抛物线教学设计
【中职教案】抛物线(一)
【中职教案】 2．3抛物线（一）【教学目标】知识目标：了解抛物线的定义，知道四种抛物线的标准方程． 能力目标：学生的数学思维能力得到提高．【教学重点】四种抛物线标准方程．【教学难点】处理与代数中抛物线之间的关系．【教学设计】课件演示抛物线的实验操作．要强调点M 在移动过程中，始终保持到定点F 的距离与到定直线RS 的距离相等．本课介绍四种形式的抛物线的标准方程．它们的焦点坐标与准线方程的形式不同．例1是求抛物线标准方程的训练题．求抛物线标准方程的关键是确定焦点（或准线）的位置，求出标准方程中的p ．例2是根据抛物线的方程写出焦点坐标和准线方程的训练题．解题关键是将方程化成标准方程，判断其类型并确定焦点的位置，再确定2p的值．一元二次函数2y ax =可以变形为21x y a=，表示一条抛物线，而一元二次函数2y ax bx c =++的图像可以由函数2y ax =通过平移得到．因为平移不改变图形的形状和大小，所以二次函数的图形仍然是抛物线．二次函数的图像中研究的抛物线都是焦点在y 轴正半轴（或负半轴）上的抛物线平移的结果．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】大家知道一元二次函数的图像是抛物线．现在我们从点的运动轨迹的角度来研究抛物线．先来做一个实验．如2－14所示，将拉链的一段固定在三角板的AC边顶点C处，另一端固定在F点，三角板的直角边BC沿着直线RS滑动，笔尖放在点M处，图中的M在曲线上滑动，随着三角板上移，笔尖向右移动，画出一部分曲线．调换三角板位置在画出另一部分曲线．这样就画出了一条抛物线．图2－14 从画图的过程中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，始终保持到顶点F的距离与到定直线RS 的距离相等．图2－15取过焦点F ，且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与l 相交于点E ，以线段EF 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系（如图2－15）．设焦点到准线的距离为p （p ＞0），即|EF | = p ，则焦点F的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-．设M (x ，y )为抛物线上的任意一点，点M 到l 的距离为d ，则|MF | = d所以22()22p p x y x -+=+．将上式两边平方，得222()()22p px y x -+=+，展开并整理，得22(0)y px p => （2.5）方程（2.5）叫做抛物线的标准方程.其中p ＞0．它表示的抛物线的焦点在x 的正半轴上，焦点坐标为(,0)2p，准线方程为2p x =-．用同样的方法我们还可以得到抛物线的另外三种形式的标准方程，下面将四种形式的抛物线的方程、焦点、准线方程和图形列表（表2-1）.本章内，只研究表中的这四种抛物线标准方程．*巩固知识典型例题【教师教学后记】。
抛物线优秀课程设计
抛物线优秀课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解抛物线的定义，掌握其标准方程及基本性质。
2. 学生能运用抛物线知识解决相关问题，如计算焦点、准线、对称轴等。
3. 学生了解抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
技能目标：1. 学生通过观察、分析、总结，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 学生能够熟练运用抛物线相关公式，解决实际问题。
3. 学生在小组合作中，提高沟通协调能力和团队协作能力。
情感态度价值观目标：1. 学生对抛物线知识产生兴趣，激发学习数学的热情。
2. 学生在学习过程中，培养勇于探索、克服困难的精神。
3. 学生通过抛物线知识的学习，认识到数学与生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程目标具体、可衡量，旨在帮助学生掌握抛物线知识，提高解决问题的能力，培养空间想象力和逻辑思维，同时注重培养学生的情感态度价值观，使学生在学习过程中获得全面、和谐的发展。
后续教学设计和评估将围绕这些具体学习成果展开。
二、教学内容本章节教学内容围绕抛物线的相关知识展开，包括以下方面：1. 抛物线的定义及标准方程- 引导学生理解抛物线的概念，掌握其标准方程y²=4ax和x²=4ay。
- 分析抛物线的焦点、准线、对称轴等基本性质。
2. 抛物线的图形及性质- 通过图形展示，让学生直观了解抛物线的图形特点，如开口方向、对称性等。
- 探讨抛物线与x轴、y轴的交点、顶点、对称轴等性质。
3. 抛物线的应用- 介绍抛物线在实际生活中的应用，如建筑设计、体育竞技等。
- 分析具体问题，让学生学会运用抛物线知识解决实际问题。
4. 综合练习与拓展- 设计不同难度的练习题，巩固学生对抛物线知识的掌握。
- 拓展抛物线相关的高级性质和复杂问题，提高学生的思维深度。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1课时：抛物线的定义及标准方程2. 第2课时：抛物线的图形及性质3. 第3课时：抛物线的应用4. 第4课时：综合练习与拓展教学内容与教材章节关联，以人教版数学九年级下册教材为例，涉及第十七章“圆锥曲线与方程”中的抛物线相关内容。
抛物线的简单几何性质教学设计
抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。
二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。
然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。
2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。
抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。
2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。
2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。
2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。
2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。
3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.3性质3：抛物线的对称性。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。
4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。
教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。
然后让学生自主计算，并核对答案。
4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。
抛物线复习数学教案教学设计
