闭环零点对二阶系统的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响
闭环零极点及偶极子对系统性能的影响1. 综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。
系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性;稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。
在本文中，采用增加或减少零极点以及高阶零极点的分布来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件matlab通过编程来绘制系统的冲激响应、阶跃响应、斜坡响应及速度响应曲线，研究系统的零极点及偶极子对系统性能的影响。
2. 稳定性分析稳定性是指控制系统偏离平衡状态后，自动恢复到平衡状态的能力。
系统稳定是保证系统能正常工作的首要条件。
稳定性是控制系统最基本的性质。
线性定常系统稳定的充分必要条件:闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分(不包括虚轴)。
因此研究零极点及偶极子对系统稳定性的影响即研究系统的极点是否都具有负实部，而不必关心系统的零点情况。
若系统的极点都具有负实部，则系统是稳定的。
否则，系统就不稳定。
为了用matlab对上述结论进行验证并根据上述稳定性的定义，下面用 ,(t)函数作为扰动来讨论系统的稳定性。
如果当t趋于?时，系统的输出响应c(t) lim()0ct,收敛到原来的零平衡状态，即，该系统就是稳定的。
t,,设系统的闭环传递函数为: s10， ,=2 (1)(22)sss，，，当系统分别增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，1/(s-2)，(s+3)/(s+3.01)，(s-3)/(s-3.01)等环节时，画出各自的冲激响应曲线如图1.注:matlab源程序见附录1.图1由以上matlab仿真结果可以看出，当增加(s+5)，(s-5)，1/(s+2)，(s+3)/(s+3.01)等环节时，c(s)最终能收敛到原来的零平衡状态，系统稳定。
02240机械工程控制基础
02240机械工程控制基础第一章绪论1.1控制理论的发展简史（了解）1.2机械工程控制论的研究对象1）机械工程控制理论主要是研究机械工程技术为对象的控制论问题。
2）当系统已经确定，且输出已知而输入未知时，要求确定系统的输入以使输出并根据输出来分析和研究该控制系统的性能，此类问题称为系统分析°3）最优控制制：当系统已经确定，且输出已知而输入已施加但未知时，要求识别系统的输入以使输出尽可能满足给定的最佳要求。
4）滤波与预测问题当系统已经确定，且输出已知，输入已施加当未知时，要求识别系统的输入（控制）或输入中的有关信5）当输入与输出已知而系统结构参数未知时，要求确定系统的结构与参数，即建立系统的数学模型，此类问题及系统辨识。
6）当输入与输出已知而系统尚未构建时，要求设计系统使系统在该输入条件下尽可能符合给定的最佳要求，此类问题即最优设计。
1.3控制系统的系统的基本概念1）信息传递是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递的过程。
2）系统是指完成一定任务的一些部件的组合。
3）制制系统是指系统的可变输出能按照要求的参考输入或控制输入进行调节的系统。
4）系统分类：按照控制系统的微分方程进行分类分为线性系统、非线性系统。
按照微分方程系数是否随时间变化分为定常系统和时变系统。
按照控制系统传递信号的性质分类分为连续、离散系统。
按照系统中是否存在反馈将系统分为开环控制、闭环控制系统。
5）对控制系统的基本要求有稳定性、快速性、准确性第二章拉普拉斯变换的数学方法2.3典型时间函数的拉式变换（必须牢记）1）单位阶跃函数为，2）单位脉冲函数为，单位脉冲函数具有以下性质3）单位斜坡函数为，L（t）?第三章系统的数学模型....3.1概述1）数学模型概念在控制系统中为研究系统的动态特性而建立的一种模型。
2）建立数学模型的方法有分析法和实验法。
3）线性系统最重要的特性是叠加原理,具体内容是系统在几个外加作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。
闭环零点对二阶系统的影响
完全书本上的理论：闭环零点是系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。
闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。
