45 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词-艺考生文化课百日冲刺
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
解析 (1)全称命题的否定为特称命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0. 1 (2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋x ＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，
解析 (1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.
(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是( A.綈p：∀x∈R，x≤1 C.綈p：∀x∈R，x<1 B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1
p(x0)成立.
【训练 2】 命题 p：存在
π x∈0， ，使 2
sin x＋cos x> 2；命题 q：“∃x0∈(0，
＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题： (綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( A.1
1 (2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝ －m，由 f(x)min 4 1 1 ≥g(x)min，得 0≥4－m，所以 m≥4.
答案 (1)C
1 (2)4，＋∞
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
5 例1、已知命题p : x R, 使得 sin x ；命题q：x R, 2 C ________ 都有x 2 x 1 0, 下列结论中正确的是 __________D A.命题" p q" 是真命题 B.命题" p q" 是真命题 C.命题" p q" 是真命题 D.命题" p q" 是真命题
“有些” “有一个” “对某个” “有 的”等. 通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、
r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
3、全称命题与特称命题的改写
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x)
① 是真命题的为________.①p∨q;②p∧q.
5、已知命题P :" x [0,1]，a e x，命题q :" x R， x 2 4 x a 0" 若命题p q是真命题，则实数a的 C 取值范围是 __________ __ A.( 4,) B.[1,4] C.[e,4] D.( ,1]
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立.
简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
2、短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通 常叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有
1.如果命题“p或q”是真命题,命题“p且q” 是假命题,那么( C ) A. 命题p与命题q都是假命题 B. 命题p与命题q都是真命题
简单的逻辑联结词、全称量词及存在量词
分析命题所 【思路分析】 含量词
明确命题是全称命题还 对命题否定
→ 是存在性命题
→ 并判断真假
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0,使方程 x2＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m20＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. (2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等. 显然¬p 为假命题.
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等.假命题. p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等.假命题. ¬p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号不相同.真命题.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
【解】 p：Δ＝m2－4>0 ,解得 m>2. m>0
第一章 集合与常用逻辑用语
【规律小结】 (1)要证全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成 立,若是假命题,举一反例即可. (2)要证存在性命题是真命题,只要在限定集合中,找到一个元素使得命题成立即 可.
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第一章 集合与常用逻辑用语
考点3 全称命题与存在性命题的否定 全称(存在性)命题的否定与命题的否定有着一定的区别,全称命题的否定是将全 称量词改为存在量词,并把结论否定.存在性命题的否定是将存在量词改为全称 量词,并把结论否定;而命题的否定是直接否定其结论.
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第一章 集合与常用逻辑用语
例2
判断下列命题的真假.
(1)∀x∈R,x2－x＋1>12;
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．题组二教材改编2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析p和q显然都是真命题，所以非p，非q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是____________________．答案存在一个正方形，这个正方形不是矩形题组三易错自纠4．已知命题p，q，“非p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由非p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而非p为假，故“非p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．(2017·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0答案 C解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题．故选C.6．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(非p )∧(非q ) D ．p ∨(非q )答案 A解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A.2．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．(非p )∧(非q )答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴非p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴非q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，(非p )∧q 为假命题，(非p )∧(非q )为假命题． 故选B.3．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，有以下命题： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(非p )∨(非q )为假． 其中，正确的是________．(填序号) 答案 ②解析 命题p 是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“非p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23x x <；p 2：∃x 0∈(0,1)，101023log log x x >；p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x ＞12log x ；p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x ＜13log x . 其中真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4答案 D 假命题；对于p 4，结合指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x与对数函数y ＝13log x 在⎝⎛⎭⎫0，13上的图象，可以判断p 4是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01()3x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01()3x ≤0答案 D解析 全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2 答案 D解析 特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2”． 思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练 (1)下列命题是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β B ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 答案 B解析 取α＝π2，β＝－π4，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，A 正确；取φ＝π2，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，B 错误； 对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋122－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知，选B.