抛物线复习数学教案教学设计【标准格式文本】教案教学设计：抛物线复习数学一、教学目标1. 知识目标：复习抛物线的基本概念、性质和相关公式，巩固学生对抛物线的理解。
2. 能力目标：培养学生观察、分析和解决抛物线相关问题的能力，提高其数学思维和解题能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学学习兴趣和自信心。
二、教学重点与难点1. 重点：抛物线的基本概念、性质和相关公式的复习。
2. 难点：运用抛物线的相关知识解决实际问题。
三、教学准备1. 教学工具：投影仪、电脑、教学PPT。
2. 教学素材：抛物线的相关例题和练习题。
四、教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一张抛物线的图片，引导学生回顾抛物线的基本形状和特点，并与学生进行简要的讨论。
2. 复习抛物线的基本概念（15分钟）通过教学PPT，复习抛物线的定义、顶点、对称轴、焦点和准线等基本概念，并与学生一起解析相关概念的含义和特点。
3. 复习抛物线的性质（20分钟）a. 复习抛物线的对称性：通过教学PPT，引导学生回顾抛物线的对称性，并通过具体例题进行巩固。
b. 复习抛物线的焦点和准线：通过教学PPT，讲解焦点和准线的定义和性质，并通过实例演示焦点和准线的求解方法。
4. 复习抛物线的相关公式（20分钟）a. 复习抛物线的顶点坐标：通过教学PPT，复习抛物线顶点坐标的计算方法，并通过例题进行巩固。
b. 复习抛物线的焦点坐标：通过教学PPT，讲解焦点坐标的计算方法，并通过实例演示焦点坐标的求解过程。
c. 复习抛物线的准线方程：通过教学PPT，复习准线方程的推导和计算方法，并通过例题进行巩固。
5. 运用抛物线解决实际问题（25分钟）通过教学PPT，给出一些实际问题，引导学生运用抛物线的相关知识进行分析和解决。
教师可以提供一些具体实例，如抛物线的应用于建造设计、物理运动等领域，激发学生的学习兴趣和思量能力。
6. 小结与反思（10分钟）对本节课的内容进行小结，并与学生进行互动交流。
教学设计1：2.4.2抛物线的几何性质
2．4.2抛物线的几何性质◆知识与技能目标使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．◆情感，态度与价值观目标（1）培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
（2）培养学生观察，实验，探究与交流的数学活动能力。
◆能力目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力◆教学过程一.复习引入抛物线的定义及标准方程二.思考分析一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．三.抽象概括1．抛物线的简单几何性质2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F 的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：1．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线． 2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同． 4．抛物线的离心率e ＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p 的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y 2＝2px (p ≠0)知，对同一个x ，p 越大，|y |也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支． 四.例题分析及练习[例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.[感悟体会] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：训练题组11．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3yB ．y 2＝±6xC ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y【解析】依题意知抛物线方程为x 2＝±2py (p >0)的形式， 又p2＝3，∴p ＝6,2p ＝12，故方程为x 2＝±12y . 【答案】C2．平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．【解析】线段OA 的垂直平分线为4x ＋2y －5＝0， 与x 轴的交点为(54，0)，∴抛物线的焦点为(54，0)，∴其标准方程是y 2＝5x .【答案】y 2＝5x[例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨] 先证明x 轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [精解详析] 如图所示，设正三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上，且坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2. 又OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22， 即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，整理得(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0， ∴x 1＝x 2，由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称． 由此得∠AOx ＝30°， 所以y 1＝33x 1，与y 21＝2px 1联立， 解得y 1＝23p .∴|AB |＝2y 1＝43p .[感悟体会] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A ，B 两点关于x 轴对称．另外，抛物线方程中变量x ，y 的范围也是常用的几何性质．训练题组23．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．42【解析】双曲线的方程可化为x 23－y 2p216＝1，∴双曲线的左焦点为(－3＋p 216，0)． 又∵抛物线的准线为x ＝－p2，所以由题意得－ 3＋p 216＝－p 2， 解得p ＝4. 【答案】C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上．若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程．【解】如图，设等腰直角三角形OAB 的顶点A ，B 在抛物线上． 根据抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 由题意得A (2,2)在抛物线y 2＝2px 上， ∴p ＝1，抛物线的方程为y 2＝2x .[例3] 已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零． 