第6章 连续时间系统的系统函数(2013)
线性系统的稳定性
罗斯阵列按如下规则排列： 第 1行 第 2行 第 3行
4 第 2行 an b n an b n-2 2 an b n-4 4
b an n-1 1 c n 1 d n 1
b an-3 n 3 cn 3 d n 3
b an-5 n 5 cn 5 d n 5
A( s ) 2 s s s 6
3 2
1）各项系数同号 2）不缺项
线性系统的稳定性
3）罗斯阵列 2 1 0 1 6 0 -11 0 0 6 0 0 罗斯这列的首列变号，所以，系统不 稳定。
线性系统的稳定性
例6.2 已知某连续时间系统的系统函数为
s 3 2s 2 s 2 H ( s) 5 ， 4 3 2 s 2s 2s 4s 11s 10 试判别此系统的稳定性。
系统函数的零、极点分布
1 L at 3)若pi a, 则Hi (s) hi (t ) e (t ) s a
(s a)
2 2
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
L 4)若p1,2 j, 则 2 hi (t ) sin(t ) (t ) 2 s
12
2
6
1
0
10
5 2 0 0 (其中取 6 6) 6 0 0
线性系统的稳定性
第一列元素两次改变符号 12 12 （由 ，又由 6)，
系统不稳定，且在s平面的右半平面上具有两个极点。
线性系统的稳定性
例6.3
已知一个系统的系统函数为：
k H (s) 3 2 s 5s 4 s k
当k取什么值时系统稳定？
线性系统的稳定性
解：分母多项式为：
A( s ) s 5s 4 s k
3 2
如果系统稳定，则
1）各项系数同号：k>0 2）不缺项
线性系统的稳定性
3）罗斯阵列 1 4 0 5 k 0 (20-k)/5 0 0 k 0 0 罗斯这列的首列不变号: (20-k)/5>0且k>0 综上，当0<k<20时，系统稳定。
(b)当
1 L 1)若 p1,2 0, 则 H i ( s ) 2 hi (t ) t (t ) s 1 L at hi (t ) te (t ) 2)若p1,2 a, 则 2 ( s a)
2 s L 3)若p1,2 j , 则 2 hi (t ) t sin(t ) (t ) 2 2 (s )
第六章 连续时间系统 的系统函数
本章的内容
1. 系统函数的表示方法 2. 系统函数H(s)的零、极点分布 与h(t)的对应关系 3. 线性系统的稳定性分析
系统函数的表示法
1. 系统函数 m m 1 B( s ) bm s bm 1s b1s b0 H (s) n n 1 A( s ) s an 1s a1s a0 2. 系统函数的图示
线性系统的稳定性
1 稳定系统 的定义：
若系统对任意的有界输入其零状态响应也是有界的，
则称此系统为稳定系统(BIBO) 即对 e(t) Me，其 r(t) ຫໍສະໝຸດ Mr , 其中Me，Mr为有界正值
线性系统的稳定性
2 稳定系统 的分类
稳定系统：如H ( s )全部极点落于s左半平面， 则 lim h(t ) 0 t s右半平面 有 不稳定系统：如H ( s )全部极点落于 或在虚轴上具二阶以上极点， h (t ) 则 lim t 临界稳定系统：如H ( s )全部极点落于s平面虚轴上 且只有一阶， 则 lim h(t ) C 0或等幅振荡 t
（1）频率特性 （2）零点极点图 （3）复轨迹
H ( j ) H ( s ) | s j
系统函数的零、极点分布
设线性时不变系统的系统函数为 设集总参数线性时不变系统其系统函数为
H ( s)
K (s z j )
m
(s p )
i i 1
j 1 n
其中 z j 为第 j个零点位， pi为第 i个极点位
A( s ) an s an 1s
n
n 1
a1s a0
则系统稳定的必要条件为（即极点全部位于s左半平面）
1）无缺项； 2）多项式的全部系数
ai 符号相同；
3）罗斯阵列中数字的第一列符号相同。
若罗斯阵列中第一列数字的符号不尽相同， 则符号改变的次数就是具有正实部根极点的个数。
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
则 H ( s )部 分 分 式 分 解 后 ， 其各极点将决定一项对应的时间函数
(a) 当一阶
pi
极点时,
h(t ) K i e
i 1
n
pi t
1 L 1)若 pi 0, 则 H i ( s ) (tt) ) hi (t ) u( s 1 L at 2)若pi a, 则 hi (t ) e (t ) sa a>0
