第6讲 观测误差分类与衡量精度标准1
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第6章--测量误差基本知识.
dzΒιβλιοθήκη f x1dx 1
f x2
dx 2
f xn
dx n
z及 xi都很小， 可近似用 z及 xi 代替 dz 及 dx i
Z
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
mZ 2
f x1
2 m12
f x2
2 m 2 2
f xn
2 m n 2
m z x f1 2m 1 2 x f2 2m 22 x fn 2m n2
如果系统误差的大小在允许范围以内，可采用适当的措施消除或减弱其影响，通常有以下三种方法：
1、测定系统误差的大小对观测值加以改正。如用钢尺量距时，通过对钢尺的检定求出尺长改正数，对观测结果加 尺长改正数来消除尺长引起的系统误差。
2、采用对称观测的方法 使系统误差在观测值中以相反的符号出现，加以抵消。如水准测量时，采用前、后视距 相等的对称观测，经纬仪测角时，用盘左、盘右两个观测值取中数的方法可以消除视准轴误差等系统误差 的影响。
100 10000
∵ m100＞m200
0.01 1
m2 0 0
200 20000
∴量测200米的精度高于量测100的精度
一、倍乘
6.4 误差传播定律
Z kx Z k x
Z 1 k x1
Z 2 k x2
Z n k xn
Z
2
k 2 x 2
n
n
m
2 z
k
2m
2 x
m容许 的概率含义
中误差
P2＜ ＜ 20.955 P3＜ ＜ 30.997
注意：应从概率的意义去理解m容许
6.3 衡量观测值精度的标准
衡量观测精度的标准
衡量观测精度的标准
在科学实验和观测中，精度是评估观测结果可靠性和有效性的重要指标。
以下是衡量观测精度的主要标准：
1. 观测值的一致性
观测值的一致性是指在不同时间、不同观测者、不同仪器或实验条件下，对同一或相似对象进行观测时，所获得的数据应保持一致。
一致性是排除观测误差的基础，也是科学研究的基本要求。
2. 观测值的可重复性
观测值的可重复性是指观测结果能够在相同的条件下被重复测量或验证。
良好的可重复性表明观测结果具有较高的可信度，能够经受住严格的检验。
3. 观测值的稳定性
观测值的稳定性是指观测数据在长时间内保持稳定，不随时间变化而发生显著漂移。
观测值的稳定性对于长期观测和数据分析具有重要意义。
4. 观测值的灵敏度
观测值的灵敏度是指对微小变化或细微差异的感知能力。
高灵敏度的观测能够捕捉到细微的变化或差异，从而提供更多有价值的信息。
5. 观测值的抗干扰能力
观测值的抗干扰能力是指观测数据在存在干扰因素的情况下，仍能保持其准确性和稳定性。
干扰因素可能包括环境噪声、仪器误差、人为误差等。
抗干扰能力强的观测能够更好地反映真实情况。
综上所述，观测值的一致性、可重复性、稳定性、灵敏度和抗干扰能力是衡量观测精度的关键标准。
在科学研究和实际应用中，应根据具体需求和实际情况，综合考虑这些因素，以提高观测精度和数据的可靠性。
衡量精度的标准
1 20000
谢谢观看
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
-3
9
180°00ˊ02"
-2
4
179°59ˊ58"
+2
4
179°59ˊ56"
+4
16
5
180°00ˊ01"
-1
1
6
180°00ˊ00"
0
0
7
180°00ˊ04"
-4
16
8
179°59ˊ57"
+3
9
9
179°59ˊ58"
+2
4
10
180°00ˊ03"
4
180 00 00
5
179 59 56
+4
5
180 00 01
6
179 59 57
+3
6
179 59 53
7
180 00 02
-2
7
179 59 59
8
180 00 01
-1
8
180 00 00
9
179 59 58
+2
9
180 00 03
10
180 00 04
-4
10
180 00 01
真误差Δ ″
m1 m2 ，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
中误差
练习：按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Σ||
测量-第六章 测量误差的基本知识 (1)
lim
n→ ∞
∆1 + ∆ 2 +L ∆ n n
= lim
[∆ ]
n
n→ ∞
=0
本章此处及以后“ 表示取括号中下标变量的代数和， 本章此处及以后“[ ]”表示取括号中下标变量的代数和， 表示取括号中下标变量的代数和 即∑∆i=[∆]
பைடு நூலகம்
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
土木工程测量
第六章 测量误差的基本知识
1
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.1 观测及观测误差
