理论力学06静力学专题_3重心
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工程力学(静力学与材料力学)(第2版)教学课件第6章 静力学专题
yC
A
ydA A
2 πR2
0R2
y
R2 y2 dy
yC
4R 3π
工程力学（静力学与材料力学）
7
例题 试计算图示环形图形形心C的纵坐标yC。
解：
环形图形大半圆图形小半圆图形
yC
Ao
πRo2 2
,
πRo2 2
4Ro 3π
yC Ao
yCo
4 Ro 3π
πRi2 4Ri
2 3π
yCo Ai yCi
第六章 静力学专题
§1 重 心 §2 形Байду номын сангаас心 §3 桁 架
工程力学（静力学与材料力学）
1
§1 重 心
重心概念
物体各部分所受地心引力，组成一空间平行力系，其 合力即重力，其作用线即重力作用线。
相对地球处于不同方位的同一物体，相应各重力作 用线的汇交点，称为重心。
对于物体的平衡与运动，重心的位置具有重要作用。
以桁架整体为研究对象,确定支座反力;截取多个节点为
研究对象,用平面力系平衡方程求解;设正法画杆件内力。
工程力学（静力学与材料力学）
12
本章结束
工程力学（静力学与材料力学）
13
解：
rz
z h
r
dV
πrz2dz
π
r2 h2
z
2dz
zC
V V
zdV dV
h
0
z3dz
h
0
z
2dz
h4 4
3 h3
3h 4
工程力学（静力学与材料力学）
4
§2 形 心
平面图形的形心
对于几何形体，由匀质物体重心公式 计算所得几何对应点，称为形心。
工程力学-静力学专题-桁架·重心
三、组合图形的静矩和形心
静矩
S x S xi Ai yi S y S yi Ai xi
形心
x S y Ai xi
A
Ai
y Sx Ai yi
A
Ai
c x
四、半圆形截面的形心:
y
R
o
x
x0
y Sx 4R A 3
五、极惯性矩·惯性矩·惯性积
y
I x
y 2dA
A
材料确定时，提高梁承载能力的主要途径：
☻提高截面的弯曲截面系数；
☻降低梁的最大弯矩。
1、选择合理截面
2、合理布置载荷及支座
十四、组合变形的概念
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基 本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形） 属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形。
❖组合变形的分析方法
线弹性小变形范围内，采用叠加原理
1、横向力与轴向力共同作用
F2
z
x F1
强度条件
l
y
t max
FN A
M z max Wz
t
c max
FN A
- M z max Wz
c
2、偏心拉伸（压缩） 受力特点：外力作用线平行（但不重合）于杆轴。
F Mez
z
F e (yF,zF)
y Mey
强度条件
t max
FN A
My Wy
这些物体的重心是已知的，那么整个物体的重心可
由下式求出。
xC
Pi xi Pi
,
yC
Pi yi Pi
,
zC
Pi zi Pi
2、负面积法
若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物
lllx第六章静力学空间力系重心-精选文档
z
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
F
B
b C c y
D
力对轴之矩 a A M ( F ) yF zF x z y x b F sin a 0 F sin b M ( F ) zF xF y x z
a ( F cos ) ( c ) F sin Fc sin Fa cos
Northeastern University
第六章 空间力系
重心
1
工程中的空间力系问题
2
力在空间坐标轴上的投影 力对轴之矩
3
4 5
空间力系的平衡方程
重心
PAG 1
Northeastern University
§6-1
工程中的空间力系问题
空间力系:力系各分力的作用线分布在空间,而且不能 简化到某一平面的力系。
y
F3
' ' F , i ) F F 方向 cos( R ix R
PAG 9
Northeastern University
§6-4
空间力系的平衡方程
MO
一、空间一般力系向一点的简化
空间力偶系的合力偶之矩 — 主矩
z M1
B
M M o O i C M i M j M k Ox Oy Oz x M3 [ M ( F )] i [ M ( F )] j [ M ( F )] k x i y i z i ( y F z F ) i ( z F x F ) j ( x F y F ) k i iz i iy i ix i iz i iy i ix
一、空间的力对轴之矩 — 代数量
第06章 静力学专题-桁架、重心
yili li
yi L
li
zC
zili li
zi li
L
极限为：
xdl
ydl
xC
C
L
,
yC
C
L
,
zdl
zC
C
L
z
O x
Pi zi
yi yC
C
P zC
xi
xC y
本章小结
1. 了解桁架的构成、结构特点以及桁架杆件内力的求解 方法;
§6.1 桁架 基本三角形 三个铰链为节点连接的三根杆构成的三角形 平面简单桁架
平面简单桁架节点和杆件数的关系 桁架节点数为n，杆件数为m，则 m-3=2(n-3) 即 m=2n-3 或 m+3=2n
§6.1 桁架 无冗杆桁架 从桁架中抽出任何一根杆，原有的几何形状不能保持， 没有多余杆件的桁架 有冗杆桁架 从桁架中抽出一根杆或几根杆件，原有的几何形状能 保持，桁架有多余杆件
S
xdS
ydS
xC
S
S
,
yC
S
S
,
zdS
zC
S
S
z ds
Pi
C
zi
PzC
O
yi
xi
xC y
x
yC
§6.3 重心
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与 其长度 L 相比是很小的，则重心公式为
xC
xili li
xi li
L
yC
(3)、节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节 点上无外载荷，则第三根杆件为零杆
