平行四边形(讲义)
平行四边形（讲义）
➢ 课前预习
1. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ． （1）求证：AB =CD 且AD =BC ．
（2）连接AC ，BD ，设AC ，BD 的交点为O ．求证：OA =OC
1. 平行四边形的定义：__________________________________．
2. 平行四边形的性质
边：________________________________________________； 角：________________________________________________； 对角线：____________________________________________． 3. 平行四边形的判定
⎧⎨
⎩①_____________________________________________；边②_____________________________________________．角：
________________________________________________． 对角线：____________________________________________． 4. 夹在平行线之间的________________相等．
➢ 精讲精练
1. 已知□ABCD 的周长是100，且AB :BC =4:1，则AB 的长为
______________．
2. 如图，在□ABCD 中，∠DAB 的平分线AE 交CD 于点E ，若AB =5，BC =3，
则EC 的长为（ ） A ．1 B ．1.5
C ．2
D ．3 3. 在□ABCD 中，∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是（ ）
A ．1:2:3:4
B ．1:2:2:1
C ．1:1:2:2
D ．2:1:2:1
4. 在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若△ABO 的周长为15，
AB =6，则AC +BD =____________．
5. 如图，在□ABCD 中，已知AB =5，AD =3，AC ⊥BC ，则
BD =_______，□ABCD 的面积为_______．
O
D
C
B
A
6. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分
别交于点E ，F ．求证：OE =OF ．
F
E
A B
C
D
O
7. 下列说法：
①如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补，那么这个四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
B
C
E
D A
③如果AC ，BD 是四边形ABCD 的对角线，且AC 平分BD ，那么四边形ABCD 是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8. 如图，点E ，F 在线段BC 上，若△ABE ≌△DCF ．
求证：四边形AFDE 是平行四边形．
A
E
B
C
F
D
9. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 是对角线AC 上的两点，且
AE =CF ．求证：四边形EBFD 是平行四边形．
10. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥CD ，且AE 交BC 于点E ，BD 平
分∠ABC ．求证：AB =EC ．
A B
C
D
E
11. 如图，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BE =DF ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分
别为点E ，F ．
（1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）若AC 与BD 交于点O ．求证：AO =CO ．
A
E
B
C
F D
O
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. 证明略
2. 得到的命题仍成立
➢知识点睛
1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
2.平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
4.平行线段
➢精讲精练
1.40
2. C
3. D
4.18
5.12
6.证明略
7. B
8.证明略
9.证明略
提示：方法①，证明△AED≌△CFB，得到DE=BF，∠AED=∠CFB，则∠DEC=∠BFA，所以DE∥BF，进而可证明四边形EBFD是平行四边形．方法②，连接BD，利用对角线互相平分可以证得四边形EBFD是平行四边形．
10.证明略
11.证明略。
平行四边形的判定讲义1
平行四边形的判定讲义1
【根底知识】
判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形
【名师点睛】
1 .平行四边形的判定方法有定义、三个判定定理，分别从对边、对角和对.角线来研究.
2 .方法上：将四边形转化为三角形是一般方法，表达了转化思想；
平行四边形的性质和判定定理是互逆.命题，今后研究其他图形会类比这个研究方法进行；
先从简单问题入手研究，再扩展到淇他问题，由简单到复杂.
【例题讲解】
1 .如下图,在□ABCD中,对角线4C,切相交于点0,£,厂是对角线〃'上的两点，当£/满足以下哪个条件时.，四边形的即不一定是平行四边形( )
A.OE=OF
B.DE=BF
C.AADE=ACBF
D.AABE=ΛCDF
2 .能判定四边形力腼为平行四边形的题设是( )
A.AB=AD,CB=CD
B.AB=CD.AD=BC
C.∕A=∕B,/俏/〃
D.AB//CD,AD=BC
3 .如图，在四边形被力中,AEIBD于E,CFIBD于F,AE=CF,BF=DE.求证：四边形力戈力是平行四边形.
4 .如图，四边形4灰》是平行四边形，KN是对角线切上的两点,且BM=DM求证：四边形4觉”是平行四边形.
5 .：如图，平行四边形4809中，力反L4C,对角线“'、BD交于。
点、,将直线然绕点。
顺时针旋转，分别交比、AD 于点、E、F.
