收敛数列的性质(经典课件)
收敛数列的性质(经典课件)
.四则运算法则：对于收敛数列，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，得到的结果 仍然是收敛的，并且其极限可以通过对应的运算法则得到。
.收敛数列的子数列也收敛：如果一个数列收敛，那么它的任何子数列也收敛，并且收 敛于相同的极限。
收敛数列的性质(经典课 件)
演讲人
收敛数列具有以下几个重要的性质：
.有界性：收敛数列是有界的，即存在一个正数 ，使得数列的所有项都在区间 内。 这是因为收敛数列的极限存在，可以取极限的绝对值加上一个足够大的正数作为界。
.单调性（对于部分数列）：对于部分数列来说，如果数列是单调递增或单调递减的， 则收敛数列的极限与数列的单调性一致。也就是说，如果数列是单调递增的，那么 它的极限是不超过数列的所有项的最大值；如果数列是单调递减的，那么它的极限 是不低于数列的所有项的最小值。
谢谢
Байду номын сангаас
§2 收敛数列的性质
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
收敛数列的性质(6)
证
必要性
设
lim
n
an
a,
{ank }是{an}的任一子列
0,N 0,使得当k N时有 ak a . 由于nk k,
所以当k
N时更有nk
N , 从而也有 ank
a
.
即lim k
ank
a.
充分性 考虑{an}的非平凡子列{a2k },{a2k1}与{a3k }. 按假设,
数列{cn}满足 : 存在正数N0 ,当n N0时有an cn bn ,
则数列{cn
}收敛,且
lim
n
cn
a.
证
0,由lim n
an
lim
n
bn
a,
分别存在N1与N2 ,
使得当n N1时有a an , 当n N2时有bn a .
取N max{N0, N1, N2}则当n N时,按假设及上不等式 同时成立, 即有
由此定理可见，若数列an 的任何非平凡子列都收敛，则所有
这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，
2. n 1
数列{1 2 }是收敛于1的. n 1
故由迫敛性得证.
12
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
,
求证 lim n® ¥
xn =
a.
证 由定理2.5可得 a≥0
任给 0,
lim n
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
1-3收敛数列的性质[1]
![1-3收敛数列的性质[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/84140aefaeaad1f346933fcd.png)
例3:
设 | q |< 1, 计算极限 lim(1 + q + q 2 + ... + q n −1 )
n→ ∞
lim(1 + q + q 2 + ... + q n −1 )
n→ ∞
1− q = lim n→ ∞ 1 − q
n
1 qn = lim − lim n→ ∞ 1 − q n→ ∞ 1 − q
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
例 7 : 求极限 lim ( n + 3 − n − 1)
n→ ∞
解 : 我们有不等式 4 4 4 0 < ( n + 3 − n − 1) = ≤ < n+ 3 + n−1 n+3 n
4 因为{ }是无穷小, 所以 lim ( n + 3 − n − 1 ) = 0. n→ ∞ n
当n > N 1时恒有 x n − a < ε ; 当n > N 2时恒有 x n − b < ε;
取N = max{N 1 , N 2 },
则当n > N时有
a − b = ( x n − b) − ( x n − a ) ≤ xn − b + xn − a
< ε + ε = 2ε. ε
上式仅当a = b时才能成立 .
< +
α1 + α 2 + ⋯ + α n
n
<
ε
2
+
ε
2
=ε
两边夹法则) 四、 夹逼准则 (两边夹法则)
2收敛数列
2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。
证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。
3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。
收敛数列的性质(2)
2、极限的四则运算
3、夹逼准则 (两边夹法则)
4、子列极限
5、无穷小
函数与极限
34
an
bn
cn ,n
1,2,3,, 且 lim n
an
lim
n
cn
,
则
lim
n
an
lim
n
bn
lim
n
cn
.
证
设
lim
n
an
lim
n
cn
a,则
0, N1 0, N2 0, 使得
函数与极限
16
么么么么方面
• Sds绝对是假的
当 n N1时恒有 an a ,
当
n
N
时恒有
2
cn
a
,
取 N max{N1, N2}, 上两式同时成立,
上式仅当a b时才能成立. 故极限唯一.
2021/4/21
教2材P7 反证法
,
定义2.1 (数列有界的定义) 对数列{an }，
若存在一个实数M，对数列所有的项都满足 an M,n 1,2,3,
则称M是{an }的上界.
相应的, 可以给出有下界的定义
函数与极限
3
一个数列即有上界又有下界, 则称为有界数列.
n
证明： 由不等式
ak
n
akn
n
a1n
a
n 2
akn
n
kakn
ak
由夹逼定理，
lim n a1n a2n akn ak
n
2021/4/21
22
四、子列极限
定义2.2 数列{ xn } 中任意抽取无限多项并保持 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列 { xn } 的子数列，简称子列.