A 解： B(s) s5 2s4 2s3 4s2 11s 10
多项式中的全部系数均大于零，满足系统稳定的必要条件。
可排出罗斯阵列，并将各行中的s的最高幂次 标在每行的左端－－
线性系统的稳定性
s s s s s s
5 4 3
1 2
2 11 4 10 6 0 （第一元素为零时，用 代替） 12 12 10 0 (其中取4 )
线性系统的稳定性
阵列中第三行的数由下式计算：
1 an an 2 cn 1 an 1 an 1 an 3
cn 3
1 an an 1 an 1
an 4 an 5
……
线性系统的稳定性
阵列中第四行的数由下式计算：
d n 1
d n 3
……
1 a n 1 c n 1 c n 1
p i 多重极点时，h(t ) 可能为 2 n pt 2 pt 或 te , t e , t , t ,, t
i i
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
*表示极点
2阶极点
2阶极点
2阶极点
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
总之， 若H ( s)极点落于s左半平面（或s右半平面） 则对应h(t )波形为衰减形式（或增长形式）； 若H ( s)一阶极点（或二阶极点）落于虚轴上 则对应h(t )波形为等幅振荡或阶跃（或增长式）； 而H ( s)零点分布仅影响h(t )的幅度和相位， 不影响其t平面波形。
5)若p1,2 a j, 则
L hi (t) eat sin(t)
(t )
L at 6)若p1,2 a j, 则 h ( t ) e sin(t) (t ) i 2 2 (s a)
系统函数的零、极点分布
—— H(s)零、极点分布与h(t)的对应
线性系统的稳定性
3
稳定系统的充分必要条件：
1）时域判据：
(绝对可积) h(t ) dt M
2）复频域判据：即 H ( s )极点位于 s左半平面
所有
3）罗斯判据
线性系统的稳定性
4 罗斯阵列稳定性准则 （适合高阶系统）
若系统函数 H ( s ) B ( s ) / A( s ) 的分母多项式，
1 a n 1 c n 1 c n 1
a n 3 cn 3
a n 5 cn 5
阵列中其它行的数依此类推
线性系统的稳定性
例6.1
已知一个系统的系统函数为：
2s 1 H (s) 3 2 2s s s 6
判定系统的稳定性。
线性系统的稳定性
解：分母多项式为：
第六章 连续时间系统的频域分析
低通滤波器
0
0
1/RC
2/RC
3/RC
4/RC
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(j)|不断减小，说明 信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把c=1/RC称为该系统的3db截频。
6.2 系统的频域响应
系统的时域分析是在时间域内进行，可以比较直观的得到系统 响应的波形。其求解系统零状态响应的方法是利用卷积分析法，将 信号分解为加权的冲激信号的叠加，是直接求响应的时域积分的方 法， 系统的频域分析方法是在频率域内进行，先求频率域的响应 Y ( j ) H ( j ) F ( j ) ，再利用傅里叶反变换求零状态响应的间接方法。
式表明，对于一个线性时不变系统，在频率为 0 的基本信号 e j0t 激励下的零状态响应是基本信号 e j0t 乘以一个与 时间t无关的常数系数 H ( j0 ) 仍然是同频率的基本信号
yzs (t ) H ( j0 )e j0t 只不过基本信号经过 H ( j0 ) 修正，而 H ( j0 ) 可由系统的系统函数 H ( j ) 得到。
【例6-3】 已知系统的系统函数 H ( j )
1 试分别求在信号 j 1
sint, sin 2t, sin3t 作用下，系统的稳态响应。
解：根据系统的系统函数可知系统的幅频特性和相频特性分别为
| H ( j ) | 1 12
( ) arctan
对于激励信号
sin t
电路的分析
对于基本电路元件电阻、电容和电感构成的电路系统，必须要研 究这三种元件上的电压与电流的频谱关系。 i L (t ) iC (t ) i R (t )
第六章 连续时间系统的系统函数
如果h(t)不绝对可积必引起系统的不稳定，
所以，必须满足
h(t)dt
4、渐近稳定与临界稳定
h(t)绝对可积，应满足 limh(t) 0 t
h(t)可允许有孤立的冲激函数存在，除此 之外h(t)也应是有限的，即：
h(t) M t M为有限的正整数
满足上述条件的系统称渐近稳定。
Z(s)
1
1 1
sC
1 C
