内蒙古通辽市高三数学4月模拟考试试题 理(扫描版)新人教A版

内蒙古通辽市2014届高三数学4月模拟考试试题理（扫描版）新人教A版2014年通辽市高三420模拟考试数学试卷参考答案(理科)1．C ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴(R A)∩B＝{x|1≤x＜3}．2．B z ＝1－ai 1＋i ＝1－a －（a ＋1）i 2，则1－a2＝－1，得a ＝3，∴z 的虚部为－2.3．C 由3sin 2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2＜α＜π，故cos(α－π)＝－cos α＝1－（13）2＝232.4．A 由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m ＝22＋2＝6，则椭圆C 的长轴长为2 6.5．B 约束条件对应的区域如图所示．当直线z ＝2x ＋y 过点A (2，2)时，z 取得最大值6，当直线z ＝2x ＋y 经过B (1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2，选B.6．A 若选0，则有C 12A 23＝12个；若不选0，则有C 12C 23A 33＝36个．共有12＋36＝48个． 7．A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，判断框内填“k ＞4？”．8．B ∵a ＝log 1323＜log 1333＝12，b ＝log 1213＞1，12＜c ＝(12)0.3＜1，∴b >c >a .9．D 由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为12×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V ＝1×4×6＋12×4×5×2＝44（cm 3）. 10．B 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)的图象向左平移m 个单位，得函数g (x )＝2sin(2x ＋2m －π6)的图象，则由题意得2×π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即有m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∵m >－π2， ∴当k ＝－1时，m min ＝－π3.11．C 取PF 1的中点M ，连结MF 2，∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴F 2M ⊥PF 1，∴|PM |2＋|F 2M |2＝|PF 2|2，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a ＋2c ，∴(a ＋c )2＋(2a )2＝(2c )2，解得：c ＝5a 3，∴e ＝53.12．D 依题意，函数g (x )＝log a (a 2x＋t )(a ＞0，a ≠1)在定义域R 上为单调递增函数，且t ≥0，而t ＝0时，g (x )＝2x 不满足条件②，所以t ＞0.设存在[m ，n ]，使得g (x )在[m ，n ]上的值域为[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧log a （a 2m＋t ）＝m ，log a （a 2n ＋t ）＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2m＋t ＝a m，a 2n ＋t ＝a n ，所以m ，n 是方程(a x )2－a x＋t ＝0的两个不等实根，所以Δ＝1－4t ＞0，解得0＜t ＜14，故选D.13.－212设所求系数为a ，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r ，使C r 9(x 2)9－r(－12x )r ＝ax 9，即(－1)r C r 9·(12)r x 18－3r ＝ax 9. 所以，得⎩⎪⎨⎪⎧18－3r ＝9，a ＝（－1）r ·（12）r C r9，解得r ＝3，所求系数为a ＝－18C 39＝－212. 14．－1 f (m )＝214(1)mx -⎰d x ＝(x ＋4x )⎪⎪⎪m1＝m ＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m ＝2时等号成立．15.1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1.16．3tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C (cos A sin A ＋cos B sin B )＝tan C ·sin （A ＋B ）sin A ·sin B＝sin 2Ccos C ·sin A ·sin B＝c 2a 2＋b 2－c 22ab·ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝1，变形得a 2＋b 2c 2＝3. 17．解：(1)∵S n ＋a n ＝1，S n ＋1＋a n ＋1＝1， ∴S n ＋1－S n ＋a n ＋1－a n ＝0，a n ＋1＝12a n ，由S 1＋a 1＝1得a 1＝12，∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，∴a n ＝(12)n.(5分)(2)∵b n ＋log 2a n ＝0，a n ＝(12)n ，∴b n ＝－log 2a n ＝log 12a n ＝log 12(12)n＝n ，∴1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(12分)18．(1)证明：∵BP 、BA 、BC 两两垂直，故以B 为原点，分别以BA ，BC ，BP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B －xyz ，则B (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，∵∠PAB ＝45°，∴BA ＝BP ，∴P (0，0，2)．又∵E ，F ，D 分别是BA ，BC ，AC 中点，∴E (1，0，0)，F (0，1，0)，D (1，1，0)．∴EF →＝(－1，1，0)，PD →＝(1，1，－2)，EF →·PD →＝0，EF ⊥PD .(6分)(2)解：设平面EPF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，PF →＝(0，1，－2)，则n ·EF →＝0，n ·PF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2＝0，y 2－2z 2＝0.