电磁场与电磁波第7章、导行电磁波
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电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
电动力学教程 第7章 导行电磁波
对于TEM波，λc=∞，
0 g r r
7.2 矩形波导
矩形波导的结构如图所示，假定其内的填充介质为理想
介质。矩形波导内只能传播TE波或TM波而不能传播TEM波。 7.2.1 矩形波导中的TM波
2 Ez 2 Ez 2 k c Ez 0 2 2 x y
Ez ( x, y ) X ( x)Y ( y )
1 2
m n a b
2
2
截止波长
c
fc
2 m n a b
2 2
式中 v 1/ 为无限大介质中的电磁波的波速。
截止状态
当工作频率低于截止频率时，即 f < fc，γ为正实数，此
3. 横磁波(TM波)
7.1.1 横电磁波(TEM波)
根据纵横关系，横向场分量不为0的条件是
2 γTEM k2 0
即
γTEM jk jω με
定义 ：导行波的波阻抗 Z
导波系统中，沿波的传播方向构成右手螺旋关系的横 向电场和横向磁场之比，即 x
Ey Ex Z Hy Hx
z
y
m n kc k k a b
2 x 2 y
在矩形波导中TE波的传输常数为
2 2 kc2 k 2 k x ky k2
m n 2 a b
2
2
(2) 当y=0时，Ez=0，
Ez c2c3 sin kx x 0
欲使上式对所有 x值都成立，则c3应为零。此时c2不能为零， 因为若c2等于零，则Ez在非边界处也恒为零，这与TM波的 情况不符，因此只能取c3等于零。
《电磁场与电磁波》课件第七章
1
0 0
ln
D
d
120 ln
D
D d
2
2
d
300
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7-3 无损传输线的工作状态
• 一、波的反射 • 二、传输线中电压波的特点
• 三、传输线与负载的阻抗匹配
• 四、例题
一、波的反射
V ( z ) V0 e
I (z)
j z
V ( z ) V0 e
a
E 0 ( x , y ) dl V0e
jkz
任一导体在位置z处的电流为：
H ( x , y , z ) H 0 ( x , y )e
jk z z
I(z)
H ( x , y , z ) dl
l
I(z) e
jkz
l
H 0 ( x , y ) dl I 0e
I (z)
j z
V
0
e
j z
V0
e
j z
ZC
Rg
ZC
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Eg
ZC
ZL
z
V V
定义终端电压反射系数为：
(z 0) (z 0)
V0 V0
z0
传输线上各点的电压和电流分别为： 在z=0处
V ( z ) V (e
0 j z
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e
j
j z
)
E 1 x E 0 (e
i
jk 1 z
Re
j
电磁场与电磁波第七章
2.TE波和TM波 若电场在电磁波传播方向上的分量 Ez= 0 ，即电场仅在横
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
截面内，则此种波型称为横电波，简称 TE 波或 H 波。 若磁场在电磁波传播方向上的分量 Hz= 0 ，即磁场仅在横截面
内，则此种波型称为横磁波，简称 TM 波或 E 波。 TE 波和 TM 波的 kc 0。常用的TE波和TM波传输系统是单导
其中
T
1 k c2
h1u1
h2u2
h2 u 2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的 场结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
决于传播常数 ，而 满足关系：
2
k
2 c
k2
（7-2-1）
对于无损耗的理想导行系统, k 2 是实数， 为工作
波长，kc 是由导行系统边界条件和传输模式所决定的本征值，也
是实数。令 kc c
2 c
，c 称为截止波长。因此，随着工作
波长的不同， 2 的取值有三种可能，即 2 > 0， 2 < 0, 2 = 0。
E(u1 ,u2 , z) E(u1 ,u2 ) e- z （7-1-2a）
H (u1 ,u2 , z) H (u1 ,u2 ) e- z （7-1-2b）
第七章 导行电磁波
拉普拉斯算子可写为
2
2 T
2 z 2
（7-1-3）
将式（7-1-2）和（7-1-3）代入式（7-1-1），可得 E (u1, u2)、 H (u1, u2) 满足的方程为
电磁场与电磁波理论第7章
7-3
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 常见的传输线的——平行双线、同轴线、微带线、波导管、 介质棒等等.
7-4
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
传输线的基本概念
♥ 传输线〔波导〕——用来引导电磁波做定向传播的一种导 波结构.
♥ 导行电磁波〔导波〕——在传输线引导下做定向传播的电 磁波.
