【人教A版】高中数学必修第二册:8.2立体图形的直观图 同步讲义
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人教A版高中数学必修第二册教学课件:第八章8.2立体图形的直观图(共29张PPT)

知识梳理
一、 投影与直观图
1.投影的定义 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这 种现象叫做投影.其中,我们把光线叫做投影线,把留下物体影子的屏幕叫 做投影面.
2.直观图 (1)直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. (2)立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
Hale Waihona Puke ① ② ③ ④ ⑤图8-2-4
A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤
2. C 解析:由斜二测画法知,长方形的直观图应为平行 四边形,且锐角为45°,故②⑤正确.
训练题3 如图8-2-5所示是水平放置的三角形的直观图, A′B′∥y′轴,则原图中△ABC是 ( )
下列叙述中,正确的个数为
()
斜二测画法的位置关系与2.度用量斜特征二用测口诀画简法记为画:空间几何体的直观图的具体规则
了解空间几何体的不同表现形式.
用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底面ABCDEF为正六边形,点P在底面的投影是正六边形的中心O.
九十度,画一半,横不变,纵减半,
第八章 立体几何初步
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
原图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度变为原来的一半”的规则,确定平面图
形的关键点.
点拨:斜二测画法中“斜二测”的意思:
(1)直观图是观察者站在某一点 观 察 一个 空 间几何体获得的图形.
1
C.
① ②
训练题1.下列叙述中,正确的个数为 ( )
①相等的角,在直观图中仍相等;
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;
③若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行;
新人教A版必修二 8.2 立体图形的直观图 课件(26张)

[思考尝试·夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在斜二测画法中,各条线段的长度都发生了改 变.( ) (2)在几何体的直观图中,原来平行的直线仍然平 行.( ) (3)在平面图形的直观图中,原来垂直的直线仍然垂 直.( )
解析:(1)错误.因为在斜二测画法中,原来与y轴 垂直的线段,其长度不变.
ABCDE的直观图A′B′C′D′E(如图③).
归纳升华 1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适 当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的 顶点在坐标轴上,以便于画点. 2.画平面图形的直观图时,首先画与坐标轴平行 的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段则通过与 坐标轴平行的线段来确定它的两个端点,然后连接成线 段.
[学习目标] 1.了解斜二测画法的概念(重点). 2. 会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直 观图(重点、难点). 3.了解空间图形的不同表示形式及 不同形式间的联系.
[知识提炼·梳理] 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 的步骤
温馨提示 斜二测画法中,“斜”是指直角坐标系 xOy变成斜坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°(或135°).
2.空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观 图中与对应的是z′轴. (2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和 x′O′z′表示竖直平面. (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直 观图中平行性和长度都不变. (4)成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.
[变式训练] 画如图所示水平放置的直角梯
形OBCD的直观图.
解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在
高中数学第8章立体几何初步8-2立体图形的直观图课件新人教A版必修第二册

[解析] (1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点 O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ=32 cm.分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线,过 点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A、B、C、D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.
∠ B′A′C′ = 30° , ∠ A′C′B′ = 90° , 请 用 作 图 法 画 出 原 △ABC,并量出△ABC的各内角,∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍? ∠BCA是否等于∠B′C′A′?
[错解] ∠BAC=2∠B′A′C′,∠BCA=∠B′C′A′. [错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透,在用斜二测画 法画直观图时,角的度数一般会发生变化,但这种变化并不是角的度数 减小了一半,它的变化与角的两边的位置有关. [正解] 如图②所示,画出直角坐标系xOy,以点A为原点.在直观 图中过C′作C′D′∥O′y′轴,交A′B′于D′,在Ox轴上截取AB = A′B′ , AD = A′D′. 过 D 作 DC ∥ Oy 轴 , 使 DC = 2D′C′ , 连 接 AC , BC , 则 △ ABC 为 原 三 角 形 . 用 量 角 器 量 出 ∠ BAC , 可 以 得 出 ∠BAC≠60°,所以∠BAC≠2∠B′A′C′,∠BCA≠∠B′C′A′.
O′A′=12AO=
3 4
cm,连接 A′B′、A′C′,则△A′B′C′即为正
三角形 ABC 的直观图.
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
题型二
几何体的直观图画法
典例 2 用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底
(2)画底面.以点 O 为中点,在 x 轴上取线段 MN,使 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ,使 PQ=32 cm.分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线,过 点 P 和 Q 作 x 轴的平行线,设它们的交点分别为 A、B、C、D,四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD.
