2014初三周末班第九讲三角函数(1)
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
九年级数学三角函数知识点总结
九年级数学三角函数知识点总结数学是一门让人又爱又恨的学科。
对于九年级的学生来说，数学知识的学习变得更加深入和复杂，而其中的一个重要知识点就是三角函数。
在这篇文章中，我将对九年级数学中的三角函数知识点进行总结和归纳，希望对读者有所帮助。
首先，我们来了解一下什么是三角函数。
三角函数是以角度为自变量，以正弦、余弦和正切等函数值为因变量的函数。
它们是数学中非常重要的函数，广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个领域。
接下来，我们来讨论正弦函数。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为[-1, 1]。
正弦函数以y轴为对称轴，是一个周期函数，它的一个周期为2π。
在数学坐标系中，正弦函数可以用图像表示。
图像在过原点和横坐标为2π的点处有最小值，过横坐标为π的点有最大值。
我们可以通过图像来观察正弦函数的各种性质。
接下来我们来讨论余弦函数。
余弦函数与正弦函数十分相似，也是以y轴为对称轴的周期函数。
不过，余弦函数的的最小值和最大值分别发生在过原点和横坐标为π/2的点处，并且，余弦函数与正弦函数的图像相差一个相位差。
最后，我们来讨论正切函数。
正切函数的定义域是其所有余弦函数非零的实数，因为在余弦函数为0的点，正切函数无定义。
值域为全体实数。
正切函数也是一个周期函数，其周期为π。
与正弦函数和余弦函数不同，正切函数没有对称轴。
在实际应用中，我们经常需要利用三角函数来解决实际问题。
例如，利用三角函数可以求解两条直线的夹角、解决关于角度的几何问题、计算不规则图形的面积等等。
此外，三角函数还与周期和波动有着密切的关系，因此在物理学领域也得到了广泛的应用。
除了基本的三角函数，九年级还需要了解相关的一些特殊角。
例如，零度、九十度、一百八十度和二百七十度分别对应着x轴正方向、y轴负方向、x轴负方向和y轴正方向。
它们在三角函数中的值具有特殊性质，因此十分重要。
综上所述，九年级的三角函数知识点包括了正弦函数、余弦函数、正切函数以及相关的特殊角。
初三数学三角函数
初三数学三角函数三角函数是数学中的重要概念，也是我们初三数学学习的重要内容之一。
通过学习三角函数，我们可以掌握解决各种角度问题的方法，帮助我们更好地理解和应用数学知识。
接下来，让我们一起来探讨三角函数的内容吧！首先，我们来认识一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别用sin、cos和tan表示。
这些函数可以帮助我们研究角度和边长之间的关系。
正弦函数（sin）是一个周期函数，它的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。
它的图像是一条连续的波动曲线，在0度和180度处取得最小值0，在90度处取得最大值1，在270度处取得最大值-1。
正弦函数能够帮助我们研究角度和垂直边长之间的关系。
余弦函数（cos）也是一个周期函数，它的定义域和值域与正弦函数相同。
余弦函数的图像与正弦函数的图像非常相似，只是相位不同。
余弦函数能够帮助我们研究角度和水平边长之间的关系。
正切函数（tan）是一个除了π/2的整数倍外存在间断点的函数。
它的定义域是所有实数，而值域是全体实数。
正切函数的图像也是一条波动曲线，但是它存在着许多突起和洼地。
正切函数能够帮助我们研究角度和斜边与水平边之间的关系。
通过三角函数，我们可以研究角度和边长之间的关系，解决各种角度问题。
例如，在三角形中，我们经常需要求解角度或边长。
利用正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以很方便地计算未知边长或未知角度。
除了常用的正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有一些与它们相关的三角函数。
例如，余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等。
这些函数与正弦函数、余弦函数和正切函数有着特定的关系，通过它们我们可以更加深入地研究三角函数的性质和应用。
在实际生活和工作中，三角函数也有着广泛的应用。
例如，在建筑中，我们需要利用三角函数计算房屋的高度、斜度等信息；在航海中，我们需要利用三角函数计算方位角和航向角；在测量中，我们需要利用三角函数计算距离和高度等。
初三三角函数
初三三角函数三角函数是数学中一种常用的函数，在物理、地理、力学等许多领域都有着重要的应用。
初三学习三角函数可以帮助学生更加深入地理解和运用数学知识。
本文将对三角函数的概念、应用及计算方法等内容进行介绍，以期帮助初三学生更加深入地了解三角函数。
一、三角函数的概念三角函数是指以角度为变量的函数，它的函数值与角度有关。
三角函数的变量可以是弧度，也可以是角度，它们是基本的平面向量操作，可以表示向量的大小和对应的方向。
以角度为变量的三角函数被统称为三角函数。
它们有着广泛的应用，尤其是在三角形和矩形几何求解中，三角函数是必不可少的数学工具。
二、三角函数的六种基本操作在中学课程中，学生们会学习六种基本的三角函数操作，即：正弦函数（Sin）、余弦函数（Cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、双曲正弦函数（sinh）和双曲余弦函数（cosh）。
1、正弦函数（Sin）：正弦函数是三角函数的基本函数，表达式为：Sinθ=y/r，其中θ为角度，r为半径，y为所求线段长度。
2、余弦函数（Cos）：余弦（Cos）函数也属于三角函数的基本函数，表达式为：Cosθ=x/r，其中θ为角度，r为半径，x为所求线段长度。
3、正切函数（Tan）：正切（Tan）函数也属于三角函数，其表达式为：Tanθ=y/x，其中θ为角度，x、y为所求线段的长度。
