二面角观摩课教案
二面角观摩课教案
二面角观摩课教案一、教案概述本教案是为了帮助学生理解和掌握二面角的概念和相关知识而设计的观摩课。
通过学生观摩老师的示范讲解和互动活动，旨在提高学生对二面角的认识和理解，培养其解题和推理能力。
二、教学目标1.理解二面角的定义和性质。
2.掌握计算二面角的方法和技巧。
3.运用二面角的概念解决相关问题。
4.培养学生的分析和推理能力。
三、教学重点与难点重点•二面角的概念和性质。
•计算二面角的方法和技巧。
难点•运用二面角概念解决相关问题。
四、教学方法和策略方法•示范讲解：通过演示和实例讲解二面角的定义和计算方法。
•互动活动：设计与二面角相关的问题和练习，让学生参与讨论和解题。
策略•激发兴趣：通过引入生活中的实际例子，激发学生对二面角的兴趣。
•合作学习：鼓励学生互相合作，共同解决问题，提高学习效果。
五、教学内容和步骤步骤一：导入（10分钟）1.向学生介绍二面角的概念，并给出生活中的实际例子，如角球弧度、钟表上两个指针之间的夹角等。
2.引导学生思考，了解二面角在几何图形中的应用和重要性。
步骤二：讲解（20分钟）1.通过示意图和几何图形，讲解二面角的定义和性质。
–二面角的定义：位于不同平面上的两条相交线所夹的角称为二面角。
–二面角的性质：平行于相交线的两个平面所夹的角等于二面角。
2.讲解计算二面角的方法和技巧。
–同一平面上的二面角可以通过角度差求解。
–不同平面上的二面角可以通过平面投影求解。
步骤三：练习与讨论（30分钟）1.设计与二面角相关的问题和练习，要求学生运用所学知识进行解答。
2.鼓励学生彼此讨论，共同解决问题，并引导他们用逻辑推理和几何分析来解决复杂问题。
步骤四：总结与拓展（10分钟）1.总结二面角的重要概念和计算方法。
2.引导学生思考，探究二面角在其他几何学概念中的应用，如平面角、立体角等。
六、教学评价1.观察学生在互动活动中的表现，包括参与程度、解题思路和答题准确性等。
2.提供及时的反馈和指导，帮助学生纠正错误和改进学习方法。
《二面角》教学设计
《二面角》教学设计《二面角》教学设计是一节高中几何学的课程设计，旨在帮助学生理解和应用二面角的概念，并能够运用相应的定理解决问题。
以下是本课程设计的详细内容：一、教学目标：1. 知识目标：a. 理解二面角的定义和性质；b. 掌握二面角的度量方法；c. 理解二面角的用途和意义。
2. 能力目标：a. 能够计算二面角的度数；b. 能够判断两个二面角的大小关系；c. 能够运用二面角的性质解决几何问题。
二、教学内容：1. 二面角的定义和性质a. 介绍二面角的概念，强调其是由两个平面夹角而成；b. 解释二面角的度量方法，即以公共边为基准，两侧角度之和；c. 引导学生发现二面角的性质，并进行讨论和解释。
2. 二面角的运用a. 介绍二面角在几何学中的应用和意义；b. 提供一些具体的几何问题，引导学生运用二面角的性质解决问题；c. 练习运用二面角求解实际问题。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 给学生展示一些生活中与二面角相关的图像，引起学生的兴趣和思考；b. 提出问题，例如：“你是否注意到平面之间的夹角会有一个度数？”；c. 引导学生自由讨论，了解学生对二面角的初步认识。
2. 知识讲解（15分钟）a. 基于学生的讨论，引导学生逐步理解二面角的定义；b. 讲解二面角的度量方法，并通过几个示例进行说明；c. 向学生介绍二面角的性质，并结合图像进行解释和演示。
3. 知识巩固（20分钟）a. 给学生分发练习题，让他们通过计算度数来加深对二面角的理解；b. 提供一些思考题，要求学生判断两个二面角的大小关系，并给出理由；c. 鼓励学生在小组内讨论，相互交流答案和解题思路。
4. 进一步应用（25分钟）a. 给学生提供一些实际问题，引导他们运用二面角的性质解决问题；b. 鼓励学生多角度思考，并灵活运用二面角的概念；c. 提供个别辅导和帮助，确保每个学生都能够参与到解题过程中。
5. 总结与拓展（10分钟）a. 小结本节课的内容要点，强调二面角的定义、度量和性质；b. 提出一些延伸问题，让学生深入思考和探索；c. 鼓励学生有问必答，激发他们对几何学的兴趣和学习欲望。
二面角的教案
二面角的教案教案标题：探索二面角的概念与性质一、教学目标：1. 理解二面角的定义和性质。
2. 能够识别和分类不同类型的二面角。
3. 能够应用二面角的概念解决相关问题。
二、教学准备：1. 教学工具：投影仪、白板、黑板、教学PPT等。
2. 教学材料：教科书、练习册、作业本等。
3. 教学资源：相关的图形和模型。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）- 利用投影仪或黑板上展示一个二面角的图形，并引导学生观察和描述这个图形的特点。