理论力学-空间力系与重心
右手螺旋法则：
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
拇指指向与z轴一致为正，反之为负。
1、定义
参见动画：力对轴的矩(2)
动画
力对轴的矩
力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。
参见动画：力对轴的矩等于零
力对轴的矩之解析表达式 如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则 参见动画：力对轴的矩解析表达式
（2）若 ，则力系可合成为一个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
（3）若 此时分三种情况讨论。
②
即：①
既不平行也不垂直时
③
可进一步简化为一合力。
O
R
M
d
F
=
¢
r
合力作用线距简化中心为d
①若
②若
参见动画：空间力在正交轴上的投影
2.二次投影法
先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。 Fx=Fsin cos Fy = Fsin sin Fz =Fcos Fxy=Fsin 参见动画：二次投影法
例题
三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。
空间力系简化的实际意义
—俯仰力矩
飞机仰头
—偏航力矩
飞机转弯
—滚转力矩
飞机绕x轴滚转
—侧向力
飞机侧移
—有效升力
飞机上升
—有效推进力
飞机向前飞行
参见动画：空间力系简化的实际意义
2、空间任意力系的简化结果分析
静力学 第6章空间力系及重心
3
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
,
y2
4r
3
b
,
y3
0
yC
Ai yi A
yC
A1 y1 A2 y2 A3 y3 A1 A2 A3
40.01mm
3)． 实验法 （1） 悬挂法
（2） 称重法
P xC F1 l
xC
F1 P
l
xC
F1 P
l
整理后，得
zC
r
F2 F1 P
1 H
l2 H2
作业
•6-2,6-3,6-5
MO 0
FR MO 成 角
FR 0 MO 0
ห้องสมุดไป่ตู้
力螺旋 平衡
力螺旋中心线通过简化中心
简化中心到力螺旋中心轴距离
d MO sin / FR
与简化中心的位置无关
2. 空间一般力系的平衡条件
空间任意力系平衡的充分必要条件：
空间任意力系的平衡方程
3. 特殊力系的平衡条件
⑴.空间汇交力系的平衡方程 力多变形法则对空间汇交力系仍然适用
力螺旋力螺旋中心线通过简化中心主矩最后结果说明合力合力作用线过简化中心合力偶平衡与简化中心的位置无关与简化中心的位置无关空间任意力系的简化结果简化中心到力螺旋中心轴距离sin空间一般力系的平衡条件空间任意力系的平衡方程
第六章 空间力系与重心
§6.1 工程中的空间力系问题 §6.2 力在空间坐标轴上的投影 §6.3 力对轴之矩 §6.4 空间力系的平衡方程 §6.5—物体的重心坐标公式与求法
§6.3 力对轴之矩 ( moment of a force about an axis )
M z F MO Fxy Fxy h
F
力与轴相交或与轴平行（力
静力学第06章桁架、摩擦、重心
结论与讨论
桁架的坚固性
在平面桁架中，不难建立关于节点数 和杆件数与保持坚固性之间的关系：
m2j-3
m － 杆件数
j － 节点数
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
j=3, m=23-3=3
j=8, m=28-3=13
m2j-3
结论与讨论
关于桁架的几点讨论
桁架的坚固性
m = 2 j - 3 － 无冗余杆件 m < 2 j - 3 － 几何可变
二力杆—组成桁架的基本 构件。
力
学 中
基本假定：
的 1. 所有杆件只在端部连接；
桁 2. 所有连接处均为光滑铰链；
架 3. 只在连接处加载；
模 4. 杆的重量忽略不计。
型
桁架分类
平面桁架
平面结构，
载荷作用在结构 平面内；
对称结构， 载荷作用在对称 面内。
桁架分类
空间桁架
结构是空间的， 载荷是任意的；
G G1tgf
f
tg
G
tg(
m
)
平衡范围应是
Qmin QQmax
49
[例2] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩
擦系数f =0.5, 求 多大时，梯子能处于平衡？
解：考虑到梯子在临界平衡状 态有下滑趋势，做 受力图。
50
由 X 0, NB FA0(1)
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
大小： F' f 'N
（无平衡范围）
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反
定律： F' f 'N （f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
全国周培源大学生力学竞赛辅导力学竞赛-静力学专题
平面平行力系
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
1
1
2
2
平衡方程的快速练习
如何截断？
§3 空间力系
1. 空间力的投影和分解
O
x
y
F
z
直接投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
y
z
O
x
F
Fxy
二次投影法
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
F1
F2
FR
FR
O
F1
F2
FR=F1+ F2
★ 作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
§1 静力学公理
A