(1)当旋转角为90。
时，求证：四边形力戚是平行四边形；
(2)求证：在旋转过,程中,AF=EC.。
第十八章平行四边形-(讲义)-2022—2023学年人教版数学八年级下册
特殊的平行四边形综合题型综合练习1.如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，∠CEF＝90°.求证：（1）△ABF≌△DEC；（2）四边形BCEF是矩形.2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形.3.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．4.在平面内，正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连接DE，BH，两线交于点M.求证：（1）BH＝DE；（2）DE⊥BH.5、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G。
（1）求证：△ABE≌△CBF；（2）若∠ABE=50º，求∠EGC的大小。
课后练习：一．选择题1.已知四边形ABCD是平行四边形,则下列各图中∠1与∠2一定不相等的是( )2.如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6cm,8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是( )A.5cmB.2cmC.cmD.cm3.如图,在平行四边形ABCD中,DE是∠ADC的平分线,F是AB的中点,AB=6,AD=4,则AE∶EF∶BE为( )A.4∶1∶2B.4∶1∶3C.3∶1∶2D.5∶1∶24.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF5.如图,△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,点G,F在BC边上,四边形DEFG是正方形.若DE=2cm,则AC的长为( )A.3cmB.4cmC.2cmD.2cm二.填空题1.如图,在平行四边形ABCD中,过点C的直线CE⊥AB,垂足为E,若∠EAD=53°,则∠BCE的度数为.2.如图,▱ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点E,F 分别是线段AO,BO 的中点.若AC+BD=24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF= 厘米.3．如图，在菱形ABCD 中，已知AB ＝10，AC ＝16，那么菱形ABCD 的面积为 ．4．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′＝______．5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ．C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点 D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．第3题 第4题 第5题三.解答题1.如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,点E,F 分别在边CD,DA 上,且CE=AF.求证:BE=BF.2．如图，在ABC △中，是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．（1）求证：BDE CDF △≌△．（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．3．如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．E DB A O4．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． （1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形．5．如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F ．（1）猜想：AD 与CF 的大小关系；（2）请证明上面的结论．6.如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ，请回答下列问题：（1）四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．B G A E F HD C A C DF。
精品讲义 八年级数学下册同步讲义--平行四边形
第十八章 平行四边形18.1 平行四边形的性质与判定例1.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O （0,0）、A （2,0）、B （1,1），则第四个顶点C 的坐标是多少?例2.如图所示,□AECF 的对角线相交于点O,DB 经过点O,分别与AE ，CF 交于B,D ．求证:四边形ABCD 是平行四边形．例3.如图所示,DB ∥AC,且DB=AC,E 是AC 的中点,求证:BC=DE ．例4.已知:如图,在平行四边形ABCD 中,E 是AD 的中点,连结BE 、CE ，∠BEC=900。
(1)求证:BE 平分∠ABC ；(2)若EC=4,且3 ABBE,求四边形ABCE 的面积.例5.如图,已知△ABC 是等边三角形,点D 、F 分别在线段BC 、AB 上,∠EFB=600，DC=EF ．（1）求证：四边形EFCD 是平行四边形； （2）若BF=EF ，求证：AE=AD ．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。
平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
总结：顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 ；顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是 ； 顺次连结矩形四边中点所得四边形是_________；顺次连结菱形四边中点所得四边形是_________；顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是_______。
由此猜想：顺次连结_______的四边形四边中点所得四边形是矩形； 顺次连结_______的四边形四边中点所得四边形是菱形。
即新四边形的形状与原四边形的_______有关。
平行四边形的性质讲义1
平行四边形的性质讲义1
【根底知识】
1.平行四边形的定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质
性质1：平行四边形的对边平行
性质2：平行四边形的对边相等
性质3：平行四边形的对角相等
3.回忆我们的学习经历，研究几何图形的一般思路是什么？给出图形定义一研究图形性质一探索图形判定条件
(1)有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
(2)平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；
【例题讲解】
1.平行四边形4¾力的周长为32,AB=4,那么BC=( )
A.4
B.12
C.24
D.28
2.如图，平行四边形力腼的对角线力。
与即相交于点0,JZLL4C,假设1后4,AC=6,那么勿的长是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
3.在平行四边形4?四中，如果N4+NQ140°,那么NC等于( )
A.20°
B.40o
C.60o
D.700
4.如图.，在平行四边形4809中,DE平分NADC,ADK,BE=2,那么平行.四边形力四的周长是.