- 引发学生对二面角的好奇心，提出问题：“你们知道二面角是什么吗？它有什么特点和性质？”2. 知识讲解（15分钟）- 通过教学PPT或黑板，向学生介绍二面角的定义：“在一个平面上，由两条相交的射线所确定的角叫做二面角。
”- 解释二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°，它可以分为锐角、直角和钝角三种类型。
- 通过示例和图形，讲解不同类型二面角的特点和性质。
3. 概念巩固（15分钟）- 让学生通过练习册或作业本上的练习，巩固对二面角概念的理解和应用。
- 引导学生观察和测量不同图形中的二面角，并判断其类型。
- 鼓励学生主动提问和解答问题，加深对二面角的认识。
4. 拓展应用（15分钟）- 利用教学资源或实物模型，让学生探索二面角在现实生活和实际问题中的应用。
- 引导学生思考并解决与二面角相关的问题，如日晷的设计、建筑物的角度等。
- 鼓励学生展示自己的思考和解决问题的方法，促进合作和交流。
5. 总结与评价（5分钟）- 对本节课的重点内容进行总结，并强调二面角的重要性和应用。
- 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们积极参与课堂讨论和练习。
- 鼓励学生提出问题和困惑，并给予解答和指导。
四、课后作业：1. 完成练习册或作业本上的相关练习。
2. 设计一个实际生活中的问题，应用二面角的概念解决，并写出解题思路和过程。
五、教学反思：本节课通过引导学生观察、描述和应用的方式，帮助学生理解和掌握二面角的概念与性质。
二面角教学教案
二面角教课方案教课目的1．使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的观点，并能初步运用它解决本质问题；2．指引学生探究和研究“二面角的平面角”应当如何定义，在观点形成的过程中，发展学生的思想能力．教课要点和难点本课的要点是“二面角”和“二面角的平面角”的观点；本课的难点是“二面角的平面角”观点形成的过程．教课方案过程教师：在平面几何中“角”是如何定义的？学生：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形叫做角．教师：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是如何定义的？它们有什么共同的特点？学生；直线 a，b 是异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥ a，b′∥ b，我们把直线 a′和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．它们的共同特点是都是将三维空间的角转变为二维空间的角．教师：请同学们察看下边的几个问题．（当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生经过计算机看两个例子）例子之一：镜头一：淡蓝色的地球．（图片）镜头二：火箭发射人造地球卫星．（录相）镜头三：人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面．让学生察看这两个平面订交成必定的角度．例子之二：镜头一：人走在坡度不太大的桥上．（录相）镜头二：人在登山．（录相）镜头三：攀岩运动．（录相）镜头四：演示下边动向图象．（让水平面静止不动，坡面在不停变化，目的是让学生看到，在生活实践中，有很多问题要波及到两个平面订交所成的角的情况）（注意：四个镜头要连续编排在一同进行演示，时间一分钟）教师：如何给二面角下定义呢？下边我们用类比的方法，与角的观点对照，商讨二面角的定义．这一段教课采纳计算机协助手段，每一个问题分三步达成，第一给出平面角的问题，而后请学生思虑并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果．这部分共有四个问题，所有研究完成后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上．教师：请看角的图形，思虑二面角的图形．学生能够将自己画的图展现给大家．计算机显示：二面角的图形．教师：（给出平面角的定义）请同学们给二面角下定义．显示：从平面内一点出发的两条射线所构成的图形．学生：（口答）计算机显示：从空间向来线出发的两个半平面所构成的图形．教师：平面角由射线—点—射线构成．二面角呢？学生：二面角由半平面—线—半平面构成．教师：平面角表示法：∠AOB．二面角表示法α -a-β或α -AB-β ．最后计算机显示整个过程．教师：经过上边的研究我们已经看到，平面上的角，能够看作是一条射线绕其端点旋转形成的图形；近似地，一个半平面绕其界限旋转到必定地点所获得的图形，就是二面角．教师：二面角与平面内的角同样，是能够比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的比较方法近似．