∠ B′A′C′ = 30° , ∠ A′C′B′ = 90° , 请 用 作 图 法 画 出 原 △ABC,并量出△ABC的各内角,∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍? ∠BCA是否等于∠B′C′A′?
[错解] ∠BAC=2∠B′A′C′,∠BCA=∠B′C′A′. [错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透,在用斜二测画 法画直观图时,角的度数一般会发生变化,但这种变化并不是角的度数 减小了一半,它的变化与角的两边的位置有关. [正解] 如图②所示,画出直角坐标系xOy,以点A为原点.在直观 图中过C′作C′D′∥O′y′轴,交A′B′于D′,在Ox轴上截取AB = A′B′ , AD = A′D′. 过 D 作 DC ∥ Oy 轴 , 使 DC = 2D′C′ , 连 接 AC , BC , 则 △ ABC 为 原 三 角 形 . 用 量 角 器 量 出 ∠ BAC , 可 以 得 出 ∠BAC≠60°,所以∠BAC≠2∠B′A′C′,∠BCA≠∠B′C′A′.
O′A′=12AO=
3 4
cm,连接 A′B′、A′C′,则△A′B′C′即为正
三角形 ABC 的直观图.
(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.
题型二
几何体的直观图画法
典例 2 用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观图,其中底
人教A版高中数学必修第二册教学课件:8.2立体图形的直观图(共38张PPT)

前面我们认识了柱 体、锥体、台体、球以 及简单组合体的结构特 征。为了将这些空间几 何体画在纸上,用平面 图形表示出来,使我们 能够根据平面图形想象 空间几何体的形状和结 构,这就需要学习直观 图的有关知识。
一、直观图
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。是把不 完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示,因此,直观图往 往与立体图形的真实形状不完全相同。
角大小.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x/ 轴或y/ 轴的线段。
1到、x′如轴图的为距水离平为放__置__的__正方形OCBA,它在直角坐x标系xOy中点B的坐标为(2,2),O则’在用斜二测画法画出的正方X形’ 的直观图中,顶点B′
一梯形的直观图是一个如o图所示的等腰梯形,且梯形O′A′B′C′的面积为 ,则原梯形的面积为______
规律方法
1.在原图中选取适当的直角坐标系非常关键,一般可结合对称性,并且要使 尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2.对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定 位置.
作图步骤可简单总结为:
1.建立坐标系; 2.画坐标轴上的点和平行于坐标轴的线段; 3.连线并擦去辅助线。
由直观图还原平面图形关键:
1.平行于x′ 轴的线段长度不变,平行于y′ 轴线段扩大为原来的2倍。
2.如果存在不与x′、y′ 轴平行的线段,可通过作与x′ 轴,y′ 轴平行的线段
确定其在 xOy 中的位置.
3.
S直 =
S原
2 4
用斜二测画法画立体图形地直观图:
在已有水平面内的x、y轴基础上,增加竖 向的z轴,竖向线段的方向和长度保持不变.
作业:
一、直观图
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。是把不 完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示,因此,直观图往 往与立体图形的真实形状不完全相同。
角大小.
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x/ 轴或y/ 轴的线段。
1到、x′如轴图的为距水离平为放__置__的__正方形OCBA,它在直角坐x标系xOy中点B的坐标为(2,2),O则’在用斜二测画法画出的正方X形’ 的直观图中,顶点B′
一梯形的直观图是一个如o图所示的等腰梯形,且梯形O′A′B′C′的面积为 ,则原梯形的面积为______
规律方法
1.在原图中选取适当的直角坐标系非常关键,一般可结合对称性,并且要使 尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点. 2.对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定 位置.
作图步骤可简单总结为:
1.建立坐标系; 2.画坐标轴上的点和平行于坐标轴的线段; 3.连线并擦去辅助线。
由直观图还原平面图形关键:
1.平行于x′ 轴的线段长度不变,平行于y′ 轴线段扩大为原来的2倍。
2.如果存在不与x′、y′ 轴平行的线段,可通过作与x′ 轴,y′ 轴平行的线段
确定其在 xOy 中的位置.
3.
S直 =
S原
2 4
用斜二测画法画立体图形地直观图:
在已有水平面内的x、y轴基础上,增加竖 向的z轴,竖向线段的方向和长度保持不变.
