信息安全数学基础 课件9
信息安全数学基础课件
信息安全数学基础
经典的古典密码算法主要有：
代替密码：将明文字符用另外的字符代替，典型的
引
有恺撒密码、仿射密码、维吉尼亚密码等；
换位密码：明文的字母保持相同，但顺序打乱。
言
经典的现代密码算法有很多种，最通用的有：
DES：数据加密标准，对称密码算法，用于加密； AES: 高级加密标准，对称密码算法，用于加密；
言
Kerchoffs原则
1883年Kerchoffs第一次明确提出了编码的原则： 保密性完全依赖于密钥，算法应该公开。
这一原则已得到普遍承认，成为判定密码强度的 衡量标准，实际上也成为古典密码和现代密码的 分界线。
信息安全数学基础
基于密钥的算法，按照密钥的特点分类：
对称密码算法：又称秘密密钥算法或单密钥算
Eve
窃听 篡改 伪造
密码学是一门古老而深奥的学科,包括密码编码 学和密码分析学; 通信双方按照某种约定将消息的原形隐藏。 密码系统:明文,密文,加解密算法,密钥。
信息安全数学基础
密码学的起源与发展
三个阶段：
引
1949年之前：密码学是一门艺术； 1949～1975年：密码学成为科学；
1976年以后：密码学的新方向－－公钥密码学。
如何鉴别通信对象的身份？
引
公共网络
Alice
Bob
言
Eve
假冒
身份鉴别：就是确认实体是它所声明的，身份鉴别服务 提供关于某个实体身份的保证，以对抗假冒攻击。
解决方法：密码技术
信息安全数学基础
本课程的相关知识点
简单的密码学基础：
引
密码技术是信息安全的核心技术； 需要掌握一些密码学基础知识。
相关的数学知识：
信息安全数学基础 绪论
( 1859, 1573,11) (143,11) 11.
定义4 整数a1, a2, , ak (ai ≠0)的公共倍数称为 a1, a2, , ak的公倍数。a1, a2, , ak 的正公倍数中
最小的一个叫做a1, a2, , ak的最小公倍数，记为
[a1, a2, , ak]. 定理3 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ ) [a , b ] = [ b , a ]；
则称d是 a1 , a2 ,, an 的最大公因数。
定理1〔有关最大公因数的结论〕
(1) (a1 , a2 , , an ) ( a1 , a2 , , an ); (2) b a (a , b) b ; (0, b ) b ;
(3) a bq r , q 0 (a , b) (b, r ).
定理2
设 (a1 , a2 ) d 2 ,(d 2 , a3 ) d 3 ,,(dn 2 , an1 ) dn1 , 设 (a1 , a2 ,, an ) d .
(d n1 , an ) d n , 则 (a1 , a2 ,, an ) d n .
证明
一方面，d a1 , d a2 d d 2 d d n ；
证：由[a1 , a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3 ,,[mn1 , an ] mn
知mn是a1 , a2 ,, an的一个公倍数.
对a1 , a2 ,, an的任一公倍数m，
由a1 m , a2 m ，且[a1 , a2 ] m2 m2 m ，m3 m ， ，mn m . [a1 , a2 ,, an ] mn .
[a1, a2, , ak]. 定义5 设d是正整数且满足以下两个条件：
信息安全数学基础ch10环
第九章 环
定义 设R是至少含有两个元素的环， 1如果R中每个非零元均可逆，则称R是一个除环。 2交换的除环称为域。 除环中所有非零元素构成的集合在乘法下构成一个群。
第九章 环
例 设p是一个素数，则(Zp,+,.)是一个域。 1假定[a]≠[0]，有(a,p)=1; 2存在s,t∈Z使得 as+pt=1; 3as≡1(modp); 4[as]=[1]=>[a].[s]=[1]。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是一个环，S是R的非空子集，如果S关于R的 运算也构成环，则称S是R的子环. 例 整数环Z是有理数环Q的子环。 例 (mZ,+,.)={mk|k∈Z}是整数环Z的子环； mZ在Z的加法和乘法下封闭； 容易看出mZ在Z的加法和乘法下构成一个环； mZ是Z的子环。
第九章 理想商环
定义 设(R,+,.)是环，I是R的一个子环，如果对任意的a∈I 和任意r∈R,均有ra∈I;ar∈I,则称I是R的一个理想。 一个环至少有两个理想，即环R本身及{0}，这两个理 想称为环R的平凡理想。
第九章 理想商环
定理 设I是环R的理想，在加法商群R=I上定义如下的乘法 (x+I)+(y+I)=(x+y)+I (x+I).(y+I)=(xy)+I 则上述定义是R/I上一个乘法运算，且R/I关于加法， 乘法构成一个环。 1根据前面的讨论，这里的加、乘运算定义是自恰的。 2环R=I称为R关于理想I的商环。 3在讨论商环时，我们一般把x+I记为x。
f(x)g(x)的m+n次项的系数为anbm； 由于R无零因子，所以anbm≠0； f(x)g(x)≠0。