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
1-2收敛数列的性质
)
n
n无界 1..
1
由于当n无限增加时，2n 可超过任何正整数。
定理2〔有界性〕如果数列xn收敛, 那么数列xn一定有界.
证 设数列xn收敛于a. 依极限定义，取 1,
则存在正整数 N ,当 n N 时, 有 | xn a |1 成立. 于是，当n > N 时，有 xn xn a a xn a a 1 a . 取 M max{ x1 , x2 ,L , xN ,1 a },
子列中第k 项
定理4 如果数列{xn}收敛于a，那么它任一子数列也收敛, 且极限也是a.
注
如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，
那么{xn}是发散的．
例 (1)n1 : 1, 1, 1, 1, 发散
x2k1 : 1, 1,L , 1, L
1
x2k : 1, 1,L , 1,L
收敛数列的性质
上节课我们学习了收敛数列的定义， 但只掌握定义，对收敛数列的认识还是 远远不够的，为了更好的认识收敛数列， 更好的应用收敛数列去把握未知，这节 课我们进一步学习收敛数列的性质。本 节课我们将学习收敛数列的四个性质。
（一）极限的唯一性
定理1 收敛数列的极限唯一.
证: 用反证法. 假设
1
假设
lim
n
xn
a
0，则由定理3可知，存在正整数N,
有
与已知条件矛盾，
所以必有a 0.
数列 xn 从某项起有 xn 的 情0 形， 可以类似地证明.
（四）收敛数列与其子数列间的关系
➢子数列概念
在数列中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列{xn}
中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子
收敛数列的性质
收敛数列的性质
唯一性、有界性定义、保号性。
收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。
收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。
一个函数收敛则该函数必定有界，而一个函数有界则不能推出该函数收敛。
要说明的是，数列有界是全域有界，而函数有界仅仅是在去心邻域内局部有界。
如果数列收敛，那么它的极限唯一；如果数列收敛，那么数列一定有界；保号性；与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列.子数列收敛于不同的极限，则数列发散.
数列趋于稳定于某一个值即收敛，其余的情况，趋于无穷大或在一定的跨度上摆动即发散。
收敛数列是求和有个确定的数值，而发散数列则求和等于无穷大没有意义。
使得n>N时，不等式|Xn-a|<q都成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。
若数列{xn}收敛于a，且a>0, 则存在正整数N，使得当时n>N时，有xn>0.。
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§２ 收敛数列的性质教学内容：收敛数列的性质，四则运算法则，子数列。
教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限；清楚子列概念，明确数列与其子列敛散性关系。
教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。
教学难点：数列极限的计算。
教学方法：讲练结合。
教学学时：4学时。
引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握。
为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。
还需要对数列的性质作进一步讨论。
一、收敛数列的性质：定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限。
分析：设数列{}n a 有两个极限b a ,，只需证明b a =，即证b a -可小于任一给定充分小的数。
证明：设a a n n =∞→lim 与b a n n =∞→lim ，根据数列极限的定义，有⎪⎩⎪⎨⎧<->∀∈∃<->∀∈∃>∀++.,,.,,,02211εεεb a N n N N a a N n N N n n 有有 取{}21,max N N N =.同时有,N >∀εε<-<-b a a a n n ,,于是，,N >∀ε2)()(<-+-≤-+-=-b a a a b a a a b a n n n n ， 这就说明b a =，从而收敛数列的极限唯一。
定理2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
分析：即证.,,0M a N n M n ≤∈∀>∃都有证明：设a a n n =∞→lim ，根据数列极限定义，对10＝ε，+∈∃N N ，N n >∀，有1<-a a n ，从而N n >∀，有a a a a a a a a n n n +<+-≤+-=1，取{}1,,,,max 21+=a a a a M N ，于是，.,M a N n n ≤∈∀都有即收敛数列必为有界数列。
注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。
例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛。
定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）。
证明：设0>a ，取)0('0>-=a a ε，则0>∃N ，N n >∀，有'a a a n =->ε，这就证得结果。
对于0<a ，的情形，也可类似地证之。
注：应用保号性时，经常取.2'a a =定理 2.5（保不等式性）设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤。
证明：设a a n n =∞→lim ，b a n n =∞→lim ，则0>∀ε，⎩⎨⎧+<>>∃<->>∃εεb b N n N a a N n N n n 时有：使得当时有：使得当2211,0,0，取{}210,,max N N N N =，则当N n >时有：εε+<≤<-b b a a n n ，故有ε2+<b a ，由ε的任意性便知b a ≤（参见第一章§1例2），即lim lim n n n n a b →∞→∞≤。
思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？（答：不行，考虑数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1与⎭⎬⎫⎩⎨⎧21n 。