5.平行四边形40中，乙仿。
的平分线交/1〃于点£,且力斤2,小1,那么平行四边形ZlM?的周长等于.
6.如图，在平行四边形的切中,E、£分别为边4反5的中点,连接应、BF,求证：XADE^RCBF.。
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学习好资料欢迎下载(1) 演变关系 :(2)从属关系:（一）平行四边形的性质1.平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等 ;（2）平行四边形的对角相等 , 邻角互补 ;（3）平行四边形的对角线互相平分 .（4）平行四边形是中心对称图形 , 对角线的交点是它的对称中心 ;3.平行四边形的面积平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.( 二) 平行四边形的判定1.平行四边形的判定方法 5 种：两组对边分别平行从边看一组对边平行且相等两组对边分别相等的四边形是平行四边形从角看 ------两组对角分别相等从对角线看 --- 对角线互相平分2.三角形中位线定理定义 :连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.定理 :三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半.结论 :三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;（三）矩形1.矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质（1）矩形对边平行且相等；（ 2）矩形四个角都是直角； (3) 矩形对角线互相平分且相等；（4）矩形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4.矩形的判定方法（1）有一个角是直角的平行四边形 ;（2）有三个角是直角的四边形 ;（3）对角线相等的平行四边形 .5.矩形的面积公式（类比平行四边形）：矩形面积=底×高（四）菱形1.定义 : 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质 : 菱形具有平行四边形的一切性质：（1）菱形四条边都相等; （ 2）菱形对角相等（3）菱形对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形 , 有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点 .3.判定 : （1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形；4.菱形的面积 :（1）类比平行四边形面积公式:底×高（2）两条对角线乘积的一半. 若a、b分别表示两条对角线的长,则S菱形=1ab2（五）正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.性质：（ 1）边 ------- 四条边都相等 , 对边平行 ;（2）角 -------四个角都相等且都是直角;（ 3）对角线 ----① 相等；② 互相垂直平分；③ 每一条对角线平分一组对角；④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.（4）是轴对称图形 , 有 4 条对称轴；是中心对称图形 , 对称中心是两条对角线的交点 .3.判定：（ 1）先证它是矩形 , 再证一组邻边相等；（ 2）先证它是菱形 , 再证一个角是直角 .4.面积：（ 1）正方形的面积等于边长的平方；（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.结论：周长相等的四边形中,正方形的面积最大.（六）梯形知识点1.定义：一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形.特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.2.等腰梯形的性质 : （ 1）等腰梯形两腰相等 , 两底平行；（2）等腰梯形同一底上的两个角相等；（3）等腰梯形两条对角线相等；（4）等腰梯形是轴对称图形 , 有一条对称轴 , 过两底中点的直线是它的对称轴 .3.等腰梯形的判定 : （ 1）定义：即先判定梯形 , 再证明两腰相等；（2）同一底上的两角相等的梯形；（3）对角线相等的梯形 .4.梯形的中位线定理（ 1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．※（ 2）结论：梯形的中位线平行于两底, 且等于两底和的一半 .5. 梯形的面积公式 : （1）S= 1( 上底+下底) ×高2※（ 2）S= 中位线×高解决梯形问题常用的方法在研究梯形的问题中,常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形．梯形中常用的辅助线：① 平移腰② 作高③ 平移对角线④ 延长两腰⑤有一腰中点时 ,作另一腰的平行线⑥有一腰中点时 ,常把一底的端点与中点连接并延长,与另一底的延长线相交⑦有底的中点时 ,常过中点作两腰的平行线A DE A DMMB FC B C EAD A DEB EC B C练习 11 ．菱形的定义： __________________ 的平行四边形叫做菱形．2 ．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______ ：还有：菱形的四条边 ______ ；菱形的对角线 ______ ，并且每一条对角线平分______ ；菱形的面积等于 __________________ ，它的对称轴是______________________________ ．3.若菱形的两条对角线长分别是 6cm ， 8cm ，则它的周长为 ______cm ，面积为______cm 2．4.如图，在菱形 ABCD中， E、F 分别是 AB、AC 的中点，如果 EF＝2，那么菱形ABCD的周长是5.如图，在菱形 ABCD中， E 是 AB 的中点，且 DE⊥ AB， AB＝4．求： (1) ∠ABC的度数； (2) 菱形ABCD的面积．6、菱形的两条对角线的长分别是6cm和 8cm，求菱形的周长和面积7、如图，已知四边形ABCD是菱形，点 E、 F 分别是边 CD、AD的中点，求证： AE=CFA FDEB C练习 21．正方形的定义：有一组邻边______ 并且有一个角是______ 的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______ ，又是一个特殊的有一个角是直角的 ______ ．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都 ______ ；四条边都 ______ 且__________________；正方形的两条对角线 ______ ，并且互相 ______ ，每条对角线平分______ 对角．它有 ______ 条对称轴．3.若正方形的边长为 a，则其对角线长为______4、如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为cm2．5、如图，正方形ABCD的边 CD在正方形ECGF的边 CE上，连接 BE、 DG，求证： BE=DGE FA DB C G6、已知：如图，正方形中，点、、N 分别在、、边上，＝，ABCD E M AB BC AD CE MN ∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．7．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交 BC于F．求证： BF＝EC．练习 31．