周练(一) 任意角和弧度制 任意角的三角函数

周练(一)任意角和弧度制任意角的三角函数(时间：80分钟满分：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．如果角α与角x＋45°具有同一条终边，角β与角x－45°具有同一条终边，那么α与β之间的关系是()．A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析∵α＝x＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝x－45°＋k2·360°(k2∈Z)，∴α－β＝90°＋(k1－k2)·360°＝90°＋k·360°(k∈Z)．答案 D2．下列命题是真命题的是()．A．三角形的内角必是一、二象限内的角B．第一象限的角必是锐角C．不相等的角终边一定不同D．{α|α＝k·360°±90°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}解析对于选项A，直角既不在第一象限，又不在第二象限；对于选项B,390°显然是第一象限角，但不是锐角；对于选项C,390°与30°不相等，但终边相同；故选项D正确．答案 D3．已知角α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝()．A.513B．－513C.512D．－512解析角α是第四象限角，则sin α<0，从而sin α＝－1－cos2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513. 答案 B4．sin(－1 305°)的值是( )． A.12 B ．22 C ．－22D ．－12解析 sin(－1 305°)＝sin(－4×360°＋135°)＝sin 135°＝22. 答案 B5．(2012·临沂高一检测)若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )． A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析 ∵sin α＋cos α＝23， ∴1＋2sin αcos α＝49， sin αcos α＝－518. 即sin αcos α<0.∵α为三角形内角，∴sin α>0，cos α<0. ∴α为钝角．∴三角形是钝角三角形． 答案 D6．若角α满足sin α·cos α<0，cos α－sin α<0，则α在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析 由sin α·cos α<0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α<0得cosα<sin α，所以α只能是第二象限角． 答案 B7．如果sin x ＋cos x ＝15，且0<x <π，那么tan x 的值是( )． A ．－43 B ．－43或－34 C ．－34D ．43或－34解析 将所给等式两边平方，得sin x cos x ＝－1225， ∵0<x <π，∴sin x >0，cos x <0， ∴sin x ＝45，cos x ＝－35，∴tan x ＝－43. 答案 A8．一圆内切于中心角为π3、半径为R 的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为( )． A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3解析 一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图，由圆半径r ＝(R －r )sin π6，得r ＝13R ， ∴π·⎝ ⎛⎭⎪⎫13R 2∶12·π3R 2＝2∶3. 答案 B二、填空题(每小题5分，共20分)9．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________． 解析 角α的终边在y 轴上，其正弦线的长度为1. 答案 110．下图中阴影部分表示的角的集合为________(包括边界)．解析⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ 2k π≤α≤2k π＋π6，k ∈Z∪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪(2k ＋1)π≤α≤2k π＋76π，k ∈Z ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪n π≤α≤n π＋π6，n ∈Z . 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪n π≤α≤n π＋π6，n ∈Z11.1－2sin 70°cos 70°sin 70°－1－sin 270°＝________. 解析 原式＝(sin 70°－cos 70°)2sin 70°－cos 270° ＝sin 70°－cos 70°sin 70°－cos 70°＝1. 答案 112．已知－π2<x <0，且sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________.解析 由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925.又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，∴sin x －cos x ＝－75.答案 －75三、解答题(每小题10分，共40分)13．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤α<720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解 (1)①S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S ＝{α|α＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，其中适合不等式－360°≤α<720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.14．已知：P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α的值． 解 由P (－2，y )且sin α＝－55<0知y <0. 又y (－2)2＋y 2＝－55，y 2＋4＝5y 2，y 2＝1，∴y ＝－1，∴cos α＝－24＋y 2＝－25＝－255. 15．如图，扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB 的长．解 设长为l cm ，扇形半径为r cm ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12l ·r ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8(不合题意，舍去)或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.∴α＝24＝12(rad)．∴弦AB ＝2×4×sin 14＝8sin 14(cm)． 16．求证cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明 法一 左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos2α－sin2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1) 12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1) (sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．∴原等式成立．法二∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α1＋sin α＋cos α，sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋cos α＋sin α.∴原等式成立．。