[考研类试卷]考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷2.doc
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版
2024考研(数学三)真题答案及解析完整版2024年全国硕士研究生入学考试数学(三)真题及参考答案考研数学三考什么内容?数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。
而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有)(函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程);线性代数(行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型);概率论与数理统计(随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验)。
考研的考试内容有哪些一、考研公共课：政治、英语一、英语二、俄语、日语、数学一、数学二、数学三，考研公共课由国家教育部统一命题。
各科的考试时间均为3小时。
考研的政治理论课(马原22分、毛中特30分、史纲14分、思修18分、形势与政策16分)。
考研的英语满分各为100分(完型10分、阅读理解60分、小作文10分、大作文20分)。
数学(其中理工科考数一、工科考数二、经管类考数三)满分为150分。
数一的考试内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分);数二的内容分布：高数78%(117分)、线代22%(33分);数三的内容分布：高数56%(84分)、线代22%(33分)、概率22%(33分)。
这些科目的考试知识点和考试范围在各科考试大纲上有详细规定，一般变动不大，因此可以参照前一年的大纲，对一些变动较大的科目，必须以新大纲为准进行复习。
二、考研专业课统考专业课：由国家教育部考试中心统一命题，科目包括：西医综合、中医综合、计算机、法硕、历史学、心理学、教育学、农学。
其中报考教育学、历史学、医学门类者，考专业基础综合(满分为300分);报考农学门类者，考农学门类公共基础(满分150分)。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若随机变量X与Y满足且D(X)=2，则cob(X，Y)=( )A．1．B．2．C．－1．D．-2．正确答案：C解析：由于注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X和Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则E(UV)=( )A．EU·EVB．EX·EYC．EU·EY．D．EX·EV正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．如果X>Y，则U=X，V=Y；如果X≤Y，则U=Y，V=X，从而E(UV)=E(XY)．由于X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)=XE·EY 【解法2】所以知识模块：随机变量的数字特征3．设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是( )A．E(X)=E(Y)．B．E(X2)－[E(X)]2=E(Y2)－[E(Y)]2．C．E(X2)=E(Y2)．D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2．正确答案：B解析：ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是cov(ξ，η)=0，即cov(X+Y，X—Y)=cov(X，X)－cov(X、Y)+cov(Y，X)－cov(Y，Y)=DX—DY=0，从而DX=DY，又DX=E(X2)－(EX)2，DY=E(Y2)－(EY)2，从而应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征填空题4．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X—Y|≥6}≤____________．正确答案：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而由切比雪夫不等式，知识模块：随机变量的数字特征5．在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．正确答案：0．975．解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从B(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{－100<X－500＜100} =P{|X－500|＜100}．由切比雪夫不等式，有[*] 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三模试题及答案
考研数学三模试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，满足条件f(-x) + f(x) = 0的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导，且f'(x) > 0，则f(x)在该区间内：A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C：y^2 = 4x与直线l：x = 2 + t，y = 3 - 2t相切，则实数t的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，若f[g(x)] = 9x^2 - 6x，则x的取值范围是：A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. （略，类似结构）二、填空题（每题4分，共24分）11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M，则M的值为________。
12. 设等比数列{an}的首项为1，公比为2，其前n项和为S_n，则S_5的值为________。
13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则|A| =________。
14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2，且过点(1, √3)，则a的值为________。
15-16. （略，类似结构）三、解答题（共40分）17. （12分）设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且∫[a, b] f(x) dx = 3，证明对于任意的m，n ∈ [a, b]，都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。
