3工程塑性理论屈服准则
7.1.2 屈服准则的一般形式
简单拉伸实验是建立塑性理论的基础之一。 简单拉伸实验的结果在许多方面可引伸推 广到复杂应力状态。在单向应力状态下， 材料由弹性状态进入塑性状态的判据可以 由单向拉伸或单向压缩实验确定，即当作 用在变形体上的应力等于材料的屈服应力 σs时，材料就进入塑性状态。
但对于任意应力状态下的屈服准则，就不 可能用一般的实验方法来确定材料是否进 入塑性状态。 目前对于任意的应力状态，描述物体由弹 性变形状态进入塑性变形状态的判据仅是 一种假说。
米塞斯屈服准则可以表述为：“无论在何 种应力状态下，当变形体内某一点的应力 偏张量的第二不变量达到某一定值时，该 点进入塑性状态”。
1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 C I2 6
常数C同样可采用简单的单向拉伸实 验或纯剪切实验确定。采用单向拉伸 实验时，有:
7.1.1 简单拉伸实验结果
σ
b
D B C
p
σ s(σ e) σ
A
工程应力＝变形力/原始面积 真实应力＝变形力/瞬时面积
ε
o
图 7-1 低碳钢在常温静载下简单 拉伸时的应力-应变曲线σ Cσ0.2σ C′
C
A F′ F
O ε
0.2
G G′ (a)
ε
o
G (b)
ε
图 7-2 塑性变形时的加载与卸载
, I3 C f I 2
假设材料的拉伸和压缩时的屈服应力相同， 则在屈服准则中，或者不包括应力张量的 第三不变量，或者是应力张量第三不变量 的偶函数。
I 1 x y z ( x m ) ( y m ) ( z m ) 0 2 2 2 x I2 y y z z x xy yz zx 1 2 2 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx 6 xy xz x yx I3 yz y zx zy z
7 塑性成形时的屈服准则与应力应 变关系
7.1 屈服准则的一般概念 7.2 两个常用的屈服准则 7.3 塑性应力应变关系
7.1 屈服准则的一般概念 ◆屈服准则是描述不同应力状态下变
形体内某点由弹性状态进入塑性状态， 并使塑性变形状态持续进行所必须遵 守的条件。 屈服准则又称为塑性条件或屈服条件。
◆单向应力状态 当σ=σs时，变形体由弹性变形状 态进入塑性变形状态。
（2）材料进入塑性状态之后，应力与应 变之间的关系是非线性的，并且不再保持 弹性阶段的那种单值关系，而与加载历史 有关。对于同一个应力数值，可以有许多 不同的应变数值与之对应，同样，对于同 一个应变数值，也可以有许多不同的应力 数值与之对应。
（3）对于具有应变硬化的材料，进 入塑性状态后卸载并重新加载时，材 料由弹性状态进入塑性状态的条件是 作用在变形体上的应力等于瞬时屈服 应力。
当重新加载时的应力小于材料的瞬 时屈服应力时，材料处于弹性状态； 当应力等于材料的瞬时屈服应力时， 材料开始进入塑性状态；当应力大 于材料的瞬时屈服应力时，材料才 会产生新的塑性变形。
值得注意的是，简单拉伸实验结果是随材 料状态、变形条件的变化而改变的。 例如材料的组织状态、变形温度、应变速 率、等静压力等，对于单向应力状态，这 些因素的影响有些可以忽略，有些可以用 屈服应力反映出来。
1 3 s 2k
采用两种实验方法所得到的常数 是相同的：
s 2k
当主应力顺序未知时，最大切应力不 能确定，此时屈雷斯加屈服准则可根 据主切应力公式(6-32)给出，即：
12 23 31
1 1 2 2 1 2 3 2 1 3 1 2
图 7-3 包辛格效应
这种在反向加载后使屈服应力降低的现象， 称为包辛格（Bauschinger）效应。在一 般情况下，大多数材料的包辛格效应并不 明显，而考虑这个效应，又将使塑性力学 更加复杂化，因此，一般塑性理论中都忽 略它的影响。但对于具有往复加载的塑性 变形，则应该考虑包辛格效应。