对未知量进行测量的过程，称为观测。 对未知量进行测量的过程，称为观测。 观测 测量所获得的数值称为观测值。 测量所获得的数值称为观测值。 观测值 进行多次测量时， 进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实 观测值与其真实值(简称为真值) 质上表现为观测值与其真实值(简称为真值)之间的差异，这种 差异称为测量误差 观测误差。 差异称为测量误差 或 观测误差。 代表观测值， 代表真值， 用Li代表观测值，X代表真值，则有 Δi=Li-X (6-1) 式中Δ 就是观测误差， 真误差，简称误差 误差。 式中Δi就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。 一般情况下，只要是观测值必然含有误差。
§6.1 观测误差来源及其分类 6.1.3 观测误差的分类及其处理方法
根据性质不同， 根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化。 1、系统误差——符号和大小保持不变或按一定规律变化。 系统误差 符号和大小保持不变或按一定规律变化 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 系统误差具有积累性，对测量结果影响很大。 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 尽量设法消除和减小系统误差，方法有： 在观测方法和观测程度上采用必要的措施， ①在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系 统误差的影响。 统误差的影响。 ②找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差 找出产生系统误差的原因和规律， 的改正。 的改正。 ③将系统误差限制在允许范围内。 将系统误差限制在允许范围内。 经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 不垂直于仪器竖轴 如，经纬仪照准部管水准器轴不垂直于仪器竖轴的误差对水 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。 平角的影响，将其影响减小到允许范围内。
工程测量技术课程教学课件：06误差基本知识
2.误差传播规律
误差的分类及 特性
误差传播规律
衡量精度的标准
3.和差函数的中误差
一般化函数 Z=x±y
式中 x y 为直接观测值， 其中误差分别为 mx,my x ， 求观测值函数 Z 的中误差 m Z 。
计算中数值的凑整 规则
观测值和差函数的中误差平方， 等于两观测值中 误差的平方之和 。
2.误差传播规律
误差的分类与 特性
误差传播规律
衡量精度的标准
计算中数值的凑整 规则
1.误差的分类
测量误差的主要来源
上述三大因素总称为观测条件， 在上述条件基本一致的情况下进行的 各次观测，称为等精度观测。 结论：观测误差不可避免(粗差除外)
误差的分类与 特性
误差传播规律
衡量精度的标准
计算中数值的凑整 规则
1.误差的分类
2.误差的特性
误差的分类与 特性
误差传播规律
衡量精度的标准
当观测次数很多时，偶然误差的 出现，呈现出统计学上的规律性： 偶然误差具有正态分布的特性。
计算中数值的凑整 规则
四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性
y
正态分布曲线
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
误差的分类及 特性
误差传播规律
3.一般函数的中误差
衡量精度的标准
计算中数值的凑整 规则
3.衡量精度的标准
误差的分类及特性
误差传播规律
衡量精度的标准 计算中数值的凑整
规则
1.中误差 设在相同的观测条件下，对任一未知量进行了n次观测，其观测
衡量观测精度的标准
衡量观测精度的标准
衡量观测精度的标准可以有多个，以下是一些常见的标准：
1. 绝对误差：即观测值与真实值之间的差值的绝对值。
绝对误差越小，表示观测结果越接近真实值，精度越高。
2. 相对误差：即绝对误差除以真实值得到的比值。
相对误差可以消除观测值的绝对大小对误差评估的影响，更能反映观测结果的精度。
3. 标准偏差：是一组观测值与其平均值之间的偏差的平方的平均值的平方根。
标准偏差越小，表示观测值的离散程度越小，精度越高。
4. 精度指数：是观测误差的大小与观测值的大小之间的比值。
精度指数越小，表示相同的观测误差对于较大的观测值影响较小，精度较高。
5. 置信区间：用于衡量观测结果的精度范围。
置信区间越窄，表示对真实值的估计范围越小，精度越高。
这些标准通常根据具体的观测类型和应用领域来选择和使用，综合考虑可以得到更全面的观测精度评估。
第六章测量误差理论
上午9时32分
2．偶然误差
偶然误差
偶然 误差
定义
在相同的观测条件下，对某量进行 一系列的观测，如果观测误差的符 号和大小都不一致，表面上没有任 何规律性，这种误差称为偶然误差。
上午9时32分
2．偶然误差
偶然误差
如何处理含有偶然误差的数据？ 例如
同一量 观测了n次
观测值 为 l1,l2,l3,…….ln
m1 m2 说明第一组的精度高于第二组的精度。
上午9时32分
说明：中误差越小，观测精度越高
一一、、中中误误差差
中布m，比mm1其较12小==精离于23度散m..522较，,是说是其高第明第精；一第二相度组一组对较观组观低地测观测，：值测值第的值的二中的中组误误误观差差差测；分。值布的比误较差集分
