2012年华中杯数学建模大赛

摘要
本文对过去研究生指标的分配以及 2012 年研究生名额分配的问题进行了建模、求 解和相关的分析。
针对问题一，首先，根据题意研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教 师岗位进行分配，可以选取 2007 年~2011 年招生人数以及招生总人数这六个因素作为判 断教师等级的指标；然后，根据分析对七个等级分别建立与六个指标的线性关系的模型， 求解相关的系数；最后，将未知等级岗位的数据分别与七个模型进行拟合，根据拟合效 果判断未知等级的等级岗位。
高等学校研究生招生指标分配问题，对研究生的培养质量、学科建设和科研成果的 取得有直接影响。过去，高校的研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师 岗位进行分配的。但是 2011 年研究生招生改革方案中，将硕士研究生招生指标划分为 学术型和专业型两类。这一改革方案的实施，给研究生教育的发展带来发展机遇的同时， 也给研究生招生指标分配的优化配置提出了新的思考。
4. 如果在研究生招生指标分配当中，考虑到学科的特点和学科发展的需要，进行差 异分配，请你设计调整方案，并用你的方案给出 2012 年的调整方案。
5. 如果想把分配方案做得更加合理，你认为还需要哪些指标数据，用什么方法可以 完成你的方案？请阐述你的思想。
2 问题分析
对于问题一，根据题意研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位 进行分配，所以可以选取 2007 年~2011 年招生人数以及招生总人数这六个因素作为判断 教师等级的指标。所以可以通过建立教师等级和和这六个因素之间的函数关系解决这个 问题。
中文论
文数 x6
5.2778
专利数
x7
2.5556
获得奖 励数 x8
0.2222
二级岗 18.3846 41.9769 26.6115 1.4615 0.5872 0.6993 4
1.0770 0
三级岗 14.75 71.6711 18.4446 1
0.7498 0.3316 3.5625 1.4375 0.125
第五届华中地区大学生数学建模邀请赛 承诺书
我们仔细阅读了《第五届华中地区大学生数学建模邀请赛的选手须知》。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。
对于第三个问题， 对于第四个问题，可以将所有的学科分为学术型学科和专业型学科，分别对两个学 科进行分析；但是即使是同一类的学科也是有差别的，所以可以选取每一类学科的典型 学科进行具体的分析其学术型研究生和专业型研究生名额分配方案。 对于问题五在以上四个问题的基础上考虑专业人才的需要数量等因素进行研究生 指标分配方案的制定。
按照此建模方法对一至六等级岗位进行建模。
4.3 模型求解
令 y=1 可以得到每一个模型的 β 的取值。
将未知等级的数据即第 8 位教师的数据，代入所建立的模型中进行拟合，依次求出
y 的值，越接近 1 说明效果越好，为此等级的可能性就越大。
第 8 位教师的与 A 学科的七个等级的模型进行拟合，求解的结果如下：
针对问题二，关注岗位和科研经费、发表中英文数目等的关系时可以发现，岗位代 表着综合实力，其内在包含着科研经费等各种数据。于是这个问题也就转化成为对科研 经费、发表中英文数目等各项数据进行处理，得到每个岗位的综合实力数值，解释它与 招生人数的关系。首先，对科研经费等数据进行标准化处理，消除量纲；然后，利用因 子分析法建立模型；之后，利用解出基于相关系数矩阵 R 的主成分解；最后利用得到的 综合指数与招生人数进行比较，对以教师岗位级别为指标分配研究生名额给出合理解 释。
4.2 问题一模型的建立
以 A 学科为例说明建模方法。
3
对于 A 学科，分别对一级岗位至七级岗位建立七个模型，然后用未知级别的信息和 七个模型分别进行拟合，哪个拟合效果最好就可以板顶未知级别的岗位为哪个级别。
以第七级岗位为例说明建模方式。 根据六个指标因素之间的关系可建立一个线性模型，函数如下：
y=α
2
3 模型假设与符号系统
3.1 模型的假设
针对本问题，简建立如下合理假设 （1）题目所给的数据准确可靠； （2）2011 年的研究生招生改革方案不变； （3）研究生分配方案只与题目提供的指标有关，与其他的因素基本上没有关联。
3.2 系统符号
符号
xi
α 、β
xij
λi μi
rij
pi Fi
m ij
ei