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______ 的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______ 分别叫做上底、下底(与位置无关 ) ，梯形中不平行的两边叫做 ______ ，两底间的 ______ 叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______ ；两腰 ______ 的梯形叫做等腰梯形．2. 已知：如图，在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=72°，∠C=36°，AD=6cm，BC=15cm，求 CD的长A DB C3.在梯形 ABCD中， AD∥BC，对角线 AC⊥BD，且 AC=5cm， BD=12cm，则梯形中位线的长等于多少4. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知底AD=6cm ，BC=11cm ，腰 CD=12cm ，求这个直角梯形的周长．练习题 41.等腰梯形的性质：等腰梯形中 ______ 的两个角相等，两腰 ______ ，两对角线______ ，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______ 就是它的对称轴．2．等腰梯形的判定：______ 的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______ 的梯形是等腰梯形．3.等腰梯形的上、下底和腰分别是4cm、 10cm和 5cm，则此梯形的高为 ___________，面积为 ____________4、等腰梯形两底之和是10，两底差是4，一底角是45°，则其面积是多少 ?5、已知：如图，梯形ABCD中， AD∥BC， AB＝CD，延长 CB到 E，使 EB＝ AD，连结AE．求证： AE＝CA．四边形期末复习一、选填题1、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取 DE=DC，则∠ECB的度数是.2、如图，在ABCD中，已知 AB=9㎝， AD=6㎝， BE平分∠ABC交 DC边于点 E，则 DE等于㎝.2 题1题3、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①AB // CD ；② AB CD ；③ BC // AD ；④ BC AD ．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（）（A）6 种（B）5种（C）4种（D）3种4、如图，在△ ABC 中，点D、 E、 F 分别在边AB 、BC 、 CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥ BA ．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果BAC 90 ，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC 且AB AC ，那么四边形AEDF 是菱形其中，正确的有. （只填写序号）5、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于 O， AE⊥ BD于 E，∠DAE∶∠ BAE=3∶1，则∠EAC=_______.6、矩形ABCD的对角线AC、 BD交于 O，若△ ABC的周长比△ AOB的周长大10cm，则边AD的长是 _______.7、如图 , 菱形 ABCD边长为 4, ∠A=60°,E 、 F 分别为 AD、 BD的中点，点G在 DC上，△EGF的面积为．AECF．若AB＝3，则BC的长为8、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形（）2D．3A．1 B．2 C．学习好资料欢迎下载DCGE FA B5题7 题8 题9、等腰梯形的下底是上底的 3 倍，上底与高相等，则下底角的度数为.10、等腰梯形中位线等于它的腰长，若腰长等于5，则等腰梯形的周长是.11、等腰梯形ABCD中， AD∥BC， BD平分∠ ABC， BD⊥ CD于 D，若梯形的周长为35cm，则AD的长为cm.12、如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.O2O113、如图，正方形ABCD 中，M 是BC的中点， CM 2 ，点P是BD上一动点，则PM PC 的最小值是.14、如图，平行四边形中， E 是 CD的中点， F 是 AE的中点，FC与 BE交于 G．求证： GF＝ GC．15、若矩形ABCD的一条角平分线BE分 AD边为5cm和4cm两部分，求BE长和矩形 ABCD的面积 .学习好资料欢迎下载A D17、如图，在矩形ABCD中， E、 F 分别是边 BC、AB上的点，且EF＝ED， EF⊥ ED．GEB FC求证： AE平分∠BAD．18、 Rt △ABC，∠A=90°，∠B 的平分线交AC于 D，自 A 作 BC的垂线交BD于 E，自 D?作 DF?⊥BC，求证：四边形AEFD为菱形．19 、如图，已知ABCD 中，AE平分BAD，交DC于 E，DF BC于F，交AE于 G，且DF AD .（1）试说明DE BC ；（2 ）试问 AB 与DG FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由.20、如图，等腰梯形ABCD中， AD∥BC， AB=DC， AC⊥ BD，过 D 点作 DE∥AC交 BC的延长线于A DE点。
人教版初二下册数学第18章《平行四边形》讲义第12讲平行四边形-复习训练(有答案)
人教版初二下册数学第18章《平行四边形》讲义第12讲平行四边形－复习训练（有答案）对称 中心对称 中心对称轴对称图形 中心对称 轴对称图形 中心对称 轴对称图形第二局部 考点精讲精练考点一、平行四边形的性质及判定【知识要点】〔1〕、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性〔2〕、平行四边形判定方法〔3〕、三角形中位线【典型例题】例1、以下图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是〔 〕A 、菱形B 、矩形C 、正方形D 、平行四边形例2、如图,□ABCD 与□DCFE 的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,那么∠DAE 的度数为 例3、如图,在平行四边形ABCD 中,AB=4,∠BAD 的平分线与BC 的延伸线交于点E,与DC 交于点F,且点F 为边DC 的中点,DG ⊥AE,垂足为G,假定DG=1,那么AE 的长为〔 〕 A 、2 B 、4 C 、4 D 、8例4、平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点，A ，B ，D 的坐标区分是〔0，0〕〔5，0〕，〔2，3〕，那么顶点C 的坐标是〔 〕A 、〔3,7〕B 、(5,3)C 、(7,3)D 、 (8,2)〔例2〕 〔例3〕 〔例4〕例5、如图，E 是平行四边形内任一点， 假定S平行四边形ABCD ＝8，那么图中阴影局部的面积是〔 〕A 、3B 、4C 、5D 、6 例6、如图，将平行四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，点D 落在点G A yB CD处。
〔1〕求证：AE ＝AF〔2〕求证：△ABE ≌△AGF例7、如下图：四边形ABCD 是平行四边形，DE 平分BF ADC ,∠平分ABC ∠．试证明四边形BFDE 是平行四边形．例8、如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝5，以三边为边，在BC 的同侧区分作三个等边三角形即△ABD 、△BCE 、△ACF 。
〔1〕求证：四边形EFAD 是平行四边形；〔2〕求四边形EFAD 的面积。
平行四边形的判定--讲义