s2
s 1 s
1
R sL
RC LC
1
s
c (s p1)(s p2 )
1 ( 1 )2,
z1 0 ,
p1,2
RC
RC 2
LC
1 ( 1 )2 1 2RC 2RC LC
令：
1 2RC
其中 0
1 , Q 0L ， 1 (0 )
LC
R
Q 0
再从系统函数的极零点分布来考察： 前面已求得：
Z(s) 1
s
c (s p1)( s p2 )
z1 0 , p1,2 j 02 2
1 2RC
,
0
1 LC
，
0
) e j()
Ak
k 1
m
Bi
m
n
其中 H ( j) H0
i 1 n
，()
i
k
Ak
i 1
k 1
k 1
当ω沿虚轴变化时|H(jω)|，φ(ω)也随之变
化。因此，由系统函数的矢量图可以估计 出系统的幅频特性和相频特性曲线。
连续系统的系统函数
连续系统的系统函数二、系统函数与时域响应由§5.4和§6.4可知，系统自由（固有）响应的函数（或序列）形式由()0=⋅A 的根确定，亦即由()⋅H 的极点确定，而冲激响应或单位序列响应的函数形式也由()⋅H 的极点确定。
下面讨论()⋅H 极点的位置与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数（序列）形式。
1. 连续系统连续系统的系统函数()s H 的极点，按其在s 平面上的位置可分为：左半开平面（不含虚轴的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。
在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。
若系统函数有负实单极点()0>-=ααp ，则()s A 有因子()α+s ，其所对应的响应（自由响应、冲激响应等）函数为()t Ae t εα-；如有一对共轭复极点βαj p ±-=2,1，则()s A 中有因子()[]22βα++s ，其所对应的响应函数为()()t t Aetεθβα+-cos ，式中A 、θ为常数，响应均按指数衰减，当∞→t 时趋近于零。
它们的波形见图8.5-1。
如()s H 在左半开面有r 重极点，则()s A 中有因子()rs α+或()[]rs 22βα++，它们所对应的响应函数分别为()t et A tj j εα-或()()()1,,2,1,0cos -=+-r j t t et A tjj εθβα，式中j A 、jθ为常数。
用罗必塔法则不难证明，当∞→t 时，它们均趋于零。
()s H 在虚轴上的单极点0=p 或βj p ±=2,1，相应于()s A 的因子为s 或22β+s ，它们所对应的响应函数分别为()t A ε或()()t t A εθβ+cos ，其幅度不随时间变化（见图8.5-1）。
()s H 在虚轴上的r 重极点，相应于()s A 的因子为rs或()rs 22β+，其所对应的响应函数分别为()t t A j j ε或()()t t t A j j j εθβ+cos ，它们都随t 的增长而增大。
线性系统理论-郑大钟(第二版)(2013)
从作用时间 1.连续时间系统 类型的角度 2.离散时间系统
连续系统按其参数 1.集中参数系统: 属有穷维系统 的空间分布类型 2.分布参数系统: 属于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
线性系统 线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。 若表征系统的数学描述为L 系统模型 系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述 ①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器
状态和状态空间的定义 状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 能完全表征其时间域行为的一个最小 内部变量组
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1 (t ), x2 t ,, xn (t )
所组成的一个列向量
x1 ( x n (t )
(1)整体性
1.结构上的整体性
(2)抽象性
(3)相对性 在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 2.系统行为和功能由整体 所决定 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。 动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。 系统变量可区分为三类形式