保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥=，证明：若lim n n a a →∞=，则n =证明：由保不等式性可得0≥a .若0=a ，则由lim n n a a →∞=，0>∀ε，0>∃N ，使得当N n >时有ε<=-n n a a a ，从而ε<=-n n a a 0，故有0lim =∞→n n a .若0>a ，则由lim n n a a →∞=，0>∀ε，0>∃N ，使得当N n >时有ε<-a a n ，从而εaaa a aa a a a a n n n n 1<-≤+-=-，故有n =定理 2.6（迫敛性）设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.证明：由已知a b a n n n n ==∞→∞→lim lim 有 0>∀ε，⎩⎨⎧+<>>∃<->>∃εεa b N n N a a N n N n n 时有：使得当时有：使得当2211,0,0，从而取{}210,,m a x N N N N =，当N n >时有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ，即有ε<-a c n ，故得数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。
下面是其应用一例： 例2 证明1lim =∞→n n n .证明：+∈∀N n ，有1≥n n ，令01≥=-n n h n ，则28222)1(!2)1(1)1(n nn n n n n h n n h h n n nh h n -≥++-++=+= ， 所以)1(120>-≤≤n n h n ，于是)1(12111>-+≤+=≤n n h n n n 易知1121lim 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→n n n ，从而由迫敛性便知1lim =∞→n n n . 有些教材在此还有性质保序性(本节课后习题2)(保序性) 若b b a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,且b a <,则存在正数N ，使得当N n >时有.n n b a <证明：根据数列极限的定义，对020>-=ab ε， 由a a n n =∞→lim 知 ,2,2,011ba a ab a a N n N n n +<-<->>∃从而时有使得当由b b n n =∞→lim 知 ,2,2,022n n b ba ab b b N n N <+-<->>∃从而时有使得当 取{}21,max N N N =，则当N n >时便有n n b ba a <+<2，命题得证。
注： 利用保序性以及反证法很容易可证明保号性定理。
二、数列极限的四则运算法则：定理 2.7（极限的四则运算法则） 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有lim lim lim n n n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 证明：证明思路大致如下设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，则0>∀ε，⎪⎩⎪⎨⎧<->>∃<->>∃εεb b N n N a a N n N n n 时有使得当时有使得当2211,0,0， 取{}21,max N N N =，则当N n >时便有εε<-<-b a a a n n ,同时成立。
①ε2)()()()(≤-+-≤-+-=+-+b b a a b b a a b a b a n n n n n n 于是()n n n n n n n b a b a b a ∞→∞→∞→+=+=+lim lim lim ；②ε2)()()()(≤-+-≤---=---b b a a b b a a b a b a n n n n n n 于是()n n n n n n n b a b a b a ∞→∞→∞→-=-=-lim lim lim ；③又有界性定理收敛数列必有界，设数列{}n b 有界，即,0>∃M 使得+∈∀N n ，都有M b n ≤， εεε)()()(b M b M a a b b b a ab b a b a b a ab b a n n n n n n n n n +=+≤-+-≤-+-=-于是n n n n n n n b a ab b a ∞→∞→∞→⋅==lim lim lim ；④由0lim ≠=∞→b b n n 知0lim >=∞→b b n n （上节课后习题7），由数列极限保号性知03>∃N ，使得当3N n >时有2bb n >，取{}321,,max N N N N =，则当N n >时便有()()εb a bb b a a a b b b b b ab ab ab b a b b ab b a b a b a n n n n n n n n n n n +<-+-≤-+-=-=-221)()( 于是nn nn n n n b a b a b a ∞→∞→∞→==lim lim lim . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。
下举几例；例3 求.1232lim 22+-+∞→n n n n 解：2121lim 1lim 2lim 3lim 2lim 11lim 232lim11232lim1232lim 22222222==+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n .例4 求11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.解：kk k k m m m m k m k k k k m m m m nb n b n b b n a n a n a a nb n b n b n b a n a n a n a 0111011101110111++++++++=++++++++--------- ， 已知⎩⎨⎧=<=-∞→k m k m n k m n ，，10lim ，k m kk k km m m m n b a n b n b n b b n a n a n a a =++++++++----∞→01110111lim ，从而 11101110lim mm m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++＝⎪⎩⎪⎨⎧=<k m ba km mm ，，0. 例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.解：若1=a ，21111lim 1lim =+=+∞→∞→n nn n a a ； 若1<a ，01001lim lim lim 1lim =+=+=+∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n a a a a ；30若1>a ，.1111lim 1lim =+=+∞→∞→nn nnn aa a例6求n .解：n ＝.211111lim1lim=++=++∞→∞→nnn n n n 例7 求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim . 解：由于222222111112111111n n n nn n n nn n n+=+≤++++++≤+=+且易知1111lim111lim2=+=+∞→∞→n nn n （参考例1结论），于是由数列极限迫敛性便知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim ＝1. 三、数列的子列：1．引言：极限是个有效的分析工具。