这个从系统结构上是可以推导出来的结论。
一想到零点，我们会想到比例微分环节，那么这个比例微分环节，放在前向通道和反馈通道，作用上会有什么不同吗？谈到零点，我们最先想到的是微分环节，事实上，单纯的微分环节是不存在的。
对一个信号取微分，也就是相当取这个信号的变化率。
一个脉冲信号，上升沿变化率近似于无穷大，而运放的输出能量是有限的。
能产生零点的基本环节有比例微分环节PD，比例积分环节PI。
先来看，在一个传递函数的分子中，加入一个零点，而分母不变，会有什么影响呢？以欠阻尼二阶系统G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比=0.5）为例，与另一个系统G=4(s+1)/(s^2+2*s+4）的单位阶跃响应比较。
绿色是加入零点的，蓝色是没有零点的。
从这个例子，我们可以得到一个很简单的结论：传递函数分母不变，分子中串入零点，瞬态响应变快，超调量增加。
举个例子，还是以传递函数G=4/(s^2+2*s+4)(阻尼比=0.5）作为控制对象，采用比例微分环节（1+0.5*s)去控制它。
而根据比例微分环节加入整个系统的位置不同，可以分为两种：一种是放在前向通道，一种是放在反馈通道。
下面以采用这两种校正方式后的单位阶跃响应，来看看它们有什么不同~(1)、将校正环节串入系统的前向传递通道（绿色）：sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；sys3=series(sys2，sys)，sys4=feedback(sys3，1)；step(sys4)；hold on；(2)、将校正环节作为系统的反馈通道（蓝色）：sys=tf([4]，[1，2，0])；sys2=tf([0.5，1]，[1])；sys3=feedback(sys，sys2)；step(sys3)；(3)、原系统的单位反馈（红色）：sys0=tf([4]，[1，2，4])；step(sys0)；从上面的小例子，我们可以得出一个很实用的结论：校正环节加入系统前向传递通道形成闭环，会在闭环传递函数中形成一个零点并增大阻尼比，故时域响应能够同时降低超调和提高瞬态响应。
闭环传递函数的零点和极点
任务名称：闭环传递函数的零点和极点一、引言闭环控制系统在工程中发挥着重要的作用，而传递函数则是描述该系统的重要工具之一。
闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。
本文将对闭环传递函数的零点和极点进行全面、详细、深入地探讨。
二、传递函数简介1.传递函数概念传递函数是闭环控制系统中的重要概念，描述了输入和输出之间的关系。
它是输出与输入的比值，通常采用符号G(s)表示。
2.传递函数的形式传递函数的一般形式为：G(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别表示分子和分母多项式。
3.零点和极点的定义传递函数的零点和极点是使其分子和分母等于零的解，分别用zi和pi表示。
零点是使传递函数等于零的输入，极点则是使传递函数的值无穷大的输入。
三、零点的影响1.零点对系统稳定性的影响零点的位置决定了系统的稳定性。
当零点位于左半平面时，系统是稳定的；当零点在右半平面时，系统是不稳定的。
2.零点对系统频率响应的影响零点的位置还会影响系统的频率响应特性。
当零点位于高频处时，系统对高频信号具有抑制作用；当零点位于低频处时，系统对低频信号具有抑制作用。
3.零点对系统阶数的影响零点的个数也会决定系统的阶数。
零点的个数等于传递函数的分子多项式的阶数，系统的阶数等于分子多项式的阶数减去分母多项式的阶数。
四、极点的影响1.极点对系统稳定性的影响极点的位置同样决定了系统的稳定性。
当极点位于左半平面时，系统是稳定的；当极点在右半平面时，系统是不稳定的。
2.极点对系统频率响应的影响极点的位置会进一步影响系统的频率响应特性。
当极点位于高频处时，系统对高频信号具有增益；当极点位于低频处时，系统对低频信号具有增益。
3.极点对系统阶数的影响极点的个数等于传递函数的分母多项式的阶数，系统的阶数等于分母多项式的阶数。
五、总结闭环传递函数的零点和极点是评估系统性能和稳定性的重要指标。
对零点和极点的研究可以帮助我们理解系统的频率响应特性、稳定性以及阶数等方面的问题。
闭环实负零点对二阶系统的影响
闭环实负零点对二阶系统的影响作者 jiangteng 班级 09电本2班 学号4090208230摘 要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。
然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。