平行四边形的判定主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是( ) A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°B考点：平行四边形的判定金题精讲题一：在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是平行四边形应符合下列条件中的( ) A．AB∥CD，BC=AD B．AB=CD，OA=OCC．AB∥CD，OA=OC D．AB=CD，AC=BD考点：平行四边形的判定[:题二：已知，平面直角坐标系内有A、B、C三点，坐标分别为A(2，2)，B(3，0)，C(1，0)，若四边形ABCD 为平行四边形，则点D的坐标是．[:考点：平行四边形的判定题三：如图，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足为E、F，AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．B C考点：平行四边形的判定题四：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F．求证：四边形AECF是平行四边形．考点：平行四边形的判定思维拓展题一：如图所示，△ABC是边长为4cm的等边三角形，P是△ABC内的任意一点，过点P作EF∥AB分别交AC、BC于点E、F，作GH∥BC分别交AB、AC于点G、H，作MN∥AC分别交AB、BC于点M、N．试求EF+GH+MN的值．BF N考点：平行四边形的判定[:[:数理化][:平行四边形的判定讲义参考答案重难点易错点辨析题一：C．金题精讲题一：C．题二：(6，2)、(2，2)、(0，2)．题三：略．题四：略．思维拓展题一：8．。
平行四边形的性质和判定讲义(教师版)
平行四边形的性质和判定【知识梳理】一、什么是平行四边形？两组对边分别平行的四边形就是平行四边形．如图四边形ABCD ，AB CD AD BC ∥，∥，四边形ABCD 就是平行四边形二、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对称性平行四边形是中心对称图形平行四边形的周长与面积周长：邻边之和的2倍面积：底乘高（常利用面积相等来求线段的长）三、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形四、三角形中位线性质：三角形的中位线平行且等于第三边长的一半判定：点E 是三角形ABC △的中点，且DE BC ∥，则点D 为AB 中点【诊断自测】1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．3．四边形ABCD中，AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，当AD=cm时，四边形ABCD 是平行四边形．4．如图所示，DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，图中共有个平行四边形．【考点突破】类型一：平行四边形的性质例1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13B．17C．20D．26答案：B解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17．故选：B．例2、如图所示，在▱ABCD中，∠C=40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．答案：50°．解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠C=∠ABF．又∵∠C=40°，∴∠ABF=40°．∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠BEF=90°﹣40°=50°．故答案是：50°．例3、如图，▱ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是．答案：1＜a＜7．解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4﹣3＜AD＜4+3．即1＜a＜7；故答案为：1＜a＜7．例4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．类型二:平行四边形的判定例5、如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A 出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2s D．1s答案：B解析：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，根据题意得到12﹣3t=t，解得：t=3，故选B．例6、四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①∠ABC=∠ADC，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC，其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（）A．4组B．3组C．2组D．1组答案：B解析：如图，①∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠ABC=∠ADC，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形；②∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；③∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形；④∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形．∴其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有3组．故选B．例7、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．例8、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．答案：见解析解析：证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．类型三：平行四边形的性质和判定例9、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．答案：见解析解析：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．例10、如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．答案：见解析解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．例11、如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．答案：见解析解析：证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．类型三：中位线定理例12、如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE答案：B解析：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．例13、如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．答案：见解析解析：证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【易错精选】1．