18. （14分）已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x，销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2，求该工厂的月利润最大值。
全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解【圣才出品】
y
1 2
1 10
cos
2x
代人得，
f
x
1 2
1 10
cos
2x
1 2
1 10
cos
2
x
1 2
1 2
cos 2x
sin2
x．
即所求方程为 y y sin2 x ．
2 / 17
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
4．已知函数 f x, y x y g x, y ，其中 g x, y 在点(0，0)的某邻域内有定义，
3
以矩阵
A1
和
A3
都与对角矩阵
A
0
相似，从而
A1
与
A3
相似．
0
7．设随机变量 X 服从参数为 0 的指数分布，事件 A X 0, B X 2,C X 2, D X 5
那么它的延伸组必线性无关．所以必有 r A m ，从而 r A r A ，故线性方程组
Ax b 必有解．命题②，当 rA m 时，必有 n m ．如果 m n ，则 Ax 0 只有零解，
而 m n 时， Ax 0 必有非零解．命题③，当 rA n 时， r A 有可能是 n 1，方程组
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解
一、选择题:1～8 小题．每小题 4 分，共 32 分．下列每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
1．已知 f x 2 f x dx 8 且 f(0)=0，则 2 f x dx 等于（ ）．
实际上， A1, A3 的特征值都是 3，0，0，且 r 0E A1 1, r 0E A3 1，则 n r 0E A1 3 1 2, n r 0E A3 3 1 2
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X服从参数为1的指数分布。
记Y=max{X，1}，则E(Y)=( ) A．1B．1+e—1C．1—e—1D．e—1正确答案：B解析：随机变量X的密度函数为f(x)=E(Y)=E[max{X，1}]=∫—∞+∞max{x，1}.f(x)dx=∫0+∞max{x，1}.e—xdx=∫01e—xdx+∫1+∞xe—xdx=1+e—1，故选B。
知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E[(X—1)(X—2)]=1，则λ=( )A． B． C． D． 正确答案：A解析：因X服从参数为λ的泊松分布，故E(X)=λ，D(X)=λ。
则E[(X—1)(X —2)]=E(X2—3X+2)=E(X2)—3E(X)+2，其中E(X2)=D(X)+[E(X)]2=λ+λ2，代入得λ2—2λ+1=0，故λ=1，故选A。
知识模块：随机变量的数字特征3．已知随机变量X与Y的相关系数大于零，则( )A．D(X+Y)≥D(X)+D(Y)。
B．D(X+Y)＜D(X)+D(Y)。
C．D(X—Y)≥D(X)+D(Y)。
D．D(X—Y)＜D(X)+D(Y)。
正确答案：D解析：根据公式D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X，Y)确定正确选项。
由于X 与Y的相关系数ρ=，故ρ＞0Cov(X，Y)＞0所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)＞D(X)+D(Y)。
D(X—Y)=D(X)+D(Y)—2Cov(X，Y)＜D(X)+D(Y)。
故选D。
知识模块：随机变量的数字特征4．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=则( )A．Cov(X1，Y)=B．Cov(X1，Y)=σ2C．D(X1+Y)=σ2D．D(X1—Y)=σ2正确答案：A解析：因为Cov(X1，Y)=。
考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)
2021考研数学模拟测试题完整版及答案解析〔数三〕一、选择题：1~8小题，每题4分，共32分。
在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。
〔1〕()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()baM xf x dx =⎰，01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰，那么必有〔 〕〔A 〕M N ≥；〔B 〕M N ≤；〔C 〕M N =；〔D 〕2M N =； 〔2〕设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为那么其导数的图像为〔 〕(A) (B)y xOyxOxyO(C) (D)(3)设有以下命题： ①假设2121()n n n uu ∞-=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑收敛； ②假设1n n u ∞=∑收敛，那么10001n n u ∞+=∑收敛；③假设1lim1n n n u u +→∞>，那么1n n u ∞=∑发散； ④假设1()n n n u v ∞=+∑收敛，那么1n n u ∞=∑，1nn v∞=∑收敛正确的选项是〔 〕〔A 〕①②〔B 〕②③〔C 〕③④〔D 〕①④(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=，那么〔 〕 〔A 〕51,2a b ==-；〔B 〕0,2a b ==-；〔C 〕50,2a b ==-；〔D 〕1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组〔I 〕0Ax =有非零解，那么非齐次线性方程组〔II 〕T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =〔A 〕不可能有唯一解； 〔B 〕必有无穷多解；〔C 〕无解； 〔D 〕可能有唯一解，也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，那么行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 〔A 〕1(2)n A B--； 〔B 〕2T A B -； 〔C 〕12A B --； 〔D 〕12(2)n A B--(7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X 为来自X 的样本，X 为样本均值，那么〔 〕y xOyxO〔A 〕2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； 〔B 〕2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； 〔C 〕2212()~()2ni i X n χ=-∑； 〔D 〕221()~()2n i i X X n χ=-∑；(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，假设概率1()2P aX bY μ-<=那么〔 〕 〔A 〕11,22a b ==；〔B 〕11,22a b ==-；〔C 〕11,22a b =-=；〔D 〕11,22a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)-EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．