故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点． ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， ∴直线的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)． ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴|AB |＝|AF |＋|BF | ＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k2＋2.又|AB |＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24.∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)． [感悟体会] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．训练题组35．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A.254 B.252 C.258D ．25【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l 的方程为y ＝43(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －2)，y 2＝8x ，得B 点的坐标为(12，－2)．∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝2＋8＋2＋12＝252.∴AB 的中点到准线的距离为254. 【答案】A6．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．【解】当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，如图．直线的方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2. ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上所述，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x . 五.课堂小结与归纳1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．六.当堂训练1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x【解析】显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线焦点在x 轴正半轴上，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .【答案】C2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)【解析】由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上．而F (14，0)，所以P 点的横坐标为18.代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)．【答案】B3．线段AB 是抛物线的焦点弦，F 为抛物线焦点．若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【解析】法一：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，AB 的方程为x ＝my ＋p 2.消去x 得y 2－2my －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－p 2. 又A 1(－p 2，y 1)，B 1(－p 2，y 2)，F (p2，0)，∴1A F ＝(p ，－y 1)，1B F ＝(p ，－y 2)， 则1A F ·1B F ＝p 2＋y 1y 2＝0，即∠A 1FB 1＝90°. 法二：如图所示，∵|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |， ∴∠1＝∠2，∠5＝∠6. 又∵AA 1∥BB 1∥x 轴， ∴∠1＝∠3，∠6＝∠4， ∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°， ∴∠3＋∠4＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 【答案】C4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2.由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．【答案】C5．设点A 是抛物线y 2＝4x 上一点，点B (1,0)，点M 是线段AB 的中点．若|AB |＝3，则M 到直线x ＝－1的距离为________．【解析】由题意知点B 即为抛物线的焦点， 直线x ＝－1即为抛物线的准线，如图．∵|AB |＝3，∴|AA ′|＝3.又|BB ′|＝2，MM ′即为梯形BB ′A ′A 的中位线，∴|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝52.【答案】526．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．【解析】抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横坐标为52， 因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72.【答案】727．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是5，求此抛物线的方程．【解】如图，设直角三角形为AOB ，直角顶点为O ，AO 边的方程为y ＝2x ， 则OB 边的方程为y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得A 点坐标为(p 2，p )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，y 2＝2px ，得B 点坐标为(8p ，－4p )． ∵|AB |＝53， ∴(p ＋4p )2＋(p2－8p )2＝5.∵p >0，解得p ＝21313，∴所求抛物线方程为y 2＝41313x .8．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上两点，O 为坐标原点．若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB 的方程．【解】由抛物线的性质知A ，B 关于x 轴对称． 设A (x ，y )，则B (x ，－y )，焦点为F (p2，0)．由题意知AF ⊥OB ， 则有y x －p 2·－y x ＝－1.∴y 2＝x (x －p2)，2px ＝x (x －p2)．∴x ≠0.∴x ＝5p2.∴直线AB 的方程为x ＝5p2.。
抛物线教学设计抛物线优质教案
