最速降线方程的推导
最速降线方程公式
最速降线方程公式人类探索自然规律的脚步永不停歇，而最速降线方程公式则是其中一道解谜的关键。
这个公式可以帮助我们理解物体在重力作用下的运动轨迹，揭示了自然界中诸多现象的背后原理。
让我们来看看最速降线方程公式的基本形式：y = f(x)。
这里，y代表物体的高度，x代表时间或者水平方向的位移。
通过这个公式，我们可以追踪物体在某个时刻的位置，进而推断出它在整个运动过程中的轨迹。
然而，最速降线方程公式的美妙之处并不仅限于此。
它还能帮助我们研究自由落体、抛体运动等多种物理现象。
通过改变方程中的各个参数，我们可以模拟出不同条件下的运动轨迹，从而更好地理解自然世界的运动规律。
例如，在最速降线方程公式中加入一个参数a，我们可以研究物体在斜坡上滑动的情况。
当a大于0时，物体将滑下斜坡；当a等于0时，物体将保持静止；而当a小于0时，物体将向上滑动。
通过调整a的数值，我们可以观察到物体在不同斜度的斜坡上的运动方式有何不同。
除此之外，最速降线方程公式还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，当我们需要计算一个物体从山顶滑下到山脚所需的时间时，可以利用最速降线方程公式来得出准确的结果。
这个公式成为了我们解决实际问题的得力工具。
最速降线方程公式的研究还有助于培养我们的科学思维能力。
通过观察、实验和推理，我们能够更深入地理解这个公式背后的物理原理，进而探索更多有趣的现象和问题。
最速降线方程公式是人类智慧的结晶，它揭示了自然界中物体运动的奥秘。
通过研究和应用这个公式，我们能够更好地理解自然规律，解决实际问题，并培养自己的科学思维能力。
让我们继续探索，揭开更多自然规律的面纱，为人类的进步贡献一份力量。
最速降线变分法的推导
最速降线变分法的推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最速降线变分法是一种数学方法，用于解决最优化问题。
在这种方法中，我们试图找到一个函数，使得它的导数满足一定的条件，并且能够最小化或最大化该函数。
最速降线变分法在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
我们来看看最速降线变分法的基本思想。
假设我们有一个函数y=f(x)，我们希望找到这个函数的一个变分函数y=f*(x)，使得该函数能够最小化或最大化某种性质。
为了实现这一目标，我们定义一个泛函I[f]，它可以表示为：I[f]=∫L(x, y, y')dxL(x, y, y')是一个关于x、y和y'的函数，它被称为拉格朗日密度函数。
泛函I[f]表示了函数f的一个性质，并且我们希望找到一个函数f*，使得该泛函的值最小或最大。
为了找到最优解，我们引入变分函数的概念。
我们定义一个函数y=f*(x)+ϵη(x)，其中ϵ是一个小的实数，η(x)是一个任意函数。
然后我们计算I[f*(x)+ϵη(x)]对ϵ的导数。
根据泰勒展开，我们可以得到：I[f*(x)+ϵη(x)]=I[f*(x)]+ϵ∫[∂L/∂y - d/dx(∂L/∂y')]η(x)dx∂L/∂y和∂L/∂y'分别为L对y和y'的偏导数。
接下来，我们对这个方程的右边进行积分部分，消除边界项。
我们得到一个形式为：这个式子被称为最速降线方程，它描述了使得泛函I[f]是最大或最小的函数的性质。
通过求解最速降线方程，我们可以找到一个函数，使得该函数使得泛函I[f]最优。
这种方法在统计力学、量子场论、优化问题等领域有着重要的应用。
通过变分法，我们可以得到一些非常重要的物理方程，比如欧拉-拉格朗日方程、金-高斯方程等。
第二篇示例：最速降线变分法是一种求解极值问题的数学方法，它常常被用来解决最优化问题。
在实际应用中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，而最速降线变分法则是一种有效的方法来解决这类问题。
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验作者：徐雷来源：《教育教学论坛》2018年第04期摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。
本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。
关键词：最速下降曲线；变分法；摆线中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：三、实验设计验证重力作用下的最速下降曲线。