关键字：闭环零点 二阶系统 欠阻尼0 引言由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。
二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。
对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。
在阻尼比0≤ξ时，系统不能正常工作，而在1≥ξ时，系统动态响应进行的又太慢。
所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（10<<ξ）时是最有实际意义的。
下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。
1. 典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1 二阶系统传递函数的标准形式开环传递函数：()()n nK s s s W ξωω22+=闭环循环传递函数：()2222nn nB s s s W ωξωω++= 二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示：1.2 二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，()ss X r 1=输出量的拉氏变换为图 1-1 二阶系统标准形式的结构图()()ss s s X n n n c 12222⨯++=ωξωω ⑴ 系统的特征方程为0222=++n n s s ωξω由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比ξ有关。
这里只讨论欠阻尼的情况。
当0<ξ<1时，特征方程式的根为 ()n j p ωξξ211---=- ()nj p ωξξ221-+-=-由于0<ξ<1，故1p -及2p -为一对共轭复根，如图1-2所示。
闭环实负零点对二阶系统的影响
闭环实负零点对二阶系统的影响作者 jiangteng 班级 09电本2班 学号4090208230摘 要：本文采用拉普拉斯变换的方法，首先研究了二阶系统在单位阶跃输入下的响应，并对二阶系统的传递函数及其动态性能指标进行了详细的讨论。
然后重点研究了闭环零点对二阶系统的传递函数及其在单位阶跃响应的动态性能指标的影响，并得出了相应的结论。
关键字：闭环零点 二阶系统 欠阻尼0 引言由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
二阶系统形式简单而且应用广泛，同时，高阶系统的研究也往往通过选取主导极点将系统简单化为二阶系统。
二阶系统有两种结构形式，一种是无零点二阶系统，一种是有零点二阶系统。
对二阶系统的研究，主要是研究单位阶跃响应和动态性能指标。
在阻尼比0≤ξ时，系统不能正常工作，而在1≥ξ时，系统动态响应进行的又太慢。
所以，对二阶系统来说，欠阻尼情况下（10<<ξ）时是最有实际意义的。
下面将讨论这种情况下两种结构形式的二阶系统。
1. 典型二阶系统的传递函数和状态方程1.1 二阶系统传递函数的标准形式开环传递函数：()()n nK s s s W ξωω22+=闭环循环传递函数：()2222nn nB s s s W ωξωω++= 二阶系统标准形式的结构图如下图1-1所示：1.2 二阶系统的单位阶跃响应及其动态响应假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，()ss X r 1=图 1-1 二阶系统标准形式的结构图输出量的拉氏变换为()()ss s s X n n n c 12222⨯++=ωξωω ⑴ 系统的特征方程为0222=++n n s s ωξω由上式可解除特征方程式的根，这些根与阻尼比ξ有关。
这里只讨论欠阻尼的情况。
当0<ξ<1时，特征方程式的根为 ()n j p ωξξ211---=- ()nj p ωξξ221-+-=-由于0<ξ<1，故1p -及2p -为一对共轭复根，如图1-2所示。
3-4 二阶系统(过阻尼)
E F
e 1t p
4.1 4.63
e 1.850.9
21.4
0 0
主导极点分布图
3 ln A E 3 ln 3.16 4.1
ts
D F
1
2.74 4.63 2 1.58
课程小结（1）
§3.4.3 x 1 临界 / 过阻尼 时系统动态性能指标的计算 (2)
虚轴的“偶极子” （3）按P76表3-1相应公式估算系统动态性能
§3.5 高阶系统及性能估计（3）
高阶系统闭环零极点分布图
§3.5 高阶系统及性能估计（4）
例2 已知某高阶系统的主导零极点分布入图所示， 估算其动态指标。
解.