抛物线教学设计抛物线优质教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第二册第四章第四节《抛物线》，详细内容包括：1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的标准方程；2. 能够分析抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；3. 学会运用抛物线知识解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线的性质及其在实际问题中的应用；2. 教学重点：抛物线的定义、标准方程及性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：利用多媒体展示抛物线在实际生活中的应用，如篮球投篮、抛物线运动等，引导学生观察并思考抛物线的特点。
2. 例题讲解：（1）抛物线的定义及标准方程；（2）抛物线的性质，如顶点、对称轴、焦点、准线等；（3）抛物线在实际问题中的应用。
3. 随堂练习：（1）判断下列图形是否为抛物线，并给出理由；（2）求抛物线 y = 2x^2 + 4x + 3 的顶点、对称轴、焦点和准线；（3）已知抛物线的顶点为（1, 3），过顶点的直线与抛物线相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。
4. 小组讨论：学生分组讨论，共同解决随堂练习中的问题，教师巡回指导。
六、板书设计1. 抛物线的定义及标准方程；2. 抛物线的性质；3. 例题解答步骤；4. 随堂练习解答。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求抛物线 y = x^2 + 4x + 5 的顶点、对称轴、焦点和准线；（2）已知抛物线的焦点为（2, 0），求抛物线的标准方程；（3）抛物线 y = 2x^2 + 4x 3 与直线 y = x + 1 相交于点A、B，求线段AB的中点C的坐标。
2. 答案：（1）顶点：（2, 9），对称轴：x = 2，焦点：（2, 3），准线：y = 3；（2）抛物线的标准方程：y = 4(x 2)^2；（3）中点C的坐标：（1/2, 7/4）。
抛物线教学设计抛物线教案
抛物线教学设计抛物线教案一、教学内容本节课选自高中数学必修二第三章第四节“抛物线及其性质”。
具体内容包括：抛物线的定义、标准方程、图形及其性质；抛物线焦点、准线的概念及计算；抛物线在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握抛物线的定义、标准方程、图形及其性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线概念及其计算方法。
3. 能够运用抛物线知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点教学难点：抛物线的焦点、准线概念及其计算方法。
教学重点：抛物线的定义、标准方程、图形及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、量角器。
五、教学过程1. 导入新课通过展示生活中的抛物线实例（如拱桥、篮球抛物线等），引导学生观察并思考抛物线的特点，激发学习兴趣。
2. 基本概念（1）抛物线的定义：平面内到一个定点（焦点）距离等于到一条定直线（准线）距离的点的轨迹。
（2）抛物线的标准方程：y^2=2px（p>0）。
3. 图形及其性质（1）图形：以焦点为顶点，准线为对称轴的开口图形。
（2）性质：① 对称性：抛物线关于准线对称。
② 顶点：抛物线的最低点（或最高点），即焦点所在点。
③ 焦半径：从焦点到任意一点的线段长度。
④ 准线方程：x=p/2。
4. 焦点、准线计算（1）已知抛物线方程，求焦点、准线。
例如：y^2=8x，求焦点和准线。
解：由y^2=2px，得p=4。
故焦点为(2,0)，准线为x=2。
（2）已知焦点、准线，求抛物线方程。
例如：已知焦点为(2,0)，准线为x=2，求抛物线方程。
解：由焦点到准线的距离为p/2=2，得p=4。
故抛物线方程为y^2=8x。
5. 实际应用（1）篮球运动员投篮时，篮球的轨迹为抛物线，已知篮球筐距离地面3米，求运动员投篮时篮球的最大高度。
（2）已知抛物线y^2=4x，求该抛物线与直线y=x+2的交点坐标。
6. 随堂练习（1）求抛物线y^2=12x的焦点和准线。
2023年最新的抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇
2023年最新的抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇抛物线的定义及其标准方程教学设计案例5篇抛物线的定义及其标准方程教学设计案例(1)[文件] sxgjieja0004.doc[科目] 数学[年级] 高中[章节][关键词] 抛物线/标准方程[标题] 抛物线的定义及其标准方程[内容]抛物线的定义及其标准方程教学目标1.使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题.2.通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明.3.培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题.教学重点与难点抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点.教学过程师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义.生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线.(计算机演示动画——图2-45)(1)不防设定点F到定直线l的距离为p.(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律.同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础.师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的大胆地猜一猜!(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示.)师：同学的猜测对不对呢请同学看屏幕.(图2-46)我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1的点的轨迹.师：你见过这种曲线吗(抛物线)这就是我们这节课主要的研究对象.(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)师：能否给抛物线下个定义生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线.师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.师：它的方程是什么样子呢我们可以预先做一个估计.如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：x2a2+y2b2=1.如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：x2a2-y2b2=1.