2. 以前的硕士研究生名额分配方案主要参考导师岗位级别进行分配。请你以岗位级 别为指标，分析每个岗位的招生人数、科研经费、发表中英文论文数、申请专利数、获 奖数、获得优秀论文数量的统计规律，并给出合理的解释。
3. 根据第二问的结论，提出更加合理的研究生名额分配方案，使得新方案既兼顾到 岗位又能兼顾到其他因素，例如研究生的招生类型等，并要求用此方案对 2012 年的名 额进行预分配。
四级岗 9.3692 25.4210 4.9443 0.6154 0.6543 0.2264 2.3076 0.6615 0.1077
五级岗 7.0625 32.3125 2.8343 0.5
0.5499 0.1383 3.0625 3
0.0625
六级岗 7.3636 97.0575 7.8145 0.4849 0.3470 0.1202 2.6061 2.0606 0
我们的竞赛编号为： 10487022
我们的选择题号为： B 题
参赛队员（打印并签名）：
队员 1： 刘佩
队员 2： 魏肖
队员 3： 朱馨
武汉 工业 与 应 用数 学 学 会 第五届 华 中地区 大学 生数 学 建模邀请 赛 竞 赛 组 委会
（以下内容参赛队伍不需要填写） 评阅编号：
题目：基于因子分析法和 K-means 聚类算法的高校硕士研究生指 标分配问题
(m1x1
+
m2
x2
+
m3 x3
+
m4
x4
+
m5 x5
)
+
β
(
x6 x
)
其中 xi（i=1,2,3,4,5,6）分别表示 2001~2011 年招生人数的平均值和招生总人数；
mi 表示 2007 年到 2011 年每年招生人数占五年招收总人数的比例； α 、 β 分别为权
重系数。
由于每一年的招收人数变化和总人数对于等级岗位的影响相差不大，所以取 α 为 0.5，可以根据 y=1 得出 β 的数值。
根据相关的数据对未知等级的岗位等级进行推测，可以通过建立等级与相关因素之 间的函数来实现。
根据题意研究生招生指标分配主要根据指导教师的数量以及教师岗位进行分配，所 以可以选取 2007 年~2011 年招生人数以及招生总人数这六个因素作为判断教师等级的 指标。所以可以通过建立教师等级和和这六个因素之间的函数关系解决这个问题。
对于第二个问题，考虑岗位和科研经费、发表中英文数目，申请专利数，获奖数， 获得优秀论文数量的关系时可以发现，岗位代表着综合实力，其内在包含着科研经费等 各种数据。所以岗位的高低与综合实力得高低是成正比的。于是这个问题也就转化成为 对科研经费、发表中英文数目等各项数据进行处理，得到每个岗位的综合实力数值，解 释它与招生人数的关系。
针对问题五，首先，查找了相关的资料；然后，对查找的资料进行了整理，在前面 四个问题的基础上最终确定了可能对研究生指标分配问题有影响的几个因素；最后，根 据找出的因素进行了分析，并最终整理出
最后，对模型的优缺点进行了相关的讨论和推广。
1
关键词：因子分析法 K-means 聚类 相关系数
1 问题重述
1.1 问题背景
1.2 需要解决的问题
在以上背景，以及已知某高校 2007‐2011 年硕士研究生招生实际情况下，有以下五 个具体的问题需要解决：
1. 由于统计数据的缺失，第 18、103、110、123、150、168、274、324、335、352 位教师的数据不完整，请你用数学模型的方法将这些缺失的数据补充完整。
等级
1
2
3
4
5
6
7
拟合值 0.946 1.564 3.518
3.075 2.912 2.512
2.476
4.4 模型的分析
可以根据上面的模型，依次对其他教师进行分析，可以得到如下结果：
教师编号
18
103
110
123
150
等级
一
七
七
七
二
教师编号
168
274
324
335
352
等级
四
六
七
三
三
4
5 问题二的建模与求解
此问题可以用因子分析法研究这些变量指标的内在相关性，将观测变量进行分类， 每一类变量实际上就代表了一个基本结构，即公共因子。对于所研究的问题就是试图用 最少个数的不可测的所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一 分量。算出每级岗的综合得分，得到得分排序。最后根据排序解释按岗位分配招生名额 的合理性。
含义
2001~2011 年招生人数的平均值和招生总人数 偏好系数
第 i 个评价对象的第 j 个指标的取值是 xij
特征值 特征向量
第 i 个指标与第 j 个指标的相关系数 各个因子贡献率 岗位综合得分 学科之间的欧氏距离 i 级岗的专业型的量占专业型与学术型总和的量的 比值