第7章均匀波导中的导行电磁波
横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
广义柱坐标系 四点假设 纵向场和横向场的导波方程
7-7
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
纵向场和横向场的导波方程
♥ 导行电磁波的纵向场和横向场
——导行电磁波的纵向场 ——导行电磁波的横向场
7-8
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
♥ 矩形波导中传播的模式必须满足的条件是
〔〕
◘ 对于给定频率的激励源,有可能产生许多的模式,但是只有 满足传播条件的模式才能在波导中传播.反之,要使某一种 模式能在波导中传播,其工作频率必须满足传播条件.
◘ 矩形波导的截止频率不仅与波导的尺寸有关,还与模指数有 关.因此,当波导的尺寸一定时,随着工作频率的的改变,矩形 波导可以多模传播,也可以单模传播,甚至也可以处于截止 状态〔没有模式可以传播〕.
7-24
《电磁场与电磁波理论》
第7章均匀波导中的导行电磁波
1. 矩形波导中的TE模
♥ 矩形波导中的TE模的纵向场的解的特点
◘ 由于有无穷多组解,所以有无穷多个TE模；
◘ 每一对 值都对应着一种波型,故称之为 模；
◘
被称为波型指数或模指数；
2020年电磁场与电磁波第七章
如图所示矩形波导，宽边尺寸为a，窄边尺寸为b。
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：
Ex Hy
j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H
1 ZTM
ez
E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx
kc
2
H z x
,Hy
kc2
H z y
Ex
j
kc2
H z y
, Ey
j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y
jEx
H z x
H x
jE y
H y x
H x y
jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx
1 kc2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
1 kc2
f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2
ZTM
波导内填充介电参数为 , 的理想媒质，波导
壁为理想导体。由于矩形波导是单导体波导，故 不能传输TEM波。 7.2.1 矩形波导中的场分布 1. 矩形波导中TM波的场分布 对于TM波，因为 H z 0，波导中的电磁场量由 Ez 决定。在给定的矩形波导中，Ez 满足下面的波动 方向和边界条件：
Ex Hy
j
1
1
Hx
ZTM
Ey, Hy
ZTM
Ex
即：
H
1 ZTM
ez
E
2. 横电波(TE波)
在传播方向上没有电场分量，即 Ez 0 ,
Hx
kc
2
H z x
,Hy
kc2
H z y
Ex
j
kc2
H z y
, Ey
j
E y x
Ex y
jH z
H z y
H y
jEx
H z x
H x
jE y
H y x
H x y
jEz
可以将上面六式中的横向分量由纵向分量 给出：
式中
Hx
1 kc2
(
H z x
j
Ez y
)
Hy
1 kc2
f
v v 1 ( fc )2
f
其中 v 是无界空间的相速度
波阻抗：
波阻抗：
k 1 ( fc )2
ZTM
电磁场与波课件教学PPT-第七章 导行电磁波-精品文档
2Exk2Ex0， 2Hxk2Hx0 —— 横向场方程 2Eyk2Ey0， 2Hyk2Hy0
2 E z k 2 E z 0 ， 2 H z k 2 H z 0—— 纵向场方程
利用解形式化简为：
由于
Ez(x,y,z)Ez(x,y)ez Hz(x,y,z)Hz(x,y)ez
xa
O
边界条件：Ez |x00 Ez |xa0 Ez |y00 Ez |yb0
分离变量法求解偏微分方程： E z(x,y)f(x)g(y)
第七章 导行电磁波
16
电磁场与电磁波
偏微分方程化为微分方程求解：
f
(x)kx2
f
(x)
0
g(y)ky2g(y) 0
f(0)0, f(a)0 g(0)0, g(b)0
H z y
)
Ex
k
1
2 c
(
E z x
j
H z) y
Ey
1
k
2 c
(
E z y
j
H z) x
kc2 2 k2
9
电磁场与电磁波
2. 场方程（分析方法）
根据亥姆霍兹方程 2 E k 2 E 0 ， 2 H k 2 H 0 其场分量形式即为：
电磁场与电磁波
分类分析时变电磁场问题
共性问题
个性问题
0 t
电磁波的
j 典型代表 t
均匀平面波
电磁波的 传输
波导
电磁波的 辐射
天线
第4章
√
第5、6章
√√
第7章
第七章 导行电磁波
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)课后习题-第7章 导行电磁波【圣才出品】
第7章 导行电磁波（一）思考题7.1 什么是导波系统？什么是均匀导波系统？答：导波系统是指引导电磁波沿一定方向传播的装置。
均匀导波系统是指在任何垂直于电磁波传播方向的横截面上，导波装置具有相同的截面形状和截面面积及介质特性。
7.2 写出均匀导波系统中的纵向场分量与横向场分量的关系。
答：均匀导波系统中纵向场分量与横向场分量的关系：7.3 写出矩形波导中纵向场分量Ez 、H z 满足的方程和边界条件。
答：矩形波导中E z 满足下面的波动方程和边界条件：H z 满足下面的波动方程和边界条件：7.4 沿均匀波导传播的波有哪三种基本模式？答：横电磁波（TEM），横磁波（TM），横电波（TE）。
7.5 波阻抗的定义是什么？答：波阻抗在数值上等于与传播方向垂直的横截面内，相互垂直的电场与磁场分量之比。
7.6 试叙述均匀导波系统中的TEM波、TM波和TE波的传播特性。
答：在均匀导波系统中，（1）TEM波的传播特性：传播常数相速度波阻抗（2）TM波的传播特性：E z满足标量波动方程其传播条件f＞f c（或λ＜λc）传播常数波导波长相速度波阻抗（3）TE波的传播特性H z满足标量波动方程，其传播条件，传播常数，波导波长，相速度和TM波的形式相同。