4、余切函数（Cot）：余切函数也是三角函数的基本操作，它的表达式为：Cotθ=x/y，其中θ为角度，x、y为求线段的长度。
5、双曲正弦函数（sinh）：双曲正弦函数（sinh）是一种双曲函数，其表达式为：sinhθ=r(eθ-e-θ)/2，其中θ为角度，r为半径，eθ、e-θ为所求线段的长度。
6、双曲余弦函数（cosh）：双曲余弦函数（cosh）是一种双曲函数，其表达式为：coshθ=r(eθ+e-θ)/2，其中θ为角度，r为半径，eθ、e-θ为所求线段的长度。
三、初三学习三角函数的方法1、先从求六边形的面积和周长入手。
九年级数学三角函数定义及三角函数公式大全
三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的定义、性质及常用公式，希望能够帮助九年级的同学们更好地理解和掌握三角函数。
一、三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个基本三角函数：正弦、余弦和正切。
它们分别表示一个角的正弦值、余弦值和正切值。
角的正弦值等于对边与斜边的比值，余弦值等于邻边与斜边的比值，而正切值等于对边与邻边的比值。
二、三角函数的性质1.正弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；余弦函数的定义域是实数集，值域在[-1,1]之间；正切函数的定义域是所有不等于90度的实数集，值域是所有的实数。
2.正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为360度或2π弧度；正切函数也是周期函数，周期为180度或π弧度。
3.正弦函数和余弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；而正切函数是奇函数。
4.正弦函数是周期为2π的函数，图像是一条连续的正弦曲线；余弦函数也是周期为2π的函数，图像是一条连续的余弦曲线；正切函数的图像有水平渐进线，当角趋近于90度时，正切的值趋近于正无穷或负无穷。
1.三角函数的诱导公式正弦函数和余弦函数之间有一个重要的关系：sin(α ± β) =sinαcosβ ± cosαsinβ。
通过这一关系，我们可以推导出其他的三角函数公式，例如：- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)等等。
2.三角函数的和差化积公式正弦函数和余弦函数的和差化积公式是：- sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ- sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ- cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ- cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ这些公式可以用于将一个角的三角函数表示为两个角的三角函数的乘积或差。
九年级三角函数知识点
九年级三角函数知识点三角函数是中学高中数学中重要的一部分内容，它是描述角和边之间关系的数学函数。
在九年级数学学习中，我们将学习一些基本的三角函数知识点，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在本文中，我将介绍这些知识点的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它用于描述角和其对边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的正弦是指角的对边与斜边之间的比值。
正弦函数的定义如下：sinθ = 对边/斜边其中，θ为角的度数。
正弦函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，-1 ≤ sinθ ≤ 1。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ。
3. 周期性：正弦函数的周期为360°或2π，即sin(θ+360°) = sinθ。
正弦函数在实际应用中广泛运用，例如在三角测量、物体振动等领域。
二、余弦函数余弦函数也是常见的三角函数之一，它用来描述角和其邻边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的余弦是指角的邻边与斜边之间的比值。
余弦函数的定义如下：cosθ = 邻边/斜边余弦函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，-1 ≤ cosθ ≤ 1。
2. 偶奇性：余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 周期性：余弦函数的周期为360°或2π，即cos(θ+360°) =cosθ。
余弦函数在解决实际问题中也有广泛应用，例如在三角测量、力学分析等领域。
三、正切函数正切函数是另一个常见的三角函数，它用于描述角的对边与邻边之间的关系。
在一个直角三角形中，角的正切是指角的对边与邻边之间的比值。
正切函数的定义如下：tanθ = 对边/邻边正切函数具有以下性质：1. 值域：对于任意角θ，tanθ的值不受限制。
2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
3. 周期性：正切函数的周期为180°或π，即tan(θ+180°) = tanθ。
九年级数学：三角函数定义及三角函数公式大全(1)
斜边 cba a 2 +b 2 =c 2三角函数定义及三角函数公式大全一：初中三角函数公式及其定理1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成 ∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余B角的正弦值。