通过以上对简单拉伸实验结果的分析，可 以得到如下结论，即 （1）在单向应力状态下，材料由弹性状 态初次进入塑性状态的条件是当作用在变 形体上的应力等于材料的初始屈服应力。 当应力小于材料的初始屈服应力时，材料 处于弹性状态；当应力等于材料的初始屈 服应力时，材料开始进入塑性状态。
3
E P P1 N N1 A
屈服表面在π平面 上的投影称为π平 面上的屈服轨迹。
2
O
π 平面
1
图 7-4 主应力空间
3
L′ B′ N A C M′ A′ 30° N′ B M BB′
图 7-5 π 平面上的屈服轨迹
CC′
1
L C′ AA′
2
2 2 2 1 1 , 2 2 , 3 3 3 3 3
C 3
2 s
采用纯剪切实验时：
Ck
2
s 3k
由此可得主坐标系下的米塞斯屈 服准则： 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 s 6k
x 2 2 2 y y z z x 6 xy yz zx 2 s2 6k 2 2 2 2
7.2两个常用的屈服准则
7.2.1屈雷斯加(H.Tresca)屈服准则
1864年法国工程师屈雷斯加结合库仑在岩 石力学中的研究结果，并根据他自己所进 行的铅管挤压实验提出：“无论在何种应 力状态下，当变形体内某一点的最大切应 力达到某一定值时，该点进入塑性状态”。
屈雷斯加屈服准则的表达式为
max C
1 2 2k s 2 3 2k s 3 1 2k s
σ
3
σ 2≥σ 3≥σ -σ 1′ σ 3≥σ 2≥σ σ
1
1
σ 2′ σ 2≥σ 1≥σ
3
-σ 3′ σ 1≥σ 2≥σ o
纯剪切线
3
o σ
7.1.3 屈服表面
以主应力σ1、σ2、σ3作坐标轴，构成 主应力空间。屈服函数在主应力空间 所构成的几何曲面，称为屈服表面。
3
E P P1 N N1 A
O
π 平面
2
1
图 7-4 主应力空间
3
E P P1 N N1 A
lmn
1 3
O
π 平面
2
OP
2 1 2 2
◆在任意应力状态下，不同应力分量 之间的组合对材料屈服的影响，可以 用如下的屈服函数来描述，即
f ( ij , ij , T , t ) C
f ij C
式中：C—与材料力学性能有关的常数。
假设材料是初始各向同性的，屈服准 则与坐标轴的选取无关，在应力状态 中，与坐标轴选取无关的是主应力和 应力张量的三个不变量，因此，屈服 准则可表示为： f 1 , 2 , 3 C
最大切应力：
max
1 max min 2
当主应力顺序已知时
1 2 3
max
1 1 3 2
常数C可根据“无论在何种应力状 态下”的条件，采用比较简单的 单向拉伸实验或纯剪切实验确定。
（1）采用单向拉伸实验确定常数 对于单向拉伸实验，材料发生屈服时 的应力状态为：
屈服应力随应变增大的现象称为应变强化 或加工硬化。
为了与材料在退火状态下的初始 屈服应力相区别，可以将初始屈 服之后重新加载时进入塑性状态 的新屈服应力称为瞬时屈服应力 或流动应力。在应力应变曲线上 的塑性变形阶段内的任意一点的 应力都可称为瞬时屈服应力Y。
σ σ
s
C B
O σ ′s B′
G ε H
2
2 3
1
ON 1l 2 m 3 n
图 7-4 主应力空间
1 3
2
1 2 3 3 m
2 1 2 2
NP OA OP ON
2
2
2
3
1 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 3 3
将式(7-13)与式(6-50)的等效应力 相比较，可得
1 2
x