tp D
3.14 0.73 0.9 2.74
0 0
1时系统极点的两种表示方法3动态指标计算公式4最佳阻尼比概念举例351高阶系统单位阶跃响应352闭环主导极点353估算高阶系统动态指标的零点极点法距离虚轴最近而且附近又没有零点的闭环极点1绘出闭环零极点分布图2保留主导极点略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的偶极子3按p76表31相应公式估算系统动态性能高阶系统闭环零极点分布图主导极点分布图例2已知某高阶系统的主导零极点分布入图所示估算其动态指标
j 1
M (0) 1 n M (s)
1
D(0) s j1 sD(s) s j s j
j1
M (0) n M (s)
c(t)
ekt
D(0) j1 sD(s) s j
M (0) D(0)
i i
M(s) sD( s )
第二节增加零极点对二阶系统响应的影响-精选
（2）单位斜坡输入时的稳态误差
设系统输入为单位斜坡信号，R(s)
1 S2
系统的稳态误差为：
ess ls i01 m G (s s)H (s)s 1 2ls i0s m (G s1 )H (s)
令：
K vls i0 m sG (s)H (s)
K定义为速度误差系数，所以：
e ss
1 Kv
对于0型系统，N=0，则：
表3—2 二阶系统附加零点对性能指标的影响
n2 (s a)
这是由于： C(s) GS2 B R(2 s ) n 2n sS 2 an 2 2R (nss)Sn22 R2 ( sa )n 2n sn 2s(R s)
即：
C0(s)1asC0(s)
c(t)c0(t)a1dd0c(tt)
从上式可以看出，系统的阶跃响应中包含有标准二阶系 统的阶跃响应及该响应的导数，导数项的大小与零点成反 比，即零点距离虚轴越远，附加零点的影响就越小。
一、 稳态误差的概念
如图3-23所示，对于单位反馈 系统，稳态误差定义为：
R(s)
e s se ( ) lt ir m (t) c (t)
E(s)
-
G(s)
C(s)
表示稳态时系统实际输出值与希 望输出值间的偏差。
图3-23单位反馈系统
如图3-24所示，对于非单位反馈 系统，稳态误差定义为：
R(s) E(s)
第三节 反馈系统的稳态误差
稳态误差是对系统精度的一种衡量，它表达了系统实 际输出值与希望输出值之间的最终偏差，系统对典型输 入信号（包括扰动信号）作用下的稳态误差要求是最基 本的要求。
本节主要内容：是研究具有 不同结构或不同传递函数 的系统在不同的输入信号作用下产生的稳态误差，以及系 统静特性不稳定或参数变化对系统稳态响应的影响，相应 的如何降低系统的稳态误差。
论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
论闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响摘要：实际工作中常常可以把一个高阶系统降为二阶系统来处理,因此分析二阶系统的单位阶跃响应,对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡,但阻尼比ξ取值恰当,则系统既有响应的快速性,又有过渡过程的平稳性,因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。
大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点,则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。
本文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。
通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性各个方面的对比,以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。
关键词：自动控制二阶系统零点0.的系统,1. S 的最高1.11.2故X 其中n d ωξω21-=ξξθ21arctan-=1.3二阶系统极点分布图1.4二阶系统动态特性1.4.1得1.4.21.4.3得 %100%21⨯=--ξδe ④1.4.4调节时间s t()ns t ξω4%2= 8.00<<ξ⑤2. 具有零点的二阶系统的动态分析2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数带零点的二阶系统结构图： σ具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：τ——时间常数 令τ1=z,则上式可写为如下形式： )2()()()(222n n n w s w s z z s w s Xr s Xc +++=ξ ⑥由式⑥可得,其系统的闭环传递函数具有零点-z,是具有零点的二阶系统将式⑥分解,由222)()(1n s Xr w s Xc =得)(11)(s Xc s Xc s Xc += 2.2=1)(t x c ： 令r r 由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式,即为公式⑩。
3.具有零点的二阶系统的动态性能指标由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式：3.1上升时间在动态过程中,系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间r t 。
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响
闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响作者：单位：邮编：摘要在工程上电路中出现两个储能元件时便构成了二阶系统。