作业:
数学人教A版(2019)必修第二册8.2立体图形的直观图(共25张ppt)

,两点.这个椭圆就是圆柱的下底面.。
③ 画上底面:在上截取点′,使′ = 3 ,过点
’作平行于轴的轴′′.类似下底面的作法作出圆
柱的上底面。
′
′
O
z
′
′ ′
′
④ 成图:连接′,′,整理得到圆柱的直观图。
O
新知探索
对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥
们的交点为,则□ABCD就是长方体的底面的直观图;
Z
D
③ 画侧棱:在轴正半轴上取线段’,使′ = 1.5,过,,各点分
别作轴的平行线,在这些平行线上分别截取1.5长的线段′,′,
′;
④ 成图:顺次连接′,′,′,′,并加以整理 (去掉辅助线,将被遮挡的
新知探究
思考1:如下图,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺
望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知探究
思考2:为什么是这些形状?能用平行投影知识加以解释吗?
A
投射线
B
S(投影方向)
C
O
C1
B1
投影
投影面
在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影. 平行投影的
投影线是平行的.
练习巩固
例2:已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它
的直观图
① 画轴:如图,画轴、轴、轴,三轴相交于点0(),使∠0 = 45°,
∠ =90°;
② 画底面:在轴正半轴上取线段,使 = 3;在轴正半轴上取线段
,使 = 1。过点作轴的平行线,过点作轴的平行线,设它
辨析1:判断正误.
③ 画上底面:在上截取点′,使′ = 3 ,过点
’作平行于轴的轴′′.类似下底面的作法作出圆
柱的上底面。
′
′
O
z
′
′ ′
′
④ 成图:连接′,′,整理得到圆柱的直观图。
O
新知探索
对于圆锥的直观图,一般先画圆锥的底面,再借助于圆锥的轴确定圆锥
们的交点为,则□ABCD就是长方体的底面的直观图;
Z
D
③ 画侧棱:在轴正半轴上取线段’,使′ = 1.5,过,,各点分
别作轴的平行线,在这些平行线上分别截取1.5长的线段′,′,
′;
④ 成图:顺次连接′,′,′,′,并加以整理 (去掉辅助线,将被遮挡的
新知探究
思考1:如下图,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺
望远处成块的农田,矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
新知探究
思考2:为什么是这些形状?能用平行投影知识加以解释吗?
A
投射线
B
S(投影方向)
C
O
C1
B1
投影
投影面
在一束平行光线照射下形成的投影,叫做平行投影. 平行投影的
投影线是平行的.
练习巩固
例2:已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它
的直观图
① 画轴:如图,画轴、轴、轴,三轴相交于点0(),使∠0 = 45°,
∠ =90°;
② 画底面:在轴正半轴上取线段,使 = 3;在轴正半轴上取线段
,使 = 1。过点作轴的平行线,过点作轴的平行线,设它
辨析1:判断正误.
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件3:8.2 立体图形的直观图

(2)描点:在 x′轴上以点 O′为中点,取 B′A′=BA,在 y′轴上 取 O′D′=12OD,过 D′作 D′C′∥x′轴,且 D′C′=DC,如图 2. (3)连线:连接 B′C′,A′D′,如图 2. (4)成图:四边形 A′B′C′D′即为一个锐角是 45°的平行四边形 ABCD 的直观图.
8.2 立体图形的直观图
【课程标准】
能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
【新知初探】
知识点一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点二 立体图形直观图的画法 用斜二测画法画空间几何体的直观图时,与平面图形相比只多了一 个 z 轴,其直观图中对应于 z 轴的是__z_′_轴____,平面___x_′_O_′_y_′ ___ 表示水平平面,平面 y′O′z′和 x′O′z′表示竖__直__平__面__.已知图形中平行 于 z 轴(或在 z 轴上)的线段,其平__行__性__和___长__度_都不变.
(3)画侧棱.在 z 轴正半轴上取线段 AA′,使 AA′=1.5 cm, 过 B,C,D 各点分别作 z 轴的平行线,在这些平行线上 分别截取 1.5 cm 长的线段 BB′,CC′,DD′. (4)成图.顺次连接 A′,B′,C′,D′,并加以整理(去掉辅助 线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图了.