非线性方程组-最速下降法（梯度法）
⾮线性⽅程组-最速下降法（梯度法）梯度法（⼜名,最速下降法）(该法总可以收敛，但是，在接近真解时收敛的速度会放慢。
) 梯度法⼜称为最速下降法，⽤于求解实系数⾮线性⽅程组12(,,,)0,1,2,,i n f x x x i n== （7－15）的⼀组根。
梯度法⾸先是定义⼀个⽬标函数212121(,,,)(,,,)nn i n i x x x f x x x =Φ=∑（7－16）使⽬标函数21nii f =Φ=∑达到最⼩的12,,,n x x x 是我们寻找的⼀组解，这是⾮线性最⼩⼆乘法问题。
如果第(0,1,2,)k k = 步求得⼀组解12,,,nk k k x x x ，使得12(,,,)n k k kx x x εΦ< （7－17）则认为12,,,nk k k x x x 是原⽅程组满⾜⼀定精度的()ε要求的⼀组解。
梯度法的计算过程是：（1）先给定⼀组不全为零的初值12000,,,nx x x ，第k 步的⼀组根为12,,,nk k kx x x ；（2）计算⽬标函数12(,,,)nk k k x x x Φ的值；(单独⼦程序:fn =TargetFunction)（3）若12(,,,)nk k k x x x εΦ< ，则认为12,,,nk k k x x x 是满⾜⼀定精度()ε的⼀组解，否则，作如下修正计算1α+=?Φ=-?iki ik k ki ix x x x x （7－18）其中121212*********1111222(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)*,1,2,,α==?Φ=Φ ? ?Φ+-Φ?Φ=??Φ+-Φ?Φ=Φ+-Φ?Φ===∑ n kj jn n n n n n k k kkn j j x x k k k k k kk k k k k k k k k k k kn n nki i x x x x x h x x x x x x h x x h x x x x x h x x x h x x x x h h H x i n（7－19）H 为控制收敛的常数，通常选为（10－5～10－6），收敛精度ε选为（10－6～10－8）。
完整word版最速下降法求解线性代数方程组
最速下降法求解线性代数方程组要求：对于给定的系数矩阵、右端项和初值，可以求解线性代数方程组一、最速下降法数学理论PP?tX?Xf(X)的负梯中，在基本迭代公式每次迭代搜索方向取为目标函数kk1kkk?t)X??f(P?取为最优步长，由此确定的算法称为最速度方向，即，而每次迭代的步长kkk下降法。
X)Xminf(kk。
现在次，获得了第，假定我们已经迭代了为了求解问题个迭代点k X出发，可选择的下降方法很多，一个非常自然的想法是沿最速下降方向（即负梯度方从k X邻近的范围内是这样。
因此，去搜索方向为 )进行搜索应该是有利的，至少在向k P???f(X).kk P k?1进行一维搜索，由此得到第为了使目标函数在搜索方向上获得最多的下降，沿k个跌带点，即X?X?t?f(X)，kk1k?k t按下式确定其中步长因子k f(X?t?f(X))?minf(X?t?f(X))，kkkkkk X?ls(X,??f(X)). （ 1）k1k?k X X,XX,, ,,?k0,12是初始点，由计算就可以得到一个点列,显然，令其中0210{X}f)X(X)(f 的满足一定的条件时，由式（）所产生的点列必收敛于者任意选定。
当1k极小点。
二、最速下降法的基本思想和迭代步骤???,)(Xf(X)g. ，终止限已知目标函数及其梯度和321Xf?f(X),g?g(X)k?0.，计算；置（1）选定初始点00000X?ls(X,?g)f?f(X),g?g(X). （2）作直线搜索：；计算k?1kk1?k1k?kk?1?1(X,f(X))k?k?1，置，结束；用终止准则检验是否满足：若满足，则打印最优解否则，1k?1?k转（2）（3）最速下降法算法流程图如图所示.X结束三、最速下降法的matlab实现function [x,n]=twostep(A,b,x0,eps,varargin) %两步迭代法求线性方程组Ax=b的解if nargin==3eps= 1.0e-6;M = 200;elseif nargin<3errorreturnelseif nargin ==5M = varargin{1};endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B1=(D-L)\U;B2=(D-U)\L;f1=(D-L)\b;f2=(D-U)\b;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0 =x;x12=B1*x0+f1;x =B2*x12+f2;n=n+1;if(n>=M)'); 迭代次数太多，可能不收敛！ disp('Warning: return;endend的解最速下降法求线性方程组Ax=bfunction [x,n]= fastdown(A,b,x0,eps) %if(nargin == 3)eps = 1.0e-6;endx=x0;n=0;tol=1;以下过程 % while(tol>eps)可参考算法流程 r = b-A*x0;d = dot(r,r)/dot(A*r,r);x = x0+d*r;tol = norm(x-x0);x0 = x;n = n + 1;end四、最速下降法的算例实现A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';eps=1.0e-6;x =-0.87507.1875-5.5000 k =60。
1-最速降线问题解析
这就是最速降线的微分方程数学模型。 3. 模型求解： 我们要求解上面微分方程，将上式变形为
1 2
y dx c y dy
y 令 c y tan t 从而，y c sin2 t , dy 2c sin t costdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos2t dt 积分后得到 c x 2t sin 2t c1 2 这曲线过原点，故由上面第一式得， t 0 时， x y0 于是，c1 0 。这样 而
1 2 mv mgy 2
或 v 2gy
从这里的几何关系得
1 1 sin cos 2 sec 1 y
1 1 sin cos 2 sec 1 y
这些方程分别来自光学、力学、微积分，推导可得
2 y[1 y ] c y 0 0
丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli 1700-1782）
起初也像他叔叔约翰.伯努利一样学医，写了一篇关于 肺的作用的论文获得医学学位，并且也像他父亲一样马 上放弃了医学而改攻他天生的专长。他在概率论、偏微分方程、物理 和流体动力学上都有贡献。而最重要的功绩是在流体动力学上，其中 的“伯努利定理”就是他的贡献。他曾经荣获法国科学院奖金１０次 之多。 ２５岁的丹尼尔在彼得堡解决了黎卡提方程的解。并发表了一系 列的科学论著。１７３３年回到巴塞尔，先后担任巴塞尔大学的植物 学、解剖学与物理学教授。以８２岁高龄离开人世，许多人认为他是 第一位真正的数学物理学家。
这就是著名的“最速降线”问题。它的难处在于和普通的极大极
小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条 件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔、伯努利兄弟、
最速降线问题
最速降线问题引言在古代建筑中屋顶为了雨水的下落速度最快常建设成一定的弧度，在科技馆里人们也常见到最速降线的模型，球体沿一定弧度的路线下落的时间却比直线短故宫屋顶科技馆里的最速降线模型1，历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在《教师报》上发表了一封公开信。
信的内容是：请世界的数学家解决一个难题-“最速降线问题”此问题的提出一时轰动了欧洲。
引起了数学家的极大兴趣。
之后此问题由Newton,Lebeniz,Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科——变分学。
2，问题：确定一条连接两个定点A、B的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B（介质的摩擦力和空气阻力忽略不计）。
3，建模3,1 模型假设：在垂直平面内存在两点A，B，A点速度为0，如图所示，假设存在一曲面C是质点由A运动到B所用的时间最短，忽略摩擦力和阻力。