2 2 2 y y z z x 6 xy yz zx s 2 2 2
（2）米塞斯屈服准则的物理意义
2 3
2 m
因此，该屈服表面必然是由平行 于等倾斜轴OE的母线所构成的与 三个主应力轴等倾斜的柱面。
当主应力空间内任意一点P位于该 柱面以内时，该点处于弹性状态， 当该点位于该柱面上时，则该点 处于塑性状态，对于理想塑性材 料，P点不可能在柱面之外。
屈服表面与垂直于等倾斜轴OE的任 意平面的交线都是相同的，将这些交 线称为屈服轨迹。而其中过原点且与 等倾斜轴OE垂直的平面，称为平面。 显然平面上的平均应力等于零，即： σ1＋σ2＋σ3＝0
f I1 , I 2 , I 3 C
等静压力实验表明： 材料在很高的平均应力（静水压力） 作用下的体积变化是很小的，而且体 积的变化是弹性的。
因此，可以认为静水压力对材料的屈 服没有影响，也就是应力张量中的球 应力张量对材料的屈服无影响，屈服 准则仅仅是偏应力张量不变量的函数， 而偏应力张量的第一不变量=0，所以 有
2 3 0, 1 s
可得C=σs/2，则屈雷斯加屈服准 则可表示为：
von mises 屈服准则
von mises 屈服准则von Mises 屈服准则是工程力学中常用的一种准则，用于判断材料在受力作用下是否会发生塑性变形。
本文将介绍von Mises 屈服准则的原理和应用。
von Mises 屈服准则是基于塑性力学理论发展起来的一种准则。
根据von Mises 准则，当材料中的应力状态达到一定程度时，材料就会发生塑性变形。
这一准则是建立在von Mises 等效应力的基础上的，等效应力是一种综合考虑多个应力分量对材料强度影响的参数。
在三维应力状态下，von Mises 等效应力可以通过以下公式计算：σ_eq = √(σ1^2 + σ2^2 + σ3^2 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ3σ1)其中，σ_eq 表示等效应力，σ1、σ2、σ3 分别表示应力张量的三个主应力。
根据von Mises 屈服准则，当等效应力达到材料的屈服强度时，材料将开始发生塑性变形。
这一准则的应用广泛，特别是在工程设计中，可以用来判断材料的强度和安全性。
为了更好地理解von Mises 屈服准则的应用，我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一根钢材的圆柱体，其直径为20mm，长度为100mm。
对于这根钢材，我们施加一个均匀的轴向拉应力为100MPa。
现在我们来判断这根钢材是否会发生塑性变形。
根据von Mises 屈服准则，我们需要计算等效应力。
对于这个例子来说，由于只有轴向拉应力存在，其它两个主应力为0。
因此，我们可以将等效应力的计算简化为：σ_eq = √(σ1^2 + σ2^2 + σ3^2 - σ1σ2 - σ2σ3 - σ3σ1) = √(100^2 + 0^2 + 0^2 - 0*0 - 0*0 - 0*100)= 100MPa通过计算可知，等效应力为100MPa，而钢材的屈服强度通常在200-400MPa之间。
因此，根据von Mises 屈服准则，这根钢材不会发生塑性变形。
除了上述的简单例子，von Mises 屈服准则还可以应用于更复杂的应力状态下。
塑性加工理论屈服准则
这种在反向加载后使屈服应力降低的现象， 称为包辛格（Bauschinger）效应。在一 般情况下，大多数材料的包辛格效应并不 明显，而考虑这个效应，又将使塑性力学 更加复杂化，因此，一般塑性理论中都忽 略它的影响。但对于具有往复加载的塑性 变形，则应该考虑包辛格效应。