-1．B．0．C．D．1.正确答案：A解析：依题意，Y=n-X，故ρXY=-1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X 与Y的相关系数ρXY，满足｜ρXY｜≤1．若Yy=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=-1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+Dy．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY-EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1-p)；乘积XY服从参数为，p2的0．1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，P{XY=0}=1-p2．因此DXY=p2(1-p2)≠p2(1-p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量X在区间[-1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．-1．B．0．C．0．5．D．1.正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和Y=arccosX满足下列关系：即U=-V+，由于U 是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=-1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．-1．B．0．C．D．1.正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，DX=，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征6．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X-EX｜≥3}≤，则一定有A．DX=2．B．P{｜X-EX｜＜3}＜C．DX≠2．D．P{｜X-EX｜＜3}≥正确答案：D解析：因事件{｜X-EX｜＜3}是事件{｜X-EX｜≥3}的对立事件，且题设P{｜X-EX｜≥3}≤，因此一定有P{｜X-EX｜＜3}≥，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{｜X-EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为p的0-1分布，DX=pq＜1，显然DX≠2，但是P{｜X-EX｜≥3}=．因此(A)不成立．若X服从参数n=8，p=0．5的二项分布，则有EX=4，DX=2．但是P{｜X-EX｜≥3}=P{｜X-4｜≥3} =P{X=0}+P{X=1}+P{X=7}+P{X=8}=因此(B)也不成立．知识模块：随机变量的数字特征7．设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=l，i=1，…，n，则对任意ε＞0，根据切比雪夫不等式直接可得A．B．C．D．正确答案：C解析：由题意知EXi=0，i：1，…，n．记根据切比雪夫不等式，有故选(C)．知识模块：随机变量的数字特征填空题8．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为_________.正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数-1=未击中的次数．以Xi表示第i名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1-pi)kpi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)-1=-1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为知识模块：随机变量的数字特征9．将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征10．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为_______．正确答案：0.9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X-1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X-1)=4DX．y与Z 的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征11．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=_______．正确答案：6解析：DX=EX2-(EX)2=2，DY=2，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=0(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征12．设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥________．正确答案：0.928解析：由于EX=4，DX=0.8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8．根据切比雪夫不等式P{0＜X+Y＜10}=P{｜X+Y-5｜＜5}≥1-即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多维随机变量及其分布)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X，y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z＝min{X，Y}的分布函数为( )．A．FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}B．FZ(z)＝min{FX(z)，FY(z)}C．FZ(z)＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]D．FZ(z)＝FY(z)正确答案：C解析：fZ(z)＝P(Z≤z)＝P(min{X，y}≤z)＝1－P(min{X，Y}＞z)＝1－P(X ＞z，Y＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，选C．知识模块：多维随机变量及其分布2．设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z ＝max(X，Y)的分布函数为( )．A．FZ(z)＝max{FFX(z)，FY(z))B．FZ(z)＝FX(z)FY(z)C．FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}D．FZ(z)＝FY(z)正确答案：B解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(max{X，Y}≤z)＝P(X≤z，Y≤z)＝P(X≤z)P(Y≤z)＝FX(z)FY(z)，选B．知识模块：多维随机变量及其分布3．设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是( )．A．X＋YB．X－yC．max{X，Y}D．min{X，Y}正确答案：D解析：由于X～E(λ)，所以密度函数为f(x)＝分布函数为F(x)＝E(X)＝，D(X)＝，因为E(X＋Y)＝，E(X－Y)＝0，而max{X，Y)的分布函数是F2(x)≠所以A，B，C项都不对，选D．事实上，min{X，Y)的分布函数为P(min{X，Y}≤x)＝1－P(min{X，Y}>x)＝1－P(X＞x，Y＞x)＝1－P(X＞x)P(Y＞x)＝1－[1－F(x)]2＝知识模块：多维随机变量及其分布4．设随机变量X和Y都服从正态分布，则( )．A．X＋Y一定服从正态分布B．(X，Y)一定服从二维正态分布C．X与Y不相关，则X，Y相互独立D．若X与Y相互独立，则X－Y服从正态分布正确答案：D解析：若X，Y独立且都服从正态分布，则X，Y的任意线性组合也服从正态分布，选D．知识模块：多维随机变量及其分布5．若(X，Y)服从二维正态分布，则①X，Y一定相互独立；②若Pxy＝0，则X，Y一定相互独立；③X和Y都服从一维正态分布；④X，Y的任意线性组合服从一维正态分布．上述几种说法中正确的是( )．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④正确答案：B解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以X，Y都服从一维正态分布，aX ＋bY服从一维正态分布，且X，Y独立与不相关等价，所以选B．知识模块：多维随机变量及其分布填空题6．设随机变量x，y相互独立，且X～N(0，4)，Y的分布律为Y～，则P(X＋2Y≤4) ＝____________．正确答案：0．46587解析：P(X＋2Y≤4)＝P(Y＝1)P(X≤4－2Y｜Y＝1)＋P(Y＝2)P(X≤4－2Y｜Y＝2)+P(y＝3)P(X≤4－2Y｜Y＝3)＝P(X≤2)＋P(X≤0)＋P(X≤－2)＝(1)＋(－1)＝0．46587．知识模块：多维随机变量及其分布7．设(X，y)的联合分布函数为F(x，y)＝则P(max{X，Y}＞1)＝____________．正确答案：e－2＋e－3－e－5解析：由FX(x)＝F(x，＋∞)＝，得X～E(2)，同理Y～E(3)，且X，Y独立．P(max{X，Y}＞1)＝P(X＞1或Y＞1)＝1－P(X≤1，Y≤1)＝1－P(X≤1)P(Y ≤1)＝1－FX(1)FY(1)＝1－(1－e－2)(1－e－3)＝e－2＋e－3－e－5．知识模块：多维随机变量及其分布8．设X，Y相互独立且都服从(0，2)上的均匀分布，令Z＝min{X，Y}，则P(0＜Z＜1)＝____________．正确答案：解析：由X，Y在(0，2)上服从均匀分布得FX(x)＝FY(y)＝因为X，Y相互独立，所以FZ(z)＝P(Z≤z)＝1－P(Z＞z)＝1－P(min{X，Y}＞z)＝1－P(X＞z，Y ＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，于是P(0＜Z＜1)＝FZ(1)－FZ(0)＝1－．知识模块：多维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三模拟试题
考研数学三模拟试题一、选择题（每题5分，共40分）1. 设函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. 7B. 9C. 11D. 132. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)。
A. 1B. 2C. 4D. 83. 以下哪个选项不是正态分布的数学期望？A. \( \mu \)B. \( \sigma^2 \)C. \( \mu + 2\sigma \)D. \( 2\mu - 3\sigma \)4. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值，求\( \int_{0}^{1} x^3dx \)的值。
A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{5} \)5. 设随机变量\( X \)服从二项分布\( B(n, p) \)，求\( E(X) \)。
A. \( np \)B. \( nq \)C. \( 2np \)D. \( 2nq \)6. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = e^x \)B. \( y = \ln x \)C. \( y = \sin x \)D. \( y = x^2 \)7. 已知\( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x - 1 \)，求\( y \)的原函数。
A. \( y = x^3 + x^2 - x + C \)B. \( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)C. \( y = x^3 + x^2 + 2x + C \)D. \( y = x^3 + 2x^2 - x + C \)8. 设矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的特征值。