3.如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图,其中 O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( )
A.正方形 C.菱形
B.矩形 D.一般的平行四边形
解析:如图,在原图形 OABC 中,
应有 OD=2O′D′=2×2 2=4 2(cm),CD=C′D′=2 cm, 所以 OC= OD2+CD2= (4 2)2+22=6 (cm), 所以 OA=OC,故四边形 OABC 是菱形,故选 C. 答案:C
人教A版高中数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图

【例3】 水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'如图所示,已知
A'C'=3,B'C'=2,则原图中AB边上的中线的实际长度为
.
解析:把直观图还原,原图为Rt△ABC,且∠C=90°,AC=3, BC=4,
AB
则AB=5,AB边上的中线为
,即为2.5.
答案:2.5
本例改为以梯形为背景,如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形
观图面积S'与原图形面积S满足 S'= S.
正解:如图,由斜二测画法的规则知,
原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,但两
个梯形的高不一样.
原梯形的高 OC 是直观图中 O'C'长度的 2 倍,O'C'的长度是
直观图中梯形的高 C'D'的 倍,
由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 倍,
(2)画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.
在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取 O'A'=OA ,连接
A'B',A'C',如图②所示.
①
②
(3)擦去辅助线,则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,
如图③所示.
③
探究二 简单几何体的直观图的画法
【例2】 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCDA'B'C'D'的直观图.
连接BC,即得到了原图形(如图).
A'C'=3,B'C'=2,则原图中AB边上的中线的实际长度为
.
解析:把直观图还原,原图为Rt△ABC,且∠C=90°,AC=3, BC=4,
AB
则AB=5,AB边上的中线为
,即为2.5.
答案:2.5
本例改为以梯形为背景,如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形
观图面积S'与原图形面积S满足 S'= S.
正解:如图,由斜二测画法的规则知,
原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,但两
个梯形的高不一样.
原梯形的高 OC 是直观图中 O'C'长度的 2 倍,O'C'的长度是
直观图中梯形的高 C'D'的 倍,
由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 倍,
(2)画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°.
在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取 O'A'=OA ,连接
A'B',A'C',如图②所示.
①
②
(3)擦去辅助线,则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,
如图③所示.
③
探究二 简单几何体的直观图的画法
【例2】 用斜二测画法画棱长为2 cm的正方体ABCDA'B'C'D'的直观图.
连接BC,即得到了原图形(如图).
数学人教A版(2019)必修二8.2立体图形的直观图(共30张ppt)

(2)画底面,在x轴上取线段AB,使AB= 3 cm.在y轴上取线段AD,
使AD= 1 cm,分别过点D和B作x轴和y轴的平行线交于 C点,四
边形ABCD就是长方形的底面ABCD.
z
y
C
D
O
A
Bx
活动2:空间几何体的直观图
(3)画侧棱.在 z 轴正半轴上取线段 AA ,使 AA 1.5cm ,过 B , C , D
用以衬托球的
立体性.
活动2:空间几何体的直观图
【例 3】已知圆柱的底面半径为 1cm ,侧面母线长为 3cm ,画出它的直观图.
解:(1)画轴.如图,画 x 轴、 z 轴,使 xOz 90 .
(2)画下底面.以 O 为中点,在 x 轴上取线段 AB ,
使 OA OB 1cm .利用椭圆模板画椭圆,使其
活动1:平面图形的直观图
y
. . . .
① 在直角坐标系中
.
. . . . o.
画出正方形;
x
活动1:平面图形的直观图
②建立∠x′o′y′=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x′、y′轴,
但横向长度不变,纵向长度减半.
y
. . .
.
.
Байду номын сангаас
.
.
y’
.
. o.
x
.
.
.
.
.
o’
x’
y
F
A
M
O
B
y
E
N C
D
A
x
B
F M E
O
N C
D
x
活动1:平面图形的直观图
使AD= 1 cm,分别过点D和B作x轴和y轴的平行线交于 C点,四
边形ABCD就是长方形的底面ABCD.
z
y
C
D
O
A
Bx
活动2:空间几何体的直观图
(3)画侧棱.在 z 轴正半轴上取线段 AA ,使 AA 1.5cm ,过 B , C , D
用以衬托球的
立体性.
活动2:空间几何体的直观图
【例 3】已知圆柱的底面半径为 1cm ,侧面母线长为 3cm ,画出它的直观图.
解:(1)画轴.如图,画 x 轴、 z 轴,使 xOz 90 .
(2)画下底面.以 O 为中点,在 x 轴上取线段 AB ,
使 OA OB 1cm .利用椭圆模板画椭圆,使其
活动1:平面图形的直观图
y
. . . .