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任 务的学科。
线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性 和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。 主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 发展过程: 主要学派: 状态空间法 几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合 综合理论
§4.5 连续时间LTI系统的系统函数
五．零极点与系统频率响应的关系
已知系统的零极点图如图所示， 例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性
jω jω jω
0
σ
0
σ
0
σ
(a)
jω
(b)
jω
(c )
jω
0σLeabharlann 0σ0σ
(d )
( e)
(f)
五．零极点与系统频率响应的关系
解：对应系统的幅频特性为
jω
H (ω )
0
σ
0
H (ω )
两系统函数仅是零点不同， 两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应 幅度和相位不同， 幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式
五．零极点与系统频率响应的关系
频率特性 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。 频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。 主要是指幅频特性和相频特性。 主要是指幅频特性和相频特性。 在系统是稳定的前提下， 在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为
解得
1 Ω 1F
I3(s) x(t) I2 (s) 1 Ω - I1(s) 1 Ω
+ 1F
I2 (s) s2 + 2s +1 H(s) = = 2 X(s) s +5s + 2
三.系统函数的应用
求系统的响应： 求系统的响应： 方法一： 方法一： 方法二： 方法二： 即 x(t )
H(s) →h(t) → y(t) = x(t) ∗h(t) Y(s) = H(s)X(s) → y(t)
2.极点的影响 极点的影响
1 H(s) = , s
通信工程专业函授(业余)本科教学大纲
[1]《概率论与数理统计》,印凡成、夏乐天主编，河海大学校出版社，2000
[2]《概率论与数理统计》，浙江大学编，1989.8(第二版)
[3]《概率论与数理统计》,陈希孺编著,中国科学技术大学出版社，1992.5
[4]《概率论与数理统计教程》，魏宗舒编，高等教育出版社，1983.10
[5]沈恒范主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
三、开课对象通信工程专业函授本科
四、学时分配
总学时：168学时其中面授：42学时自学：126学时
五、教学内容与基本要求、教学的重点和难点
第1章绪论（面授4学时、自学12学时）
教学内容：
§1-1信号传输系统
§1-2信号的概念
§1-3系统的概念
§1-4线性非时变系统的分析
教学重点和难点：深刻理解信号和系统的概念以及两者的关系，初步理解信号分析和系统的方法，掌握信号的分类情况。深刻理解和熟练掌握并且能熟练运用线性非时变系统的五条重要性质。
[6]同济大学数学系主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社
复变函数与积分变换教学大纲
一、课程类别专业必修课
二、教学目的
本课程讲述复变函数的基本理论和两种常用的积分变换及其应用。内容包括复数与复变函数，解析函数及其充要条件，复变函数的积分与计算，柯西-古萨基本定理及复合闭路原理，柯西积分公式及解析函数的高阶导数公式，复数项级数和复函数项级数（泰勒级数和罗伦级数），留数及其在定积分计算上的应用，共形映射，傅立叶变换及其性质，拉普拉斯变换及性质与应用。本课程是继高等数学之后的数学类课。其目的是用积分变换等手段简化复杂问题的处理方法。坚持的原则是以应用为目的，在教学过程中培养学生分析问题，解决问题的能力。
