整数规划-模型资料
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(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式∑==nj jj x c Z 1min)max(或中部分或全部取整数n j nj i jij x x x mj ni x b xa ts ,...,,...2,1,...,2,10),(.211==≥=≥≤∑=整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z变量xi 称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
整数规划模型
决策变量全部取 0 或1的规划称为0-1 整数规划
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
王秋萍：整数规划模型
为(非负)整数
仅一部分变 量为整数
4
有些问题用线性规划数学模型无法描述，可以 通过设置逻辑变量建立整数规划的数学模型。
王秋萍：整数规划模型
5
逻辑变量在建立数学模型中的作用
m个约束条件中只有k个起作用
设m个约束条件可表为
∑a x
ij j =1
n
j
≤ bi
i = 1, 2, " , m
定义 又M为任意大的正数，则
n ⎧ ⎪ ∑ aij x j ≤ bi + Myi j =1 ⎨ ⎪ y + y +" + y = m − k 2 m ⎩ 1
王秋萍：整数规划模型
6
逻辑变量在建立数学模型中的作用
约束条件的右端项可能是r个值 ( b1 , b2 ," , br ) 中的一个，即 n
( i = 1," , m; j = 1," , m ) 则分配问题的数学模型为 min z = ∑∑ a x
m m i =1 j =1 ij
ij
⎧ m xij = 1 ( i = 1,", m ) ⎪ ∑ j =1 ⎪ m ⎪ ( j = 1,", m ) ⎨ ∑ xij = 1 ⎪ i =1 ⎪ xij = 0或1 ( i = 1," , m; j = 1," , m ) ⎪ ⎩
j = 1, 2, 3 ⎧ x j − My j ≤ 0 ⎪ x + x + x ≥ 4000 ⎪ 1 2 3 ⎨ ⎪ x1 ≤ 1500, x2 ≤ 2000 ⎪ ⎩ x j ≥ 0, y j = 1或0, j = 1, 2, 3
数学建模 -整数规划
z1 3
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
整数规划(整数规划)
想一想：
在生产管理和经营活动中若要求解：
• 安排上班的人数 • 运输车辆台数
第八章
整数规划（IP）
(Integer Programming)
主要内容： §1 整数规划的模型（掌握） §2 整数规划的计算机求解（掌握） §3 整数规划的应用（掌握）
（补充指派问题的匈牙利解法）
一、整数规划的模型
（一）整数规划实例 例1：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及 托运所受限制如表所示：
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有MaxZ = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2，3) (1，4)(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最 优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
工作 人
B1 a11 a21 a31
B2 a12 a22 a32
B3 a13 a23 a33
A1 A2 A3
要求：1.将此分配问题的求解转化为一个网络图中求始点 与终点之间的最短路问题，画出该网络图，注明 节点和边的含义，并标明每一条边的aij值； 2.以上述网络图为基础，利用0－1变量建立该最短 路问题的0－1整数规划模型，列出该模型的数学 表达式。
设决策变量
xij =
1
0
分配第i 个人去做第j 件工作
相反
n
( I,j=1.2. …n )
min Z 其数学模型为：
c
在生产管理和经营活动中若要求解：
• 安排上班的人数 • 运输车辆台数
第八章
整数规划（IP）
(Integer Programming)
主要内容： §1 整数规划的模型（掌握） §2 整数规划的计算机求解（掌握） §3 整数规划的应用（掌握）
（补充指派问题的匈牙利解法）
一、整数规划的模型
（一）整数规划实例 例1：某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物， 这两种货物每件的体积、重量，可获利润以及 托运所受限制如表所示：
用 图 解法求出最优解 x1＝3/2, x2 = 10/3 且有MaxZ = 29/6
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
现求整数解（最优解）： 如用“舍入取整法”可得 到4个点即(1，3) (2，3) (1，4)(2，4)。显然，它们 都不可能是整数规划的最 优解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题 的可行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集 是一个有限集，如图所示。