(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≤0”，则非p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x －x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得非p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参命题中参数的取值范围典例 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 答案 [－12，－4]∪[4，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)答案 B解析 原命题的否定为∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，即－1＜a ＜3.(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫45，1解析 由2x <m (x 2＋1)，可得m >2xx 2＋1，又x ∈⎣⎡⎦⎤14，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45，故当p 为真时，m >45；函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2， 令f (x )＝0，得2x ＝2－m －1，若f (x )存在零点， 则2－m －1>0，解得m <1，故当q 为真时，m <1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫45，1.常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ＜0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧q C ．p ∧(非q ) D ．(非p )∧(非q )答案 B解析 因为3x ＞0，当m ＜0时，m －x 2＜0， 所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫13＝19－⎝⎛⎭⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(非p )∧q 为真命题，故选B. 二、充要条件的判断典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 若A ＝B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B ，故选B.(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [e,4]解析 命题“p ∧q ”是真命题，p 和q 均是真命题．当p 是真命题时，a ≥(e x )max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，所以a ∈[e,4]．(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，3，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意知f (x )min ≥g (x )min ，即4≥a ＋4，∴a ≤0.1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．p ∧(非q )答案 D解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x ＞0恒成立，故p 为真命题；因为当x ＞1时，x ＞2不一定成立，反之，当x ＞2时，一定有x ＞1成立，故“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件，故q 为假命题．则p ∧q ，非p 为假命题，非q 为真命题，(非p )∧(非q )，(非p )∧q 为假命题，p ∧(非q )为真命题，故选D.2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．非q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C. 3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 C ．∀x ∈R ，3x ＞0 D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0 答案 B解析 对于A ，令f (x )＝x －sin x ，则f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，则f (x )＞f (0)＝0，即x ＞sin x ，故A 正确；对于B ，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2＜2知，不存在x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝2，故B 错误；对于C ，易知3x ＞0，故C 正确；对于D ，由lg 1＝0知，D 正确．故选B.4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)答案 C解析 由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C.5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q答案 A解析 对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得02x ＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(非q )为真命题，故选A.6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( )A ．命题p ∧q 是真命题B ．命题p ∧(非q )是真命题C ．命题(非p )∧q 是真命题D ．命题(非p )∨(非q )是假命题答案 C解析 因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题．由此对照各个选项，可知命题(非p )∧q 是真命题．7．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件答案 D解析 因为y ＝e x ＞0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确；因为当x ＝－5时，2－5＜(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a ＞1，b ＞1时，显然ab ＞1，D 正确．8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若非p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)答案 D解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以非p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0， 则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4. 9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为____________________． 答案 ∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋1解析 因为p 是非p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．10．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________.答案 0解析 若“∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＋f (－x 0)≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0.11．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 ∵x 2－3x ＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x 0∈Q ，使得x 20＝2，∴②为假命题；对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.12．(2017·江西五校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(非q )∧p ”为真，则x 的取值范围是___．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(非q )∧p ”为真，即q 假p 真，而当q 为真命题时，13－x －1＝－x －2x －3>0，即2<x <3，所以当q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}．14．下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧(非q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(非q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(非q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．答案 [0,2]解析 若p ∨(非q )为假命题，则p 假q 真．由e x －mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0， 设f (x )＝e x x，x ≠0，则 f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2， 当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e x x在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e x x在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e x x的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e. 