考研数学三(多维随机变量的分布)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（多维随机变量的分布）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A．X2．B．X-Y．C．X+Y．D．(X，Y)．正确答案：D解析：由Y4=X2知，X2不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y 与X-Y都不服从均匀分布；由X，Y的独立性知，(X，Y)的联合密度f(x，y)=因此(X，Y)服从区域D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1}上二维均匀分布，应选(D)．知识模块：多维随机变量的分布2．设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数FZ(z)是A．max{FX(z)，FY(z)}．B．FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z)．C．FX(z).FY(z)．D．[FX(z)+FY(z)]．正确答案：C解析：FZ(x)=P{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z} =P{X≤z}.P{Y≤z}=FX(z).FY(z)，应选(C)．知识模块：多维随机变量的分布3．设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为则X1+X2的分布函数F(x)=A．B．C．D．正确答案：D解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为F(x)=P{Xl1+X2≤x}=P{X1=0}P{X1+X2≤x｜X1=0}+P(X1=1}P{X1+X2≤x{X1=1}故选(D)．知识模块：多维随机变量的分布4．设随机变量X和Y都服从正态分布，则A．X+Y一定服从正态分布．B．X和Y不相关与独立等价．C．(X，Y)一定服从正态分布．D．(X，-Y)未必服从正态分布．正确答案：D解析：(A)不成立，例如，若Y=-X，则X+Y≡0不服从正态分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X 和Y不相关”二者等价．故应选(D)，虽然随机变量X和-Y，都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，-Y)未必服从正态分布．知识模块：多维随机变量的分布5．已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=-1}=P{Xi=1}=(i=1，2)，则A．X1与X1X2独立且有相同的分布．B．X1与X1X2独立且有不同的分布．C．X1与X1X2不独立且有相同的分布．D．X1与X1X2不独立且有不同的分布．正确答案：A解析：由题设知X1X2可取-1，1，且P{X1X2=-1}=P{X1=-1，X2=1}+P{X1=1，X2=-1}=P{X1=-1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=-1}又P{X1=-1，X1X2=-1}=P{X1=-1，X2=1}=所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故应选(A)．知识模块：多维随机变量的分布6．已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜-1＜x＜1，-1＜y＜1}上服从均匀分布，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知(X，Y)的概率密度函数为由于P}min(X，Y)≥0}=P{X ≥0，Y≥0}=故选(D)．因P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确．知识模块：多维随机变量的分布7．设随机变量X和Y的联合概率分布服从G={(x，y)｜x2+y2≤r2}上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是A．随机变量X．B．随机变量X+Y.C．随机变量Y．D．Y关于X=1的条件分布.正确答案：D解析：排除法．依题设，由于X，Y对称，(A)和(C)会同时成立，故应排除．或利用计算，随机变量X和Y的联合概率密度为当｜X｜＞r时，显然fX(x)=0；当｜x｜≤r时，有因此，X和Y都不服从均匀分布，即可排除(A)和(C)．而由熟知的事实知二均匀分布随机变量之和也不服从均匀分布，可见(B)也不成立，故应选(D)．知识模块：多维随机变量的分布填空题8．设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从p=的0．1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为__________．正确答案：解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}= P{Z=1}=1-P{Z=0}=于是Z的分布律为知识模块：多维随机变量的分布9．假设随机变量X与Y相互独立，且P{X=k}=(k=1，2，3)，则a=__________，b=______，Z=X+Y的分布律为________．正确答案：解析：Z=X+Y的可能取值为-2，-1，0，1，2．由于P{Z=-2}=P{X+Y=-2}=P{X=1，Y=-3}=P{X=1}P{Y=-3}类似地，P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=1，Y=-2}+P{X=2，Y=-3}P{Z=0}=P{X+Y=0} =P{X=1，Y=-1}+P{X=2，Y=-2}+P{X=3，Y=-3}P{Z=1}=P{X=2}P{Y=-1}+P{X=3}P{Y=-2} 知识模块：多维随机变量的分布10．从数1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=________.正确答案：解析：根据乘法公式P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j｜X=i}，i，j=1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为知识模块：多维随机变量的分布11．设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为________.正确答案：解析：分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数：F(x)=F(x，+∞)=F(x，1)，因此知识模块：多维随机变量的分布12．设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜Y}=______.正确答案：解析：知识模块：多维随机变量的分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=l，i=1，…，n，则对任意ε＞0，根据切比雪夫不等式直接可得
二、填空题
8两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为_________.