通过以上对简单拉伸实验结果的分析，可 以得到如下结论，即 （1）在单向应力状态下，材料由弹性状 态初次进入塑性状态的条件是当作用在变 形体上的应力等于材料的初始屈服应力。 当应力小于材料的初始屈服应力时，材料 处于弹性状态；当应力等于材料的初始屈 服应力时，材料开始进入塑性状态。
7.1.2 屈服准则的一般形式
简单拉伸实验是建立塑性理论的基础之一。 简单拉伸实验的结果在许多方面可引伸推 广到复杂应力状态。在单向应力状态下， 材料由弹性状态进入塑性状态的判据可以 由单向拉伸或单向压缩实验确定，即当作 用在变形体上的应力等于材料的屈服应力 σs时，材料就进入塑性状态。
但对于任意应力状态下的屈服准则，就不 可能用一般的实验方法来确定材料是否进 入塑性状态。 目前对于任意的应力状态，描述物体由弹 性变形状态进入塑性变形状态的判据仅是
（2）材料进入塑性状态之后，应力与应 变之间的关系是非线性的，并且不再保持 弹性阶段的那种单值关系，而与加载历史 有关。对于同一个应力数值，可以有许多 不同的应变数值与之对应，同样，对于同 一个应变数值，也可以有许多不同的应力 数值与之对应。
（3）对于具有应变硬化的材料，进 入塑性状态后卸载并重新加载时，材 料由弹性状态进入塑性状态的条件是 作用在变形体上的应力等于瞬时屈服 应力。
当重新加载时的应力小于材料的瞬 时屈服应力时，材料处于弹性状态； 当应力等于材料的瞬时屈服应力时， 材料开始进入塑性状态；当应力大 于材料的瞬时屈服应力时，材料才 会产生新的塑性变形。
工程力学中的塑性变形如何分析？
工程力学中的塑性变形如何分析？在工程力学的领域中，塑性变形是一个至关重要的概念。
它不仅影响着材料的性能和结构的稳定性，还在各种工程应用中起着关键作用。
那么，我们究竟该如何对塑性变形进行分析呢？要理解塑性变形的分析方法，首先得明白什么是塑性变形。
简单来说，塑性变形指的是材料在受到外力作用时，产生的永久性、不可恢复的变形。
与弹性变形不同，弹性变形在去除外力后材料能恢复原状，而塑性变形一旦发生，即使外力消失，材料也无法回到初始的形态。
对于塑性变形的分析，我们通常从材料的本构关系入手。
本构关系描述了材料在受力状态下应力与应变之间的关系。
在塑性变形的情况下，这种关系变得较为复杂，因为材料的行为不再是简单的线性关系。
屈服准则是分析塑性变形的重要工具之一。
常见的屈服准则有Tresca屈服准则和von Mises屈服准则。
Tresca屈服准则认为，当材料中的最大剪应力达到一定值时，材料开始发生塑性变形。
而von Mises屈服准则则基于八面体剪应力的概念，当八面体剪应力达到某一临界值时，材料进入塑性状态。
在实际分析中，我们还需要考虑加载路径和加载历史。
加载路径指的是外力施加的方式和顺序，而加载历史则包括了之前所经历的加载过程。
这些因素都会对材料的塑性变形产生影响。
例如，在复杂的加载条件下，材料可能会表现出不同的塑性行为。
实验研究也是分析塑性变形不可或缺的手段。
通过拉伸实验、压缩实验等，可以直接获取材料在塑性变形阶段的应力应变数据。
这些实验数据不仅可以验证理论分析的结果，还能为建立更准确的本构模型提供依据。
在数值模拟方面，有限元方法被广泛应用于塑性变形的分析。
通过将结构离散成有限个单元，并结合材料的本构关系和边界条件，可以预测结构在受力情况下的塑性变形分布和发展趋势。
这对于复杂结构的设计和优化具有重要意义。
另外，多晶体材料中的塑性变形分析也是一个难点。
由于多晶体材料由众多晶粒组成，每个晶粒的取向和性能都有所不同，这使得塑性变形的分析更加复杂。
屈服准则
（a）
（b）
图2-2 C-M准则的屈服曲面及屈服曲线
（c）
2. 评价结果
表2-1 C-M屈服破坏准则评价结果
三． Tresca 准则与 Zienkiewice-Pande 准则