由于欠阻尼二阶系统最具有实际意义，并且二阶系统往往需要满足工程最佳参数的要求，然而仅仅通过改变开环放大系数从而满足工程要求则可能会出现系统稳态误差增大的现象，设置具有闭环零点的二阶系统既可以达到满足工程所需的阻尼比，又可保证系统稳态精度。
在全面的分析了二阶系统之后，得出二阶系统的动态变化，由此引入带有零点的二阶系统，并分析了在欠阻尼状态下二阶系统的单位阶跃响应，并分析了其上升时间、峰值时间、调节时间、最大超调量，与没有零点的二阶系统进行了动态特性的对比。
在此基础上分析了零点位置变化对二阶系统的影响。
得到了重要结论。
关键字：二阶系统上升时间峰值时间调节时间最大超调量0 引言在已经知道了二阶系统的动态特性的基础之上，进一步研究具有闭环零点的二阶系统。
并通过对比二阶系统和具有闭环零点的二阶系统，得出一定的结论。
讨论当零点移动时对动态特性的影响。
对满足工程所需的阻尼比，保证系统稳态精度具有重要作用。
1 二阶系统用二阶微分方程描述的系统成为二阶系统。
等效开环传递函数方框图：其闭环传递函数方框图：其中n ω无阻尼自然振荡角频率，ξ为阻尼比。
W B （s ）=2n 22n 2ns s ＋ωξω＋ω （1-1） 二阶系统的特征方程为：2n 22n s s ＋ωξω＋=0两根为S 1,2=12n n －ξω－ξω 二阶系统极点分布图：2n 22n 2n s s ＋ωξω＋ω X r (s) X c (s)1、当ξ>1时，（过阻尼）2、当0<ξ<1时，（欠阻尼）3、当ξ=1时，（临界阻尼）4、当ξ=0时，（无阻尼）5、当ξ<0时，（发散振荡）在不同的阻尼比时，二阶系统的动态响应有很大的差别，因此阻尼比ξ是二阶系统的重要参数，当ξ<0时系统不可以正常工作，而在ξ>1时，系统动态响应进行得太慢，所以对二阶系统来说欠阻尼是最有实际意义的。
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闭环零点对二阶系统暂态响应的影响耿廑 09电本4班 4090208409摘要：由于实际工作中对高阶系统的研究常常是将其降为二阶系统，因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。
大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二阶系统来表达。
本文以二阶系统为例分析了其在单位阶跃信号下的时域响应。
比较了其在有闭环零点与没有闭环零点上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间暂态特性等各个方面的不同。
并探究了不同位置下闭环零点对系统的不同影响。
关键：闭环零点 二阶系统 自动控制 暂态特性0 引言二阶系统是工程中常用到的系统，不仅仅是研究二阶系统本身，而且研究高阶系统也是将其化为二阶系统，因此二阶系统是个非常重要的系统，欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。
二阶系统的单位阶跃响应最能反映二阶系统的本质特性。
在实际生产中，二阶系统要满足工程最佳参数，而通过改变开环放大系数的方法会增大系统的稳态误差，为了满足这一要求的同时还能保证系统稳态的精度，常用设置零点的方法来做到。
本文就是对闭环零点对二阶系统影响做了描述。
1 二阶系统简单描述一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S 的最高次项决定的。
二阶系统就是S 的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。
简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。
二阶系统结构图见图1图1由图可知二阶系统开环传递函数为：()()n nK s s s W ξωω22+=二阶系统闭环传递函数为：()2222nn nB s s s W ωξωω++=二阶系统单位阶跃响应为：当输入为单位阶跃信号()ss X r 1=时其响应为：()()2222nn nc s s s s X ωξωω++=取拉氏逆变换有()()θωξξω+--=-t et X d tc n sin 1120≥t①其中n d ωξω21-= ξξθ21arctan-=图2二阶系统单位阶跃响应仿真图二阶系统极点分布图见图3：图3二阶系统动态特性 上升时间 r t令①中r t t = ()1=t X cσ则有()0sin 12=+--θωξξωr d t t ern得ndr t ωξθπωθπ21--=-=②峰值时间 m t 令①中()0=dtt dx c 则第一个峰值对应的时间ndm t ωξπωπ21-==③最大超调量 %δ 由于()()%100%⨯∞∞-=c c cm X X X δ 且()1=∞c X得%100%21⨯=--ξξπδe④调节时间 st()ns t ξω3%5=8.00<<ξ()ns t ξω4%2=8.00<<ξ ⑤2 具有零点的二阶系统的动态分析具有零点的二阶系统结构图及传递函数 带零点的二阶系统结构图见图4：图4具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：)(s c)2(1)1(2)1()()()(222222n n n nn nB w s w s s w w s w s s w s Xr s Xc s W +++=+++==ξττξττ——时间常数令z 1=τ，则上式可写为如下形式：)2()()()(222n n n w s w s z z s w s Xr s Xc +++=ξ ⑥由式⑥可得，其系统的闭环传递函数具有零点-z ，是具有零点的二阶系统将式⑥分解，由2222)()(1nn n w s w s s Xr w s Xc ++=ξ得 )(11)(s Xc zs Xc s Xc +=具有零点的二阶系统的单位阶跃响应： 为求其阶跃响应，设ss Xr 1)(=，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为])2([)(22211n n nc w s w s s w t x ++=-ξdtt dx zt x s Xc s