当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p ∨(非q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)． (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞)．(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3]．。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题[常用结论与微点提醒]1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修1－1P26A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是()A.綈p：∀x∈R，x≤1B.綈p：∃x∈R，x≤1C.綈p：∀x∈R，x<1D.綈p：∃x∈R，x<1解析特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1.答案 A3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lg x0＝1B.∃x0∈R，sin x0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R ，2x ＞0，则D 为真命题.故选C.答案 C4.(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧qD.(綈p )∧(綈q )解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0， ∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 是真命题，綈p 为假命题.∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，∴q 为假命题，綈q 为真命题.根据真值表可知p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题.答案 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A.p ∨qB.p ∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )(2)(2018·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.(綈p )∧q解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ，∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题.综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题.又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题.∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题.(2)命题p ：当a ＝0时，有1>0恒成立；当a ≠0时 ，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解之得0<a <4. ∴实数a ∈[0，4)，因此p 假，綈p 是真命题.命题q ：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，q 为真命题.故(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)A (2)D规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.【训练1】(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为()A.p∧qB.p∨qC.p∧(綈q)D.綈q解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，∴命题p是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题. 答案 B考点二含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(綈p )∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 (1)全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0.(2)对于p ：当x ＝－1时，x ＋1x ＝－2，∴p 为假命题.取x 0∈(0，1)，此时x 20＞x 30，∴q 为真命题.从而綈p 为真命题，(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)D (2)A规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立.【训练2】 命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：( 綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e ，4]D.(－∞，－1) (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转化为恒成立问题含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是_________________________________________.解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2018·咸阳模拟)命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题綈p为()A.∃x0<0，x20≥2x0B.∃x0≥0，x20<2x0C.∃x0<0，x20<2x0D.∃x0≥0，x20≥2x0解析全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴綈p：∃x0<0，x20<2x0.答案 C2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n解析命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n.答案 C3.若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是()A.p∨(綈q)B.p∧qC.(綈p)∧qD.p∨q解析命题p和命题q都是假命题，则命题綈p和命题綈q都是真命题，故选A.答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(綈p )∨(綈q )B.p ∨(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.p ∨q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A.答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( )A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题.答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0，则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0, ∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2；则④为假命题.答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1，命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0，∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞). 答案 D二、填空题9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>210.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题.其中为真命题的是________(填序号).解析 显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确；④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误.答案 ①②③12.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.答案 B15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________.解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max .∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数，∴g (x )max ＝8＋a ， 因此172≤8＋a ，则a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。