1864年，法国工程师Tresca根据Coulomb对土力学的研究和他在金属挤压试验中得到的结果， 提出当材料的最大剪应力达到某一极限值kT时，材料产生屈服，即最大剪应力屈服准则。
压缩锥与拉 伸锥平均值
内切锥（平 面应变）
2 0
tan
sin 3
平
单压
1 c,2 3 0
面
单拉
3 t ,2 1 0
应 力
双压 双拉
1 3 c,2 0 1 3 t ,2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
2 sin 3(3 sin ) 2 sin 3(3 sin )
2 3 sin 32 sin 2
s in
s in )
J2 c cos
J2 M-CI1 k M-C 0
其中：
M-C
sin 3( 3 cos sin sin )
kM-C
3c cos 3 cos sin sin
D-P准则与M-C准则不同拟合条件下的 和k值
拟合条件
应力（应变） 条件
一
压缩锥
般
三
拉伸锥
维
应
折中锥
力
1 2 3 30 1 2 3 30
屈服与破坏准则
一．评价标准
从岩土材料的屈服与破坏特性及试验的可操作性出发，评价标准如下： 1. 屈服与破坏函数不同，下文各评价结果中略。
图1-1 典型岩土应力-应变曲线
图1-2 屈服曲面、加载曲面和破坏曲面
屈服准则简要说明
屈服准则简要说明屈服准则是指在表面或内部应力作用下，物质开始发生变形或破坏的临界条件。
当物体受到外界力的作用时，会引起内部应力的产生，若这些应力超过了物体的屈服准则，就会导致物体的塑性变形或破坏。
屈服准则是材料力学中一个重要的概念，对于材料的设计和使用具有重要的意义。
在材料力学中，常用的屈服准则有两种，分别是塑性屈服准则和破坏屈服准则。
塑性屈服准则是指材料开始发生塑性变形的应力状态。
常用的塑性屈服准则有屈服强度理论和Tresca准则。
屈服强度理论a（YS）是指材料在受力过程中发生塑性变形的特征应力状态，是材料强度的一个重要参数。
它可以通过材料的抗拉强度或者屈服强度等进行表征。
塑性屈服准则是指当材料受力达到屈服强度时，就会发生可见的塑性变形。
Tresca准则是指当材料受力时，如果材料中任意剪切面上的最大剪应力达到屈服强度时，就会引起材料的塑性变形。
破坏屈服准则是指材料在受到极限载荷时发生破坏的应力状态。
常用的破坏屈服准则有最大剪应力理论、最大正应力理论和最大扭矩理论。
最大剪应力理论是指当材料中任何一个剪应力达到或超过破坏强度时，材料就会发生破坏。
最大正应力理论是指当材料中任何一个正应力达到或超过破坏强度时，材料就会发生破坏。
最大扭矩理论是指当材料中任何一个扭矩达到或超过破坏强度时，材料就会发生破坏。
不同的材料在不同的条件下可能采用不同的屈服准则。
例如对于金属材料来说，常用的屈服准则是屈服强度理论或Tresca准则。
而对于混凝土材料来说，常用的屈服准则是最大剪应力理论。
此外，不同的材料也可能根据具体情况选择不同的屈服准则，以满足特定的工程需求。
总的来说，屈服准则是材料力学的重要概念，用于描述材料的塑性变形和破坏行为。
掌握和了解不同材料的屈服准则对于材料的设计和使用至关重要，可以帮助我们选择合适的材料和确定合理的设计方案。
塑形变形的屈服准则
Mises圆柱面。
Tresca屈服表面 — Mises圆柱的内接 六棱正柱面， Tresca六棱柱面。
屈服表面与主轴坐标平面的交线即屈 服轨迹，12个特征点在屈服表面上为 柱面的母线。
屈服表面的几何意义：主应力空间上的点位于屈服表面 上，处于塑性状态；在屈服表面内，处于弹性状态；对 理想塑性材料，位于屈服表面外，无意义。
§3.4 屈服准则★
物体变形：弹性变形
塑性变形
=S
单向拉伸：弹性伸长变形→屈服→均匀塑性变形
→ 塑性失稳→断裂