由∠A + ∠B = 90︒得∠B = 90︒ - ∠AAC邻边4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余 角的正切值。
由∠A + ∠B = 90︒得∠B = 90︒ - ∠A5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)sin A = cos Bcos A = sin Bsin A = cos(90︒ - A ) cos A = sin(90︒ - A ) tan A = cot B cot A = tan Btan A = cot(90︒ - A )cot A = tan(90︒ - A )对边sin α 0 1 22 23 21 cos α 1 32 2 21 20 tan α 03 313 - cot α-313 3当 0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当 0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知 的边和角。
依据：①边的关系： a 2 + b 2 = c 2 ；②角的关系：A+B=90°；③边角关系： 三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
数学九年级三角函数知识点
数学九年级三角函数知识点在数学九年级的课程中，学生将开始学习三角函数，这是一门非常重要的数学分支。
三角函数是研究角的一种工具，而角又是几何学中的基本概念之一。
它们在解决直角三角形问题以及其他许多实际应用中起着关键作用。
在本文中，我们将深入了解三角函数的主要知识点。
一、正弦、余弦和正切三角函数中最常见的三个函数是正弦、余弦和正切。
对于一个给定的角度θ，正弦值（sinθ）等于对边长度与斜边长度的比值，余弦值（cosθ）等于邻边长度与斜边长度的比值，正切值（tanθ）等于对边长度与邻边长度的比值。
这些函数在数学中有广泛的应用。
例如，我们可以使用正弦函数来计算物体在斜面上滑动时的加速度。
余弦函数则可以用于计算矢量的投影。
正切函数则常用于计算斜线的坡度。
二、特殊角度的三角函数值在数学中，我们经常需要计算一些特殊角度的三角函数值。
例如，对于0度、30度、45度、60度和90度这几个特殊角度，它们的三角函数值可以通过简单的记忆来得到。
0度角的正弦为0，余弦为1，正切为0。
30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3。
45度角的正弦为√2/2，余弦为√2/2，正切为1。
60度角的正弦为√3/2，余弦为1/2，正切为√3。
90度角的正弦为1，余弦为0，正切为无穷大。
这些特殊角度的三角函数值在解决问题时非常有用，可以帮助我们迅速得到结果。
三、三角函数的性质三角函数具有一些重要的性质。
其中，最重要的是周期性、奇偶性和界限。
周期性：正弦和余弦函数都是周期函数，它们的函数值在一定的角度范围内重复出现。
正弦函数的周期是2π（或360度），余弦函数的周期也是2π（或360度）。
奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
这意味着正弦函数关于原点对称，而余弦函数关于y轴对称。
界限：正弦和余弦函数的值都在-1和1之间。
这是由于三角函数是通过三角形的边长比值来定义的。
三角函数九年级知识点总结
三角函数九年级知识点总结数学是一门严谨而精密的学科，它包含着丰富的知识点和概念。
而在数学中，三角函数是一项重要而广泛应用的内容。
它不仅在几何学中有着重要作用，还广泛应用于物理学、工程学等领域。
在这篇文章中，我们将对九年级学生所学的三角函数知识点进行总结和归纳。
一、初识三角函数在开始学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念。
三角函数是描述角度与三角形边的关系的函数。
在三角函数中，最基本的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。
这些函数可以用来计算直角三角形中的角度和边长之间的关系。
二、弧度制与角度制在使用三角函数计算时，我们通常使用的是角度制。
但是，在一些数学和物理问题中，使用弧度制更为方便。
因此，九年级学生需要了解两种制度之间的转换关系。
一圈的角度是360度或2π弧度，这是两个制度之间的基本换算。
三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最常用的两个函数。
其中，正弦函数表示角度的对边与斜边的比值，用sin表示；而余弦函数表示角度的临边与斜边的比值，用cos表示。
这两个函数的取值范围都在-1到1之间。
四、正切函数正切函数是三角函数中另一个重要的函数。
它表示角度的对边与临边的比值，用tan表示。
正切函数的取值范围涵盖整个实数集，没有上限和下限。
五、诱导公式诱导公式是三角函数中的一个重要概念。
它用于计算角度和函数值的互相转换。
三角函数中的诱导公式有：sin(-x) = -sin(x)cos(-x) = cos(x)tan(-x) = -tan(x)sin(π-x) = sin(x)cos(π-x) = -cos(x)tan(π-x) = -tan(x)其中，π表示圆周率，也可以用3.14来近似表示。
六、三角函数的图像与性质在学习三角函数时，了解它们的图像和性质是十分重要的。
正弦函数和余弦函数都可以表示为周期性函数，周期为2π。
它们的图像都是沿水平轴做周期性运动的波形。
九年级数学知识点三角函数
九年级数学知识点三角函数数学是一门抽象而又具体的科学，其中一个重要的分支就是三角函数。
三角函数是研究角度与边长之间关系的数学方法，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
在九年级数学学习中，三角函数是一个重要的知识点，下面将深入探讨三角函数及其应用。