（教师让学生翻开书籍）翻开书籍的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象．（前方看到的登山问题也是这样）教师：用量角器能够量出平面内的角的大小，可否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？比方，这里有一个对顶量角器和一个三角木块（直三棱柱）模型，你们能用我们自制的对顶量角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗？比方平面α 与β的夹角？教师：一般地说，量角器只好丈量“平面角”（指两条订交直线所成的角．相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角）那么，如何去胸怀二面角的大小呢？我们过去是如何胸怀某些角的？学生：分别经过“取点、平移（订交）”（对异面直线所成的角）与“斜线的射影（订交）”（对斜线与平面所成的角）去胸怀的．教师：这些做法的共同点是什么？学生：都是将空间角化为平面角．教师：对！再回到方才的量角操作，你是如何用对顶量角器去量二面角α -l-β 的大小呢？学生：将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的极点则在二面角的棱上．教师：大家注意，本质上同学们量的是一个平面内的角：∠BAC．这个角的极点在二面角的棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直．并且对于确立的二面角，这样的角的大小是独一的，确立的，我们把它叫做二面角的平面角．（对于训练有素，肯于思虑的学生可能会提出下边的问题）学生：若以棱a 上随意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的两条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且独一的，为何不用这样的角定义二面角的平面角？教师：记∠ AOB=θ，∠ A′OB′ = ．当 OA′， OB′在平面 AOB同侧时θ＞；当 OA′， OB′在平面 AOB异侧时θ＜．请看图 6：设 A ′P′=a， A′ P=b，A′B′=x由余弦定理，得：x2=b2 +b2-2b 2 cos =2b2（1-cos），x2=a2 +a2-2a 2 cosθ =2a2（1-cos θ），当OA′，OB′在平面 AOB的同侧时，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，由（ * ）知，与θ之间会有常数关系，这将给表示，特别是计算、应用带来诸多不便；此外，若用∠ A′OB′ = 表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠ 90°，当半平面α与半平面β在同一平面时， =2θ′≠ 180°，都与已有知识和经验不符，不可以直观反应出空间两个订交平面的相对地点关系。
二面角教学设计
二面角教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解二面角的概念，能在空间图形中找出二面角的平面角。
（2）掌握二面角平面角的一般求法，能运用定义法、三垂线法等求二面角的大小。
2、过程与方法目标（1）通过观察、类比、猜想、探究等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
（2）经历二面角概念的形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
（2）通过合作学习，培养学生的团队协作意识和交流沟通能力。
二、教学重难点1、教学重点（1）二面角的概念及二面角平面角的定义。
（2）二面角平面角的求法。
2、教学难点（1）二面角平面角的寻找和确定。
（2）灵活运用不同的方法求二面角的大小。
三、教学方法讲授法、启发式教学法、探究式教学法、多媒体辅助教学法四、教学过程1、导入新课（1）通过展示实际生活中的例子，如打开的书本、半开的门等，引导学生观察这些物体中两个平面所形成的角。
（2）提出问题：如何度量两个平面所形成的角呢？从而引出本节课的主题——二面角。
2、新课讲授（1）二面角的概念①结合实例，给出二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②让学生观察二面角的图形，理解二面角的构成要素，并通过举例加深对二面角概念的理解。
（2）二面角的表示方法①用三个字母表示，如二面角\（A l B\），其中\（A\）、＼（B\）分别为两个半平面上的点，＼（l\）为棱。
②用一个数字表示，如二面角\（＼alpha\）。