18设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 其中λ＞0，μ＞0是常数，引入随机变量 求E(Z)和D(Z)．
19设随机变量X，Y相互独立，已知X在[0，1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布．求(Ⅰ)随机变量Z=2X+Y的密度函数；(Ⅱ)Cov(Y，Z)，并判断X与Z的独立性．
20设二维随机变量(U，V)～N ，记X=U-bV，Y=V．(Ⅰ)问当常数b为何值时，X与Y独立? (Ⅱ)求(X，Y)的密度函数f(x，y)．
[考研类试卷]考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷2
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与Y
（A）相关．
（B）不相关．
（C）独立．
（D）不独立．
2将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
9将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．
10设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为_______．
11设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=_______．
12设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥________．
（A）-1．
（B）0．
（C）0．5．
（D）1.
5设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记 的相关系数为（A）-1．（B源自0．（C）（D）1.
6设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X-EX｜≥3}≤ ，则一定有
（A）DX=2．
（B）P{｜X-EX｜＜3}＜
（C）DX≠2．
24写了n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对的信的数目，求EY及DY．
25设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N(μ，σ2)，求随机变量Z=min(X，Y)的数学期望．
26将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，Y表示出现点数不小于3的次数．求3X+Y与X-3Y的相关系数．
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 (Ⅰ)求X与Y的相关系数；(Ⅱ)令Z=XY，求Z的数学期望与方差．
14已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为 (Ⅰ)求(U，V)的概率分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数ρ．
15假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ｜x｜(λ＞0，-∞＜x＜+∞)，Y=｜X｜．(Ⅰ)求常数c及EX，DX；(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?
16设某网络服务器首次失效时间服从E(λ)，现随机购得4台，求下列事件的概率：
(Ⅰ)事件A：至少有一台的寿命(首次失效时间)等于此类服务器期望寿命；
(Ⅱ)事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命．
17设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，求下列Yi(i=1，2，3，4)的数学期望和方差：(Ⅰ)Y2=eX；(Ⅱ)Y2=-2lnX；(Ⅲ)Y3= ；(Ⅳ)Y42=X2．
（A）-1．
（B）0．
（C）
（D）1.
3对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是
（A）EXY=EXEY．
（B）Cov(X，Y)=0．
（C）DXY=DXDY．
（D）D(X+Y)=DX+Dy．
4假设随机变量X在区间[-1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关系数等于
21设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 试求：(Ⅰ)数学期望EX，EY；(Ⅱ)方差DX，DY；(Ⅲ)协方差Cov(X，Y)，D(5X-3Y)．
22设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤2}上服从均匀分布，令Z=min(X，Y)，求EZ与DZ．
23设X1，X2，…，X12是取自总体X的一个简单随机样本，EX=μ，DX=σ．记Y1=X1+…+X8，Y2=X5+…+X12，求Y1与Y2的相关系数．
27设随机变量U服从二项分布 ，随机变量 求随机变量X-Y与X+Y的方差和X与Y的协方差．
28设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布．(Ⅰ)问X与Y是否相互独立；(Ⅱ)求X与Y的相关系数．