第六章 刚体的简单运动.

2.以矢积表示点的加速度 因为点M的加速度为 at
d ω dr d a (ω×r ) r ω dt dt dt
dv a dt
v = ω×r
an
v
a r v

ω×v O ω
r
上式右端第一项的大小为
×r
同理,右端第二项为法向加速度 ,即
r r sin R at 的方向与a 的方向一致 r t at r
an = ω×v
例题
试画出图中刚体上Ｍ¸ Ｎ两点在图示位置时的速度和加 速度。(O1 AO2 B,O1O2 AB)
因此M点的速度及法向加速度为
v r (0.4 100)m/s 40 m/s 2 2 2 an r (0.4 100 )m/s 4000 m/s2
6.3
轮系的转动比
一、齿轮转动 因两轮之间没有相对滑动，故
但 v B R22 , v A R11 因此
v A vB
6.2 刚体的定轴转动
一、转动方程 取转轴为z轴。通过轴线作一固 定平面Ⅰ,此外，通过轴线作一与刚 体固连的动平面 Ⅱ。这两个平面间 的夹角用j表示,称为刚体的转角。 转角j是一个代数量，它确定了 刚体的位置,它的符号规定为:从z轴正 向往下看,逆时针为正,反之为负。并 用弧度(rad)表示,当刚体转动时,转角 j是时间t的单值连续函数，即
6.2 刚体的定轴转动
例：叶轮由静止开始作匀加速转动。轮上M点：r =0.4m， 在某瞬时的全加速度a =40m/s2,与转动半径的夹角θ=30º 。 若t =0时，位置角j0=0，求叶轮的转动方程及t =2s时M点 速度和法向加速度。
6.2 刚体的定轴转动
at an
解：将M点在某瞬时的全加速度a沿轨迹的切 向及法向分解，则切向加速度及角加速度为
外啮合
内啮合
6.3
轮系的转动比
设轮Ⅰ是主动轮，轮Ⅱ是从动轮。 1 传动比： i12 2 1 n1 1 j1 R2 z 2 i12 2 n2 2 j 2 R1 z1 不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于轴成任意角度的圆 锥齿轮传动、摩擦传动等。 有时为了区分轮系中各轮的转向。对各轮都规定统 一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而转 动比也取代数值： 1 R2 z2 i12 2 R1 z1 正号表示两轮转向相同，负号表示转向相反。
6.3
二、皮带轮转动
轮系的转动比
轮Ⅰ为主动轮：r1、ω1 轮Ⅱ为从动轮：r2、ω2
如不考虑皮带的厚度，并假定皮带与轮间无相对滑动，则 于是皮带轮的传动比为
即：两轮的角速度与其半径成反比。
r11 r22 1 r2 i12 2 r1
6.3
轮系的转动比
例 2-4 下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为 Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13； (b)如果n1=3000r/min，求n3.
v
ω
O
r
ω×r
v ω r 证明： ω r ω r sin ω R v 的方向 与v的方向一致 ω r
于是可得结论： 绕定轴转动的刚体上任一点的速度 矢等于刚体的角速度矢与该点矢径 的矢积。
6.4 以矢量表示角速度和角加速度· 以矢积表示点的速度和加速度
τ aM
aN
n N
aN
vN

6 刚体的简单运动
结 束
s Rj
将上式对t求一阶导数，得
v R 上式可写成 即：转动刚体内任一点的速度的大小，等于刚体的角速 度与该点到轴线的距离的乘积，它的方向沿圆周的切线 指向转动一方。
ds dj R dt dt
6.2 刚体的定轴转动
转动刚体内各点速度分布规律：
6.2 刚体的定轴转动
二、转动刚体内各点的加速度
四、两种特殊情况 1.匀速转动 刚体角速度不变的转动，称为匀速转动。
j j 0 t
在工程实际中，匀速转动时，转动的快慢常用每分 钟转数n来表示，其单位为r/min（转/分），称为转速。 角速度ω与转速n的关系为
2n n 60 30
式中转速n的单位为r/min，角速度ω的单位为rad/s。
R Rj at s
转动刚体内任一点的切向 an 加速度的大小，等于刚体 at 的角加速度与该点到轴线 距离的乘积，它的方向由 角加速度的符号决定。 法向加速度为 v 2 ( R) 2 2 an R an R 即：转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体 角速度的平方与该点到轴线距离的乘积，它的方向与速 度垂直并指向轴线。
xM r cosj r cost
这就是点M的运动方程。因此， 点M的速度及加速度为
M r sin t vM x 2 aM vM r cost
6.2 刚体的定轴转动
刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动， 则这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称刚体的转动。通 过这两个固定点的一条不动的直线，称为刚体的转轴或轴 线，简称轴。
2018年9月15日
6.1
刚体的平移
一、平行移动 如果在物体内任取一直线，在运动过程中这条直线始 终与它的最初位置平行，这种运动称为平行移动，简称平 移。
例如：
6.1
二、平移的特点
刚体的平移
设刚体作平移，在刚体内任选 两点A、B,令点A的矢径为rA， 点B的矢径为rB,则两条矢端曲 线就是两点的轨迹。由图可知
的一阶导数。
一、以矢量表示角速度和角加速度 ——角速度（代数量） ω ——角速度矢（矢量） 它的指向按照右手螺旋规则确定。 角速度矢是滑动矢量。