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°2．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2B．3C．4D．63．已知：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（0，﹣1）．点D在坐标平面内，且以A、B、C、D四个点构成的四边形是平行四边形，则这样的D点有个．4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当=时，四边形ADFE是平行四边形．【精华提炼】一、平行四边形的性质：平行四边形的的边：平行四边形的对边平行且对边相等平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定判定一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定五：对角线互相平分的四边形是平行四边形【本节训练】训练【1】如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC ⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm训练【2】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是（）A．OE=DCB．OA=OC C．∠BOE=∠OBA D．∠OBE=∠OCE训练【3】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC 为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．训练【4】在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE=3，若平行四边形ABCD的周长是16，则EC等于．基础巩固一．填空题1．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE 的面积为cm2．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10cm，则△DEF的周长是cm．3．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．4．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．5．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．二、选择题1．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5B．7C．9D．112．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm3．如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则ABCD的面积是（）A．30B．36C．54D．724．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE 的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=5，AM平分∠BAD，交BC于点M，点E，F分别是AB，CD的中点，DM与EF交于点N，则NF的长等于（）A．0.5B．1C．D．2三、简答题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=2DE，连接CF．判断四边形BCFE的形状，并证明．2．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB=12，AC=20．（1）求证：BD=DE；（2）求DM的长．巅峰突破1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．3．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AH⊥CD于H，M为AD的中点，MN ∥AB，连接NH，如果∠D=68°，则∠CHN=．4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．5．已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF 分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．参考答案【诊断自测】1、D解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项说法正确；D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，例如：等腰梯形，故本选项说法错误；故选：D．2、解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．3、5．解：当AD=5cm时，四边形ABCD是平行四边形，∵AB=7cm，BC=5cm，CD=7cm，AD=5cm，∴四边形ABCD是平行四边形，故答案为：5．4、3个.解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有▱ADFE、▱BFED、▱CFDE三个．故答案为：3个【易错精选】1、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．2、C解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．3、3解：如图，D点共有3个，故答案为：3．4、．解：当=时，四边形ADFE是平行四边形．理由：∵=，∴∠CAB=30°，∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，∴∠FEA=∠BAC，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．故答案为：．【本节训练】1、B解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．2、D解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，又∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE=DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE=∠OBA，∴选项A、B、C正确；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴选项D错误；故选：D．3、4解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．4、2解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠AEB=∠DAE，∵平行四边形ABCD的周长是16，∴AB+BC=8，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴BC=5，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2；故答案为：2．基础巩固一、填空题1、解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．2、解：∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，∴△DEF的周长=（AC+BC+AB）=×10=5．