信息安全数学基础 pdf
信息安全数学基础 pdf
1 信息安全数学基础
信息安全数学基础是当下信息安全领域的重要组成部分。
它不仅
涉及数学基本原理，还关联着计算机科学、密码学、计算机技术等学
科的理论体系。
信息安全基于一些数学理论尤其是密码学，利用特定的数学基础，利用数学理论实现安全信息传输，保护系统、数据库及网络安全，使
之达到全面的安全保护。
例如，在信息安全领域，密钥及算法安全性
建立在数论理论上，如随机数发生、数论理论等。
信息安全数学基础通常包括数学基本原理、数据结构、计算机科学、密码学、计算机技术等广泛的学科的系统学习。
它的研究，不仅
需要对各门学科深入的研究，还要加强对这些学科之间的联系与融合，从学科角度探求祕钥的基本原理及其衍生的用途。
信息安全数学基础的研究将有助于培养学生具有良好的系统化学
习与研究理论能力，增强学生应用和研究数学原理、方法和软件工具，提高学生针对信息安全领域问题进行分析和处理的能力，更好地把握
和应对今后信息安全领域的发展。
信息安全数学基础的研究给信息安全领域的发展带来了很大的推
动力，是当代信息化经济社会发展的重要基础，特别是互联网安全与
政府、军队、企业、学校等重要网络应用系统的安全保护，势在必行。
因此，从培养学生的角度出发，对信息安全数学基础进行系统地学习和研究，将有利于培养具有素质的信息安全专业人才。
信息安全数学基础
信息安全数学基础一、说明（一）课程性质本课程是继《高等数学》、《线性代数》课之后，为信息与计算科学专业计算方向开设的一门数学基础理论课程。
本课程主要介绍用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生能熟练掌握用算术的方法研究整数性质以及近世代数中群与群结构、环论和有限域等内容，并且能够掌握如何应用信息安全数学基础中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题，从而为学习密码学、网络安全、信息安全等打下坚实的基础。
（二）教学内容正确理解并掌握整数的整除概念及性质，带余除法，欧几里得除法，同余及基本性质，欧拉函数和欧拉定理。
一次同余式和二次同余式的解法，平方剩余与平方非剩余，指数及基本性质。
了解群环域等基本概念。
要求基本会用数论知识解决某些代数编码问题。
要求基本会用所学知识解决某些代数编码以及密码学问题。
（三）教学时数54学时（四）教学方式课堂讲授为主。
二、本文第一章整数的可除性教学要点：1. 整除的概念及欧几里得除法2. 算术基本定理教学内容：§1 整除概念和带余除法§2 最大公因式与欧几里得除法§3 整除的性质及最小公倍数§4 素数和算术基本定理§5 素数定理教学时数 6 学时考核要求：1.熟练掌握整除概念及性质，掌握带余除法。
2.理解欧几里得除法，会求最大公因数和最小公倍数。
3.理解素数概念和算术基本定理。
第二章同余教学要点：1.同余及基本性质，2.剩余类及完全剩余系的概念和性质3.欧拉函数和欧拉定理教学内容：§1 同余概念及其基本性质§2 剩余类及完全剩余系§3 简化剩余系与欧拉函数§4 欧拉定理与费尔马定理§5 模重复平方计算法教学时数 6 学时考核要求:1．理解同余概念，掌握其基本性质2．理解剩余类及完全剩余系，了解简化剩余系，熟悉欧拉函数3．掌握欧拉定理和费尔马定理4．掌握模重复平方计算法第三章同余式教学要点：一次同余式和二次同余式的解法，中国剩余定理教学内容：§1 基本概念及一次同余式§2 中国剩余定理§3 高次同余式的解数及解法§4 素数模的同余式教学时数 6 学时考核要求:1. 理解同余式概念，会熟练求解一次同余式2. 理解中国剩余定理第四章二次同余式与平方剩余教学要点：1.平方剩余与平方非剩余，2.勒让德符号和雅可比符号3.合数模教学内容：§1 一般二次同余式§2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余§3 勒让德符号§4 二次互反律§5 雅可比符号§6 模p平方根§7 合数模§8 素数的平方表示教学时数 8学时考核要求:1.熟悉高次同余式的解法2.理解素数模的同余式和一般二次同余式3.理解模为奇素数的平方剩余与平方非剩余4.掌握勒让德符号和雅可比符号5.掌握二次互反律6.理解合数模的二次同余式及其解法第五章原根与指标教学要点：1.指数及其基本性质2.原根存在的条件以及原根求解教学内容：§1 指数及其基本性质§2 原根存在的条件§3 指标及n次剩余教学时数 6 学时考核要求:1.掌握指数及基本性质2.理解原根存在的条件，理解指标和n次剩余概念第六章群教学要点：1.陪集、正规子群和商群的概念2.同态、同构的概念教学内容：§1 群的基本概念§2 循环群§3 陪集和Lagrange定理§4 正规子群和商群教学时数 8学时考核要求:1.掌握群理论与同余理论之间的关系2.熟练群、循环群、同态、同构的概念第七章环和域教学要点：1．环和域的基本概念以及与同态、同构的概念2．理想、商环和多项式环教学内容：§1 环和域的基本概念§2 理想和商环§3 多项式环教学时数 6 学时考核要求:掌握环和域的基本概念以及与同态、同构的概念，理想、商环和多项式环的概念第八章有限域教学要点：1．有限域的概念2．有限域上的多项式教学内容：§1 域的有限扩张§2 有限域的性质§3 有限域的表示§4 有限域上的多项式教学时数 6 学时考核要求:1.掌握有限域的基本概念及定理2.掌握域的扩张的概念3.掌握有限域上多项式的性质三、参考书[1] 信息安全数学基础。