③用两个平行四边形的相对顶点表示，如二面角\（M N\）。
（3）二面角的平面角①提出问题：如何度量二面角的大小呢？引导学生思考。
②给出二面角平面角的定义：在二面角\（＼alpha l ＼beta\）的棱\（l\）上任取一点\（O\），以点\（O\）为垂足，在半平面\（＼alpha\）和\（＼beta\）内分别作垂直于棱\（l\）的射线\（OA\）和\（OB\），则\（＼angle AOB\）叫做二面角\（＼alpha l ＼beta\）的平面角。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》教案标题：二面角教学目标：1. 了解二面角的定义及相关概念。
2. 掌握计算二面角的方法。
3. 能够应用二面角的知识解决实际问题。
教学重点：1. 二面角的定义及性质。
2. 二面角的计算方法。
教学难点：1. 掌握二面角的计算方法。
2. 能够灵活运用二面角的知识解决实际问题。
教学准备：教材、教具、多媒体设备教学过程：Step 1 引入新知1. 向学生介绍二面角的概念，引导学生思考如何定义二面角。
2. 给出一个具体例子，让学生观察并猜测如何计算该二面角的大小。
3. 引导学生通过观察得出计算二面角的方法。
Step 2 讲解知识点1. 讲解二面角的定义：二面角是由两个不重合的平面所围成的角。
2. 介绍常见的二面角：直角（90°）、平角（180°）等。
3. 讲解二面角的计算方法：a. 当两个平面为互相垂直的平面时，二面角等于两个平面的夹角。
b. 当两个平面不垂直时，可以通过将这两个平面旋转至相交的情况下计算得出。
Step 3 练习巩固1. 出示一些二面角计算题目，让学生运用所学知识计算出它们的大小。
2. 引导学生分析解题思路，解释计算过程。
Step 4 拓展延伸1. 出示一些实际问题，要求学生运用二面角的知识来解决。
2. 引导学生思考如何将实际问题转化为计算二面角的问题。
Step 5 总结归纳1. 对本节课所学的二面角的定义和计算方法进行总结归纳。
2. 强调二面角的重要性和应用价值。
Step 6 课堂小结1. 对本节课的主要内容进行回顾。
2. 解答学生提出的疑问。
Step 7 作业布置1. 布置一些计算二面角的练习题，要求学生在家完成。
2. 提醒学生关注实际问题中的二面角应用。
拓展活动：1. 考察学生对二面角的理解，出示一些实际问题，让学生用二面角的知识解决问题。
2. 给学生一些创设问题的任务，要求他们设计一些与二面角相关的实际问题，并解答。
教学反思：本节课通过引入、讲解和练习，让学生逐步掌握了二面角的定义和计算方法，同时能够将二面角的知识应用于实际问题中。
《二面角》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】
《二面角》教学设计第一课时◆教学目标1、掌握二面角的概念，提升学生的数学抽象素养.2、理解二面角的平面角的含义．提升学生的数学抽象素养.3、作二面角并求出二面角的大小，提高逻辑推理、数学运算的数学素养．◆教学重难点◆教学重点：二面角的概念．教学难点：作二面角并求出二面角的大小．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第47-50页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第一课时二面角及其度量．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知形成定义问题2：日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈一定角度的形象，例如如图（1）所示，在建造大坝时为了加固大坝大巴外侧的平面，一般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．教师讲解：我们已经知道,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l -的棱上任取一点O ,以O 为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA 和OB ,则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.比如，我们在地地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角，大小为'2623，如图所示．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．黄赤交角是地理学中的名词,在此处主要是举例说明二面角知识在现实中的广泛应用,不必在课上进行过多的探究．问题3：“门开大点”“门开小点”说明了什么问题?