① 在直角坐标系中
.
. . . . o.
画出正方形;
x
活动1:平面图形的直观图
②建立∠x′o′y′=45°的坐标系
③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x′、y′轴,
但横向长度不变,纵向长度减半.
y
. . .
.
.
Байду номын сангаас
.
.
y’
.
. o.
x
.
.
.
.
.
o’
x’
y
F
A
M
O
B
y
E
N C
D
A
x
B
F M E
O
N C
D
x
活动1:平面图形的直观图
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故答案为: .
【答案,平面图是一个直角梯形,由题,得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍,由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图 长度的2倍,在直观图中,易得 的长度是直观图中梯形的高的 倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍,故其面积是梯形 面积的 倍,因为梯形 的面积为 ,所以原梯形的面积是4.
还原 ,可知 且 ,进而通过图形可判断出结果.
【详解】
由直观图画出 如图所示
其中 ,①错误; ,②错误;
,③正确,④错误
故答案为:③
1、如图所示,正方形 的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.6B.8C. D.
【答案】B
【分析】
根据题目给出的直观图的形状,画出对应的原平面图形的形状,求出相应的边长,则可得结果.
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画出,画出直观图 ,计算,求解即可.
【详解】
在直观图 中, , ,故点 到 轴的距离为 .
故答案为:
如图所示,用斜二测画法作水平放置的 的直观图,得 ,其中 , 是 边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是______.(填序号)① ;② ;③ ;④ .
【答案】③
【分析】
故选:C.
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的直角梯形 ,其中梯形的上底长是下底长的 ,若原平面图形 的面积为 ,则 的长为()
A.2B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定
【详解】
解:设 ,则 ,在原图形中 , , , 为原图形中梯形的高,
【详解】
由斜二测画法的规则可知:
因为平行关系不变,所以①正确;
因为平行关系不变,所以②是正确;
因为直角变为 或 ,所以正方形的直观图是平行四边形,所以③错误;
因为平行于 轴的线段长度减半,平行于 轴的线段长度不变,所以④是错误,
故选:A.
题型二画直观图
例2 画出图中水平放置的四边形 的直观图.
【答案】图见解析.
故选:AB.
9、水平放置 的斜二测直观图如图所示,已知 , ,则 边上的中线的长度为______.
【答案】
【分析】
由已知中直观图中线段的长,可分析出 实际为一个直角边长分别为 、 的直角三角形,进而根据勾股定理求出斜边,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
【详解】
在直观图中, , ,所以在 中, , , 为直角,
【详解】
在原图形中 , , ,
∴ .
故选:D.
3、如图, 是水平放置的 利用斜二测画法得到的直观图,其中 ,则 的面积是()
A.12B. C.6D.
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法知 为直角三角形,再结合长度关系,得到 的面积.
【详解】
根据斜二测画法知 为直角三角形, ,故 的面积 .
故选:A
4、下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是()
(2)已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 轴与 轴的线段
(3)已知图形中平行于 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 轴的线段,在直观图中长度为原来的一半
题型一直观图的步骤
例1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法不正确的是()
A.原来相交的仍相交
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断,首先判断与坐标平行的线段长度的变化.如三角形的底和高.
【详解】
C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边 不变,高变为原来的 ,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高 不变,底边 变为原来的 ,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
,因此, 边上的中线的长度为 .
故答案为: .
10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形,则原平面四边形的面积为___________.
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值,即可求出.
【详解】
因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形,故其直观图的面积为 ,又直观图与原图面积之比为 ,所以原平面四边形的面积为 .
(2)画出相应的 轴、 轴,使 ,如图②所示,在 轴上取点 , ,使得 , ;在 轴上取点 ,使得 ;过点 作 轴,使 .
(3)连接 , ,并擦去 轴、 轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形 就是所求的直观图.
题型三求解图形面积
例3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且此梯形的面积为 ,则原梯形的面积为__________.
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,可得结论.
【详解】
解:根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,与 轴平行的线段长度不变,与 轴平行的线段长度变为原来的一半,且倾斜 ,故原来垂直线段不一定垂直了;
三角形的底长度不变,高所在的直线为y′轴,长度减半,
故三角形的高变为原来的 ,
故直观图中三角形面积是原三角形面积的 .
故选:A.
7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度变为原来的
故选:B.
利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是()
A.①②B.①C.③④D.①②③④
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法的规则,平行关系不变,平行x轴的线段长度不变,平行y轴的线段长度减半,直角变为 或 判断.