在方程中都仅有x、y的二次项.当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化生；在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线.)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式.师：同学的猜测对不对呢可否从理论上给予说明生：建立直角坐标系.师：如何建立学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x,y).师：点M满足什么条件生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1.师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件生：由于｜KF｜=p，故点F的坐标为：(p/2,0)，直线l的方程为：x=-p/2，由条件可得： =｜x+p/2｜.请同学化简上试，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px.(1)师：显然符合预想的形式.这个方程就叫作抛物线的标准方程.在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程生：二次函数的表达式.师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致.师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况.(计算机演示——图2-49)师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由.观察图形，分辩这些图有何相同点和不同点.生：共同点有：①原点在抛物线上.②对称轴为坐标轴.③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一.不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py.②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号.开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号.师：作为应用，请同学们看下面的例题.(展示投影)例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程.(1)解根据题意可得：2p=6,故p=3，所以焦点坐标为(32,0)，准线方程为x=-32(2)分析要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值.解因为焦点在y轴的负半轴上，并且p/2=2,p=4，所以它的标准方程是：x2=-8y.例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1,y2.求y1·y2的值.(计算机演示图表——图2-49)师：首先弄清题意——条件有哪些求什么如何求生：已知y1, y2是交点的纵坐标，要求y1·y2，可将x=p/2代入方程求解. (师板书)解将x=p/2代入抛物线方程得交点的纵坐标分别为-p和p故y1·y2=-p2.师：还有其他办法吗可否根据抛物线的定义生：如图2-50，根据抛物线的定义，｜AF｜=｜BF｜=｜AM｜=p，故y1·y2=-p2.引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样(计算机演示动画——图2-51)师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了.怎样求交点坐标生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解.师：如何建立直线方程生：利用点斜式.(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程.)解设直线方程为：y=k(x-p/2).与抛物线方程联立，消去x可得：y2-2p/k-p2=0，故：y1·y2=-p2.引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系(计算机演示动画——图2-52)学生乙：以AB为直径的圆和准线相切.师：能否给予证明这作为思考题，请同学们课下完成.师：请同学小结这节课的内容.(抛物线的定义：p的几何意义；标准方程的4种形式.)作业：课本第98页习题八：1，2.设计说明1.关于教学过程(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一.(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养.这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2.(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3.2.关于教学重点为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点.3.关于教学方法按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式.4.关于教学手段利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处.(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系.(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M 的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强.(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果.5.关于教学过程(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础.(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明.即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质.(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯.(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力.(北京市陈经纶中学黎宁)抛物线的定义及其标准方程教学设计案例(2)高二数学《抛物线的定义及其标准方程》教学设计设计: 曾庆华上杭二中点评: 范慧芝龙岩二中一、概述· 高二年数学选修1-1· 选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》· 第3节《抛物线的定义与标准方程》·本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。
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附件：教学设计方案模板