★ 作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充要条件是： 这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。
1. 力对点的矩
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
空间的力对O点之矩取决于：
（1）力矩的大小；
（2）力矩的转向；
（3）力矩作用面方位。
★ 须用一矢量表征
MO(F) =Fh=2△OAB
O
A(x,y,z)
B
r
F
h
y
x
z
MO(F)
MO(F)
定位矢量
2. 力对轴的矩
B
A
F
O
x
y
z
C
B
O
A
F3
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解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
y
图形可视为从大圆中切去了一个小圆
其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
x1 0
A2 πr 2
x2 a
根据平面图形形心坐标计算公式，得
该图形的形心坐标为
Ia
R
r
O II
x
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
πR2 0
πR2
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
解： 二次抛物线方程
y
y b x2 a2
微元面积
dA
ydx
b a2
x2dx
y
曲边三角形面积
A
dA
A
a 0
b a2
x2dx
1 ab 3
a
dA
x
dx
b
x
y
b a2
x2
dA
b a2
x2dx
A 1 ab 3
xdA a b x3dx 1 a2b
有限分割形式：
无限分割形式：
xC
xiAi
A
பைடு நூலகம்
yC
yiAi
A
xC
xdA A
yC
ydA A
式中，( xi , yi) 为第 i 小块的 形心坐标； Ai 为第 i 小块 的面积。
式中，( x , y) 为微元 dA 的形心坐标。
五、曲线段的形心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
第六章 静力学专题
第三节 物体的重心
本节主要介绍利用重心坐标计算公式来确定物体的重心 基本概念 —— 重心： 物体的重力作用点 质心： 物体的质量分布中心 形心： 物体的几何形状中心
基本结论 —— 1）物体的重心与质心位置重合 2）对于匀质物体，重心与形心位置重合 3）形心位于物体的几何对称轴上
一、物体的重心坐标计算公式 有限分割形式：
的形心位置。
y
解：选取坐标轴， 将该图形分割成两个矩形
其面积和形心坐标分别为
A1 1.2 cm 12 cm 14.4 cm2
I
x1 0.6 cm
y1 6 cm
A2 6.8 cm 1.2 cm 8.16 cm2
x2 4.6 cm
y2 0.6 cm
II
O
x
由平面图形形心坐标计算公式，得该图形的形心坐标为
xC
ximi
m
yC
yimi
m
zC
zimi
m
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的质心坐标；mi 为第 i 小块的质量。
无限分割形式：
xC
xdm m
yC
ydm m
zC
zdm m
式中，( x , y , z ) 为微元 dm 的质心坐标。
三、物体的形心坐标计算公式 有限分割形式：
解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
yC 0
以 d 表示微元弧长 dl 所对的圆心角
y
根据曲线段的形心坐标计算公式
xC
l
xdl l
2
0
r cos rd
2 rd
r sin
0
若为半圆弧，即有 = / 2，则得
r
dl
d
xx
xC
2r π
[例3] 如图，已知 h = 12 cm、b = 8 cm、d = 1.2 cm，试确定该图形
xili
l
yC
yili
l
zC
zili
l
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为 第 i 小段曲线的长度。
无限分割形式：
xC
xdl l
yC
ydl l
zC
zdl l
式中，( x , y , z ) 为曲线
微元 dl 的形心坐标。
πr 2 πr 2
a
ar 2 R2 r2
A
0 a2
4
y
A
1 2
y
dA
a 1 b2 x4dx 1 ab2
0 2 a4
10
故得形心坐标
y
xC
A
xdA
1 4
a2b
3
a
A
1 ab 4
3
yC
A
1 2
y
dA
1 10
ab2
3
b
A
1 ab 10
3
a
dA
x
dx
b
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧
所对的圆心角为 2 。
xC
xiPi
P
yC
yiPi
P
zC
ziPi
P
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的重心坐标；Pi 为第 i 小块的重力。
无限分割形式：
xC
xdP P
yC
ydP P
zC
zdP P
式中，( x , y , z ) 为微元 dP 的重心坐标。
二、物体的质心坐标计算公式 有限分割形式：
xC
xiVi
V
yC
yiVi
V
zC
ziVi
V
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 块的形心坐标；Vi 为第 i 小块的体积。
无限分割形式：
xC
xdV V
yC
ydV V
zC
zdV V
式中，( x , y , z ) 为微元 dV 的形心坐标。
四、平面图形的形心坐标计算公式
xC
A1x1 A2 x2 A1 A2
14.4 0.6 8.16 4.6 14.4 8.16
cm 2.05 cm
yC
A1 y1 A2 y2 A1 A2
14.4 6 8.16 0.6 14.4 8.16
cm 4.05 cm
[例4] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a。