即角加速度矢α为角速度矢ω对时间
§6.4以矢量表示角速度和角加速度· 以矢积表示点的速度和加速度
二、以矢积表示点的速度和加速度 1.以矢积表示点的速度 则 如在轴线上任选一点O为原点，
6.2 刚体的定轴转动
如果ω与α同号，刚体作加速转动；反之作减速转动。
点M加速度a的大小和方向：
a a a ( R ) ( R ) R 2 4 at R 2 tan 2 an R
2 t 2 n
2 2 2
6.2 刚体的定轴转动
由于在每一瞬时，刚体的ω和α都只有一个确定的数 值，所以得知： 1．在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速 度的大小，分别与这些点到轴线的距离成正比。 2．在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度a与半径 间的夹角θ都有相同的值。
aA aB
6.1
刚体的平移
例：图示曲柄滑道机构，当曲柄OA在平面上绕定轴O转动时， 通过滑槽连杆中的滑块A的带动，可使连杆在水平槽中沿直线往复 动。若曲柄OA的半径为r，曲柄与x轴的夹角为j =ωt，其中ω是常 数，求此连杆在任一瞬时的速度及加速度。 解：连杆作平移，因此在连杆上 任取一点M可代表连杆的运动。 点M的位置坐标为
at a sin 40m/s2 sin 30 20 m/s2
由于匀加速转动，故α为常量。转动方程为
at 20m/s2 50 rad/s2 r 0.4m
当t=2s时，叶轮的角速度为
1 2 j j 0 0t t 25t 2 rad 2
t (50 2)rad/s 100 rad/s
或
R22 R11
处于啮合中的两个定轴齿轮角速度 与两齿轮的啮合圆半径成反比。 1 n1 1 j1 R2 z 2 又 2 n2 2 j 2 R1 z1 1 n1 1 j1 R2 z 2 故 2 n2 2 j 2 R1 z1
1 R2 2 R1
n1 z 2 i12 n2 z1
n1 1450 268.5 r / min n4 5.4 i14
6.4以矢量表示角速度和角加速度· 以矢积表示点的速度和加速度 z

ω k z

ω
k
dj ω k ω dt k 同样 d dω d k ( k ) 于是 dt dt dt
rA rB BA
当刚体平移时，线段AB的长度 和方向都不改变。 因此只要把 点B的轨迹沿BA方向平行移动一段距离BA，就能与点A的 轨迹完全重合。 刚体平移时，其上各点的轨迹不一定是直线，也可能 是曲线，但是它们的形状是完全相同的。
6.1
速度、加速度
刚体的平移
rA rB BA
j f (t )
这个方程称为刚体绕定轴转动的转动方程。
6.2 刚体的定轴转动
二、角速度 转角j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用ω表示，即
dj dt
角速度表示刚体转动的快慢和方向。
单位一般用rad/s（弧度/秒）。
角速度是代数量。
从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时，角速度取 正值，反之取负值。
6.2 刚体的定轴转动
2.匀变速转动
刚体角加速度不变的转动，称为匀变速转动。
0 t
1 2 j j 0 0 t t 2
2 (j j0 )
2 2 0
其中ω0和j0分别是t =0时的角速度和转角。
6.2 刚体的定轴转动
一、转动刚体内各点的速度 以固定点O´为弧坐标s 的原点，按j角的正向规 定弧坐标s的正向，于是
6.2 刚体的定轴转动
三、角加速度
角速度ω对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度。
用α表示，即
d d j 2 dt dt
2
角加速度表示角速度变化的快慢。 单位一般用rad/s2(弧度/秒2)。 角加速度也是代数量。 如果ω与α同号，则转动是加速的；如果ω与α异号， 则转动是减速的。