（一）．复习旧知，引入新课
y
x
o
二次函数是开口向上或向下的抛物线。
（二）．设置情景，导入课题
（借助多媒体）先给出一组图片。
（此时学生的兴趣来啦！）生活中存在着各种形式的抛物线
生：这弧线是抛物线！
师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。
（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）
【学情预设】学生被教师设置的情景所吸引，学习的热情高涨。
【设计意图】一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活
动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。
(三）．引导探究，获得新知
师：在初中我们已经从函数角度学过抛物线，那么，这一节课我们将冲破初中的界限从曲线和方程的角度来学习抛物线。
1.抛物线定义
固定在黑板上，再将磁铁固定在定点上，拉紧白线，就可以画
师：同学们的设计让我们看到了这条曲线上的一个点，那么怎么画满足1
e 的图象呢？（课堂又一片寂静）（出示预先准备的圆锥曲线教具）
师：现在我介绍这个教具的用法，将直尺与定直线重合，竖直
出来了。
谁上来试试？
（两位学生积极上台板演）
师：这两位同学表现非常好！这就是我们见过的拋物线！
【活动设计】两位学生上台演示教具画抛物线的过程。
【学情预设】教师应先介绍教具的使用方法，然后学生尝试。
在尝试的
过程中，学生可能会遇到困难，教师应给予指导。
【设计意图】体现数学实践在数学学习中的地位和作用，同时教师应多
鼓励学生，多引导学生间进行合作交流，培养合作学习的意识，体验成
功带来的喜悦。
师：接下来我也来演示下抛物线的形成过程。
（打开几何画板软件）
师：认真观察P点的运动过程，你们有什么发现？（利用几何画板软件同步动态演示）
生：AP PC
+和AP PF
+等于AC，所以点P在运动时，CP始终等于PF。
师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！
师：那这样画出来的图象也是？
众生：抛物线！
师：很好！
【活动设计】利用几何画板软件演示抛物线的形成过程。
【学情预设】学生惊讶！计算机软件居然能演示抛物线形成的过程，学
生学习的兴趣再次调动起来！
【设计意图】强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中
的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣。
至此本节的难点得
以突破。
师：以前我们是用描点法画出抛物线，那今天我们怎么画？
众生：教具，电脑……
师：现在变换教具的位置，那么画出的图象还是抛物线吗？
众生：是。
师：这说明了什么？
生：画抛物线与位置无关。
师：所以今天我们就巧妙地利用几何知识和计算机等方式画出了整个图象。
师：现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！
生：到点F的距离和到直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
师：这样归纳完整吗？
生:应该说，平面内到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。
生：还要注意定点不能在定直线上。
师：为什么啊？
师：如果这样，就只能找到一个点。
师：说得很好！这里F 叫做拋物线的焦点，定直线L 叫做拋物线的准线。
【学情预设】学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳。
【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。
2.抛物线的标准方程
以垂线段KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，此时得方程：
()220y px p =>
师：我们就把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x 轴对称。
【活动设计】以原来的四人小组为单位，讨论建立直角坐标系的方案，一段时间后，各组交流，对可行的方案进行验证。
【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。
（打开计算机里的表格，学生迅速完成表格内容！）
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
()
220y px
p =>
,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
2
p
x =-
()
220y px
p =->
,02p ⎛⎫- ⎪⎝⎭
2
p
x =
()
220x py
p =>
0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2
p
y =-
()
220x py
p =->
0,2p ⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 2
p
y =
F
K L 图1
x
•
y
F
K L
图2
x
y
F K
L
图3
x
y
•
师：你们完成的过程有没什么发现？
生：从()220y px p =>的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。
生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
和
准线方程为2
p x =-。
师：还有吗？
生：抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个自由量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个自由量。
师：观察很敏锐，分析很透彻，很好！
【学情预设】通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。
【设计意图】引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。
(四).例题精讲
例1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）x y 202= （2） 22x y = （3）0522=+x y （4）082=+y x 例2．根据下列条件，写出抛物线的标准方程。
（1） 焦点是F （-2,0）.
（2） 准线方程是41
-=x .
（3） 焦点到准线距离是2.
例3.求过点A （-3,2）的抛物线的标准方程。
(五).课堂练习： 课本
59
P 页 1、2题
(六).课外作业： 课本46P 页 1、2题 (七).课外思考：
有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物
线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m ，篮框高为3m ，篮框中心离最高点的水平距离为2m ，怎么求投中时抛物线的方程？（生思考） 【学情预设】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引。