工作 人
B1 a11 a21 a31
B2 a12 a22 a32
B3 a13 a23 a33
A1 A2 A3
要求：1.将此分配问题的求解转化为一个网络图中求始点 与终点之间的最短路问题，画出该网络图，注明 节点和边的含义，并标明每一条边的aij值； 2.以上述网络图为基础，利用0－1变量建立该最短 路问题的0－1整数规划模型，列出该模型的数学 表达式。
设决策变量
xij =
1
0
分配第i 个人去做第j 件工作
相反
n
( I,j=1.2. …n )
min Z 其数学模型为：
c
整数规划模型
整数规划模型整数规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题。
在整数规划中，决策变量必须是整数。
这种模型广泛应用于工程、科学、运筹学和管理等领域。
整数规划模型的一般形式如下：\[\text{maximize} \quad c^Tx\]\[\text{subject to} \quad Ax \leq b\]\[x_j \text{整数} , j = 1,2,...,n\]其中，c是一个n维向量，表示目标函数的系数；x是n维向量，表示决策变量；A是m×n维矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b是一个m维向量，表示约束条件的上界。
整数规划模型的目标是找到一个满足约束条件的决策变量向量x，使得目标函数值最大或最小。
由于决策变量必须是整数，所以整数规划模型要比普通的线性规划模型更复杂。
整数规划模型可以应用于许多实际问题。
例如，一个公司要决定生产哪种产品以最大化利润，但每种产品有一定的生产限制，需要整数规划模型来确定生产量；一个配送中心要决定如何分配物流资源以最小化成本，但每个分配决策都必须是整数，需要整数规划模型来求解。
求解整数规划模型可以使用多种算法。
例如，分支定界算法通过将问题分解为一个个子问题，并通过剪枝策略来减少搜索空间，最终找到最优解；约简与延迟约束算法通过线性松弛将整数规划转化为一个松弛线性规划问题，并通过迭代加入约束条件来逼近整数解。
整数规划模型的求解过程需要注意一些问题。
首先，由于整数规划是一个NP难问题，没有通用的多项式时间算法可以解决所有情况。
其次，整数规划模型可能有多个最优解，求解算法可能只能找到其中一个最优解。
最后，整数规划模型的求解过程可能需要大量的计算资源和时间。
总之，整数规划模型是一种重要的数学模型，可以用于解决各种实际优化问题。
但由于其复杂性和求解困难，需要合理选择算法和求解策略来获得满意的结果。
5 整数规划模型
n
装第 i 件物品，价值ci 使价值达最大 装第 i 件物品，体积为 bi 共有容积为 b
max z ci xi ,
s.t.
与投资决策问题模型相同
0-1 i 1 规划 xi 0或1, i 1,2,, n
i i
b x
n
i 1
ILP
b,
5.3 合理下料问题
问 题 建 模
设要利用某类钢板下m 种零件的毛料。已知在一块钢板上， 已设计出 n 种不同的下料方案，设在第 j 种下料方案中， 可下得第 i 种零件的个数为 aij ，第 i 种零件的需要量为 bi 。 问应如何下料，才能既满足需要，又使所用钢板总数最少。 设采用第 j 种方案下料的钢板数为xj
x1 0, x2 0, x3 80
x1 0, x2 80, x3 0
x1 0, x2 80, x3 80
x1 80, x2 0, x3 0
x1 80, x2 80, x3 0
方法1：分解为8个LP子模型 其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
i i
b x
n
i 1
ILP
b,
5.2 背包问题
问 题 建 模
设有一个容积为 b 的背包，有 n 个体积分别为 bi ，价值分 别为 ci 的物品可以装入背包，问应选择哪几件物品装入背 包，才能得到最大的使用价值。建数学模型 令
1, xi 0,
若装第 i 件物品， 否则，i 1,2,, nmax z cij xij ,
m
n
s.t.
x
i 1
m
x
j 1
i 1
装第 i 件物品，价值ci 使价值达最大 装第 i 件物品，体积为 bi 共有容积为 b
max z ci xi ,
s.t.
与投资决策问题模型相同
0-1 i 1 规划 xi 0或1, i 1,2,, n
i i
b x
n
i 1
ILP
b,
5.3 合理下料问题
问 题 建 模
设要利用某类钢板下m 种零件的毛料。已知在一块钢板上， 已设计出 n 种不同的下料方案，设在第 j 种下料方案中， 可下得第 i 种零件的个数为 aij ，第 i 种零件的需要量为 bi 。 问应如何下料，才能既满足需要，又使所用钢板总数最少。 设采用第 j 种方案下料的钢板数为xj
x1 0, x2 0, x3 80
x1 0, x2 80, x3 0
x1 0, x2 80, x3 80
x1 80, x2 0, x3 0
x1 80, x2 80, x3 0
方法1：分解为8个LP子模型 其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
i i
b x
n
i 1
ILP
b,
5.2 背包问题
问 题 建 模
设有一个容积为 b 的背包，有 n 个体积分别为 bi ，价值分 别为 ci 的物品可以装入背包，问应选择哪几件物品装入背 包，才能得到最大的使用价值。建数学模型 令
1, xi 0,
若装第 i 件物品， 否则，i 1,2,, nmax z cij xij ,
m
n
s.t.