高考专题练习： 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断2.(1)全称量词和存在量词常用结论(1)含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与﹁p→真假相反．(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．(3)“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”，“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”．(4)逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．()(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．()(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．()(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√二、易错纠偏常见误区|(1)全称命题或特称命题的否定出错；(2)不会利用真值表判断命题的真假；(3)判断命题真假时忽视对参数的讨论．1．命题“正方形都是矩形”的否定是________．答案：存在一个正方形，这个正方形不是矩形2．已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若1x＞1y，则x＜y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是________．(填序号)解析：由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q 为假命题；②p∨q为真命题；③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题；④﹁p为假命题，则(﹁p)∨q为假命题．答案：②③3．若p：∀x∈R，ax2＋4x＋1>0是假命题，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，4]含有逻辑联结词的命题的真假判断(自主练透)1．命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．﹁p解析：选B ．取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故﹁p 为真命题，p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②﹁p ∨q ③p ∧﹁q ④﹁p ∧﹁q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：选A ．通解：作出不等式组表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，直线2x ＋y ＝9和直线2x ＋y ＝12均穿过了平面区域D ，不等式2x ＋y ≥9表示的区域为直线2x ＋y ＝9及其右上方的区域，所以命题p 正确；不等式2x ＋y ≤12表示的区域为直线2x ＋y ＝12及其左下方的区域，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．优解：在不等式组表示的平面区域D 内取点(7，0)，点(7，0)满足不等式2x ＋y ≥9，所以命题p 正确；点(7，0)不满足不等式2x ＋y ≤12，所以命题q 不正确．所以命题p ∨q 和p ∧﹁q 正确．故选A ．3．(2020·高考全国卷Ⅱ)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.则下述命题中所有真命题是________．(填序号)①p1∧p4②p1∧p2③﹁p2∨p3④﹁p3∨﹁p4解析：方法一：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则由l1∩l2＝A，知l1，l2共面，设此平面为α，由B∈l2，l2⊂α，知B∈α，由C∈l1，l1⊂α，知C∈α，所以l3⊂α，所以l1，l2，l3共面于α，所以p1是真命题．对于p2，当A，B，C三点不共线时，过A，B，C三点有且仅有一个平面；当A，B，C三点共线时，过A，B，C的平面有无数个，所以p2是假命题，﹁p2是真命题．对于p3，若空间两条直线不相交，则这两条直线可能平行，也可能异面，所以p3是假命题，﹁p3是真命题．对于p4，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l，所以p4是真命题，﹁p4是假命题．故p1∧p4为真命题，p1∧p2为假命题，﹁p2∨p3为真命题，﹁p3∨﹁p4为真命题．综上可知，真命题的序号是①③④.方法二：对于p1，由题意设直线l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，则A，B，C三点不共线，所以此三点确定一个平面α，则A∈α，B∈α，C∈α，所以AB⊂α，BC⊂α，CA⊂α，即l1⊂α，l2⊂α，l3⊂α，所以p1是真命题．以下同方法一．答案：①③④判断含有逻辑联结词命题真假的步骤全称命题与特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定(1)(2021·成都市诊断性检测)已知命题p ：∀x ∈R ，2x －x 2≥1，则﹁p为( )A ．∀x ∉R ，2x －x 2＜1B ．∃x 0∉R ，2x 0－x 20＜1C ．∀x ∈R ，2x －x 2＜1D ．∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1(2)(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，x 13≠x 15，则﹁p 为( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 15B ．∀x ∈(0，＋∞)，x 13＝x 15C ．∃x 0∈(－∞，0)，x 130＝x 15D ．∀x ∈(－∞，0)，x 13＝x 15【解析】 (1)全称命题的否定是特称命题，所以﹁p ：∃x 0∈R ，2x 0－x 20＜1.(2)由全称命题的否定为特称命题知，﹁p 为∃x 0∈(0，＋∞)，x 130＝x 150，故选A ．【答案】 (1)D (2)A全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定． 角度二 全称命题、特称命题的真假判断(1)下列命题中的假命题是( )B ．∀x ∈R ，2x －1＞0C ．∃x 0∈R ，lg x 0＜1D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，e x ＞0 B ．∀x ∈N ，x 2＞0 C ．∃x 0∈R ，ln x 0＜1D ．∃x 0∈N *，sin π2x 0＝1【解析】 (1)A 显然正确；由指数函数的性质知2x －1＞0恒成立，所以B 正确；当0＜x ＜10时，lg x ＜1，所以C 正确；因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以－2≤sin x ＋cos x ≤2，所以D 错误．(2)对于B ．当x ＝0时，x 2＝0，因此B 中命题是假命题． 【答案】 (1)D (2)B全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真 所有对象使命题为真 否定为假 假 存在一个对象使命题为假 否定为真 特称命题真 存在一个对象使命题为真 否定为假 假所有对象使命题为假否定为真[提醒] 因为命题p 与﹁p 的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．1．下列命题正确的是( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0 B ．x >1是x 2>1的充分不必要条件D ．若a >b ，则a 2>b 2解析：选B ．对于x 2＋2x ＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3＝0错误，即A 错误；x 2>1⇔x <－1或x >1，故x >1是x 2>1的充分不必要条件，故B 正确； 当x ≤1时，x 3≤x 2，故∀x ∈N ，x 3>x 2错误，即C 错误； 若a ＝1，b ＝－1，则a >b ，但a 2＝b 2，故D 错误．故选B ． 2．已知f (x )＝sin x －x ，命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0 C ．p 是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0D ．p 是真命题，﹁p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0解析：选C ．易知f ′(x )＝cos x －1<0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，因为f (0)＝0，所以f (x )<0，所以命题p ：∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0是真命题，﹁p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0，故选C ．由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围．【解】 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞)．【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．解：依题意知p ，q 均为真命题，当p 是真命题时，有m ＜0； 当q 是真命题时，有－2＜m ＜2， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－2＜m ＜2，可得－2＜m ＜0. 【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求实数m 的取值范围．解：若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 一真一假． 当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2；当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2＜m ＜2，所以0≤m ＜2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题转化为存在性问题． (2)含逻辑联结词问题：①求出每个命题是真命题时参数的取值范围； ②根据题意确定每个命题的真假；③由各个命题的真假列关于参数的不等式(组)求解．1．若命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 解析：因为命题“∃t ∈R ，t 2－2t －a <0”为假命题，所以命题“∀t ∈R ，t 2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.答案：(－∞，－1]2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－a4≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p 真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．答案：(－∞，－12)∪(－4，4)[A级基础练]1．命题“∀x＞0，xx－1＞0”的否定是()A．∃x＜0，xx－1≤0B．∃x＞0，0≤x≤1C．