波阻抗7.7 写出a×b矩形波导中TM波和TE波的截止波数、截止频率、相位常数、波导波长、相速度、波阻抗及传播条件。
答：a×b矩形波导中TM波和TE波截止波数截止频率相位常数波导波长相速度波阻抗传播条件f＞f c（或λ＜λc）7.8 矩形波导中的波是否存在色散？答：矩形波导中的波存在色散。
7.9 试说明为什么单导体的空心或填充电介质的波导管不能传播TEM波。
答：如果空心或填充电介质的波导管内存在TEM波，则磁场矢量应在横截面内，磁力线在横截面内形成闭合曲线，沿闭合磁力线的磁场积分应等于与之交链即轴向的电流，波导管不存在轴向的传导电流，因此必要求有轴向位移电流，这就要求存在轴向电场，而TEM波在传播方向上不存在电磁场。
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由
2 kc
k
2
2
k
2 2
2 kc
mπ nπ a b
2
2
得到矩形波导中的传播常数为
mπ nπ 2 2 kc k2 k a b
2 2
0 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）
为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示
为
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
，
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
。
j
为传播常数
E 2 E 2 E 2 k E 0 2 2 2 y z x 2 2 2 H H H 2 k H 0 2 2 2 y z x
2 Es z2 0 ，因此
2 xy E s 0
比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分 方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场 结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统 必然能够维持TEM波。 平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因 此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因 此金属波导不可能传播TEM 波。
E E E
es
H TEM波 H
es
H
es
TM波
TE波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波
双导线 同轴线 带状线
TEM波 TEM波 TEM波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ H z H 0 cos x cos a b y e jk z z
Hx j
k z H 0 mπ mπ nπ x cos sin 2 kc a a b
1 Ex 2 kc
1 Ey 2 kc
E z H z x j y
E z H z y j x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
TE01 TE20 TM1
1
TE10 截
止 区
2a
0
a
c
2a
时，全部模式被截止，是截止区。
a 2a 时，只能传播波 T E10 ，是单模工作区。
0 a 时，传播多个模式的波，称为多模工作区。
要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满 足
取
。工程上常 ，窄壁尺寸应满足 a b 2 2 a 0.7 ， b (0.4 ~ 0.5)a 。
（1）m 和 n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式 （7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 TMmn 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。
（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n 表 示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由 E z 的表达 式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式 是 T M11 波。 （3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行 波分布。
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
mπ nπ jk z z E z E0 sin x sin ye a b
k z E0 mπ mπ nπ jk z z Ex j 2 cos x sin y e kc a a b
第7章、导行电磁波
7.1
7.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
矩形波导
7.3
7.4
圆波导
同轴线
7.5
7.6
波导中的传输功率与损耗
谐振腔
第7章、导行电磁波
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、
微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。
代入波动方程得 即 对于TEM波，当
2 xy E
2E 2 2 2 k 2 E 2 xy E ( k ) E 0 z
2 2 xy E k c E 0
2 kc 0
2 xy E 0
表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。
已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 2 E 0 s 对于沿Z方向均匀一致的导波系统
2 kc k 2 2 (2f c ) 2
即
fc
kc 2π
1 2
m n a b
2
2
当
f f c 时， k z 为实数，因子 e jk z z 代表向正z 方