x
i 1
m
x
j 1
i 1
整数规划(数据模型与决策)
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
Page 4
例:指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗 位工作，每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩 （百分制）如表所示，如何安排他们的工作使总成绩最好。
工作
人员 甲 乙 丙 丁
A 85 95 82 86
1 x ij 0
指派第 i个 人 做 第 j件 事 ( i , j 1,2,..., n) 不指派第 i个 人 做 第 j件 事
分配问题与匈牙利法
指派问题的数学模型为：
Page 8
min Z
c
i 1 j 1
n
n
ij
x ij
n x ij 1 ( i 1.2. .n) j 1 n x ij 1 ( j 1.2. .n) i 1 x ij 取0或1(i , j 1.2. .n)
Page 19
0 13 7 0 6 0 6 9 0 5 3 2 0 1 0 0
0 Ø 6 0 ◎ Ø 0
13 7 ◎ 0 ◎ 0 6 9 5 3 2 1 ◎ 0 Ø 0
独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指 派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作， 丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排 能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11 ＝28。
2）试指派（找独立0元素）
Page 22
2 2 4 4 0
0 4 2 4 5 0 3 0 1 0 1 3 0 3 5 1 2 3 0 5
2 2 4 4 ◎ 0
◎ 0
5 1 0 Ø 2
4 2 4 0 3 ◎ 0 Ø ◎ 0 1 3 3 5 1 3 Ø 0 5
31 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP32 整数规划
背包约束 旅行箱约束
其中M为充分大的正数。
当使用背包时( y1=1, y2=0 )，式(b)和(d)是多余的；
当使用旅行箱时( y1=0, y2=1 )，式(a)和(c)是多余的。
8 第3章整数规划
3.1 整数规划的数学模型
同样可以讨论对于有m个条件互相排斥、有m （≤m、≥m）个条件起作用的情形。 （1）右端常数是k个值中的一个时，类似式(3-2)的约束 条件为
5 第3章整数规划
3.1 整数规划的数学模型
【例3-2 】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大 载重量为 12 公斤，其体积是 0.02m3 。背包和旅行箱只能 选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品 价值最大。 （1）所装物品不变； （2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品， 每件物品的重量、体积和价值如下表所示
第3章
整 数 规 划
Integer Programming
3.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP 3.2 整数规划的求解 Solving Integer Programming 3.3 0－1规划的求解 Solving Binary Integer Programming
物品 丙 丁 重量（公斤/件） 体积（m3/件） 价值(元/件) 1.8 0.6 0.0015 0.002 4 3
第3章整数规划
6
3.1 整数规划的数学模型
【解】（1）引入0－1变量 yj，令
采用第j种方式装载时 1, yj 0， 不采用第j种方式装载时 ( j 1, 2)
j=1,2分别是采用背包及旅行箱装载。
a
j 1
9
n
ij
x j bi yi ，
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问题的目标函
数为总利润求
nm
z
rij xij
i1 j1
的最大值．
nm
max z
rij xij ,
i1 j 1
n
xij X j ( j 1, 2,L
, m),
s.t.
i 1 m
ajX
j
M,
j 1
xij
0且为整数(i
1, 2,L
, n),
X j 0且为整数( j 1, 2,L , m).
x1, x2 0且x1, x2取整数13其lFra bibliotekngo语句如下：
MODEL: sets: row/1..2/:b; arrange/1..2/:c,x; link(row,arrange):a; endsets data: b=6,20;c=1,1;a=2,1,4,5; enddata [OBJ]max=@sum(arrange(j):c(j)*x(j)); @for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))<=b(i);); @for(arrange(j):x(j)>=0;); @for(arrange(j):@gin(x(j));); END
源的单位价格为 a j ( j 1, 2,L , m) ，该企业现有资金 M 元.