多向应力状态：考虑所有应力分量，以及物体变形与应力 状态的特点。
屈服准则：变形体内质点由弹性状态过渡到塑性状态，并
维持继续进行塑性变形所需满足的力学条件， 即各应力分量与材料性能之间必须符合的一定 关系。(塑性条件、屈服条件)
Y s k p n
Y k p n
硬化材料变形的三种应力状况
➢当 df
f
ij
d ij
0
时，加载，塑性流动；
➢当 df
f
ij
d ij
0 时，卸载，弹性变形；
➢当 df
f
ij
d ij
0
时，中性变载，保持变形。
例3-7 屈服准则在塑性加工中的实际运用
应区分弹性区和塑性区，选择合适的屈服准则；在塑性加工中， 为了控制变形，必须让需要变形的部分优先满足屈服准则。
1 2
x
y
2
y z
2
z x
2
6
2 xy
yz2
2 zx
1 2
1
2
2
2
3
2
3
1
2
C
单向应力状态下
塑性理论
塑性的三个主要方面："屈服准则"流动准则"强化准则屈服准则：对单向受拉试件，我们可以通过简单的比较轴向应力与材料的屈服应力来决定是否有塑性变形发生，然而，对于一般的应力状态，是否到达屈服点并不是明显的。
屈服准则是一个可以用来与单轴测试的屈服应力相比较的应力状态的标量表示。
因此，知道了应力状态和屈服准则，程序就能确定是否有塑性应变产生。
屈服准则的值有时候也叫作等效应力，一个通用的屈服准则是Von Mises 屈服准则，当等效应力超过材料的屈服应力时，将会发生塑性变形。
流动准则：流动准则描述了发生屈服时，塑性应变的方向。
一般来说，流动方程是塑性应变在垂直于屈服面的方向发展的屈服准则中推导出来的。
这种流动准则叫作相关流动准则，如果不用其它的流动准则（从其它不同的函数推导出来）。
则叫作不相关的流动准则。
强化准则：强化准则描述了初始屈服准则随着塑性应变的增加是怎样发展的。
一般来说，屈服面的变化是以前应变历史的函数，在ANSYS程序中，使用了两种强化准则。
等向强化是指屈服面以材料中所作塑性功的大小为基础在尺寸上扩张。
对Mises屈服准则来说，屈服面在所有方向均匀扩张。
由于等向强化，在受压方向的屈服应力等于受拉过程中所达到的最高应力。
随动强化假定屈服面的大小保持不变而仅在屈服的方向上移动，当某个方向的屈服应力升高时，其相反方向的屈服应力应该降低。
在随动强化中，由于拉伸方向屈服应力的增加导致压缩方向屈服应力的降低，所以在对应的两个屈服应力之间总存一个差值，初始各向同性的材料在屈服后将不再是向同性的。
2 塑性选项ANSYS程序提供了多种塑性材料选项，在此主要介绍四种典型的材料选项可以通过激活一个数据表来选择这些选项。
"经典双线性随动强化BKIN "双线性等向强化BISO "多线性随动强化MKIN "多线性等向强化MISO 经典的双线性随动强化（BKIN）使用一个双线性来表示应力应变曲线，所以有两个斜率，弹性斜率和塑性斜率，由于随动强化的Vonmises 屈服准则被使用，所以包含有鲍辛格效应，此选项适用于遵守Von Mises 屈服准则，初始为各向同性材料的小应变问题，这包括大多数的金属。
第五章：屈服准则与塑性应力应变关系
2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。 注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。 因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以 下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条 件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准 则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑 性变形，对于Mises屈服准则：