P(|| m)=0.683=68.3 出现机会（ 31.7%） P(||2m)=0.954=95.4 出现机会（4.6%） P(||3m)=0.997=99.7 出现机会（0.3%）
第三节 观测值函数的中误差
一.一般函数
的中误差
（误差传播定律）
设有函数： Z F(x1, x2,, xn ) (a)
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2 f12x12 f22x22 fn2xn2 2 f1 f2x1x2 2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
第二节 精度评定的标准
在测量工作中，常采用以 中误差
下几种标准评定测量 相对中误差
成果的精度。
极限误差
上午9时32分
一一、、中中误误差差
2．偶然误差
偶然误差
偶然 误差
定义
在相同的观测条件下，对某量进行 一系列的观测，如果观测误差的符 号和大小都不一致，表面上没有任 何规律性，这种误差称为偶然误差。
上午9时32分
2．偶然误差
偶然误差
如何处理含有偶然误差的数据？ 例如
同一量 观测了n次
观测值 为 l1,l2,l3,…….ln
m1 m2 说明第一组的精度高于第二组的精度。
上午9时32分
说明：中误差越小，观测精度越高
一一、、中中误误差差
中布m，比mm1其较12小==精离于23度散m..522较，,是说是其高第明第精；一第二相度组一组对较观组观低地测观测，：值测值第的值的二中的中组误误误观差差差测；分。值布的比误较差集分
P(|| m)=0.683=68.3 出现机会（ 31.7%） P(||2m)=0.954=95.4 出现机会（4.6%） P(||3m)=0.997=99.7 出现机会（0.3%）
第三节 观测值函数的中误差
一.一般函数
的中误差
（误差传播定律）
设有函数： Z F(x1, x2,, xn ) (a)
(k) f1x1(k) f2x2(k) fnxn(k)
对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）
2 f12x12 f22x22 fn2xn2 2 f1 f2x1x2 2 f1 f3x1x3 2 fi f jxix j
第二节 精度评定的标准
在测量工作中，常采用以 中误差
下几种标准评定测量 相对中误差
成果的精度。
极限误差
上午9时32分
一一、、中中误误差差
《测量学》第6章测量误差解析
2. 偶然误差性质
① 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一 定的限度——有界性；
② 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大— —密集性；
③ 绝对值相等的正误差与负误差，其出现的可能性相 等——对称性；
④ 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近 于零——抵偿性。
lim ＝0
n n
f x2
k j 1
1j j2
2
f x1
f x3
k j 1
1j j3
2
f xn1
f xn
k j 1
jn1jn
当观测次数k→∞，各偶然误差误差Δ的交叉项总和均趋向于0，而
k
j2
z
j1
K
mz 2
k
j2
i
j1
K
mi 2
则：
2
2
mz2
f x1
m12
f x2
m22
5
m乙
62 52 0 12 12 3.5
5
6.3.2 相对误差
中误差的绝对值与其相应观测值之比。
K
m D
1 D
m
分别丈量了长度为100m和200m的两段距离，其中误差 分别都为±0.02m。则两段距离的相对误差分别为
K1
m1 D1
0.02 1 100 5000
K2
m2 D2
0.02 1 200 10000
n
中误差的含义
概率密度曲
例1：甲乙两组，各自在同精度条件下，对某一三角形 内角测量了5次，求得三角形闭合差Δi列于下表，试问哪一 组观测值精度高。
误差 Δ1
Δ2
Δ3
Δ4
第六章误差基本知识
最或然值（最可靠值）。
根据偶然误差的特性可取算术平均值作为
最或然值。
设对同一量等精度观测了n次，观测值为 l1,l2,l3,….ln，则该量的算术平均值
也可表示成： x l1 l2 ln l
n
n
n
l
li
i 1
[l] x
n
n
证明（x是最或然值）
中误差的绝对值与观测值之比，并将分子 化为1，分母取整数，称为相对中误差，
即：
Km 1 D Dm
相对中误差不能用于评定测角的 精度，因为角度误差与角度大小无关。
在一般距离丈量中，往返各丈量一次，
取往返丈量之差与往返丈量的距离平均值之
比，将分子化为1，分母取整数来评定距离
丈量的精度。称为相对误差。
经纬仪导线测量时，规范中所规定的相
对闭合差不能超过1/2000,它就是相对极限
误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则
是相对真误差。
与相对误差相对应，真误差、中误差、
极限误差等均称为极限误差又成为允许误差，或最大误差。