fc kz f 1
微
带
准TEM波
TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
差
好 好 差
厘米波
厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
矩形波导 圆波导 光 纤
证明：
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有 关的 2 和与纵坐标有关的 xy
2 z
两部分，即
2 2 2 2 2 2 xy z x2 y2 z2
尤其是矩形金属波导的传播特性。
这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
7.1
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
横向场分量与纵向场分量之间的关系
7.1.1
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横
截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其
沿z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标
由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 E x , E y , E z
及
Hx, Hy , Hz
，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这 些方程。
但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们
不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x 分量 及y 分量和z 分量的关系为
z z
E0 mπ mπ nπ jk z H y j 2 cos x sin y e kc a a b
式中
2 kc
2 kx
2 ky
m n a b
2
2
由式（7-32）可见：
2 2
电磁波在波导中的相速度为
vp
kz
v fc 1 f
2
v 1 c
2
电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，
g
vp f
fc 1 f
2
1 c
E z H z j x y
1 Hy 2 kc
式中 k 2 2 k 2 c
k 2 2
这种方法称为纵向场法。
7.1.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的 关系如下图示。
为了求解上述方程，采用分离变量法。令 E z 0 ( x、y) X ( x)Y ( y)
代入上式，得
X Y kc2 X Y
式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。
X Y kc2 X Y
由于上式中的第二项仅为y 函数，而右端为常数， 因此，若将此式对x 求导，得知左端第一项应为常数。 若对y 求导，得知第二项应为常数。
2
式中为电磁波在参数为
也称为工作波长。
，
的无限大媒质中的波长，
波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。
TM波的波阻抗为 Z E x TM
Hy
Ey Hx
。 fc kz 1 1 f c
k z E0 nπ mπ nπ jk z z E y j 2 sin x cos y e kc b a b
Hx j
E0 nπ mπ nπ jk z x cos y e sin 2 kc b a b
y e jk z z
Hy j Ex j
k z H 0 nπ mπ nπ x sin cos 2 kc b a b kc2
kc2
y e jk z z y e jk z z
H 0 nπ
mπ nπ cos x sin b a b
2
向传播的波。 当 f f c 时， k z 为虚数，因子 e jk z z e
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z 方向不断衰
减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是 f f c 。
相应的截止波长为
c
v fc 2 m n a b
2
2
TE波的波阻抗为 Z TE
kz
fc 1 f
2
1 c
2 kc
k
2
2
k
2 2
2 kc
mπ nπ a b
2
2
得到矩形波导中的传播常数为
mπ nπ 2 2 kc k2 k a b
2 2
0 所对应的频率（波长）称为截止频率（波长）
为例，则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示
为
E ( x, y, z） E ( x, y）e z
，
H ( x, y, z） H ( x, y）e z
。
j
为传播常数
E 2 E 2 E 2 k E 0 2 2 2 y z x 2 2 2 H H H 2 k H 0 2 2 2 y z x
2 Es z2 0 ，因此
2 xy E s 0
比较式（7-10）与式（7-12）可见，TEM波电场所满足 的微分方程与同一系统处在静态场中其电场所满足的微分 方程相同，又由于它们的边界条件相同，因此，它们的场 结构完全一样，由此得知：任何能建立静电场的导波系统 必然能够维持TEM波。 平行双导线、同轴线以及带状线等能够建立静电场，因 此他们可以传播TEM波。金属波导中不可能存在静电场，因 此金属波导不可能传播TEM 波。
E E E
es
H TEM波 H
es
H
es
TM波
TE波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然能够传输TEM波。 根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性 名 称 波 形 电磁屏蔽
差 好 差
使用波段
> 3m > 10cm 厘米波
双导线 同轴线 带状线
TEM波 TEM波 TEM波
类似地可以导出矩形波导中TE波的各个分量为
mπ nπ H z H 0 cos x cos a b y e jk z z
Hx j