工程塑性力学-屈服准则
Mohr-Coulomb 准则
Drucker-Prager 准则
Rankine 准则
1876 年，Rankine提出：一点的最大主应力 达到拉伸强度时，材料发生拉伸破坏。 用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。 可用来判断混凝土拉伸开裂的起因。 屈服面：拉伸破坏面
1
max(1 , 2 , 3 ) ft ft 由简单拉伸试验确定。
2
那么Tresca准则变为：
xx yy 2 xy k 2
2
即
xx
yy 4
2 2 xy
2 s
上式分别代入yy = -s , 0, s，得到xx-xy 平面 上的屈服轨迹。
xy
xx
Mises 屈服准则
轴向拉伸试验：
1 s , 2 3 0
1 3 s , 2 0
s k 2
k s
纯剪试验：薄壁圆筒扭转试验
1 s s 2
s 与 s 均可由试验测定，常用钢材的试验 结果与上式不完全符合，说明Tresca屈服准则 是近似正确的。
Tresca准则是分段线性的，简化计算；适用 于主方向已知且不变的情况下；
Mises 、 Tresca 准则分别对应于材料力学中 的第三、第四强度理论。
例3：闭端薄壁圆筒受内压 p 的作用，理想 塑性材料，屈服极限为s = 245 GPa。 用Mises、Tresca准则求最大许可的内压 p。 解：首先确定危险 点的应力状态（远离 封头的筒身位置）：
Drucker-Prager 准则
1952 年提出，是对 Mises 准则的修正，它考 虑了静水压力对屈服的影响：
屈服和塑性流动
屈服和塑性流动MA02139，剑桥麻省理工学院材料科学与工程系David Roylance2001年10月15日引言模块4对拉伸应力-应变曲线的概述中，我们将屈服描述为：在足够高的应力（图1中σ）下开始的永久性分子重新排列。
屈服过程与分子的活动性直接相关，因而随材料标为Y的不同而有很大的差异。
通常人们有可能通过影响分子的活动性来优化材料加工工艺，从而控制屈服过程。
例如，通用的聚苯乙烯是脆弱的塑料，往往认为是败坏塑料名声的劣质品，多年来一直困扰着塑料工业。
这是因为聚苯乙烯在室温下几乎没有分子活动性，以至于即使应力还不足以引起屈服和伴随的塑性流动，也会发生脆性断裂。
但是，当同样的材料混以适当尺寸和成分的橡胶颗粒后，它竟变得如此强韧，甚至可用来制作拳击手的头盔和特别耐用的儿童玩具。
出现这一奇迹正是由于控制了屈服过程。
当材料工程应用于结构设计时，需要考虑的最重要的一个方面是：控制屈服、使强度与韧性相平衡，所有工程师都应该意识到这一可能性。
σ图1 由0.2%当量法确定的屈服应力Y了解屈服的另一个重要原因则更为简单：如果不允许材料屈服，材料就不可能失效。
像陶瓷这样的脆性材料，在屈服前就会断裂；但大部分较韧性的结构材料，在屈服前不会发生损伤。
一般的设计惯例为：使应力保持在弹性范围之内、以避免发生屈服，通过适当的安全因数，确定结构的尺寸。
因而我们需要能够在一般的多轴应力状态下，预测何时将发生屈σ的实验值。
服，即给出Y断裂是由正应力引起的，它使两原子平面彼此分离；与此相反，屈服是由切应力引起的，它使两原子平面中的一个沿另一个滑移。
这两种截然不同的机理如图2所示。
当然，在与屈服相关的滑移中，键必须被打破；但不同于断裂的是，它允许在新的位置重新形成键。
该过程能使材料产生实质性的改变，甚至导致最终的断裂（这就像反复前后弯折一根金属条使其断裂一样）。
“塑性”变形是屈服的基础，它本质上是一个粘性流动过程，并且遵循与流体十分相似的动力学定律。