试问该企业应购买多少第 j 种资源(总量为 X j ），又 如何分配给所属的 n 个生产车间，使得总利润最大？
2
解 设决策变量为 xij (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , m) 表示分
配给第 i 个生产车间的第 j 种资源的资源量，均为非负整 数，第 j 种资源的需求总量 X j ( j 1, 2,L , m) 也都为整数．
@for(row(i):@sum(arrange(j):a(i,j)*x(j))>=b(i););
@for(arrange(j):x(j)>=0;);
@for(arrange(j):@GIN(x(j)););
END
12
例：一个简单的整数规划模型
max z x1 x2
2x1 x2 6 4x1 5x2 20
3
在这个问题中，所求解均是整数，初看起来， 似乎只要把已得到的带有分数或小数的解经过“ 舍入化整”就可以了，实际上这常常是不行的， 因为化整后不见得是可行解，或虽是可行解但不 一定是最优解。这种求最优整数解的问题就是整 数规划。
整数规划中如果所有的变量都限制为（非负） 整数，称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制 为整数，称为混合整数规划；整数规划一种特殊 的情形是0-1规划，它的变量取值仅限于0和1。
解就是(A)的最优解，计算结束；
问题(B)有最优解 X * ，但不是(A)的可行解，转下一步。
8
2）将 X * 代入目标函数，其值记为 z ，并用观察
法找出（A）的一个可行解（整数解，不妨可取
x j 0( j 1,2, , n) ），求得目标函数值（下界 值），记为 z ，则（A）的最优值记为 z * ，即有 z z * z ，转下一步；
4
2. 整数规划模型的一般形式
n
max(min)z c j x j j 1
(A)
n
aij x j
(, )bi (i 1,2,, m)
j1
x
j
0,
x j为整数(
j
1,2,, n)
•问题是如何求解整数规划问题呢？ •能否设想先略去决策变量整数约束，即变为线性 规划问题求解，再对其最优解进行取整处理呢？ •实际上，可借鉴这种思想来解决整数规划问题．
整数规划方法
一.整数规划的一般模型 二.整数规划的求解方法 三.0-1整数规划 四.整数规划案例分析
1
一.整数规划的一般模型
1. 问题的提出：固定资源分配问题 设某企业有 n 个生产车间需要 m 种资源，对于第 i 个
生产车间分别利用第 j 种资源 xij 进行生产，单位资源可 以获得利润为 rij (i 1, 2,L , n; j 1, 2,L , m) ．若第 j 种资
5
二.整数规划的求解方法
1. 分枝定界法的基本思想（举例说明）
n
max(min)z c j x j j 1
(A)
n
aij x j (, )bi (i 1,2,, m)
j1
x
j
0, x j为整数(
j
1,2,, n)
n
max(min)z cj xj j 1
(B)
n
aij x j
j
1, 2,, n)
data:
b=b(1),b(2),…,b(m); c=c(1),c(2),…,c(n);
a=a(1,1),a(1,2),…,a(1,n),
... ... ... ...
a(m,1),a(m,2),…,a(m,n);
enddata
[OBJ] min=@sum(arrange(j):c(j)*x(j));
(, )bi (i 1, 2,, m)
j1
x
j
0(
j
1, 2,, n)
将原问题（Ａ）中整数约束去掉变为问题（Ｂ）, 求出（Ｂ）的最优解.
分枝定界法.ppt
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如果不是原问题（Ａ）的可行解，则通过附加线性不 等式约束(整数)，将问题(B)分枝变为若干子问题
(Bi )(i 1,2, , I ) ，即对每一个非整变量附加两个互
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3. 整数规划的lingo解法
MODEL: sets: row/1..m/:b; arrange/1..n/:c,x; link(row,arrange):a; endsets
n
min z c j x j j 1
n
aij x j bi (i 1, 2,, m)
j1
x
j
0,
x j为整数(
相排斥（不交叉）的整型约束，就得两个子问题. 继续求解定界，重复下去，直到得到最优解为 止.
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2. 分枝定界法的一般步骤
1)将原整数规划问题（A）去掉所有的整数约束变为线 性规划问题（B），用线性规划的方法求解问题（B）:
• 问题(B)无可行解，则(A)也无可行解，停止；
问题(B)有最优解 X * ，并是(A)的可行解，则此
最小者为新的上界 z ，从所有符合整数约束条 件的分枝中找出目标函数值最大的为新下界 z
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4）比较与剪枝：各分枝问题的最优值同 z 比较，如果其值 小于 z ，则这个分枝可以剪掉，以后不再考虑。
如果其值大于 z ，且又不是（A）的可行解，则继续分 枝 ， 返 回 （ 3 ）， 直 到 最 后 得 到 最 优 解 使 z* z ， 即 x*j ( j 1,2,,n) 为最优解。
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3) 分枝：在问题(B)的最优解中任选一个不满足整
数约束的变量 x j b j ，附加两个整数不等式约束： x j [b j ] 和 x j [bj ] 1 到问题(B)中，构成两个新 的子问题 (B1 ) 和 (B2 ) ，求 (B1 ) 和 (B2 ) 的解。
定界：对每一子问题的求解结果，找出最优值