运动方程为质点直角坐标形式的式中⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===t z z t y y t x x Z dty d m Y dt y d m X dt x d m 3.自然形式b n F F v m F dt s d m ===0222ρτ ), ,,)((轴上的投影轴和轴自然轴系在分别为力运动方程。
为质点的弧坐标形式的式中b n F F F F t s s b n ττ= 四.质点动力学的两类基本问题1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力；----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。
----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求积分，并确定相应的积分常数的问题。
第一类问题解题步骤和要点：①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。
变力可能是时间、位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量积分dt dv 。
理论力学@10动量定理
第10章 动量定理主要内容10.1.1 质点系动量及冲量的计算质点的动量为v K m =质点系的动量为C i i m m v v K ∑=∑=式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中v Ci 为第i 个刚体质心的速度。
常力的冲量t ⋅=F S力系的冲量⎰∑=∑=21d )(t t i i t t F S S或⎰⎰=∑=2121d )(d )(R t t t t i t t t t F F S10.1.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即)(d de i tF K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。
（2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0)(=∑e iF ，质点系动量守恒，即K =常矢量。
或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。
10.1.3 质心运动定理质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。
即()())(d d d de i i i c m tM t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为)(1Cie i ni m F a∑=∑=式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。
10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。
若流体的流量为Q ，密度为ρ。
流体流经弯管时的附加动约束力为)(12Nv v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。
基本要求1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。
2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。
当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。
3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。
理论力学动力学知识点总结
理论力学动力学知识点总结理论力学动力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动与力的关系。
从牛顿的力学开始到现代相对论力学和量子力学，动力学一直在不断发展和完善。
动力学的核心是牛顿运动定律，它描述了物体受力时的运动规律。
以下是关于理论力学动力学的一些重要知识点总结。
1.牛顿第一定律牛顿第一定律也称为惯性定律，它描述了一个物体在没有外力作用下将保持匀速直线运动或保持静止的状态。
即物体有惯性，需要外力才能改变它的状态。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体受力时的加速度与作用力的关系。
根据牛顿第二定律可以得到F=ma的公式，其中F是作用力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
牛顿第二定律也可以表示为力的矢量形式：F=dp/dt，其中p是物体的动量，t是时间。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律也称为作用与反作用定律，它指出任何两个物体之间的相互作用力均有相等大小但方向相反的反作用力。
即作用力和反作用力是相互作用的两个力，它们的大小相等，方向相反。
4.动量动量是描述物体运动状态的物理量，定义为物体的质量乘以速度，表示为p=mv，其中p是动量，m是质量，v是速度。
根据牛顿第二定律可以得到动量定理：F=dp/dt，即力是动量随时间的变化率。
5.动能动能是描述物体运动能量的物理量，定义为物体的动量的平方与质量的乘积的一半，表示为K=(1/2)mv^2，其中K是动能，m是质量，v是速度。
动能定理描述了力对物体做功时动能的变化：W=ΔK，即功等于动能的变化。
6.势能势能是描述物体位置能量的物理量，表示为U。
重力势能是物体在重力场中的位置能量，定义为U=mgh，其中m是质量，g是重力加速度，h 是高度。
弹性势能是弹簧或弹性体储存的能量，定义为U=(1/2)kx^2，其中k是弹性系数，x是弹性体的变形量。
7.动能和势能的转换根据机械能守恒定律，当物体在没有外力做功的情况下，动能和势能可以互相转换，但总机械能保持不变。
例如，自由落体过程中，重力势能转化为动能，而摆动过程中，动能转化为重力势能。
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600
l
r
z
10
600
b l FT
n
r v z
τ
mg
解：选 重物M 为研究对象 M上的力有重力 mg及悬线的拉力 FT ，同在悬线OM与轴Oz 所构成的平面内。
11
600
b l FT
n
r v z
τ
mg
dv m Ft 0 dt 2 0 v m F n F T sin 60 r 0 0 F b mg F T cos 60
T1 m1
O
T2 m2
C T3 m3
m1g
m2 g
x
m3 g
3
2 x1 2 m / s
解上述方程组得:
2 6 m / s 2 x 3 2 m / s 2 x
Fo o ' T1 ' Tc T2' Tc
c
T3'
4
例题3：细绳长为l,上端固定在O点，下端系一质量为m的小 球,在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为o,小球无初 速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。 解：取小球为研究对象，进行运动 受力分析，如图。
解:取滑块B为研究对象，进行运动分析和 受力分析。
（由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平 衡力系作用.） F
mg B N
x = 2rcos ax = - 2r2cos
= t
max = - Fcos
F = 2 mr2
1
例题2. 滑轮系统如图所示.已 知m1 = 4kg , m2 = 1kg和 m3 = 2kg.滑轮和绳的质量及摩擦均 不计.求三个物体的加速度.( g = 10m/s2 )
12
600
b l FT
n
r v z
dv Ft 0 dt 2 0 v m F n F T sin 60 r 0 0 F b mg F T cos 60 m
τ
mg
FT
mg cos 60
0
19.6 N
0
v rF T sin 60 2.1m s m
13
例10-4
(3)当ae=-gctg时ar = g/sin, N=0; am = g
此时m即将与斜面脱离而成为自由体.