连续时间系统的系统函数
第六章 连续时间系统的系统函数§6-1 引 言一、系统函数的定义系统函数H(s)定义为系统的零状态响应R(s)与激励E(s)之间的比值：)()()(s E s R s H =二、电网络系统的系统函数的分类三、)(s H 、)(p H 、)(ωj H 、)(t h 之间关系 1、)(p H 与)(s H 形式相同，含义不同； 2、)(s H 中当ωj s =时，就得到了系统特性在频域中的表达形式)(ωj H ；3、H(s)是)(t h 的像函数，)(t h 是H(s)的原函数。
所以，得到了H(s)以后，就可以得到)(p H 、)(ωj H 和)(t h 。
通过H(s) 可以对系统进行综合和分析。
§6-2 系统函数的表示法系统函数可以用数学表达式表达，也可以用图示的方法表达。
前者比较简单，但是无法直接看出系统的特性。
后者可以直接表示出系统的特性，便于对系统的性能进行深入研究。
常用的图示法有三种：频率特性，复轨迹，极零图。
一、频率特性z 正如第四章中所见，系统特性可以用反映幅度特性随频率变化规律的幅频特性曲线和反映相位特性随频率变化规律的相频特性曲线描述。
z 频率特性主要用于研究系统的频率特性分析。
z 对于)(s H ，没有必要研究其随任意复频率变化的规律，只需要令ωj s =，得到)(ωj H ，研究沿s 平面虚轴变化的规律。
z 对于一般的（电）系统，)(s H 为s 的有理函数，其幅频特性为ω的偶函数，相频特性为ω的奇函数。
所以，只要画出0≥ω部分即可。
z 频率特性曲线有时也在对数尺度的坐标系中作出，称为波特图。
见§6-4。
z 对于因果系统而言，)(ωj H 的实部和虚部相互联系，知道其中一个，就可以推导出另一个。
证明：对于因果系统，有：)()()(t t h t h ε⋅=ωωπωωωπωπδωπωωπδωπω1*)(21)(211*)(21)(*)(211)(*)(21)(j H j j H j j H j H j j H j H +=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∴ ωωπω1*)(21)(21j H jj H =∴[]ωωπωωπωωωπωω1*)(11*)(11*)()(1)()(j R j j X j jX j R j j jX j R −=+=+∴ ∫∫∞+∞−+∞∞−−−=−=−==∴λλωλπωωπωλλωλπωωπωd j R j R j X d j X j X j R )(11*)(1)()(11*)(1)( 根据上面两个的公式，可以从)(ωj R 计算出)(ωj X 或反之。
连续系统的系统函数
连续系统的系统函数二、系统函数与时域响应由§5.4和§6.4可知，系统自由（固有）响应的函数（或序列）形式由()0=⋅A 的根确定，亦即由()⋅H 的极点确定，而冲激响应或单位序列响应的函数形式也由()⋅H 的极点确定。
下面讨论()⋅H 极点的位置与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数（序列）形式。
1. 连续系统连续系统的系统函数()s H 的极点，按其在s 平面上的位置可分为：左半开平面（不含虚轴的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。
在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。
若系统函数有负实单极点()0>-=ααp ，则()s A 有因子()α+s ，其所对应的响应（自由响应、冲激响应等）函数为()t Ae t εα-；如有一对共轭复极点βαj p ±-=2,1，则()s A 中有因子()[]22βα++s ，其所对应的响应函数为()()t t Aetεθβα+-cos ，式中A 、θ为常数，响应均按指数衰减，当∞→t 时趋近于零。
它们的波形见图8.5-1。
如()s H 在左半开面有r 重极点，则()s A 中有因子()rs α+或()[]rs 22βα++，它们所对应的响应函数分别为()t et A tj j εα-或()()()1,,2,1,0cos -=+-r j t t et A tjj εθβα，式中j A 、jθ为常数。
用罗必塔法则不难证明，当∞→t 时，它们均趋于零。
()s H 在虚轴上的单极点0=p 或βj p ±=2,1，相应于()s A 的因子为s 或22β+s ，它们所对应的响应函数分别为()t A ε或()()t t A εθβ+cos ，其幅度不随时间变化（见图8.5-1）。