∀x＞0，xx－1≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1解析：选B．因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B．2．已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为()A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数解析：选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．3．已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B．充分性：若﹁p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则﹁p为假命题．所以“﹁p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．4．已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是()A．“p∨q”为真命题B．“p∧q”为真命题C．“﹁p”为真命题D．“﹁q”为假命题解析：选A．由a＞|b|≥0，得a2＞b2，所以命题p为真命题．因为x2＝4⇔x ＝±2，所以命题q为假命题．所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“﹁p”为假命题，“﹁q”为真命题．综上所述，可知选A．5．(2021·广州市阶段训练)已知命题p：∀x∈R，x2－x＋1＜0；命题q：∃x ∈R，x2＞2x.则下列命题中为真命题的是()A．p∧q B．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)解析：选B．当x＝1时，x2－x＋1＝1＞0，所以p为假命题，﹁p为真命题．当x＝3时，x2＞2x，所以q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q为假命题，(﹁p)∧q 为真命题，p∧(﹁q)为假命题，(﹁p)∧(﹁q)为假命题，故选B．6．已知命题p：f(x)＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：g(x)＝x cos x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是()A．﹁p B．qC．p∧q D．p∧(﹁q)解析：选D ．对于f (x )＝x 3－ax ，有f (－x )＝(－x )3－a (－x )＝－(x 3－ax )＝－f (x )，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p 为真命题；对于g (x )＝x cos x ，有g (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－g (x )，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q 为假命题，则﹁p 为假命题，p ∧q 为假命题，p ∧(﹁q )为真命题，故选D ．7．已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D ．因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D ．8．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C ．函数f (x )不是偶函数，仍然有∃x ∈R ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（x ≥0），－x 2（x ＜0）在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C ．9．已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(﹁q )；④(﹁p )∨(﹁q )，其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C．由于Δ＝4a2＋4＞0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真命题；当x＜0时，f(x)＝x＋4x的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．10．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为____________________．解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．答案：∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋111．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3<x<－1，得x＝－2.答案：－212．已知命题p：f(x)＝1－2mx2在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是________；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．解析：对于命题p，由f(x)＝1－2mx2在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<12；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m 的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，所以m<12；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥12；若q为假，则m≥0，所以m≥0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [)0，＋∞ [B 级 综合练]13．(2020·河北九校第二次联考)下面有四个命题：①“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；②命题“若θ＝π6，则cos θ＝32”的否命题是“若θ＝π6，则cos θ≠32”；③“ln m ＜ln n ”是“e m ＜e n ”的必要不充分条件；④若命题p 为真命题，q 为假命题，则p ∨q 为真命题．其中所有正确命题的序号是( )A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④解析：选C ．由全称命题的否定可知，命题①正确；否命题是对条件和结论都进行否定，故否命题应是“若θ≠π6，则cos θ≠32”，命题②错误；ln m ＜ln n⇒0＜m ＜n ⇒e m ＜e n ，e m ＜e n ⇒m ＜n ，当m ，n 均为负数时，ln m 和ln n 无意义，则推不出ln m ＜ln n ，因此“ln m ＜ln n ”是“e m ＜e n ”的充分不必要条件，所以命题③错误；当p 为真命题或q 为真命题时，命题p ∨q 就为真命题，命题④正确．故选C ．14．(2021·贵阳市四校联考)给出下列三个命题：①命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则﹁p ：∃x 0∈R ，sin x 0＞1；②在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则角A 与角B 相等；③命题：“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题是假命题． 以上正确命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：选C ．①中，根据全称命题的否定为特称命题，知﹁p ：∃x 0∈R ，sin x 0＞1，故①正确；②中，在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则有2A ＝2B 或2A ＋2B＝π，所以角A与角B相等或互余，故②错误；③中，因为命题：“若tan x＝3，则x＝π3”是假命题，所以其逆否命题是假命题，故③正确．综上所述，正确命题的序号是①③，故选C．[C级提升练]15．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为()A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名解析：选D．由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p 为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D．16．能够说明命题p：∃x0∈R，x20＋2ax0＋a≤0是假命题的一个实数a是________．解析：因为p为假命题，所以﹁p为真命题．又﹁p：∀x∈R，x2＋2ax＋a＞0，故Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，可取a＝12(区间(0，1)内的数均可)．答案：12(答案不唯一，在区间(0，1)内任一数均可)。
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【知识重温】
一、必记3个知识点
1．简单的逻辑联结词
(1) 命 题 中 的 ________
_________ 叫 做 逻 辑 联 结
判断真假 、 __________
判断为真 、判断为假
词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
真
真
p且q
若q，则p
1
－x
＋e ≥2，命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0 ＝ ，则下列判断正确的是
2
(
)
A．p∧q是真命题
B．(綈p)∧(綈q)是真命题
C．p∧(綈q)是真命题
D．(綈p)∧q是真命题
1
x
－x
x
解析：因为e ＋e ＝e ＋ ≥2成立，所以命题p是真命题；又由
e
1
2x0 ＝ ＝2 － 1 ，得x0 ＝－1∉(0，＋∞)，所以命题q是假命题．所以
______
真
假
______
綈q，则綈p
假
假
真
假
假
假
p或q
若______
p，则綈q
真
____
没有关系
____
必要
非p
假
相同
__
____
充分
____
真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任何一个”在逻辑中通常叫做全
充分不必要
称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做________.