平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小可以用量角器来度量吗?如何确定二面角唯一的测量结果?哪个角能够表示二面角呢?师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：“门开大点”“门开小点”说明了门和墙体所形成的二面角的平面角的大小的变化情况，平面角可以用量角器进行度量,二面角的大小无法用量角器来度量．二面角及其平面角的大小不小于0°,不大于180°，而且,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的四个二面角中,不小于0且不大于90°的角的大小.这样约定后,一个二面角的大小及两个相交平面所成的角的大小都是唯一确定的．设计意图：在学生学习了二面角及其平面角的概念之后,教师可以设计变式题引导学生通过动手练习找角,更好地感悟获得知识的体验,拓宽学生的思维,建立良好的思维习惯．追问：根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：二面角的平面角的定义有三个主要特征:①过棱上任意一点;②分别在两个半平面内作射线;③射线垂直于棱.二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关.设计意图：定义过程是求二面角大小的基本思维过程,也充分体现着将空间问题转化为平面问题的转化思想方法．问题4：根据二面角的平面角的定义，你能否总结出如何利用定义法求二面角的平面角的大小？师生活动：学生在教师的指导下写出答案． 教师讲解:步骤如下(1)找到或作出所求的二面角的平面角.(2)证明或说明所作图形为所求的二面角的平面角.(3)计算求解.此时一般为解斜三角形,需要用余弦定理及其变式,教师可以引导学生回顾.(4)明确答案.写出所求问题的结论.设计意图：通过师生共同探究,引导学生总结基本的思维过程与步骤．并为后面例题的求解给出思路．三、初步应用 例1:如图所示,已知二面角βα-l -的棱上有A,B两点，,,,,l BD BD l AC AC ⊥⊂⊥⊂βα若,7,4,3,6====CD BD AC AB 求二面角βα-l -的大小．师生活动：学生根据所学给出解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：如上图所示,在平面内过A 作BD 的平行线AE,且使得AE=BD,连接CE,ED ．因为四边形AEDB 是一个矩形,∠CAE 是二面角βα-l -的一个平面角,且AB⊥面AEC,所以ED⊥面AEC,从而1367222222=-=-=-=AB CD ED CD CE在△AEC 中,由余弦定理可知212cos 222=⨯-+=∠AE AC CE AE AC CAE ,因此3π=∠CAE ，即所求的二面角的大小为.设计意图：通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感3π受，用代数方法解问题决立体几何问题．发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养．问题5：如图所示，设S 为二面角βα-B -A 的半平面α上一点，过点S 作半平面β的垂线'SS ,设O 为棱AB 上一点.（1）判断AB SO ⊥是AB O S ⊥'的什么条件； （2）由二面角的作法，你能得到什么启发？师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：因为'S 是S 在平面内的射影,所以O S '是SO 在平面β内的射影,从而根据三垂线定理及其逆定理可知,AB SO ⊥是AB O S ⊥'的充要条件;当二面角βα-B -A 是一个锐角时,由此我们能得到作出它的平面角的另种方法:过其中一个半平面内一点S ,作另一个半平面的垂线段'SS ,过S (或'S )作棱的垂线SO (或O S '),连接O S '(或SO )即可.在图中,如果二面角βα-B -A 的大小为θ,则可以看出△AB S '与△SAB 在AB 边上的高之比为θcos ,因此这两个三角形的面积之比也为θcos ．教师讲解:要注意以下几个方面(1)该作法只适用二面角AB --αβ为锐角的情形.当二面角AB --αβ为钝角时,要将其中一个半平面延伸,即作出辅助半平面,先求出二面角AB --αβ的补角,再确定二面角AB --αβ的值.当二面角为直二面角时不作探讨．(2)这种作二面角的平面角的依据是三垂线定理及其逆定理.在学生尝试前或探究过程中,适当为学生提示必备知识,如充要条件、三垂线定理及其逆定理.(3)找垂线注意应用已知的条件以及有关垂直的判定和性质定理,按三垂线定理的条件,一条垂线垂直于二面角的一个面,还有垂直于棱的一条垂线．设计意图：本问题是在二面角βα-B -A 为锐角的前提下进行的,给出了作二面角的平面角的另种方法.