故答案为:4
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积为______.
【答案】16或64.
【分析】
分边长为4的边若与 轴平行,与 轴平行两种情况讨论,再根据直观图的画法,即得解.
题型四直观图中的线段长度
例4 如图所示为水平放置的正方形 ,在平面直角坐标系 中点 的坐标为 ,用斜二测画法画出它的直观图 ,则点 到 轴的距离为_____________.
【人教A版】8.2 立体图形的直观图同步讲义
1、直观图
定义:用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.
画法:斜二测画法和正等测画法.
2、斜二测画法规则
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴或 轴,两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成对应的 轴与 轴,两轴相交于点 ,且使 (或 ),它们确定的平面表示水平面
【分析】
在四边形 中,过 作出 轴的垂直确定坐标,进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法:纵向减半,横向不变;即可知A、C在对应点 ,而B、D对应点 位置不变,如下图示:
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形 的直观图.
【答案】见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则作衅.
【详解】
(1)过点 作 轴,垂足为 ,如图①所示.
故选:C.
8、(多选)利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形;以上结论正确的是()(多选)
A.①B.②C.③D.④
【答案】AB
【分析】
根据斜二测画法的概念选择.
【详解】
水平放置的 边形的直观图还是 边形,故①正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半,所以③④错误,
面积为 ,解得 ,
故选:D.
6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图,则其直观图的面积是原来三角形面积的()倍.
A. B. C. D.2
【答案】A
【分析】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可.
【详解】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法知,
【详解】
作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段 轴,
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变,
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的2倍,则 ,所以 ,则四边形 的长度为8.
故选:B.
2、 的直观图如图所示,其中 ,则在原图中边 的长为()
A. B. C.2D.
【答案】D
【分析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度,然后计算.
C.在画与直角坐标系 对应的坐标系 时, 必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【分析】
根据斜二测画法的方法分析求解即可.
【详解】
根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的 ,并且 或135°,
【答案,平面图是一个直角梯形,由题,得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍,由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图 长度的2倍,在直观图中,易得 的长度是直观图中梯形的高的 倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的 倍,故其面积是梯形 面积的 倍,因为梯形 的面积为 ,所以原梯形的面积是4.
还原 ,可知 且 ,进而通过图形可判断出结果.
【详解】
由直观图画出 如图所示
其中 ,①错误; ,②错误;
,③正确,④错误
故答案为:③
1、如图所示,正方形 的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.6B.8C. D.
【答案】B
【分析】
根据题目给出的直观图的形状,画出对应的原平面图形的形状,求出相应的边长,则可得结果.
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画出,画出直观图 ,计算,求解即可.
【详解】
在直观图 中, , ,故点 到 轴的距离为 .
故答案为:
如图所示,用斜二测画法作水平放置的 的直观图,得 ,其中 , 是 边上的中线,则由图形可知下列结论中正确的是______.(填序号)① ;② ;③ ;④ .
【答案】③
【分析】
故选:C.
5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形 的直观图为如图所示的直角梯形 ,其中梯形的上底长是下底长的 ,若原平面图形 的面积为 ,则 的长为()
A.2B. C. D.
【答案】D
【分析】
根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定
【详解】
解:设 ,则 ,在原图形中 , , , 为原图形中梯形的高,
【详解】
由斜二测画法的规则可知:
因为平行关系不变,所以①正确;
因为平行关系不变,所以②是正确;
因为直角变为 或 ,所以正方形的直观图是平行四边形,所以③错误;
因为平行于 轴的线段长度减半,平行于 轴的线段长度不变,所以④是错误,
故选:A.
题型二画直观图
例2 画出图中水平放置的四边形 的直观图.
【答案】图见解析.
故选:AB.
9、水平放置 的斜二测直观图如图所示,已知 , ,则 边上的中线的长度为______.
【答案】
【分析】
由已知中直观图中线段的长,可分析出 实际为一个直角边长分别为 、 的直角三角形,进而根据勾股定理求出斜边,结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
【详解】
在直观图中, , ,所以在 中, , , 为直角,
【详解】
在原图形中 , , ,
∴ .
故选:D.
3、如图, 是水平放置的 利用斜二测画法得到的直观图,其中 ,则 的面积是()
A.12B. C.6D.
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法知 为直角三角形,再结合长度关系,得到 的面积.
【详解】
根据斜二测画法知 为直角三角形, ,故 的面积 .