由偶然误差的第一个特性可知，在一定 的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限值，测量上把这个限值叫做极 限误差。
在观测次数不多的情况下可认为大于3倍的 中误差是不可能出现的，所以通常以3倍中误差 作为偶然误差的极限误差，即
允 3m
在实际工作中，有的测量规 范规定以2倍中误差作为极限误 差，
即 允 2m
超过极限误差的误差被认为 是粗差，应舍去重测。
22
第三节 算术平均值及改正数
一、算术平均值
研究误差的目的除了评定精度外，还有求其
第一节 测量误差的概念
第06章测量误差的基本理论
限差：
|容|=3|m| 或 |容|=2|m
§6-2 衡量精度的指标
❖ 四、相对误差(相对中误差)
❖
—中误差绝对值与观测量之比。
✓ 用分子为1的分数表示。
✓ 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。
n
n
[v] 0
§6-3 算术平均值及其中误差
❖ 一、算术平均值 证明算术平均值为该量的最或是值：
设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：
1 X l1
2 X l2
n
X
ln
X l
n
n
lim 0
n n
X lim l
n n
lim x X
n
✓ 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真
§6-1 概述
误差区间 d 个数
负误差 相对个数 个数
正误差 相对个数
0.0～0.2
45
0.126
46
0.128
0.2～0.4
40
0.112
41
0.115
0.4～0.6
33
0.092
33
0.092
0.6～0.8
23
0.064
21
0.059
0.8～1.0
17
0.047
16
0.045
1.0～1.2
13
解：K1
0.02m 100m
1 5000
K2
0.03m 200m
1 6600
K2<K1，所以距离S2精度较高。
|容|=3|m| 或 |容|=2|m
§6-2 衡量精度的指标
❖ 四、相对误差(相对中误差)
❖
—中误差绝对值与观测量之比。
✓ 用分子为1的分数表示。
✓ 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
例：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.03m。计算S1、S2的相对误差。
n
n
[v] 0
§6-3 算术平均值及其中误差
❖ 一、算术平均值 证明算术平均值为该量的最或是值：
设该量的真值为X，则各观测值的真误差为：
1 X l1
2 X l2
n
X
ln
X l
n
n
lim 0
n n
X lim l
n n
lim x X
n
✓ 当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真
§6-1 概述
误差区间 d 个数
负误差 相对个数 个数
正误差 相对个数
0.0～0.2
45
0.126
46
0.128
0.2～0.4
40
0.112
41
0.115
0.4～0.6
33
0.092
33
0.092
0.6～0.8
23
0.064
21
0.059
0.8～1.0
17
0.047
16
0.045
1.0～1.2
13
解：K1
0.02m 100m
1 5000
K2
0.03m 200m
1 6600
K2<K1，所以距离S2精度较高。
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第一组：+4,-2,0,-4,+3 第二组： +6,-5,0,+1,-1
14
m
例：设对某个三角形用两种不同的精度分别对它进行了 10 次观测，试求这两组观测值的中误差。
15
第三章
§5.2 评定精度的标准
2、平均误差
在测量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度来说， 为了计算上的方便或别的原因，在某些精度评定时也采用 下述精度指标：
n
θ称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。
第一组：+4,-2,0,-4,+3 第二组： +6,-5,0,+1,-1
16
第三章
§5.2 评定精度的标准
3 容许误差 △=3m/2m
5% 0.3%
17
第三章
§5.2 评定精度的标准 4、相对中误差
对于评定精度来说，有时利用中误差还不能反映测量的精
差σ的值。
12
第三章
σ 对偶然误差分布曲线形状的影响 f(Δ)
1 2 1
1 2
1 2 2
σ 愈小，曲 线顶点愈高， 误差分布比较 密集；反之较 离散。
2
13
1
0.683 0.683
O
1
2
Δ
第三章
§5.2 评定精度的标准
1、中误差
在测量工作中，观测个数总是有限的，为了评定精 度，一般采用下述公式：
3
第三章
观测误差的分类
系统误差(Regular Error) ：在相同的观测条件下，对某一量 进行多次的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或 按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。