故答案为5．3、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．4、解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．5、解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．二、选择题1、解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC中点，∴DF=BC=2，DF∥BC，EF=AB=，EF∥AB，∴四边形DBEF为平行四边形，∴四边形DBEF的周长=2（DF+EF）=2×（2+）=7．故选B．2、解：∵▱ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OD+AD）﹣（OA+OB+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm．∴BC=AD=8cm．∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=BC=4cm；故选：B．3、解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则ADEM是平行四边形，∴DE=AM=9，ME=AD=10，又由题意可得，BM=BC=AD=5，则BE=15，在△BDE中，∵BD2+DE2=144+81=225=BE2，∴△BDE是直角三角形，且∠BDE=90°，过D作DF⊥BE于F，则DF==，∴S▱ABCD=BC•FD=10×=72．故选D．4、解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．5、解：过点M作MG∥AB交AD于点G，∵AD∥BC，AB∥MG，∴四边形ABMG是平行四边形，∴∠AGM=∠ABM．∵AM平分∠BAD，∴∠GAM=∠MAB，∴∠AMB=∠AMG．在△AGM与△ABM中，，∴△AGM≌△ABM，∴AB=AG=3，∴四边形ABMG是菱形，∴MC=5﹣3=2．∵EF∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，∴NF是△DCM的中位线，∴NF=MC=1．故选B．三、简答题1、证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE=BC，同理：FG∥BC，FG=BC，∴DE∥FG，DE=FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF=DG．2、（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAE∵AD⊥BD∴∠ADB=∠ADE=90°在△ADB与△ADE中∴△ADB≌△ADE∴BD=DE（2）∵△ADB≌△ADE∴AE=AB=12∴EC=AC﹣AE=8∵M是BC的中点，BD=DEDM=EC=4巅峰突破1、解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．2．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．3．解：连接MH，∵AH⊥CD于H，M为AD的中点，∴MH=AD=DM，∴∠D=∠MHD=68°，∵MN∥AB，∴∠NMH=∠MHD=68°，又∵MN=AB=AD，∴MN=MH，∴∠MHN=（180°﹣68°）÷2=56°，∴∠CHN=180°﹣∠DHM﹣∠MHN=56°．故答案为：56°4．解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形∴DQ=CP当P从B运动到C时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=21﹣2t∴16﹣t=21﹣2t解得t=5当P从C运动到B时，∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，CP=2t﹣21∴16﹣t=2t﹣21，解得t=，∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，即解得t=9（秒）若点P返回时，CP=2（t﹣），则解得t=15（秒）．故当t=9或15秒时，以C ，D ，Q ，P 为顶点的梯形面积等60cm 2；（3）当PQ=PD 时作PH ⊥AD 于H ，则HQ=HD∵QH=HD=QD=（16﹣t ）由AH=BP 得解得秒；当PQ=QD 时QH=AH ﹣AQ=BP ﹣AQ=2t ﹣t=t ，QD=16﹣t ，∵QD 2=PQ 2=t 2+122∴（16﹣t ）2=122+t 2解得（秒）；当QD=PD 时DH=AD ﹣AH=AD ﹣BP=16﹣2t ，∵QD 2=PD 2=PH 2+HD 2=122+（16﹣2t ）2∴（16﹣t ）2=122+（16﹣2t ）2即3t 2﹣32t+144=0∵△＜0，∴方程无实根，当点P 从C 向B 运动时，观察图象可知，只有PQ=PD ，由题意：2t ﹣26=（16﹣t ），t=．综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．5．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．第３１／３１页。
平行四边形的性质及判定(四边形)讲义
EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ； （2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。
(完整)平行四边形全部讲义
平行四边形1、平行四边形的性质考点一、平行四边形的概念（1）定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2） "表示，平行四边形ABCD ABCD”,读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。
（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质.①由定义知平行四边形两组对边分别平行；②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
（4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。
例1中，EF∥AB，GH∥BC,EF、GH相交于点P，写出图中的平行四边形.A E DG P HB F C考点二、平行四边形的性质（1）边的性质:平行四边形的对边平行且相等。
（2）角的性质:平行四边形的邻角互补，对角相等。
（3）对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。
例2中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.A BC D 考点三、平行四边形的对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分.例3中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10,则△OAB 的周长为_______。
练习题 一、感受理解1．已知 ABCD 的对角线交点,AC=10cm ，BD=18cm ，AD=•12cm ，•则△BOC•的周长是_______．2的对角线AC,BD 交于点O,△AOB 的面积为2,那么平行四边形ABCD 的面积为_____．3．已知平行四边形的两邻边之比为2:3，周长为20cm ，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________．4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1。