教师在引导学生尝试探究．例2：如图所示三棱锥ABC S -中，面ABC SAC 面⊥,3==SC SA ,,2==BC AB 且BC AB ⊥,求二面角C AB S --的大小．师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案． 预设的答案：设O ,E 分别为AC ,AB 的中点,连接SO ,OE ,SE ,因为SA =SC ,所以SO ⊥AC ,又因为面SAC ⊥面ABC ,所以SO ⊥面ABC ,又因为OE 为△ABC ,因此SE 在平面ABC 内的射影为OE ,又因为OE 为ABC ∆的中位线,AB ⊥BC ,所以AB ⊥OE ,从而由三垂线定理可知AB ⊥SE ,因此∠SEO 为二面角SABC 的一个平面角由AB =BC =2且AB ⊥BC 可知AC =222222=+，又因为122=-=AO SA SO ,而且,121==BC EO 从而可知,45 =∠SEO 即所求二面角的大小为45．设计意图：引导学生归纳这种方法通常是先求得垂线段长与射影长,再在直角三角形中计算所求二面角的平面角的正切值．通过例2,教师引导学生注意以下方面(1)画图过程中要充分借助题目中的“等长”条件,构造等腰三角形的底边中点,进而应用等腰三角形的“三线合一”结论；(2)对作出的二面角的平面角要证明是所要求的二面角的平面角；(3)注重推理的逻辑性及格式、步骤的规范与完整.四、归纳小结，布置作业问题6：什么是半平面、二面角、二面角的棱、二面角的面、二面角的平面角、直二面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面．如图所示,在二面角βα-l-的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角.设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加理解二面角的定义．布置作业：教科书第52页练习A1,2题．五、目标检测设计1．(教材P52练习B②改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值为()A ．12B ．23C ．22D ．33设计意图：考查学生对二面角的应用．2已知矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，则二面角A BD P的正切值为________．设计意图：考查学生对二面角的大小求法的应用．3．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A BC D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 设计意图：考查二面角的综合应用． 参考答案：1．C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 BC A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22．]2．13[过A 作AO ⊥BD ，交BD 于O ，连接PO ，∵矩形ABCD 的两边AB ＝3，AD ＝4， P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝45，∴BD ＝32＋42＝5，PO ⊥BD ，∴∠POA 是二面角A BD P 的平面角， ∵12×BD ×AO ＝12×AB ×AD ， ∴AO ＝AB ×AD BD ＝125，∴tan ∠POA ＝P A AO ＝45125＝13．∴二面角A BD P 的正切值为13．]3．C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ，由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ， ∴∠AED ＝60°，即二面角A BC D 的大小为60°．]。
高中数学教案《二面角》
高中数学教案《二面角》一、教学目标1.理解二面角的概念，掌握二面角的表示方法。
2.学会应用二面角的性质和定理解决实际问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学重难点重点：二面角的概念、表示方法及其性质。
难点：二面角性质的应用。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾空间几何中的基本概念，如平面、直线、角等。
（2）提出问题：在空间几何中，我们学过角，那么什么是二面角呢？2.二面角的概念及表示方法（1）讲解二面角的概念：由两条相交直线与它们所在平面所夹的角叫做二面角。
（2）讲解二面角的表示方法：用两条相交直线表示，或者用它们所在平面表示。