令y 2＝2，则x 2＝2，z 2＝1，∴n ＝(2，2，1)． 平面PBF 的一个法向量为BA →＝(2，0，0)，设二面角E －PF －B 的平面角为φ，则cos φ＝n ·BA →|n |·|BA |＝23，sin φ＝53，tan φ＝52,∴二面角E －PF －B 大小的正切值为52.(12分)19．解：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(3分) (2)设A i 表示所取3人中有i 个人是“极安全”，至多有1人是“极安全”记为事件A ，则P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 212C 316＝121140.(7分)(3)X 的可能取值为0、1、2、3.P (X ＝0)＝(34)3＝2764；P (X ＝1)＝C 1314(34)2＝2764； P (X ＝2)＝C 23(14)234＝964；P (X ＝3)＝(14)3＝164. 分布列为E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75.(12分)另解：X 的可能取值为0、1、2、3，X ～B (3，14)，P (X ＝k )＝C k 3(14)k (34)3－k. 分布列为所以E (X )＝3×14＝0.75.(12分)20．解：(1)如图，设抛物线的准线为l ，过P 作PE ⊥l 于E ，过A 作AF ⊥l 于F . 由抛物线定义知|PF |＝|PE |⇒|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PE |≥|AF |，当且仅当A ，P ，E 三点共线取等号． 由题意知|AF |＝8，即4＋p2＝8⇒p ＝8⇒抛物线的方程为y 2＝16x .(4分)(2)假设存在点M ，设过点M 的直线方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由以BC 为直径的圆恰过坐标原点有OB →·OC →＝0⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0， ① 把y ＝kx ＋b 代入y 2＝16x 得k 2x 2＋2(bk －8)x ＋b 2＝0，由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2（bk －8）k2，x 1x 2＝b2k 2，②又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2， ③ ②代入③得y 1y 2＝16bk， ④②④代入①得b 2k 2＋16bk＝0⇒b ＝－16k .(9分)⇒动直线方程为y ＝kx －16k ＝k (x －16)必过定点(16，0)．当k BC 不存在时，直线x ＝16交抛物线于B (16，－16)，C (16，16)，仍然有OB →·OC →＝0， 综上：存在点M (16，0)满足条件．(12分)21．解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝2(x －e x )＝2（x 2－e ）x(x ＞0)，令F ′(x )＝0，得x ＝e(x ＝－e 舍)，∴当0＜x ＜e 时，F ′(x )＜0，F (x )在(0，e)上单调递减； 当x ＞e 时，F ′(x )＞0，F (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝e 时，F (x )有极小值，也是最小值， 即F (x )min ＝F (e)＝e －2eln e ＝0.∴F (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)，单调递减区间为(0，e)，最小值为0.（6分） (2)由(1)知，f (x )与g (x )的图象有且仅有一个公共点(e ，e)，∴猜想：一次函数的图象就是f (x )与g (x )的图象在点(e ，e)处的公切线， 其方程为y ＝2e x －e.下面证明：当x ＞0时，f (x )≥2e x －e ，且g (x )≤2e x －e 恒成立．∵f (x )－(2e x －e)＝(x －e)2≥0，∴f (x )≥2e x －e 对x ＞0恒成立．又令G (x )＝2e x －e －g (x )＝2e x －e －2eln x ，∴G ′(x )＝2e －2ex＝2e （x －e ）x，∴当0＜x ＜e 时，G ′(x )＜0，G (x )在(0，e)上单调递减； 当x ＞e 时，G ′(x )＞0，G (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝e 时，G (x )有极小值，也是最小值，即G (x )min ＝G (e)＝2e －e －2eln e ＝0，∴G (x )≥0，即g (x )≤2e x －e 恒成立． 故存在一次函数y ＝2e x －e ，使得当x ＞0时，f (x )≥2e x －e ，且g (x )≤2e x －e 恒成立.（12分）22．解：(1)连结AB ，∵∠APO ＝30°， ∴∠AOB ＝60°.∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝60°. ∵∠ABC ＝∠AEC ，∴∠AEC ＝60°.(5分)(2)由条件知AO ＝2，过A 作AH ⊥BC 于H ，AH ＝ 3. 在Rt △AHD 中，HD ＝2，∴AD ＝7.∵BD ·DC ＝AD ·DE ，∴DE ＝377.∴AE ＝AD ＋DE ＝1077.(10分)23．解：(1)设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3sin α，y ＝3cos α－2，∴动点A 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝9，其轨迹是圆心为(2，－2)，半径为3的圆．(5分)(2)直线C 的极坐标方程ρcos(θ－π4)＝a 化为直角坐标方程是2x ＋2y ＝2a ，由|22－22－2a |2＝3，得a ＝3或a ＝－3.(10分)24．解：(1)由f (x )≤a ，得1－a 2≤x ≤1＋a2. 因为不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a2＝0，1＋a 2＝1，解得a ＝1.(5分)(2)由g (x )＝1f （x ）＋f （x ＋1）＋m＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m的定义域为R 知：对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立．因为|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，所以m ＞－2.(10分)。