第2章 信息安全数学基础(数论)计算机系统与网络安全技术课件
素数定义及素数个数定理
1.定义：
一个大于1的整数p，只能被1或者是它本身整除,而不能 被其他整数整除，则称整数为素数(prime number)，否 则就叫做合数(composite)。 eg 素数（2，3，5，7，11，13等）
合数（4，6，8，9，12等）
2020/10/3
素数补充定理
Euclid算法实例：求 gcd(132, 108).
132110824, 10842412, 24212,
gcd(1,1302)8 gcd(1,0284) gcd(42,12) 12.
2020/10/3
最大公约数的欧几里得算法（续）
欧几里得算法（例1）
求：gcd（1180，482）
1 1 8 0＝ 2 4 8 2＋ 2 1 6 4 8 2＝ 2 2 1 6＋ 5 0 2 1 6＝ 4 5 0＋ 1 6 5 0＝ 3 1 6＋ 2 1 6＝ 8 2＋ 0
≈3.9 * 1097.
2020/10/3
整数的唯一分解定理
1.整数的唯一分解理定理（算术基本定理）:
设n∈Z, 有分解式, n = ±p1e1p2e2...pmem,其中p1, p2,…, pm∈Z+是互不相同的素数, e1,e2,…,em∈Z+, 并且数对(p1, e1), (p2, e2),…,(pm, em)由n唯一确定（即 如果不考虑顺序，n的分解是唯一的）.
b r1q2 r2, 0 r2 r1,
gcd(r1,r2 )
r1 r2q3 r3, 0 r3 r2,
gcd(r2,r3)
..........
rn2 rn1qn rn, 0 rn rn1,
rn1 rnqn1,
信息安全数学基础(概率论)PPT幻灯片PPT
lim P[ n p ] 1 n n
贝努里大数定理（续）
定理（辛钦大数定理）设随机变量 1,,n 独立同分布，且具有数学期望 E(i ) , i 1,2, ，则
由定义，显然D(ξ) ≥0；当ξ的可能取值集中在E(ξ)附近时， D(ξ)较小；否则D(ξ)较大。 可见，方差大小反映了ξ与E(ξ)的偏离程度（或取值的分散 程度）。 2021/5/13
方差的计算
(1 )D ()E ()2(E ())2 (2 )D （ ） = E ( E ())2 (xiE ())2p i,其 中 p iP { xi}
设 是 一 随 机 变 量 ， 若 E ( E ( ) ) 2 , 则 称 E ( E ( ) ) 2 为 随 机 变 量 的 方 差 ， 记 为 ： D ( ) 。
即 ： D ()＝ E(E ())2
而 称 D ( ) 为 的 标 准 差 （ 或 均 方 差 ） ， 记 为 ： ()
使 D(i ) C i 1,2,，则对任意的 0 ，有
lim P{
n
1 n
n i 1
i
1 n
n i1
E( i
)
} 0
证明：由切比雪夫不等式知： 0, 有：
n
0 P{ 1
n
n
i
i 1
1 n
n i 1
E(i )
} 1 2
D( 1 n
n
i)
i 1
D i
i 1
n2 2
nC n2 2
例如，抛掷一枚硬币的试验就属于贝努里试验。
假设在任何一次试验中：P[“成功”]＝p，P[“失
败”]＝1－p
那么：
P[n次试验中有k次为“成功”]＝ kn
信息安全数学基础
RSA算法的描述
ne c(mod N )
c d n(mod N )
验证哥德巴赫猜想
一、什么是哥德巴赫猜想 二、哥德巴赫猜想的验证 三、程序演示
什么是哥德巴赫猜想？
在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出 了以下猜想：任一大于2的整数都可 写成三个质数之和。因现今数学界已 经不使用“1也是素数”这个约定， 原初猜想的现代陈述为：任一大于5 的整数都可写成三个质数之和。欧拉 在回信中也提出另一等价版本，即任 一大于2的偶数都可写成两个质数之 和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版 本。把命题"任一充分大的偶数都可 以表示成为一个素因子个数不超过a 个的数与另一个素因子不超过b个的 数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证 明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶 数都可以表示成二个素数的和，或是 一个素数和一个半素数的和"。
寻找最大梅森数
一、寻找梅森数的猜想 二、寻觅梅森素数漫长曲折历程 三、寻找梅森素数算法的实现 四、存在最大的梅森素数吗
寻找梅森数的猜想