偶然误差(Irregular Error) ：在相同的观测条件下，对某一
量进行多次的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同， 从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。 错误(Appreciable Arror) ：由测量人员粗心大意或仪器故障 所造成的差错，称为粗差。
在一定的观测条件下进行一组观测，它对应着一定 的误差分布。如果该组误差值总的说来偏小些，即误差 分布比较密集，则表示该组观测质量好些，这时标准差 σ的值也较小；反之，如果该组误差值偏大，即误差分 布比较分散，则表示该组观测质量差些，这时标准差的 值也就较大。因此，一组观测误差所对应的标准差值的 大小，反映了该组观测结果的精度。 所以在评定观测精度时，可用该组误差所对应的标准
19
第三章
度。为此，利用中误差与观测值的比值，即 mi ／ Li 来评定 精度，通常称此比值为相对中误差。相对中误差都要求写 成分子为1的分式，即1／N。上例为 m2 m1 1 1 m1 m2 , , L1 10000 L2 2000 L1 L2 即前者的精度比后者高。
18
第三章
思考 1.误差来源与分类。 2.为什么偶然误差是衡量精度的标准？
误差:（Error)Δ （真误差）： 观测值L与真值X的差值。 Δ = L – X 真值X：反映一个量真正大小的绝对准确的数值。
5
第三章
三、偶然误差特性 对于每个三角形来说，Δi是每个三角形内 角和的真误差，Li是每个三角形三个内均 观测值之和，X为180°。现将817个真误差 按每0.5″为一区间，以误差值的大小及其正 负号，分别统计出在各误差区间内的个数v， 及相对个数v／817。
上讲回顾
§ 4.5 三角高程测量 § 4.6 视距测量 § 4.7 全站仪和自动全站仪
1
第三章
本讲主要内容 第5章 测量误差的基本知识
§5.1 概述 观测误差的来源与分类 §5.2 衡量精度标准 中误差
2
第三章
一、 误差的概念及来源
人为因素----观测者感觉器官的鉴别力的局限 仪器因素 ---- 测量仪器与测量方法给观测结果 带来误差 客观环境----客观环境给观测结果带来的影响 • 观测条件 • 等精度观测 • 不等精度观测
4
第三章
观测误差的分类
在相同的观测条件下，独立地观测了 817 个三角形的全 部内角。由于观测结果中存在着偶然误差，三角形的三个内 角观测值之和不等于三角形内角和的理论值（真值）。设三 角形内角和的真值为 X，观测值为Li，则三角形内角和的真 误差（或简称误差）为 Δi =Li -X（i一1，2，…n）
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f(Δ)
1 2 1
1 2
1 2 2
2
1
0.683 0.683
O
1
2
Δ
第三章
其方程（称概率密度）为
f
1 2
e
2 2 2
式中参数 δ是观测误差的标准差（方根差或均方根差）
lim
2
2
n n
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第三章
§5.2 评定精度的标准
Δ 为正值 个数 V 频率 ω 123 104 75 55 27 20 10 0 414 0.151 0.127 0.092 0.067 0.033 0.024 0.012 0 0.507
总数 244 194 153 106 66 35 19 0 817
第三章
偶然误差分布曲线
σ2:方差 σ:标准差 Standard Error
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第三章
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
偶然误差的特性
• • • • 有界性： 聚中性： 对称性： 抵偿性：
lim 1 2 n lim 0 n n n n
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第三章
当观测次数愈来愈 多，误差出现在各个 区间的相对个数的变 动幅度就愈来愈小。 当n具有足够大时， 误差在各个区间出现 的相对个数就趋于稳 定。当观测次数足够 多时，如果把误差的 区间间隔无限缩小， 则图中各长方形顶边 所形成的折线将变成 一条光滑曲线，称为 误差分布曲线。
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第三章
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
|误差区间| （〃） 0.00 ~ 0.50 0.50 ~ 1.00 1.00 ~ 1.50 1.50 ~ 2.00 2.00 ~ 2.50 2.50 ~ 3.00 3.00 ~ 3.50 3.50 ~ ∞ ∑
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Δ 为负值 个数 V 频率 ω 121 90 78 51 39 15 9 0 403 0.148 0.110 0.095 0.062 0.048 0.018 0.011 0 0.493