3,2模型建立设质点质量为m 重力加速度为g,质点的速度为v根据能量守恒得： 12mv 2=mgy 则 v =√2gy =ds dtsecθ=ds dx tan θ=dy dx(sec θ)2−(tan θ)2=1得 ds =√1+(ẏ)2dxdt =ds v =√1+(y )22gy dxt =∫√1+(y )22gy dx a性能泛函 J (t )=√2g ∫√1+(y )2y dx a 0即： L=√1+(y )2y由欧拉方程的：y (1+ẏ2)=c令y =cot τ 得y =c (sin τ)2=c2(1-cos(2τ))所以： dx=dyy =2c sin τcos τcot τdτ=c (1−cos (2τ))dτx(0)=0所以： x =∫c(1−cos(2τ))τ0dτ=c2(2τ−sin(2τ))令t=2τ得：{x=12c(t−sin t) y=12c(1−cos t)其中c可由y(a)=b 确定因此可知：最速下降曲线是圆滚线即是半径为c/2的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描出的曲线中的一段（旋轮线）。
最速降线原理
最速降线原理最速降线原理，又称费马原理，是数学中的一个重要原理，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨最速降线原理的相关概念、应用以及其在实际生活中的意义。
首先，我们来了解一下最速降线原理的基本概念。
最速降线原理指的是，两点之间的最短路径是一条曲线，其切线方向与两点之间的连线方向相同。
这条曲线被称为最速降线，因为在重力场中，物体沿着这条曲线下落的时间最短。
费马原理可以通过变分法来证明，它是微积分中的一个重要定理。
最速降线原理在物理学中有着广泛的应用。
例如，在光的传播中，光线在两点之间传播的路径也是一条最速降线，这就解释了光的折射定律。
在天体运动中，行星绕太阳运动的轨迹也是一条最速降线，这就是开普勒定律的基础。
此外，在工程学中，最速降线原理也被应用于优化问题的求解中，比如最短路径问题、最优控制问题等。
最速降线原理在实际生活中也有着重要的意义。
我们在日常生活中常常需要求解最短路径问题，比如规划最佳的出行路线、设计最有效的物流配送方案等。
而最速降线原理提供了一个重要的数学工具，帮助我们解决这些实际问题。
另外，最速降线原理也启发了人们对于优化问题的思考，促进了科学技术的发展。
总的来说，最速降线原理是数学中的一个重要概念，它描述了两点之间最短路径的特性。
这个原理在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用，并在实际生活中发挥着重要的作用。
通过对最速降线原理的深入理解，我们可以更好地应用它解决实际问题，推动科学技术的发展。
希望本文对读者对最速降线原理有所帮助，谢谢阅读。
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寻找一种平面曲线，若按这种曲线的形状做成光滑的轨道，那么从轨道上不同位置处同时静止释放的小球，会同时下滑到轨道底部，如图所示。
A 、
B 、
C 同时静止释放，同时下滑到最低点O 。
分析：由于简谐运动的周期与振幅无关，因此，只要物体沿着轨道的方向上做简谐运动，即可使不同位置同时静止释放的小球同时到达平衡位置Ｏ。
这里所述的简谐运动，并不是严格意义上的简谐运动，因为运动不在同一直线上，而是沿着轨道表面。
设曲线方程为，且最低点位于y 轴上。
那么当质量为m 的物体运动到曲线上的点（x ，ｆ（ｘ））时，所受下滑力
F = -mg·sin θ
其中
是（x ，ｆ（ｘ））处的切线的倾角。
由于所以
物体从点（x ，
ｆ（ｘ））下滑到最低点（０，ｆ（０））所要走过的路程这里的路程相当于简谐运动的位移。
．．．．．．①
．．．．．．②
简谐运动的回复力Ｆ与位移Ｓ之间满足Ｆ ＝ －ｋＳ
（ｋ ＞ ０）
将①、②代入上式得
设
∈[0,1)z （），则，上式化为
等号两边对x 求导得
β
β
y=f(x)
即
等号两边积分得为了去掉上式等号右边的反正弦和根号，设 z = sin α，α∈（0，π/2），得到
由于当x=0时，回复力
所以当x=0时，z=0。
将x = 0，z = 0代入③得，
C = 0
所以
．．．．．．③
令θ
＝２α，代入上式得由
若能求出y 与 θ
的关系ｙ＝ｙ（θ），便能得到曲线的参数方程上式为ｘ与θ的关系，⎩⎨⎧y x =x(θ)=y(θ)可知。
根据复合函数求导法则：．．．．．．④
由④得．．．．．．⑤．．．．．．⑥
⑥代入⑤得
上式等号两边积分得
若曲线经过原点，则积分常数，此时。
所以所求曲线的参数方程为
θ
，∈[0,π/2]。
利用曲线的参数方程不难看出所求曲线是摆线的一段。