一、三角函数的定义及性质首先，我们来了解一下三角函数的定义及其基本性质。
三角函数有三个基本函数：正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。
正弦函数sin(x)描述了直角三角形中一个锐角的对边与斜边之间的比值。
余弦函数cos(x)则描述了直角三角形中这个锐角的邻边与斜边之间的比值。
正切函数tan(x)则是对边与邻边的比值。
三角函数具有一些基本性质，例如，它们都是周期函数，即函数值在一定的范围内重复出现；它们都有定义域和值域，例如正弦函数和余弦函数的定义域是实数集，而值域是[-1, 1]；正切函数的定义域是实数集，而值域是全体实数。
二、三角函数的图像与性质接下来，我们来探讨三角函数的图像与性质。
通过绘制三角函数的图像，我们可以更加直观地理解它们的特点。
首先，正弦函数sin(x)的图像呈现周期性的波浪形态，曲线在原点处达到最小值0，并在每个周期内相应的锐角的弧度值达到最大值1或最小值-1。
余弦函数cos(x)的图像与正弦函数的图像非常相似，但是相较于正弦函数，余弦函数的波形在x轴上方向右平移了π/2个单位。
正切函数tan(x)的图像则在每个周期内有无穷多个渐近线，它的波形通过x轴的原点。
三、三角函数的应用除了在几何和图像学中有广泛应用之外，三角函数在现实生活中也有很多应用。
例如，三角函数在物理学中可以描述振动系统中的运动，如弹簧振子、摆动等。
在工程学中，三角函数可以用来计算过桥、修建房屋等工程项目中所需的角度和边长。
在计算机科学中，三角函数也是非常重要的，例如在3D计算机图形中，通过三角函数计算角度和距离，可以实现旋转、缩放等效果。
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第九讲 三角函数（1）
知识梳理：
1、如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、解直角三角形的定义：已知边和角（两个条件，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：（1）边的关系：2
22c b a =+；（2）角的关系：A+B=90°；（3）边角关系：三角函
数的定义。
（4）特殊角的三角函数值（5）基本图的应用 (6)直角三角形的理论
题型一 三角函数定义：
1.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）
A ．不变
B ．缩小为原来的1
3
C ．扩大为原来的3倍
D ．不能确定
2.在△ABC 中,,900=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为
3.在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____,cos ==A B ；
B
邻边 A
C
b
4．Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B 5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos 6.已知Rt △ABC 中,若,900=∠C cos 24,13
5
==BC A ,则._______=AC 7.Rt △ABC 中,,900=∠C
3
5
tan ,3=
=B BC ，那么.________=AC
= 2．已知：α是锐角，22
1
cos =α，tan α=______； 3．已知∠A 是锐角，且______2
sin ,3tan ==A
A 则；
4．在平面直角坐标系内P 点的坐标（︒30cos ，︒45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／的坐标为 （ ） A ． )1,23( B ． )23,1(- C ． )1,23
(- D ． )1,2
3(--
5. 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cosA- 12|+（sinB- 2
）2=0，则∠C= 6．计算
（1）_______60cot 45tan _______,60cos 30sin 0000=+=+ （2）︒-︒+︒+︒-︒30sin 30cos 30tan 4
1
45sin 60cos 22
(3)000045tan 30tan 145tan 30tan ⋅-+ (4))60sin 45(cos 30sin 60
cos 2330cos 45sin 0
000
00---+
（5）
50
cos 40sin 0cos 45tan 30cos 330sin 145tan 41222-+-+
题型三 解直角三角形：
1. 已知在△ABC 中，∠C ＝90°.
36
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD=AB，求tanD。
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
6.如图,△ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥AB,垂足为E,连结CE,
求sin∠ACE的值.
7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 边上一点，DE ⊥AB 于E ，∠ADC=45°， 若DE ∶AE=1∶5，BE=3，求△ABD 的面积。
8.四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠BCA ＝600，∠CDA ＝1350
，340,10==∆ABC S BC 。
求AD 边的长。
9.如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,
3
1tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。