不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，
可先判断其否定的真假.
命题
简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
2．正确区别：命题的否定与否命题 “否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论 分别加以否定而得到的命题， 它既否定其条件， 又否 定其结论；“命题的否定”即“非 p”，只是否定命 题 p 的结论． 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中 有且只有一个为真， 而原命题与否命题的真假无必然 联系．
[10 分] [12 分]
1 c| <c<1. 综上所述，实数 c 的取值范围是 2
[14 分]
答题模板
第一步：求命题 p、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题￢p、￢q 对应的参数的范围． 第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 真 q 假”或“p 假 q 真”． 第四步：根据新命题，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
要点梳理
3．命题的否定
忆一忆知识要点
(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否 定是全称命题． (2)“p 或 q”的否定为：“非 p 且非 q”； “p 且 q”的否定为：“非 p 或非 q”．
[难点正本 疑点清源] 1．逻辑联结词“或”的含义有三种 逻辑联结词中的 “ 或 ” 的含义，与并集概念中的 “或”的含义相同． 如“x∈A 或 x∈B”， 是指： x∈A 且 x∉B；x∉A 且 x∈B；x∈A 且 x∈B 三种情况．再 如“p 真或 q 真”是指：p 真且 q 假；p 假且 q 真；p 真且 q 真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或” 时，要注意分析三种情况．
9 ②若 q 正确，则 ax ＋(a－2)x＋ >0 解集为 R. 8 9 当 a＝0 时，－2x＋ >0 不合题意，舍去； 8 a>0 1 9 当 a≠0 时，则 ，解得 <a<8. 2 2 (a－2) －4a× <0 8
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（四十五） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．若p 是真命题，q 是假命题，则
q p A ∧⋅是真命题 q p B ∨⋅是假命题 p C ⌝.是真命题 q D -⋅是真命题
2．给出下列四个命题：
;0432,2>+-∈∀x x R x ①+-∈∀x x 2,.},1,1{②;01>,N x ∈∃③使*,;2N x x x ∈∃≤④使x 为29的约数．其中正确的命题有
A.l 个
B.2个
C.3个
D.4个
3．下列命题中，真命题是
2cos sin ],2,0[.≥+∈∃x x x A π
12),,3(.2+>+∞∈∀x x x B 1,.2-=+∈∃x x R x C x x x D sin tan ),,2
(.>∈∀ππ 4．已知命题p ：集合i N n i
x x n ,,|{12∈=+为虚数单位}只有3个真子集；q:集合},1|{2R x x y y ∈+=与集合}1|{+=x y x 相等．则复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③非p ；④非g 中，真命题有
A.O 个
B.l 个 G.2个 D.3个
5．设集合},0|{},02|{<∈=>-∈=x R x B x R x A =C },0)2(|{>-∈x x R x 则
”是“B A x ∈ ”“C x ∈的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．下列命题是真命题的有
;04
1,:2≥+-∈∀x x R x p ① ②q ：所有的正方形都是矩形； ;022,:2≤++∈∃x x R x r ③ ④ S ：至少有一个实数x ，使.012=+x
A.l 个
B.2个
C.3个
D.4个
7．命题“存在,z x ∈使,,022≤++m x x 的否定是
A ．存在,Z x ∈使022>++m x x
B ．不存在,z x ∈使022>++m x x
C ．对任意02,2≤++∈m x x Z x
D ．对任意02,2>++∈m x x Z x
8．命题p ：若,,R b a ∈则0=ab 是0=a 的充分条件，命题q ：函数3-=x y 的定义域是),,3[+∞则∨p ”
”、“∧”、“p q p q ⌝中是真命题的有 9．给出以下命题：
①有一个α，使得;tan )90tan(αα=- ②存在实数x ，使得;2sin π
=x ③对一切=-)180sin(,ααo
;sin α,4560cos 45cos 60sin 15sin o o m
s -=④其中既是真命题，又是存在性命题的是 10.已知命题,032,:2
>++∈∀x ax R x p 如果命题p ⌝是真命题，那么实数a 的取值范围是
11.若,01:)(,cos sin :)(2>++>+mx x x s m x x x r 如果对任意的)(,x r R x ∈为假命题且)(x s 为真命题，则实数m 的取值范围是。