()s H 在虚轴上的r 重极点，相应于()s A 的因子为rs或()rs 22β+，其所对应的响应函数分别为()t t A j j ε或()()t t t A j j j εθβ+cos ，它们都随t 的增长而增大。
第六章连续时间系统的系统函数
显然，输出不是有界信号，所以系统不稳定。
二、反馈系统 指系统的输出或部分输出反过来馈送到输入处，从而 环系统。 引起输出本身变化的闭环系统。 E (s ) R (s ) +
Y (s )
∑
G (s )
−
H (s )
∏(s − z ) ∏(s − p )
j =1 j i=1 n i
m
其中： zi 称为系统函数的零点； pj 称为系统函数的极点。 零极点图 极点
jω
零点
σ
×
0
×
×
6.3 系统函数极点和零点的分布与系统时域特性的关系
定对实轴成镜像对称。 一、H (s )的极点和零点的分布必 定对实轴成镜像对称。
由 证： H ( s ) = ais i ∑ aj s j ∑
jω
σ
低通
0
H ( jω )
ω
z σ jω z σ
高通
0
全通
H ( jω )
ω ω
0
一个极点， 由此可见一阶网络具有 一个极点，对于无源网 络该极点 总位于负实数轴上， 网络， 总位于负实数轴上，其 零点决定了网络是低通 网络，高 通网络还是全通网络。 通网络还是全通网络。
a0 低通 p1 s 2 + b1s + b 0 p 2 σ 0 ω H ( jω ) jω 2 p1 a2s 同理可推得 高通 σ 2 s + b1s + b 0 p2 z1、z 2 0 H ( jω ) ω 二阶网络函数 jω a1 s p1 带通 2 σ a 2 s + a1 s + a 0 z = 2 H ( s） = s 2 + b1s + b 0 p2 0 ω jω s + b1s + b 0 2 H ( jω ) a2s + a0 p1 z1 带阻 σ 2 z2 s + b1s + b 0 p 2 0 w0 ω a 2 s 2 + a1 s + a 0 p 1 j ω z 1 H ( jω ) σ 全通 s 2 + b1s + b0 p 2 z2 零点与极点对于 jω轴互为镜像
[计算机资料]第6章连续时间系统的系统函数
* 所以，不仅系统的相频特性是各个零点或极点的相频特性的叠加，而且。
所以，。
* 其中第一项是固定的常数，可以暂时不考虑；对第二项，有：如果频率也取对数，则高频渐近线是一个斜率为20的直线，其与低频渐近线（横坐标）的交点为: * 相频特性:同样可以得到相频特性在对数坐标下也可以近似表示为两段折线； * 单个极点的波特图与单个零点的波特图相似，只不过折线方向相反。
* 思考：重根如何处理？ ? ? 利用计算机技术，可以很容易地得到任何系统的频率特性曲线和波特图，不用通过上面的方法画了。
但是，其中的一些结论在实际工作中依然有很重要参考价值。
* 如果系统对于有限（有界）的激励（即存在常数Me，使得|e(t)| Me在任意t的条件下都成立），有有限的响应（即存在常数Mr，使|r(t)| Mr 在任意t的条件下都成立，则称该系统为稳定系统。
* 稳定系统的H(s)的极点只能分布在s?平面的左半平面（即各个极点的实部应该小于零）。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。
于是就有了以下描述的代数稳定性判据。
设H(s)的分母为D(s)的有理代数方程 * 稳定系统的H(s)的极点只能分布在s?平面的左半平面（即各个极点的实部应该小于零）。
对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。
于是就有了以下描述的代数稳定性判据。
设H(s)的分母为D(s)的有理代数方程 * 思考另外一种方法 * 大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的重共轭复根。
大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。
辅助方程应为偶次数的。
l????? 如果在计算中出现了一个全零行，则说明系统在虚轴上有极点，系统最多是临界稳定的。
可以直接认为系统是不稳定的（如果将临界稳定划归于不稳定之列），或者对系统是否临界稳定作出进一步判定，步骤如下： * 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j ，系统为 * 利用罗斯―霍维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。