人们都知道,亲数是大于1,并除了它本身和1以外,不能被 其它正整数整除的整数,如2,3 .5.7.··… 梅森素数 (M~~prime)通常记作P,二2”一l(其中P为素数)。梅森素 数是否有无穷个.是否有分布规律,一直是众多研究者试 图攻克的世界知名难题。 法国数学家马林· 梅森 (MarinMeI’8enne)在1644年断定.不大于257的各素数, 只有P二2,3,5,7,一3,17,19,3一,67,127,257,使2,一1是素数, 尽管梅森本人实际只验算了前面的7个数,但人们对其断 定仍深信不疑。 虽然梅森的断定中包含若干错误,但却 极大地激发了人们对Zr一l型素教的研究热情。而当时 梅森所猜想到M,2,也是电脑出现以前人们所确认的最 大梅森素数。 自梅森提出其断定后,人们发现的已知最 大素数几乎都是梅森素数。所以.寻找新的梅森紊数的 历程就几乎等同于寻找欲知最大亲数的历程。
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信息安全数学基础
韩琦
计算机科学与技术学院
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近世代数
群
举例
例 (希尔密码) 在希尔密码(Hill Cipher)中加密变换为 (������1 ������2 · · · ������������ ) = (������1 ������2 · · · ������������ )������ ������������������ 26 这里密钥������ ∈ ������������������ (������26 ), ������������ , ������������ ∈ ������26 , ������26 = {0, 1, · · · , 25}，������������ 为明 文，������������ 为密文，式1.1右边的行向量(������1 , ������2 , · · · , ������������ )与矩阵������ 乘是先进行 通常的实数行向量与实数矩阵乘再对所得行向量的每一分量取模26。 加密过程 字母������������ · · · ������分别对应0, 1, · · · , 25，加密前先将明文字母串变换为������26 上 的数字串，然后再按上述表达式每次������个数字的将明文数字串变换为密 文数字串，最后将密文数字串变换为密文字母串。
1
当生成元������是无限阶元素时，则������称为无限阶循环群。 如果������的阶为������，即������������ = 1，那么这 时������ =< ������ >=< 1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 >，则������称为由������所生成的������阶循 环群，注意此时1, ������, ������2 , · · · , ������������−1 两两不同。
信息安全原理与技术ch02-数学基础
25
离散对数
• 模运算用于指数计算可以表示为ax mod n， 我们称为模指数运算
• 模指数运算的逆问题就是找出一个数的离 散对数，即求解x，使得
ax ≡b mod n
• 定义2.17（离散对数）对于一个整数b和素 数n的一个本原根a，可以找到唯一的指数x， 使得b ≡ ax mod n，其中0≤ x ≤n-1，指数x 称为b的以a为基数的模n的离散对数
• for i= k downto 0 do {
• xd；
•
d(d d) mod n；
•
if (d=1 & x 1 & x n-1) then return
TRUE；
•
if bi=1 then d(d a) mod n }
•
if d1 then return TRUE；
• else return FALSE.
……
rj-1 = rjqj+1 最后一个不为0的余数rj就是a和b的最大公因子
2019/8/29
Ch2-数学基础
4
例2.1 求gcd (1970，1066)
• 用欧几里德算法的计算过程如下： • 1970＝1×1066+904 • 1066＝1×904+162 • 904＝5×162+94 • 162=1×94+68 • 94＝1×68+26 • 68＝2×26+16 • 26＝1×16+10 • 16＝1×10+6 • 10＝1×6+4 • 6=1×4+2 • 4＝2×2+0 • 因此gcd (1970，1066) = 2
信息安全原理与技术
郭亚军 宋建华 李莉 清华大学出版社
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第9章 椭圆曲线 吴 汉 炜 180260006@
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主要内容
椭圆曲线的基本概念 椭圆曲线的运算规则 有限域上的椭圆曲线
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