（3）举例说明：展示一个二面角模型，引导学生观察并理解二面角的定义。
3.二面角的性质（1）讲解二面角的性质：二面角的度数范围是0°到180°。
（2）讲解二面角的性质：二面角的大小与两条相交直线的夹角大小无关。
（3）讲解二面角的性质：二面角的两个面可以互换。
4.二面角的应用（1）讲解二面角的应用：求解空间几何问题。
（2）举例说明：展示一个实际问题，引导学生运用二面角的知识解决问题。
5.练习与讨论（1）布置练习题：让学生独立完成一些关于二面角的练习题。
（2）讨论答案：引导学生互相讨论，共同解决问题。
（2）拓展延伸：引导学生思考如何将二面角的知识应用于实际问题。
四、教学反思本节课通过讲解二面角的概念、表示方法、性质及其应用，使学生掌握了二面角的基本知识。
在教学过程中，注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
通过练习题和讨论，学生能够灵活运用二面角的知识解决问题。
但部分学生在理解二面角的性质时仍存在困难，需要在今后的教学中加以关注。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、提问回答情况等。
2.作业完成情况：检查学生作业的完成质量，了解学生对二面角知识的掌握程度。
3.测试成绩：通过测试了解学生对二面角知识的掌握情况。
4.学生反馈：收集学生对本节课教学的意见和建议，以改进教学方法。
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二面角观摩课教案课题
二面角
课型
复习课
教者
赵国伟
班级
3．11
时间
05．4．27
师生活动
教学内容
行为意图
教
学
目
标
1、知识目标：能够解释二面角及其平面角的定义，理解并能够选择作二面角平面角的常用
方法。
2、能力目标：在较复杂的问题中，能够初步达到选择、决策出合理简捷的解题方法及运算
途径
3、情感目标：提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
师：演示幻灯片，引导学生研究学习
师：板书（第5题）
生：可以自主学习，也可以小组交流研究讨论合作学习。
四、总结
五、延伸拓展
(1)求证：sc⊥平面bde；
(2)求平面bde与平面bdc所成的二面角大小.
5. 已知斜三棱柱abc—a1b1c1中，∠bca=90°ac=bc = 2，a1在底面abc上的射影恰为ac的中点m. 又知aa1与底面abc所成的角为60°.
(1)求证：bc⊥平面aa1c1c；
(2)求二面角b-aa1-c的大小.
6. 正三棱柱abc—a1b1c1的底面边长为a，侧棱
长为，若经过对角线ab1且与对角线bc1平行的平面交上底面一边a1c1于点d.
(1)确定点d的位置，并证明你的结论；
(2)求二面角a1-ab1-d的大小.
见
已知a1b1c1—abc是正三棱柱，d是ac的中点.
(1)证明ab1∥平面dbc1.
(2)假设ab1⊥bc1，求以bc1为棱，dbc1与cbc1为面的二面角α的度数.
第4、5、6题的设计，主要是培养学生分析问题解决问题的能力，能够选择、决策出合理简捷的解题方法及运算途径。
例如，第4题所给的图中就有所求二面角的平面角，关键是学生能否看出？第5、6题作平面角各有特点，运算时第5题只需求出（=acsin600）即可（见课件）
第6题作所求二面角的平面角
时，有多种方法，选择那种作法运算更简洁呢？
通过自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程。
这是一个从课内到课外知识延伸拓展的过程，带着问题出课堂，使学生得到可持续发展。
重点
应用“作二面角平面角的常用方法”解决相关问题。
难点
选择、决策出合理简捷的解题方法及运算途径
教具
幻灯片课件
教学过程
师生活动
教学内容
行为意图
一、组织教学
二、复习提问
师：演示幻灯片，组织学生研讨回答生：思考作答
三、典例讲解
师：演示幻灯片
引导学生获取知识
生：积极思考作答，总结经验掌握规律。
（1）二面角的定义
（2）二面角的平面角的定义及其范围
（3）作二面角的平面角的常用方法
1. 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b所成的角与这个二面角的平面角互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④正四面体相邻两个面所成的二面角的平面角是锐角.
其中，正确命题的序号是_____。
2. 正方体abcd—a1b1c1d1中，二面角b1-aa1-c1的大小为_____，二面角b-aa1-d的大小为______，二面角c1-bd-c的正切值是
_______.
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