k z H 0 mπ mπ nπ x cos sin 2 kc a a b
1 Ex 2 kc
1 Ey 2 kc
E z H z x j y
E z H z y j x
1 Hx 2 kc
E z H z j y x
TE01 TE20 TM1
1
TE10 截
止 区
2a
0
a
c
2a
时，全部模式被截止，是截止区。
a 2a 时，只能传播波 T E10 ，是单模工作区。
0 a 时，传播多个模式的波，称为多模工作区。
要求矩形波导工作在单模工作区。波导宽壁尺寸应满 足
取
。工程上常 ，窄壁尺寸应满足 a b 2 2 a 0.7 ， b (0.4 ~ 0.5)a 。
（1）m 和 n可以取不同的值，因此，和每取一组值，式 （7-32）就表示波导中TM波的一种传播摸式，以 TMmn 表示，所以波导中可以有无限多个TM模式。
（2）m表示场量在波导宽边上变化的半个驻波的数目，n 表 示场量在波导窄边上变化的半个驻波的数目。由 E z 的表达 式可以看出和不能取为零，所以矩形波导中最低阶的TM模式 是 T M11 波。 （3）波导中的电磁波沿x、y方向为驻波分布，沿z方向为行 波分布。
代入前式即可求出矩形波导中TM 波的各个分量为
mπ nπ jk z z E z E0 sin x sin ye a b
k z E0 mπ mπ nπ jk z z Ex j 2 cos x sin y e kc a a b
第7章、导行电磁波
7.1
7.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
矩形波导
7.3
7.4
圆波导
同轴线
7.5
7.6
波导中的传输功率与损耗
谐振腔
第7章、导行电磁波
沿一定的途径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。 常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、
微带、金属波导等。本章仅介绍同轴线和金属波导。
代入波动方程得 即 对于TEM波，当
2 xy E
2E 2 2 2 k 2 E 2 xy E ( k ) E 0 z
2 2 xy E k c E 0
2 kc 0
2 xy E 0
表明传播TEM波的导波系统中，电场必须满足横向拉普拉斯方程。
已知静电场在无源区域中满足拉普拉斯方程，即 2 E 0 s 对于沿Z方向均匀一致的导波系统
2 kc k 2 2 (2f c ) 2
即
fc
kc 2π
1 2
m n a b
2
2
当
f f c 时， k z 为实数，因子 e jk z z 代表向正z 方
fc kz f 1
微
带
准TEM波
TE或TM波 TE或TM波 TE或TM波
差
好 好 差
厘米波
厘米波、毫米波 厘米波、毫米波 光波
矩形波导 圆波导 光 纤
证明：
在直角坐标系下，矢量拉普拉斯算符可分解为与横截面坐标有 关的 2 和与纵坐标有关的 xy
2 z
两部分，即
2 2 2 2 2 2 xy z x2 y2 z2
尤其是矩形金属波导的传播特性。
这些导波系统的结构如下图示。
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微
带
介质波导 光 纤
7.1
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
横向场分量与纵向场分量之间的关系
7.1.1
首先设导波系统是无限长的，根据导波系统横
截面的形状选取直角坐标系或者圆柱坐标系，令其
沿z 轴放置，且传播方向为正 z 方向。以直角坐标
由前获知，上式包含了六个直角坐标分量 E x , E y , E z
及
Hx, Hy , Hz
，它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
根据导波系统的边界条件，利用分离变量法即可求解这 些方程。
但是实际上并不需要求解六个坐标分量，因为它们
不是完全独立的。根据麦克斯韦方程，可以求出x 分量 及y 分量和z 分量的关系为
z z
E0 mπ mπ nπ jk z H y j 2 cos x sin y e kc a a b
式中
2 kc
2 kx
2 ky
m n a b
2
2
由式（7-32）可见：
2 2
电磁波在波导中的相速度为
vp
kz
v fc 1 f
2
v 1 c
2
电磁波在波导中传播时所对应的波长称为波导波长，
g
vp f
fc 1 f
2
1 c
E z H z j x y
1 Hy 2 kc
式中 k 2 2 k 2 c
k 2 2
这种方法称为纵向场法。
7.1.2
电磁波沿均匀导波系统传播的一般解
TEM波、TE波及TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的 关系如下图示。
为了求解上述方程，采用分离变量法。令 E z 0 ( x、y) X ( x)Y ( y)
代入上式，得
X Y kc2 X Y
式中X"表示X对x的二阶导数，Y"表示Y对y的二阶导数。
X Y kc2 X Y
由于上式中的第二项仅为y 函数，而右端为常数， 因此，若将此式对x 求导，得知左端第一项应为常数。 若对y 求导，得知第二项应为常数。
2
式中为电磁波在参数为
也称为工作波长。
，
的无限大媒质中的波长，
波导中的横向电场与横向磁场之比定义为波导的波抗。
TM波的波阻抗为 Z E x TM
Hy
Ey Hx
。 fc kz 1 1 f c
k z E0 nπ mπ nπ jk z z E y j 2 sin x cos y e kc b a b
Hx j
E0 nπ mπ nπ jk z x cos y e sin 2 kc b a b
y e jk z z
Hy j Ex j
k z H 0 nπ mπ nπ x sin cos 2 kc b a b kc2
kc2
y e jk z z y e jk z z
H 0 nπ
mπ nπ cos x sin b a b
2
向传播的波。 当 f f c 时， k z 为虚数，因子 e jk z z e
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正Z 方向不断衰
减的凋落场。电磁波在波导中传播的条件是 f f c 。
相应的截止波长为
c
v fc 2 m n a b
2
2
TE波的波阻抗为 Z TE
kz
fc 1 f
2
1 c