Xc zs t x c c c )(1)()](1[)](1[)(1111+=+=-- ⑦求出⑦中两项然后相加即得输出量，经过运算得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--++----=-)1cos(1)1sin(11)(2222θξξθξζξξt w w lt w l w z z l et x n n n ntw c n ⑧上述式子中的l 为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设零点在极点左侧）：由图5可知：υξυξξξsin 1cos )1()(22221=-=--+-=-=lw lw z w w z p z l n nn nσ 图5复平面上的零点与极点分故式子⑧可以写成：()θυξξξ++---=-t w zl et x n tw c n 221sin11)(⑨式子中：ξξθ21arctan-=nn w z w ξξυ--=21arctan2222zw w z z zl nn +-=ξ令zw r nξ=，则上式中的zl可以写为22221rr z l +-=ξξr 代表闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部之比。
因此式子⑨可以写为：)1sin(121)(22222υθξξξξξ++--+--=-t w err t x n tw c n≥t⑩由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公式⑩。
3 具有零点的二阶系统的动态性能指标由公式⑩得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式：)1sin(121)(22222υθξξξξξξ++--+--=-t w err t x n tw c n 0≥t3.1 上升时间在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间r t 。
根据定义在公式⑩中令r t t =时，1)(=t x c ，得)1sin(1222222υθξξξξξ++--+--t w err n tw n =0但在∞<t 期间，即没有达到最终稳定之前，tw n err ξξξξ--+-222212>0，所以使上式为0的原因是)1sin(2υθξ++-t w n =0，因此讨论)1sin(2υθξ++-t w n =0所出现的情况。
由)1sin(2υθξ++-t w n =0得： υθξ++-t w n 21=πnr w t 21ξυθπ---=○11 由上式可以看出上升时间r t 受到n w ，ξ，υ，θ的影响，当n w ，ξ，θ图6 零点实部小于极图7 零点实部等于极图8 零点实部大于极由图6，图7，图8可以看出随着z 值的减小，零点越来越靠近虚轴，υ值逐渐增大，由○11可得r t 逐渐减小。
3.2 最大超调量σ%最大超调量发生在第一周期中m t t =时刻，即导数为0的时刻。
0)(==mt t c dtt dx得ξξυθξ221)1tan(-=++-t w n因此θππξξυθξ+=+-=++-n n t w n 221arctan1即 πυξn t w m n =+-21因为第一次达到最大值经过时间，因此n 取值为1，当n=1时，πυξ=+-m n t w 21nm w t 21ξυπ--=○12有式子○12可以看出，mt 的值随υ的值增大而减小，结合图6，图7，图8得到结论：z 值逐渐减小，υ值逐渐增大，m t 逐渐减小。
3.3 调节时间s t调节时间s t 是)(t x c 与稳态值)(∞c x 之间的偏差达到允许的范围而不再超出的动态过程时间。
在动态过程中的偏差为)1sin(1)()(22υθξξξ++--=-∞=∆-t w et x x x n tw c c n当02.005.0或=∆x 时采用近似计算法得到：05.012=--ξξtw n e（或0.02）由此求得调节时间为：ns w t ξ3%)5(≈， 0<ξ<0.9ns w t ξ4%)2(≈, 0<ξ<0.9由上面的两个式子可以看出，具有零点的二阶系统的调节时间只与ξ和n w 有关，与z 的大小无关。
3.4 振荡次数μ振荡次数是指在调节时间s t 内，)(t x c 波动的次数。
根据这一定义可得振荡次数为：fs t t =μ其中nf w t 212ξπ-=即阻尼振荡的周期时间。
由上述公式可以看出，振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频率n w 有关，因此振荡次数不受零点的位置影响，即与零点的大小无关。
3.5取不同零点时二阶系统暂态响应仿真图图9 有零点时二阶系统暂态响应仿真图（25.0z =）图9 有零点时二阶系统暂态响应仿真图（25.0z =）图10 有零点时二阶系统暂态响应仿真图（6=z ）图11有零点时二阶系统暂态响应仿真图（25.0z -=）4 结束语通过上述分析可以看出，有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统有很大的差别。
无零点的上升时间s t 只与阻尼ξ和振荡角频率n w 有关，而在具有零点的二阶系统中，上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。
由zw r nξ=可知，r 值越大，振荡性就越强。
最大超调量σ%也与零点的位置有关，z 值越小，υ值越大，影响m t 的值变小。
调节时间ns w t ξ3%)5(只与阻尼ξ和振荡角频率n w 有关，所以不受零点位置的影响，同样，振荡次数也不受其影响。
参考文献：1. 王建辉，顾树生自动控制原理[M],北京:清华大学出版社,20072. 吴麒, 自动控制原理[M] ,北京: 清华大学出版社,19903. 张元林, 积分变换[M] ,北京: 高等教育出版社,20034. 高国燊,余文杰等,自动控制原理[M],华南理工大学出版社,20065.胡寿松,自动控制原理[M] ,科学出版社,2007。