9
例题：质量为 1kg 的重物 M ，系于长度为 l = 0.3m 的线上，线的
另一端固定于天花板上的O点，重物在水平面内作匀速圆周运动而
使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为600。试求 重物运动的速度和线上张力
其中 v
n
30
v2 m FN mg cos R
R
当 0时, FN 0, 解得
g n 9.549 cos 0 R
g 当 n 9.49 时, 球不脱离筒壁。 R
15
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。
解：取重物为研究对象
b 1 cos t vy m
b t sin t y 2 m
7
例题5. 水平面上放一质量为M 的三棱柱A 其上放一 质量为 m 的物块 B , 设各接触面都是光滑的.当三棱 柱A具有图示的加速度ae时,讨论滑块下滑的加速度及 与斜面间的相互作用力.
ae
A
8
N
解: 取物块B为研究对象.
mdvx /dt =(acost)
vx
m dv a cost dt
x 0
t
mvx=a sint
y o F
a vx sin t m
0
x
6
a dx/dt= msint
mdx a sin t dt
0 0
x
t
a 1 cos t x 2 m
同理可以积得:
F= m a,
" dv/dt=l
- mgsin= mdv/dt
o o l
• " +mg=0 sin= ml 2 " +k 2 =0 此方程的通解为: 令K = g/l, ' )o=o =Acos(kt +) t=0时=o，V=Vo=(l
n
F F
V
mg
5
o=Acos ' = - Aksin =0 联立求解得：A=o, =0
ae
m(ar+aecos) = mgsin ar
(1)
maesin = N-mgcos
联立(1)(2)式解得:
(2)
mg
ar = gsin - aecos
N= m(gcos+aesin)
讨论: (1)当ae=gtg时ar = 0; N= mg/cos
(2)当aegtg时ar 0.
进行受力分析与运动分析。 Fy= m ay
N - mg=m a N=mg+ma=N'
（静反力；附加动反力）
mg
a
讨论：若加速度方向向下
则N=mg - ma=N' (1)a=g时，N' =0；
N
(2)a>g时，重物离底。
16
例题：汽车质量为m,以匀速V驶过拱桥，桥顶点的曲率 半径为R。求车对桥顶的压力。 解：取汽车为研究对象，进行 运动、受力分析如图。 mg
粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。 已知:匀速转动 0 时小球掉下。 求:转速n.
14
已知:匀速转动。 时小球掉下。 0 求:转速n. 解：研究铁球
m1 C O
m2
m3
2
解:建立图示坐标. ) + (x3 - xC ) = c2
1 C 0 x x 2 3 2 C 0 x x x 1 m1 g T1 m1 x 2 m2 g T2 m2 x 3 m3 g T3 m3 x T2 T3 T1 T2 T3
Fn=man,
mg - N = mv2/ R N=mg - mv 2/ R=N '
an
N n
an=V 2/ R=g时， N ' =0
微小摆动的运动方程为：= ocos(kt)
例题4.质量为m的质点在力F = acost i+bsint j作用
下运动,其中a,b与均为常数,在初瞬时质点位于原 点且初速度为零.求在瞬时t ,(1)质点的位置;(2)质点 的速度. 解: Fx = acost
Fy = bsint mdvx=(acost)dt