故选:A
4、下列选项中的△ABC均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是()
(2)已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 轴与 轴的线段
(3)已知图形中平行于 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 轴的线段,在直观图中长度为原来的一半
题型一直观图的步骤
例1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法不正确的是()
A.原来相交的仍相交
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】
根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断,首先判断与坐标平行的线段长度的变化.如三角形的底和高.
【详解】
C中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边 不变,高变为原来的 ,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高 不变,底边 变为原来的 ,故C中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等.
,因此, 边上的中线的长度为 .
故答案为: .
10、一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形,则原平面四边形的面积为___________.
【答案】 .
【分析】
根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值,即可求出.
【详解】
因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为 的正方形,故其直观图的面积为 ,又直观图与原图面积之比为 ,所以原平面四边形的面积为 .
(2)画出相应的 轴、 轴,使 ,如图②所示,在 轴上取点 , ,使得 , ;在 轴上取点 ,使得 ;过点 作 轴,使 .
(3)连接 , ,并擦去 轴、 轴及其他一些辅助线,如图③所示,四边形 就是所求的直观图.
题型三求解图形面积
例3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且此梯形的面积为 ,则原梯形的面积为__________.
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
【答案】B
【分析】
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,可得结论.
【详解】
解:根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则,与 轴平行的线段长度不变,与 轴平行的线段长度变为原来的一半,且倾斜 ,故原来垂直线段不一定垂直了;
三角形的底长度不变,高所在的直线为y′轴,长度减半,
故三角形的高变为原来的 ,
故直观图中三角形面积是原三角形面积的 .
故选:A.
7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于 轴,长度变为原来的
故选:B.
利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是()
A.①②B.①C.③④D.①②③④
【答案】A
【分析】
根据斜二测画法的规则,平行关系不变,平行x轴的线段长度不变,平行y轴的线段长度减半,直角变为 或 判断.
故答案为:4
已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积为______.
【答案】16或64.
【分析】
分边长为4的边若与 轴平行,与 轴平行两种情况讨论,再根据直观图的画法,即得解.
题型四直观图中的线段长度
例4 如图所示为水平放置的正方形 ,在平面直角坐标系 中点 的坐标为 ,用斜二测画法画出它的直观图 ,则点 到 轴的距离为_____________.
【人教A版】8.2 立体图形的直观图同步讲义
1、直观图
定义:用来表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.
画法:斜二测画法和正等测画法.
2、斜二测画法规则
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴或 轴,两轴相交于点O。画直观图时,把它们画成对应的 轴与 轴,两轴相交于点 ,且使 (或 ),它们确定的平面表示水平面
【分析】
在四边形 中,过 作出 轴的垂直确定坐标,进而利用斜二测画法画出直观图.
【详解】
由斜二测画法:纵向减半,横向不变;即可知A、C在对应点 ,而B、D对应点 位置不变,如下图示:
用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形 的直观图.
【答案】见解析
【分析】
根据斜二测画法的规则作衅.
【详解】
(1)过点 作 轴,垂足为 ,如图①所示.
故选:C.
8、(多选)利用斜二测画法得到:①水平放置的三角形的直观图是三角形;②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形;③水平放置的正方形的直观图是正方形;④水平放置的菱形的直观图是菱形;以上结论正确的是()(多选)
A.①B.②C.③D.④
【答案】AB
【分析】
根据斜二测画法的概念选择.
【详解】
水平放置的 边形的直观图还是 边形,故①正确;因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以②正确;因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半,所以③④错误,
面积为 ,解得 ,
故选:D.
6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图,则其直观图的面积是原来三角形面积的()倍.
A. B. C. D.2
【答案】A
【分析】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可.
【详解】
以三角形的一边为x轴,高所在的直线为y轴,由斜二测画法知,
【详解】
作出该直观图的原图形,因为直观图中的线段 轴,
所以在原图形中对应的线段平行于 轴且长度不变,
点 和 在原图形中对应的点 和 的纵坐标是 的2倍,则 ,所以 ,则四边形 的长度为8.
故选:B.
2、 的直观图如图所示,其中 ,则在原图中边 的长为()
A. B. C.2D.
【答案】D
【分析】
由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度,然后计算.
C.在画与直角坐标系 对应的坐标系 时, 必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
【答案】C
【分析】
根据斜二测画法的方法分析求解即可.
【详解】
根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的 ,并且 或135°,